Centro de Investigaci´ on en Mat´ ematicas A.C.

Examen de Eficiencia Profesional para obtener el grado de Doctor en ciencias con orientaci´on en Matem´ aticas B´ asicas

El Problema de Yamabe Jos´ e Antˆ onio Gon¸calves Miranda

1

Sinodales: Dr.Jimmy Petean Dr.Gil Bor Dr.Luis Hern´ andez Lamoneda

-Guanajuato, diciembre 2002 1

Becario de la CAPES - Bras´ılia / Brasil

1

Contents 1 Intoducci´ on

3

2 Preliminares 2.1 Geometr´ıa Riemanniana, conceptos b´asicos . . . 2.2 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 M´etricas Conformes y El Problema de Yamabe . 2.4 Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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4 4 7 8 13

El problema de Yamabe en S n 17 n 3.1 Minimizantes de la funcional de Yamabe en S . . . . . . . . . 18 3.2 Cota Superior de λ(M ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Soluci´ on del problema de Yamabe cuando λ(M ) < λ(S n ) 25 4.1 Ecuaci´on subcr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Soluci´on del problema de Yamabe . . . . . . . . . . . . . . . 28 Refer´ encias Bibliogr´ aficas

33

2

1

Intoducci´ on

El problema de Yamabe es: Dada una variedad Riemanniana (M, g), compacta de dimensi´on mayor que dos, existe una m´etrica conforme a g (m´ ultiplo por una funci´on positiva de la m´etrica) para la cual la curvatura escalar sea constante? Para m´etricas conforme a g de la forma g = φp−2 g, con p = 2n/(n − 2), el cambio de la curvatura escalar satisface: S = φ1−p (a 4 φ + Sφ) . Por lo tanto g = φp−2 g, tiene curvatura escalar constante λ si, y solo si, φ es una soluci´on de (a 4 +S)φ = λφp−1 , donde S y S denotan las curvaturas escalares de g y g, respectivamente y 4 es el Laplaciano en relacion a la m´etrica g. En 1960, Yamabe [6] intent´o resolver este problema. El observ´o que la ecuaci´on anterior es la ecuaci´on de Euler-Lagrange de la funcional R SdVg Q(g) = ¡RM ¢ p2 dV g M Pero en su prueba de la existencia del m´ınimo para esta funcional, hab´ıa un error que fue descubierto, en 1968, por Neil Trudinger [7]. Trudinger tambi´en mostr´o que la prueba de Yamabe funciona con la hip´otesis de que λ(M ) < α(M ) donde λ(M ) = inf{Q(g); g es conforme a g} y α(M ) es una constante. En 1976, Thierry Aubin [8] extendi´o los resultados de Trudinger mostrando que de hecho α(M ) = λ(S n ) ( el ´ınfimo de la funcional sobre cambios conformes de la m´etrica standard en S n ) para toda variedad M y tambien prob´o que para variedades de dimensi´on n ≥ 6 , no localmente conformemente planas siempre vale que λ(M ) < λ(S n ). En 1984, Richard Schoen [9], complet´o la soluci´on del problema de Yamabe, probando que para las variedades de dimensiones 3,4 y 5, y las localmente conformemente planas vale la desigualdad λ(M ) < λ(S n ) (a menos que sea conforme a esfera con la m´etrica standard). 3

Nuestro objetivo en este trabajo es describir la soluci´on del problema asumiendo que λ(M ) < λ(S n ) ( secci´on 4), teniendo como principal referencia la unificada exposici´on de la prueba del problema de Yamabe por John M. Lee y Thomas H. Parker, en el articulo [1] publicado en 1987. En la secci´on 2 haremos una breve discursi´on de los conceptos y resultados que vamos a utilizar, y en la secci´on 3 vamos a discutir la soluci´on del problema de Yamabe en el caso modelo de la esfera con la m´etrica standard.

2

Preliminares

En esta secci´on recordaremos las definiciones y los resultados b´asicos que seran utilizados en las siguientes secciones. Solo demostraremos las f´ormulas del cambio conforme del tensor de curvatura y la curvatura escalar.

2.1

Geometr´ıa Riemanniana, conceptos b´ asicos

Sea (M, g) una variedad riemanniana de dimensi´on n. El espacio tangente a M en un punto p, es definido como el conjunto de aplicaciones Xp : C ∞ (M ) → IR f 7−→ Xp (f ) donde Xp satisface: (a) (b) (c)

Si λ, µ ∈ IR, entonces Xp (λf + µg) = λXp (f ) + µXp (g). Si existe un abierto Up con p ∈ Up , tal que, f es contante en Up , entoncesXp (f ) = 0 Xp (f g) = f (p)Xp (g) + g(p)Xp (g).

Denotemos por Tp M el espacio tangente a M en p. Este posee una estructura natural de espacio vectorial ( real ) y si φ = (x1 , ..., xn ) es un sistema de coordenadas locales en p, entonces µ ¶ ∂ ∂ ei (p)(f ) = (f ) = (f ◦ φ)(p) ∂xi p ∂xi es una base de Tp M . Definimos el haz tangente de M por: [ TM = Tp M p∈M

4

Un campo de vectores en M es una secci´on de T M , i.e. si π : T M → M es la proyecci´on can´onica, un campo de vectores es una aplicaci´on V : M → T M , tal que, π ◦ V = IM . Vamos a denotar por Γ1 (M ) el conjunto de todos los campos vectoriales en M . Vamos a denotar siempre por X, Y, Z, W campos vectoriales en M , a, b ∈ IR y f, g funciones diferenciables. El corchete [·, ·] : Γ1 × Γ1 → Γ1 , es definido como: [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )). Y satisface las propiedades: (a) (b) (c) (d)

[X, Y ] = −[Y, X], [aX + bY, Z] = a[X, Y ] + b[X, Y ], [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X.

