FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 7. Integración Múltiple Curso 2003-2004

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular las siguientes integrales iteradas: Z 2 Z √4−y2 Z 1 Z √1−x2 2 p (x + y)dydx. (b) dxdy. (a) 4 − y2 0 0 0 0 Solución: ¸√1−x2 ¶ · Z 1µ √ 1 − x2 y2 2 (x + y)dydx = dx = dx = (a) xy + x 1−x + 2 0 2 0 0 0 0 1  q µ ¶ 3 (1 − x2 )3 1 x  = 2. + x− = − 3 2 3 3 0 #√4−y2 Z 2 Z √4−y2 Z 2" Z 2 p Z 2 2x 2 2 4 − y2 p p p (b) dxdy = dy = dy = 2dy = 4. 4 − y2 4 − y2 0 4 − y2 0 0 0 0 0 Z

1

Z

√ 1−x2

Z

1

2. Dibuja la región R cuya área representa la integral iterada. Calcular dicha área, cambiando previamente el orden de integración. Z 2Z x Z 4 Z 4−x Z 1 Z √y dxdy. (b) dydx + dydx. (a) y2

0

Solución: Z 1Z (a)

0

0

2

0

¸1 · ¡√ ¢ 2 √ 3 x3 1 x − x2 dx = x − = . 3 3 0 3 0 y2 0 x2 0 0 Z 4 Z 4−x Z 2 Z 4−y Z 2 Z 2 Z 2Z x ¤2 £ dydx + dydx = dxdy = [x]4−y dy = (4 − 2y) dy = 4y − y 2 0 = 4. (b) y 0

√ y

dxdy =

0

Z

1

Z

2

√ x

dydx =

Z

0

1

√ x

[y]x2 dx =

0

Z

1

y

0

0

3. Usar una integral iterada para calcular el área de la región acotada por las gráficas de 2x − 3y = 0, x + y = 5, y = 0. Solución: Z 2 Z 5−y Z A= dxdy = 3y 2

0

2

5−y

[x] 3y dy = 2

0

Z

¶ · ¸2 µ 5y 2 3y dy = 5y − 5−y− = 5. 2 4 0 0 2

También puede hacerse integrando primero respecto de y y después respecto de x. En este caso hay que hacer dos integrales. Z 3 Z 2x Z 5 Z 5−x 3 A= dydx + dydx = 5. 0

0

3

0

4. Para calcular las siguientes integrales iteradas es necesario cambiar previamente el orden de integración: Z 2Z 2 p Z 1Z 1 (a) x 1 + y 3 dydx (b) sen x2 dxdy. 0

x

0

y

Solución: Z 2Z 2 p Z 2Z y p Z (a) x 1 + y 3 dydx = x 1 + y 3 dxdy = 0 x 0 0 ¸2 · q Z 1 2 2p 26 1 = y 1 + y 3 dy = (1 + y 3 )3 = . 2 0 9 9 0 1

2 0

·

x2 p 1 + y3 2

¸y 0

dy =

2

Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04

(b)

Z

1 0

Z

1 2

sen x dxdy = y

1 (1 − cos 1) . 2

Z

Z

1 0

x 2

sen x dydx = 0

Z

1 0

£

¤x y sen x2 0

dx =

Z

1

x sen x2 dx = 0

¤1 1£ − cos x2 0 = 2

5. Realizar un esbozo de la región R y calcular la integral doble : ZZ √ xdA y R: es el sector circular en el primer cuadrante acotado por y = 25 − x2 , 3x − 4y = (a) R

0, y = 0. ZZ √ (b) (x2 + y 2 )dA y R: es el semicírculo acotado por y = 4 − x2 , y = 0. R

Solución: Z √25−y2

¶ Z µ £ 2 ¤√25−y2 1 3 16 x 4y dy = 25 − y 2 − y 2 dy = 4 3 2 0 9 R 0 0 3y µ ¶ ¶3 Z 3µ 25 1 1 25 = 25. = y − y3 1 − y 2 dy = 2 9 2 27 0 0 ¶√4−x2 Z 2 Z √4−x2 Z 2µ ZZ 3 y x2 y + (x2 + y 2 )dA = (x2 + y 2 )dydx = 2 dx (b) 3 0 R 0 −2 0 ! ! à à √ √ ¡ ¢ ¢ ¡ Z 2 Z 2 √ 4 − x2 4 − x2 4 − 2x2 4 − x2 =2 dx = 2 dx = ... Por este camino x2 4 − x2 + 3 3 0 0 salen integrales complicadas. Ahora habría que hacer el cambio x = 2 sen t. Es aconsejable hacerlo en coordenadas polares. ZZ Z πZ 2 Z πZ 2 Z π h i2 Z π r4 (x2 + y 2 )dA = r2 rdrdθ = r3 drdθ = dθ = 4 dθ = 4π. 4 (a)