Una conexi´ on es una aplicaci´on ∇ : Γ1 ×Γ1 → Γ1 , satisfaciendo las propiedades: (a) (b) (c)

∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z, ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z, ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y.

Teorema 2.1. Dada una variedad Riemanniana (M, g) existe una u ´nica conexi´ on ∇ en T M , tal que: (a) (b)

∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z)

Las propiedades (a) y (b) del teorema anterior son llamadas, resp., simetr´ıa y compatibilidad de ∇ en con la m´etrica g. La conexi´on dada por el teorema es llamada conexi´ on de Levi-Civita. De ahora en delante, ∇ denotar´a siempre la conexi´on de Levi Civita asociada a g. El gradiente de una funci´on diferenciable f es el campo de vectores ∇f ∈ Γ1 (M ), definido por: X(f ) = g(∇f, X) , ∀X ∈ Γ1 (M ). 5

Definimos el tensor de curvatura, como el 4-tensor covariante R(X, Y, Z, W ) = g(R(X, Y )Z, W ) donde R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇[X,Y ] Z, y satisface las propiedades: (a) (b) (c)

−R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = −R(X, Y, Z, W ) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0 ∇T R(X, Y, Z, W ) + ∇Z R(X, Y, W, T ) + ∇W R(X, Y, W, T ) = 0.

Las igualdades (b) y (c) son llamadas primera y segunda identidad de Bianchi, respectivamente. En un sistema de coordenadas locales Φ = (x1 , ...xn ) los coeficientes de R son definidos como: Rijkl = R(ei , ej , ek , el ) El tensor de Ricc es definido por: Ric(X, Y ) = Traza de la aplicaci´on Z 7−→ R(X, Z)Y sus coeficientes en coordenadas locales son dados por X Rijkl g ls Rik = jl

donde g ls son los coeficientes de la matriz (gls )−1 . La curvatura escalar S : M → IR es la contracci´on del tensor de Ricci, y usando los coeficientes arriba, tenemos: X S(p) = Rik g ik ik

Decimos que una Variedad Riemanniana (M, g), es Einstein cuando su tensor de Ricci es un m´ ultiplo de la m´etrica, i.e. Ricc(X, Y ) = λg(X, Y ) para algun λ ∈ IR. Esto es equivalente a que los coeficientes Bij , definidos por: S Bij = Rij − gij n sean todos nulos. 6

2.2

Laplaciano

El elemento de volumen de una variedad riemanniana (M, g) es una n-forma dVg , definida en coordenadas locales por dVg = det(gij )1/2 dx, donde dx denota el elemento de volumen euclidiano en IRn . Definimos el divergente de un campo vectorial X en M , por: div(X) = −Traza de la aplicaci´on(Y 7−→ ∇Y X). En un sistema de coordenadas locales, usando P las propiedades de la conexi´on, tenemos que el divergente de un campo X = j Xj ej se escribe como: Ã ! X X div(X) = − ej (Xj ) + Xi Γjij , (1) j

i

donde Γk son los s´ımbolos de Christoffel, que son determinados por ∇ei ej = P j ij k Γij ej . En una variedad compacta ( sin borde ), el divergente satisface: Teorema 2.2. (Teorema del Divergente) Z div(X)dVg = 0 M

2 El Laplaciano de una funci´on f : M → IR, de classe C k , con k ≥ 3, es una funci´on de classe C k−2 definida por: 4f = div(∇f ). Usando la formula (1), el laplaciano de f en coordenadas locales esta dado por: Ã ! X X j ei (f )Γij 4f = − ej (ej (f )) + (2) j

i

Por lo tanto 4 es un operador diferencial de segundo orden. Como consecuencia del teorema del divergente, para una variedad compacta vale: Z Z g(∇f, ∇g)dVg = g 4 f dVg . M

M

7

Esta igualdad es llamada f´ormula de integraci´ on por partes. Para obtener la igualdad arriba, basta aplicar el teorema del divergente al campo vectorial g∇f y usar que el divergente satisface: div(g∇f ) = g(∇f, ∇g) − g 4 f. Para ver la definici´on mas general del Laplaciano ( para p-formas en M ) y sus propiedades vea, por ejemplo [4, §6].

2.3

M´ etricas Conformes y El Problema de Yamabe

Dadas una variedad Riemanniana (M, g) y una funci´on suave f : M → IR, definiendo: g p (u, v) = exp2f (p) gp (u, v), ∀u, v ∈ Tp M y ∀p ∈ M, obtenemos una nueva m´etrica g en M . Tales m´etricas son llamadas m´etricas conformes a g. Decimos que (M, g) es localmente conformemente plana, si para cada punto p ∈ M , existe una vecindad Up de p, tal que g en Up es conforme a una m´etrica plana. Un difeormorfismo f : M → M es un difeormorfismo conforme, cuando f ∗ g es una m´etrica conforme a g. El tensor de Weyl o tensor de curvatura conforme, es definido en coordenadas locales por Wijkl = Rijkl − (Rik gjl − Ril gjk + Rjl gik − Rjk gil ) S + (gik gjl − gil gjk ). (n − 1)(n − 2) De las propiedades del tensor W , destacamos: Teorema 2.3. Sea (M, g) una variedad riemanniana de dimensi´on > 3. Entonces Wijkl ≡ 0 ⇔ (M, g) es localmente conformemente plana. 2 El problema de Yamabe es: Dada una variedad Riemanniana (M, g), compacta de dimensi´on mayor que dos, existe una m´etrica conforme a g para la cual la curvatura escalar sea constante? Si gij son los coeficientes de la m´etrica g en un sistema de coordenadas, entonces los coeficientes para g son exp2f gij . Denotemos por ∇, R y S, la conexi´on de Levi-Civita , el tensor de curvatura y la curvatura escalar para la m´etrica g. Primero vamos a obtener una relaci´on entre ∇ y ∇. 8