ZZ

xdA =

Z

3

xdxdy =

0

R

1 2

Z

0

3

0

0

0

0

0

6. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones: (a) z = xy, z = 0, y = x, x = 1, primer octante. (b) x2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1, primer octante. Solución: ¸ · 4 ¸1 1 x x3 dx = (a) V = xydydx = dx = = 2 8 8 0 0 0 0 o 0 ¸1 · Z 1 Z 1 Z 1Z x q √ √ £ √ ¤x 2 2 3 y 1 − x2 0 dx = 2 1 − x2 dydx = 2 x 1 − x2 dx = − (1 − x2 ) = . (b) V = 2 3 3 0 0 0 0 0 Z

1

Z

Z

x

1

·

xy 2 2

¸x

Z

1

·

7. Calcular las siguientes integrales dobles, pasando previamente a coordenadas polares. (a) (b)

Z

Z

2 0 2 0

Z Z

√ 2x−x2

xydydx 0 x 0

Solución: (a)

Z

2 0

=4

Z

Z

√ 2x−x2

xydydx = 0 π 2

0

√ 2 2

Z p 2 2 x + y dydx + Z

2

π 2

0

Z

Z

√ 8−x2 0

p x2 + y 2 dydx.

2 cos θ

r3 cos θ sen θdθ = 0

Z

π 2

cos θ sen θ 0

µ ¸π ¶ · 2 2 2 cos6 θ 2 = . cos θ sen θdθ = − =0− − 3 3 3 0 5

·

r4 4

¸2 cos θ 0

dθ =

3

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(b)

Z

2

Z

x

√0 0 4 2π . 3

Z p x2 + y 2 dydx +

√ 2 2 2

Z

√ 8−x2 0

Z p x2 + y 2 dydx =

π 4

0

Z

√ 2 2 2

r drdθ = 0

Z

π 4

0

·

r3 3

¸2√2

dθ =

0

8. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones p (a) z = x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 25. (b) z = ln(x2 + y 2 ), z = 0, x2 + y 2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 4.

Solución: ZZ

Z

Z

√ 25−x2

p x2 + y 2 dydx. En cartesianas es muy difícil. Lo calculamos uti0 D 0 Z 5 Z √25−x2 p Z 2π Z 5 ZZ 2 2 zdA = 4 x + y dydx = rrdrdθ = lizando coordenadas polares. V = 0 0 0 D 0 Z 2π Z 2π · 3 ¸5 125 250π r dθ = dθ = . 3 3 3 0 0 0 Z 2 Z √4−x2 ZZ zdA = 4 ln(x2 + y 2 )dydx. En cartesianas es muy difícil. Lo calculamos uti(b) V = √ D 1−x2 1 ZZ Z 2 Z √4−x2 Z 2π Z 2 2 2 lizando coordenadas polares. V = zdA = 4 ln(x +y )dydx = ln(r2 )rdrdθ = √ 1 0 1 D 1−x2 Z 2π Z 2 ln(r)rdrdθ = 2 0 1 ¸2 ¶ Z 2π ¶ µ µ Z 2π · 2 3 3 r2 r . =2 dθ = 4 ln 2 − dθ = 2π 4 ln 2 − ln r − 2 4 1 2 2 0 0 p 9. Calcular el volumen del sólido que es interior al hemisferio z = 16 − x2 − y 2 y al cilíndro x2 +y 2 −4y = 0. (a) V =

zdA = 4

5

Solución:

Puede hacerse utilizando integrales dobles o triples. El resultado será el mismo. (a) Utilizando integrales dobles. Z 4 Z √4y−y2 p ZZ zdA = 2 16 − x2 − y 2 dxdy. Es complicado hacerlo en coordenadas carteV = D

0

0

sianas. Pasamos a coordenadas polares. ZZ Z 2 Z √4y−y2 p Z π2 Z 4 sen θ √ 2 2 V = zdA = 2 16 − x − y dxdy = 2 r 16 − r2 drdθ = D 0 0 0 0 4 sen θ  ¡ 3 ¢ π Z Z π2 i ¢3 − 16 − r2 2 2 2 h¡ 3   =2 16 − 16 sen2 θ 2 − 16 2 dθ = dθ = − 3 3 0 0 2 = − 43 3

Z

0

π 2

0

¡

· ¸ π2 sen3 θ 128 128 3π − 4 64 sen θ − cos θ − 1 dθ = − = −1 = (3π − 4) 3 3 3 6 9 0 ¢

3

(b) Utilizando integrales triples. ZZZ Z 4 Z √4y−y2 Z √16−x2 −y2 V = dV = 2 dzdxdy. Es complicado en cartesianas. Q

0

0

0

Cambiando a coordenadas cilindricas tenemos: ZZZ Z π2 Z 4 sen θ Z √16−r2 Z V = dV = 2 rdzdrdθ = 2 Q

0

0

0

salen las mismas cuentas que antes.