Proposici´ on 2.4. ∇X Y = ∇X Y + X(f )Y + Y (f )X − g(X, Y )∇f

(3)

Demostraci´ on: Por la propiedad de compatibilidad de ∇ con la m´etrica g, tenemos que: Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z), Y g(Z, X) = g(∇Y Z, X) + g(Z, ∇Y X) Zg(X, Y ) = g(∇Z X, Y ) + g(X, ∇Z Y ). Sumando las 2 primeras y restando la tercera y usando a simetr´ıa de ∇ (i.e, ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ]), obtenemos: 2g(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) + g([X, Y ], Z) − − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X) del mismo modo para ∇ y g, vale: 2g(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) + g([X, Y ], Z) − − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X) Calculando 2g(∇X Y, Z) − exp2f {2g(∇X Y, Z)}, tenemos: 2g(∇X Y, Z) − exp2f {2g(∇X Y, Z)} = Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) − − exp2f {Xg(Y, Z)} + exp2f {Y g(Z, X)} − exp2f {Zg(X, Y )} = = 2exp2f {X(f )g(Y, Z) − Y (f )g(X, Z) + Z(f )g(X, Y )}. Usando la definici´on del gradiente de f en relaci´on a la m´etrica g, obtenemos: g(∇X Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(X(f )Y, Z) + g(Y (f )X, Z) − g(X, Y )g(∇f, Z). Lo que prueba la igualdad deseada. 2 Para cada p ∈ M , podemos elegir un sistema de coordenadas en una vecindad Up de p, tal que {ei (p)} es una base ortonomal de Tp M y ademas que ∇ei ej (p) = 0. Vea por exemplo [3, pg 83]. Vamos a usar este sistema de coordenadas para calcular los ceficientes de R y Ricc. Para simplificar la notaci´on vamos a denotar por ∇k el = ∇ek el ( analogo para ∇) y fk = ek (f ), 1 ≤ k, l ≤ n. 9

Proposici´ on 2.5. En el sistema de coordenadas en un entorno del punto p ∈ M , descrito arriba, valen: Rijij = exp2f {Rijij − fii + fj fj + fi fi − k∇f k2 − fjj } con i 6= j ∈ {1, ..., n} y Rii = Rii − (n − 2)f ii − (n − 2)k∇f k2 + (n − 2)fi fi + 4f S(p) = exp−2f {S + 2(n − 1) 4 f − (n − 1)(n − 2)k∇f k2 } Demostraci´ on: De la definici´on de R y la compatibilidad de ∇ con la m´etrica g, vale. Rijij = g(∇j ∇i ei , ej ) − g(∇i ∇j ei , ej ) = = ej g(∇i ei , ej ) − g(∇i ei , ∇j ej ) − ei g(∇j ei , ej ) + g(∇j ei , ∇i ej ) substituyendo g = exp2f , obtenemos: Rijij = 2exp2f fj g(∇i ei , ej ) + exp2f ej g(∇i ei , ej ) − exp2f g(∇i ei , ∇j ej ) − − 2exp2f fi g(∇j ei , ej ) − exp2f ei g(∇j ei , ej ) + exp2f g(∇j ei , ∇i ej ) Usando la igualdad ( 3), para i 6= j, tenemos: exp−2f Rijij = ej g(∇i ei , ej ) − ei g(∇j ei , ej ) − fii + fj fj + fi fi − k∇f k2 − fjj = = Rijij − fii + fj fj + fi fi − k∇f k2 − fjj Calculando el coeficiente Rii del tensor de Ricci obtenemos: X X X Rii = Rijil g lj = Rijij g jj = Rijij exp−2f = j

jl

j6=i 2

= Rii − (n − 1)fii + (k∇f k − fi fi ) + (n − 1)fi fi − (n − 1)k∇f k2 + 4f = = Rii − (n − 2)f ii − (n − 2)k∇f k2 + (n − 2)fi fi + 4f Finalmente calculando la curvatura escalar obtenemos: X X S = Rik g ik = Rii exp−2f = i

ik −2f

= exp {S + (n − 2) 4 f − n(n − 2)k∇f k2 + (n − 2)k∇f k2 + n 4 f } = = exp−2f {S + 2(n − 1) 4 f − (n − 2)(n − 1)k∇f k2 } 2 10

Por lo tanto resolver el Problema de Yamabe es encontrar una funci´on f para la cual la u ´ltima igualdad de la proposici´on anterior sea constante. Esta f´ormula puede ser simplificada haciendo exp2f = φp−2 con p = 2n/(n − 2). En este caso tenemos : 4f =

2 − p −2 p − 2 −1 φ k∇φk2 + φ 4φ 2 2 k∇f k2 =

y

φ−2 (p − 2)2 k∇φk2 4

substituyendo obtenemos: ½ µ ¶ 2 − p −2 p − 2 −1 2−p 2 S = φ S + 2(n − 1) φ k∇φk + φ 4φ − 2 2 ¾ (n − 1)(n − 2) 2 −2 2 − (p − 2) φ k∇φk = 4 ½ ¾ n − 1 −1 n−1 n − 1 −1 1−p 2 2 = φ φS − 4 φ k∇φk + 4 4φ+4 φ k∇φk = n−2 n−2 n−2 ¾ ½ n−1 1−p 4φ = φ φS + 4 n−2 Denotando por a = 4 n−1 y 2 = a 4 +S, obtenemos que g = φp−2 g tiene n−2 curvatura escalar constante igual a λ si, y solo si, φ satisface: 2φ = λφp−1