π 2

0

Z

4 sen θ 0

√ r 16 − r2 drdθ. a partir de aquí

4

Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04

10. Determinar a, de modo que el volumen interior al hemisferio z = x2 + y 2 = a2 sea la mitad del volumen de hemisferio. Solución:

p 16 − x2 − y 2 y exterior al cilindro

Llamamos VH al volumen del hemisferio y V e al volumen exterior. 1 4 3 128π VH = π4 = (Puede calcularse con integrales pero no es necesario) 23 3 Z π2 Z 4 Z √16−r2 Z π2 Z 4 ZZZ √ ¢3 i π 4 h¡ 16 − a2 2 dV = 4 rdzdrdθ = 4 r 16 − r2 drdθ = . Ve= 3 2 a a Q 0 0 0 1 Como V e = VH , obtenemos que 2 ¡ ¢3 i π ¢3 2 4 h¡ 128π 16 − a2 2 = ⇒ 16 − a2 2 = 32 ⇒ 16 − a2 = (32) 3 3 2 6 q 2 2 ⇒ a2 = 16 − 8 (2) 3 ⇒ a = 16 − 8 (2) 3 .

11. Calcular las siguientes integrales triples: Z 9Z Z 1 Z x Z xy x dz dy dx (b) (a) 0

0

0

0

y/3 0

Z √y2 −9x2

z dz dx dy.

0

Solución: Z 1 Z x Z xy Z 1Z x Z 1Z x xy (a) x dz dy dx = [xz]0 dydx = x2 ydydx 0 0 0 0 0 0 0 Z Z 1 1 4 1 £ 5 ¤1 1 1 1 £ 2 2 ¤x x 0= x y 0 dx = x dx = = . 2 0 2 0 10 10 √ Z Z Z Z 9 Z y/3 Z y2 −9x2 √ 1 9 y/3 £ 2 ¤ y2 −9x2 1 z 0 z dz dx dy = dxdy = (b) 2 2 0 0 Z0 Z 9 · 3 0 03 ¸ £ ¤ ¤ 1 1 9£ 2 1 729 y y y/3 9 dy = y4 0 = = y x − 3x3 0 dy = − . 2 0 2 0 3 9 36 4

12. Esbozar la región sólida cuyo volumen representa la integral triple reescribirla en el orden que se indica dz dx dy. Solución: Z 4 Z √16−x2 Z 0

0

10−x−y

dz dy dx = 0

Z

4 0

Z √16−y2 Z 0

Z

4 0

9 0

Z

Z

y/3 0

¡ 2 ¢ y − 9x2 dxdy

√ 16−x2 0

Z

10−x−y

dz dy dx y 0

10−x−y

dz dx dy 0

13. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones: (a) z = 9 − x2 − y 2 , z = 0

(b) z = 4 − x2 , y = 4 − x2 , primer octante.

Solución: (a) V =

ZZZ

dV = Q

Z

3 −3

Z

√ 9−x2 √ − 9−x2

Z

9−x2 −y2

dzdydx. La integral en coordenadas cartesianas es difícil.

0

La hacemos en coordenadas cilíndricas. ¸3 Z 2π · 2 Z 2π Z 3 Z 9−r2 Z 2π Z 3 ZZZ ¡ ¢ r4 9r 9r − r3 drdθ = dV = rdzdrdθ = dθ = V = − 2 4 0 Q 0 0 0 0 0 0 Z 81π 81 2π dθ = . 4 2 0 Z 2 Z 4−x2 Z 4−x2 Z 2 Z 4−x2 Z 2 Z 4−x2 ZZZ ¡ ¢ 4−x2 4 − x2 dydx dV = dzdydx = [z]0 dydx = (b) V = =

Z

Q

2 0

0

0

¡ ¢ 2 4 − x2 [y]4−x dx = 0

Z

0

2 0

¡ ¢2 4 − x2 dx =

Z

0 2

0

0

0

¸2 · ¡ ¢ 8x3 x5 256 16 − 8x2 + x4 dx = 16x − = + . 3 5 15 0 0

5

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14. Pasar la integral a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas. Evaluar la que resulte más sencilla: Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2 (a) x2 + y 2 dz dy dx (b) x dz dy dx. √ 0

0

Solución:

(a) a.1.) Coordenadas cilíndricas Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p Z 2 2 x + y dz dy dx = 0

0

− a2 −x2

−a

0

Z

π 2

0

0

4 0

a

√ 16−r2

Z

rrdzdrdθ = 0

Z

Z

π 2

0

4 0

Z

√

16−r2

r2 dzdrdθ. 0

a.2.) Coordenadas esféricas Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p Z π2 Z π2 Z 4 2 2 x + y dz dy dx = ρ sen φρ2 sen φdρdφdθ = 0 0 0 0 0 0 Z π Z π2 Z π2 Z π2 Z 4 Z π2 Z π2 £ 4 ¤4 1 2 3 2 2 = ρ sen φdρdφdθ = sen φ ρ 0 dφdθ = 64 sen2 φdφdθ = 4 0 0 0 0 0 0 0 ¸π Z π2 · Z π2 φ sen 2φ 2 = 64 dθ = 16π dθ = 8π2 − 2 4 0 0 0

(b) b.1.) Coordenadas cilíndricas Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2 =

√ a − a2 −x2 −a Z 2π Z a Z √a2 −r2 0

Z

2π 0

k=

√ − a2 −x2

Z

Z

π 4

0 π 4

0

Z

Z

2π 0

Z

a 0

√ a2 −r2

Z

r cos θrdzdrdθ =

a

r2 cos θdzdrdθ

a

0

b.2.) Coordenadas esféricas Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2 −a

x dz dy dx =

Z

x dz dy dx =

a

2a cos φ

3

2

ρ sen φ cos θdρdφdθ = a cos φ

2a cos φ

Z

Z

2π 0

2π 0

Z

π 4

0

Z

2a cos φ

ρ sen φ cos θρ2 sen φdρdφdθ = a cos φ

2π

k cos θdθ = k [− sen θ]0

= 0. Donde hemos puesto

ρ3 sen2 φdρdφ, que no depende de θ. a cos φ

15. Hallar el volumen del sólido interior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y por encima del cono x2 + y 2 − z 2 = 0. Solución:

(a) Coordenadas cilíndricas V = Z

2π

Z

√ 2

Z

√ 4−r2

ZZZ Z

dV = Q 2π

Z

√ 2

Z

√ 2 √ − 2

Z

√ 2−x2 √ − 2−x2

Z √4−x2 −y2 √

dzdydx =

x2 +y 2

¡√ ¢ 4 − r2 − r drdθ = r 0 0 0 0 à √ ! Z 2π √ ! ¸√2 Z 2π · q 8 16π 2 2 1 −1 3 (4 − r2 ) − r3 dθ = dθ = 1− 1− = 3 3 3 2 3 2 0 0 0 Z Z ZZZ Z 2π Z π4 Z 2 8 2π (b) Coordenadas esféricas V = dV = ρ2 sen φdρdφdθ = 3 0 Q 0 0 0 à √ ! Z 2π π 16π 2 8 [− cos φ]04 dθ = 1− . 3 0 3 2 =

rdzdrdθ =

r Ã

π 4

sen φdφdθ = 0

16. Calcular el volumen del sólido comprendido entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = 4 y x2 + y 2 + z 2 = 9 e interior al cono x2 + y 2 − z 2 = 0. Solución: ZZZ Z V = dV = 2 Q

2π 0

Z

π 4

0

Z

3

ρ2 sen φdρdφdθ = 2

38 3

Z

2π 0

Z

π 4

sen φdφdθ = 0

6

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8 3

Z

2π 0

76π [− cos φ]0 dθ = 3 π 4

Ã

√ ! 2 1− . 2

17. Calcular el volumen del sólido comprendido entre las gráficas de z = x + y, z = 0, y = x, x = 0 y x = 3. Solución: ZZZ V =

dV = Q

1 £ 3 ¤3 27 x 0= . 2 2

Z

3 0

Z

x 0

Z

x+y

dzdydx = 0

Z

3 0

Z

x

(x + y) dydx = 0

Z

¸x · Z y2 3 xy + dx = 2 0 2 0 3

3

x2 dx = 0

18. Calcular el volumen del sólido acotado por la gráficas z = 0 y z = 3, exterior al cilindro x2 + y 2 = 1 e interior al hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = 1. Solución: ZZZ Z V = dV = Q

2π 0

Z

√ 10 1

Z

3 √ r2 −1

rdzdrdθ =

√ q  10 3 Z Z 2π 2 2 (r − 1) 45   3r + dθ = . = 2 3 2 0



1

Z

2π 0

Z

√ 10 1

2π

dθ = 45π. 0

√ ¡ ¢ 3r − r r2 − 1 drdθ =