(4)

Esta ecuaci´on es llamada Ecuaci´ on de Yamabe. Yamabe observ´o que la ecuaci´on anterior es la ecuaci´on de Euler-Lagrange para la funcional R SdVg Q(g) = ¡RM ¢ p2 dV g M donde g var´ıa entre todas las m´etricas conformes a g y dVg denota la forma de volumen inducida por la m´etrica g. De hecho, reescribiendo esta funcional como: R φ1−p (φS + a 4 φ)dVg Q(g) = Qg (φ) = M ¡R ¢ p2 dV g M

11

y siendo que det(g ij ) = φn(p−2) det(gij ), tenemos: R n(p−2) φ1−p (φS + a 4 φ)φ 2 dVg M Qg (φ) = = ³R ´ p2 n(p−2) φ 2 dVg M Z Z 1 1 = φ(a 4 φ + Sφ)dVg = (aφ 4 φ + Sφ2 )dVg kφk2p M kφk2p M Integrando por partes , obtenemos:

Z 1 Q(g) = Qg (φ) = (a|∇φ|2 + Sφ2 )dVg (5) kφk2p M R Denotemos E(φ) = M (ak∇φk2 + Sφ2 )dVg . Dada una funci´on ψ ∈ C ∞ (M ), consideremos la variaci´on hψ : (−², ²) → IR definida por hψ (t) = Qg (φ + tψ), calculando su derivada en t = 0, obtenemos: ¯ ¯ µ ¶ d ¯¯ d ¯¯ E(φ + tψ) hψ (t) = = dt ¯t=0 dt ¯t=0 kφ + tψk2p ¯ ½ ¯ ¾ d ¯¯ 1 d ¯¯ 2 = E(φ + tψ)kφkp − 2E(φ)kφkp ¯ kφ + tψkp . kφk4p dt ¯t=0 dt t=0 Calculando separadamente las derivadas arriba, tenemos: ¯ Z d ¯¯ E(φ + tψ) = 2 (g(∇φ, ∇ψ) + Sφψ)dVg dt ¯t=0 M ¯ µZ ¶ p1 −1 Z d ¯¯ p φ dVg φp−1 ψdVg kφ + tψkp = dt ¯t=0 M M Substituyendo, obtenemos: ¯ ¶ Z µ d ¯¯ 2 E(φ) p−1 hψ (t) = φ ψ dVg ag(∇φ, ∇ψ) + Sφψ − dt ¯t=0 kφk2p M kφkpp Integrando por partes, tenemos que: ¯ ¶ Z µ 2 d ¯¯ E(φ) p−1 hψ (t) = a 4 φ + Sφ − φ ψdVg dt ¯t=0 kφk2p M kφkpp Por lo tanto, φ es un punto cr´ıtico de la funcional Qg , si y solo si φ es una soluci´on de la ecuaci´on de Yamabe, con λ = E(φ) , como quer´ıamos. kφkpp 12

Definici´ on 2.6. Para cada m´etrica g en M , el Invariante de Yamabe λ(M, g) es definido como: λ(M ) = λ(M, g) = inf{Qg (φ); φ ∈ C ∞ (M ) y φ > 0} La soluci´on del problema de Yamabe est´a dada por los siguientes 3 teoremas: Teorema 2.7. ( Yamabe, Trudinger y Aubin) Sea (M, g) una variedad riemanniama compacta. Supongamos que λ(M ) < λ(S n ), donde λ(S n ) es el invariante de Yamabe en S n con la m´etrica standard. Entonces el problema de Yamabe admite soluci´on. Teorema 2.8. ( Aubin) Si la dimensi´on de M es mayor que 5 y M no es localmente conformemente plana, entonces λ(M ) < λ(S n ). Teorema 2.9. ( Schoen ) Si M tiene dimensi´on 3,4, ´o 5, ´o si M es localmente conformemente plana, entonces: (a) λ(M ) < λ(S n ), ´o (b) (M,g) es conforme a S n con la m´etrica standard. En este trabajo vamos a suponer que el invariante de Yamabe para (M, g) es estrictamente menor que λ(S n ). De este modo nos restringiremos a discutir la soluci´on del problema en S n con la m´etrica standard y la prueba del Teorema 2.7.

2.4

Espacios de Sobolev

Para resolver el problema de Yamabe haremos uso de varios resultados de espacios de funciones, los cuales definiremos a continuaci´on, y enunciaremos los resultados que ser´an utilizados varias veces. Para las demostraciones de los teoremas en el caso de IRn vea [5] y para una variedad riemanniana vea [2, §2]. Si 1 ≤ q ∈ IR, el espacio de Lebesgue Lq (M ) es el conjunto de las funciones medibles f : M → IR, tales que la norma µZ q

kf kq =

|f | dVg M

13

¶ 1q

es finita. Sea f ∈ Lq (M ) y h ∈ Lr (M ), con q > 1 y r =

q , q−1

entonces vale:

Z |f h|dVg ≤ kf kq khkr M

Esta desigualdad es llamada desigualdad de H¨older. Para una variedad compacta, si f ∈ Lq y 1 ≤ r ≤ q, entonces aplicando la desigualdad de q H¨older a |f |r ∈ L r y h = 1, obtenemos que: µZ ¶s kf kr ≤ kf kq dVg M

donde s = 1r − 1q . En particular si (M, g) tiene volumen 1, entonces kf kr ≤ kf kq , para todo 1 ≤ r ≤ q. Para cada k ∈ IN , el espacio de Sobolev Lqk (M ) es el conjunto de las funciones f ∈ Lq (M ), tales que ∇i f ∈ Lq (M ) con 1 ≤ i ≤ k, donde ∇i f = ∇∇.....∇f (i veces), y la norma kf kq , k =

! 1q

à k Z X i=0

|∇i f |q dVg M

es finita. El espacio C k (M ) es el espacio de las funciones f , tales que f es kdiferenciables en M , con la norma kf kck =

k X i=0

sup |∇i f |. x∈M

El espacio de H¨older C k,α (M ) es definido para 0 < α < 1 como el conjunto de las funciones f ∈ C k (M ) tales que la norma kf kC k,α = kf kck + sup

x,y∈M

|∇k f (x) − ∇k f (y)| |x − y|α

es finita. La relaci´on entre estos espacios es expresada por los siguientes teoremas:

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Teorema 2.10. ( Teorema del Encaje de Sobolev para IRn ) (a) Supongamos que 1 1 k = − . r q n Entonces Lqk (IRn ) est´ a encajado continuamente en Lr (IRn ). En particular para q = 2, k = 1, p = 2n/(n − 2), vale la desigualdad de Sobolev: Z 2 |∇φ|2 dx , φ ∈ L21 (IRn ) kφkp ≤ σn IRn

La menor constante para la desigualdad anterior es llamada Constante ndimensional de Sobolev. (b) Supongamos que 0 < α < 1 y 1 k−α ≤ . q n Entonces Lqk (IRn ) esta continuamente encajado en C α (IRn ).

2

Estos resultados se transfieren a una variedad compacta del siguiente modo. Teorema 2.11. (Teorema del Encaje de Sobolev para variedades compactas) Sea M una variedad riemanniana compacta de dimensi´on n, (a) Si 1 1 k ≥ − , r q n entonces Lqk (M ) est´ a encajado continuamente en Lr (M ). (b) Si vale la desigualdad estricta en el item (a), entonces la inclusi´on q Lk (M ) ,→ Lr (M ) es un operador compacto. (c) supongamos que 0 < α < 1, y 1 k−α ≤ . q n Entonces Lqk (M ) esta continuamente encajado en C α (M ).

2

El an´alogo a la desigualdad de Sobolev en IRn para una variedad compacta es dado por el siguiente teorema:

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Teorema 2.12. ( Aubin ) Sean (M,g) una variedad riemanniana compacta de dimensi´on n, p = 2n/(n − 2) y σn la constante de Sobolev n-dimensional dada por el teorema 2.10. Entonces para cada ² > 0, existe una constante C² , tal que para toda φ ∈ C ∞ (M ), Z Z 2 2 kφkp ≤ (1 + ²)σn |∇φ| dVg + C² φ2 dVg . M

Regresando al analisis del Laplaciano, definimos el espacio L1loc (M ) como el espacio de las funciones localmente integrables en M . Si f, h ∈ L1loc (M ) decimos que f es una soluci´on d´ebil de la ecuaci´on 4f = h, cuando para funci´on φ ∈ C ∞ (M ) vale: Z Z f 4 φdVg = hφdVg M

M

Teorema 2.13. ( Regularidad El´ıptica Local) Supongamos que Ω es un abierto de IRn , con Ω compacto, 4 es el Laplaciano con respecto a alguna m´etrica en Ω, y f ∈ L1loc (Ω) una soluci´on d´ebil de la ecuaci´ on 4f = h. (a) Si h ∈ Lqk (Ω), entonces f ∈ Lqk+2 (K) para todo compacto K ⊂ Ω, y si f ∈ Lq (Ω), entonces kf kLqk+2 (K) ≤ C(k 4 f kLqk (Ω) + kf kLq (Ω) ). (b) (Estimativa de Schauder) Si h ∈ C k,α (Ω), entonces f ∈ C k+2,α (K) para todo compacto K ∈ Ω, y si f ∈ C α (Ω), entonces kf kC k+2,α (K) ≤ C(k 4 f kC k,α (Ω) + kf kC α (Ω) ). 2 Teorema 2.14. ( Regularidad El´ıptica global) Sean (M, g) una variedad riemanianna compacta, y f ∈ L1loc (Ω) una soluci´on d´ebil de la ecuaci´ on 4f = h. (a) Si h ∈ Lqk (M ), entonces f ∈ Lqk+2 (M ) y kf kLqk+2 (M ) ≤ C(k 4 f kLqk (M ) + kf kLq (M ) ). (b) Si h ∈ C k,α (M ), entonces f ∈ C k+2,α (M ) y kf kC k+2,α (M ) ≤ C(k 4 f kC k,α (M ) + kf kC α (M ) ). 2 Teorema 2.15. ( Principio Fuerte del M´ aximo ) Sean h ∈ C ∞ (M ) una funci´on no negativa en una variedad conexa M , y f ∈ C 2 (M ) tales que (4 + h)f ≥ 0. Si min f ≤ 0, entonces f es constante en M . 16

3

El problema de Yamabe en S n

En esta secci´on deseamos dar una descripci´on de la soluci´on del problema en la esfera n-dimensional con la m´etrica standard, y mostrar que el invariante de Yamabe de una variedad riemanniana compacta, de dimensi´on n, est´a acotado superiomente por λ(S n ). Sea < ·.· > la m´etrica euclidiana en IRn+1 y sean ) ( n+1 X S n = y ∈ IRn+1 ; yi2 = 1 i=1

y g la m´etrica standard en S n , i.e g es la m´etrica inducida en S n como subvariedad de (IRn+1 , < ·.· >) Denotemos N = (0, ...., 0, 1) ∈ S n (el polo norte) y definimos la aplicaci´on σ : S n − {N } → IRn (proyecci´on estereogr´afica), asociando a cada punto p = (y1 , ..., yn+1 ) ∈ S n − {N } el punto en la intersecci´on de la recta que une N y p con el hiperplano yn+1 = 0. Es f´acil verificar que : µ ¶ y1 yn σ(y1 , ...., yn+1 ) = , ...., 1 − yn+1 1 − yn+1 y su inversa es: µ −1

σ (x1 , ......, xn ) =

2x1 2xn 1 − |x|2 , ....., , 1 + |x|2 1 + |x|2 1 + |x|2

¶

Denotemos por ds2 la m´etrica euclideana en IRn . Calculando (σ −1 )∗ g obtenemos: (σ −1 )∗ g =

4 ds2 = u1 (x)p−2 ds2 +1

|x|2

donde u1 = (|x|2 + 1)

2−n 2

.

(6) (7)

Por lo tanto (S n , g) es localmente conformemente plana. Su grupo de difeomorfismos conformes es generado por la rotaciones y aplicaciones de la forma σ −1 ◦ τv ◦ σ , σ −1 ◦ δα ◦ σ : S n − {N } → S n − {N }, donde τv , δα : IRn → IRn son respectivamente: τv (x) = x − v , v ∈ IRn (translaci´on por v) y 17

x , α > 0 ( dilataci´on por α ). α aplicando la dilataci´on a la igualdad (6) obtenemos: δα (x) =

δα∗ (σ −1 )∗ g = u1 (δα (x)) δα∗ ds2 = uα (x)p−2 ds2 donde

µ uα (x) =

3.1

|x|2 + α2 α

¶ 2−n 2

(8)

(9)

Minimizantes de la funcional de Yamabe en S n .

La soluci´on completa del problema de Yamabe en la esfera es dada por: Teorema 3.1. La funcional de Yamabe en (S n , g) es minimizada por m´ ultiplos constantes de la m´etrica standard y sus im´agenes por difeomorfismos conformes. Adem´ as, est´as son las u ´nicas m´etricas conformes a g que tienen curvatura escalar constante. Este teorema es una consecuencia directa de las siguientes dos proposiciones. Proposici´ on 3.2. Existe una funci´on positiva ψ ∈ C ∞ (S n ), tal que Qg (ψ) = λ(S n ). 2 Proposici´ on 3.3. (Obata) Si g es una m´etrica conforme a g en S n con curvatura escalar constante, entonces , salvo multiplicaci´ on por una constante, g se obtiene de g por un difeomorfismo conforme de la esfera. Demostraci´ on: Inicialmente vamos a probar que (S n , g) es Einstein. Supongamos g = φ−2 g, para alguna funci´on positiva φ ∈ C ∞ (S n ). Elijamos un sistema de coordenadas en una vecindad de un punto p ∈ S n , tal que {ei (p)}1≤1≤n es una base otorgonal de Tp M y ∇ei ej (p) = 0. Como en la proposici´on 2.5 se prueba que: µ ¶ 1 S −1 B ij = Rij − g ij = Bij + (n − 2)φ φij + 4 φgij (10) n n 18

donde el Laplaciano es tomado con respecto a la m´etrica g y no a la m´etrica standard g. Siendo que (S n , g) es Einstein tenemos que Bij ≡ 0, por lo tanto: µ ¶ 1 −1 Bij = −(n − 2)φ φij + 4 φgij . (11) n Observemos que por la segunda identidad de Bianchi , vale: es (Rhijk ) + ej (Rhiks ) + ek (Rhisj ) = 0 multiplicando por g ik g hj y sumando en hijk obtenemos: X X X g ik g hj ek (Rhisj ) = 0 g ik g hj ej (Rhiks ) + g ik g hj es (Rhijk ) +

(12)

hijk

hijk

hijk

siendo g ij = gij = δij . Calculando separadamente cada t´ermino de la igualdad anterior, tenemos: ! Ã X X g hj g ik Rhijk = es (S) = 0 g ik g hj es (Rhijk ) = es hijk

hijk

pues S es constante por hip´otesis. X

g ik g hj ej (Rhiks ) =

X

hijk

hj

X

X

g ik g hj ek (Rhisj ) =

hijk

g hj ej

à X

! g ik (−Rhisk )

=−

g ik ek

! g hj (−Rihsj )

=−

X

g ik ek (Ris )

ik

hj

ik

g hj ej (Rhs )

hj

ik

à X

X

Substituyendo en (12) y renombrando los ´ındices, tenemos que: X X −2 g ij ej (Ris ) = 0 ⇒ g ij ej (Ris ) = 0, ij

ij

y como ej (Bis ) = ej (Ris ) − conclu´ımos que:

X

1 ej (S)gi s n

g ij ej (Bis ) = 0

ij

19

(13)

Integrando por partes y usando las igualdades (11) y (13), obtenemos: à ! à ¶¶! µ µ Z Z X X 1 φ Bij2 dVg = φ Bij (2 − n)φ−1 φij + 4 φgij dVg = n n n S S ij ij ¶ Z X µZ 1 Bij φij + g(∇Bij , ∇φ)gij dVg = = (n − 2) n Sn Sn ij ¶ X µZ = (n − 2) Bij φij dVg = (n − 2)

ij

Sn

ij

Sn

X µZ

= −(n − 2)

¶ (ej (Bij φi ) − ej (Bij )φi )dVg

X µZ ij

=

¶ ej (Bij )φi )dVg

=0

Sn

Por lo tanto los coeficientes Bij son identicamente nulos, lo que implica que (S n , g) es Einstein. Ya que g es conforme a g, que es localmente conformemente plana, entonces g tambien es localmente conformemente plana y por lo tanto su tensor de Weyl W es identicamente nulo. De un modo general, usando la definici´on de W y B podemos escribir el tensor de curvatura como: Rijkl = Wijkl + +

1 (Bik gjl − Bil gjk + Bjl gik − Bjk gil ) + n−2

S (gik gjl − gil gjk ) n(n − 1)

y siendo W = 0 y B = 0, el tensor de curvatura esta totalmente determinado por la curvatura escalar constante S, lo que implica que la curvatura seccional de (S n , g) tambien es constante. Recordando que una variedad riemanniana simplesmiete conexa con curvatura seccional constante es isom´etrica a IRn , S n ´o el semi plano hiperb´olico (vea por ejemplo en [3, pg163]), concluimos que, salvo una multiplicaci´on de la m´etrica por una constante positiva, (S n , g) es isom´etrica a (S n , g). Tal isometr´ıa es el difeormorfismo conforme deseado entre g y g. 2

20

3.2

Cota Superior de λ(M ).

Inicialmente observemos que la proyeci´on estereogr´afica σ convirte el problema de Yamabe en un problema en IRn , que es equivalente a la desigualdad de Sobolev dada por el Teorema (2.10). Como Qg (φ) = Qg (|φ|) , para toda funci´on φ ∈ C ∞ (M ), podemos extender la funcional de Yamabe al espacio L21 , y siendo que C ∞ (M ) es denso en L21 , tenemos que: λ(M ) = inf2 Qg (|φ|) φ∈L1

Para cada φ ∈ C ∞ (S n ), definimos φ = u1 .(φ◦σ −1 ), donde u1 es la funci´on definida en (7). Entonces: 2 (σ −1 )∗ (φp−2 g) = (φ ◦ σ −1 )p−2 .4up−2 1 ds = 4φ

p−2

ds2 .

Usando la proyecci´on estereogr´afica obtenemos: R R R n −{N } SdVg S ◦ σ −1 dV(σ−1 )∗ g SdV g n S IRn S Qsn (g) = ¡R ¢ p2 = ³R ´ p2 = ¡R ¢ p2 = −1 )∗ g dV dV g n n (σ dVg S IR S n −{N } = QIRn ((σ −1 )∗ g), y por la invariancia conforme de la funcional de Yamabe, tenemos que λ(S n ) = inf{QS n (g); g conforme a g} = = inf{QIRn ((σ −1 )∗ g); g conforme a g} = R a|∇φ|2 dx IRn 2 = inf Q (φ) = inf (4ds ) ¡R ¢2 φ∈C ∞ (S n ) φ∈C ∞ (S n ) p dx p |φ| n IR pues la curvatura escalar de (IRn , 4ds2 ) es cero. Aproximando φ por funciones con soporte compacto, obtenemos: λ(S n ) =

ak∇φk22 . (IRn ) kφk2 p

inf ∞

φ∈C0

Por la desigualdad de Sobolev en IRn , vale: Z 2 |∇φ|2 dx ∀ φ ∈ L21 kφkp ≤ σn IRn

21

donde σn es la constante n-dimensional de Sobolev ( ´ıtem (a) del teorema 2.10 ). De este modo podemos relacionar σn con el m´ınimo de la funcional de Yamabe en S n y por lo tanto el Teorema 3.1 es equivalente a: Teorema 3.4. La constante de Sobolev n-dimensional σn es igual a donde. 2 λ(S n ) = Q(g) = n(n − 1) Vol (S n ) n . As´ı la mejor desigualdad de Sobolev en IRn es: Z a 2 |∇φ|2 dx kφkp ≤ n λ(S ) IRn

a , λ(S n )

(14)

y la igualdad es valida solo para m´ ultiplos constantes de las funciones uα definidas en (9). 2 Ahora vamos a probar que el invariante de Yamabe de cualquier variedad riemanniana (M, g) est´a acotado superiormente por λ(S n ). Un paso importante de la prueba es notar que las funciones uα dependen unicamente de |x|, y por lo tanto si α → 0, sus soportes se concentran en vecindades del origen. Aproximando por funciones de soporte compacto, via un sistema de coordenadas locales en una vecindad de x ∈ M , podemos construir funciones test para el invariante en (M, g), arbitrariamente cercanos a λ(S n ). Lema 3.5. ( Aubin ) Si (M, g) es una variedad riemanniana compacta de dimensi´on n ≥ 3, entonces λ(M ) ≤ λ(S n ). Demostraci´ on: Por el teorema anterior tenemos que las funciones uα satisfacen: ak∇uα k22 = λ(S n )kuα k2p .

(15)

Fijemos ² > 0. Sean B² = B(0, ²) la bola centrada en cero con radio ², y η(²) = η : IRn → IR satisfaciendo: (i) 0 ≤ η ≤ 1 , ∀x ∈ IRn (ii) Supp(η) ∈ B2² (iii) η(x) = 1 , ∀x ∈ B²

22

Consideremos la funci´on φ = ηuα . Por construcci´on tenemos que φ es C ∞ y tiene soporte compacto, ademas vale: Z Z Z 2 2 a|∇φ| dx = a|∇φ| dx = a < ∇φ, ∇φ > dx = IRn B2² B2² Z a < (∇η)uα + η(∇uα ), (∇η)uα + η(∇uα ) > dx = = B2² Z aη 2 |∇uα |2 dx + = ZB2² + a(2ηuα < ∇η, ∇uα > +u2α |∇η|2 )dx (16) A²

donde A² es el anillo B2² − B² y en la u ´ltima igualdad usamos que η ≡ 1 en ∂ uα |2 y ademas, ya que B² . Haciendo |x| = r en uα , tenemos que |∇uα |2 = | ∂r 2 − n < 0 y α > 0, valen: µ uα (r) =

r 2 + α2 α

¶ 2−n 2

≤

r2−n α

2−n 2

= r2−n α

n−2 2

y

µ ¶ −n ∂ r r 2 + α2 2 uα (r) = (2 − n) ⇒ ∂r α α ¯ ¯ ¯∂ ¯ n−2 r−n ¯ ⇒ ¯ uα (r)¯¯ ≤ (n − 2)rα−1 −n ≤ (n − 2)r1−n α 2 ∂r α2 Usando estas estimativas en ( 16 ), para ² fijo, obtenemos: ¯ ¯ Z Z Z ¯ ∂ ¯2 ∂ 2 ¯ ¯ a|∇φ| dx ≤ a ¯ uα ¯ dx + a(2ηuα |∇η|| uα | + u2α |∇η|2 )dx = ∂r ∂r IRn B2² A² ¯ ¯2 Z ¯∂ ¯ = a ¯¯ uα ¯¯ dx + O(αn−2 ). ∂r IRn Usando que uα satisface (15) en IRn , vale: Z

¯ ¯ ¶ p2 µZ Z ¯ ∂ ¯2 p n p ¯ ¯ uα dx uα dx + ≤ a ¯ uα ¯ dx = λ(S ) ∂r IRn −B² B² IRn µZ ¶ p2 Z n p n−2 n−2 p ≤ λ(S ) φ dx + (r α 2 ) dx ≤ IRn −B²

B2²

23

(µZ ≤ λ(S n )

φp dx

¶ p2

µZ

µZ p

= λ(S )

=

IRn −B²

B2² n

r−2n αn dx

+

¶ p2 )

φ dx

¶ p2

2

+ O(αn ) p

B2²

Luego para α suficientemente chico, vale: Z a|∇φ|2 dx ≤ λ(S n )kφk2p + Cαn−2

(17)

IRn

Sea (M, g) una variedad riemaniana compacta de dimensi´on n ≥ 3, elegimos un punto p ∈ M y un sistema de coordenadas normales X : M ⊃ Up → B2e en una vecindad Up , Consideremos ψ ∈ C ∞ (M ) tal que ψ ≡ 0 en M −Up y ψ = φ ◦ X en Up . Siendo que dVg = (1 + O(r))dx y usando (17) vale: Z Z 2 2 E(ψ) = (a|∇ψ| + Sψ )dVg ≤ (a|∇ψ|2 + Cψ 2 )dVg = M Up Z = (a|∇φ|2 + Cφ2 )(1 + O(r))dx ≤ B2² Z ≤ (1 + 2²) (a|∇φ|2 + Cφ2 ))dx ≤ µB2² ¶ Z n 2 n−2 2 ≤ (1 + 2²) λ(S )kφkp + Cα +C φ dx B2²

donde C = maxp∈M S(p). Haciendo Sr = {x ∈ IRn ; |x| = r}, entonces dx = rn−1 dwdr y estimando el u ´ltimo t´ermino de la desigualdad anterior, obtenemos: Z Z 2² Z Z 2² Z 2 n−1 2 u2α rn−1 dwdr φ dx = φ r dwdr ≤ B2²

0

0

Sr

Sr

Haciendo el cambio de variable s = r/α Z

Z Z

2² α

2

φ dx ≤ B2²

Sr

Z Z

0 2² α

= Sr

µ

(sα)2 + α2 α

¶2−n (sα)n−1 αdsdw =

α2 (s2 + 1)2−n sn−1 dsdw

0

24

> 1 y usando que s2 ≤ (s2 +1) ≤ Tomando α suficientemente chico, tal que 2² α 2s2 siempre que s > 1, obtenemos: ÃZ Z ! Z Z Z 2² 1 α φ2 dx ≤ α2 (s2 + 1)2−n sn−1 dsdw + 22−n s3−n dsdw = B2²

Ã

Sr

0

Z Z

2² α

= α2 C + Sr

!

Sr

1

s3−n dsdw

0

El t´ermino entre par´entesis es obviamente acotado para n = 3 y n > 4, para n = 4 este t´ermino es comparable con con log(1/α). Entonces, para α suficientemente chico vale ¡ ¢ E(ψ) ≤ (1 + 2²) λ(S n )kφk2p + Cα y luego Qg (ψ) =

E(ψ) C ≤ (1 + 2²)(λ(S n ) + α) 2 kψkp kψk2p

lo que implica que λ(M ) ≤ λ(S n ) como quer´ıamos.

4

2

Soluci´ on del problema de Yamabe cuando λ(M ) < λ(S n)

En esta secci´on vamos a discutir la soluci´on del problema de Yamabe en una variedad riemanniana compacta asumiendo los teoremas 2.8 y 2.9. Una primer aproximaci´on a una posible minimizante de la funcional de Yamabe Qg , ser´ıa por una sucesi´on {un } con Qg (un ) → λ(M ) cuando n → ∞. Pero en principio no se puede garantizar que esta sucesi´on posea una subsucesi´on convergente a una funci´on no nula. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que kui kp = 1 para todo i ∈ IN . Observemos que {ui } es uniformemente acotada en L21 (M), de hecho: Z ¡ ¢ 2 |∇ui |2 + u2i dVg = kui k2,1 = ¶ ¶ Z µ ZM µ S 2 a|∇ui |2 S 2 2 ui − ui dvg = = + ui dVg + a a a M M ¶ Z µ Qg (ui ) S = + 1− u2i dvg ≤ a a M 25

≤

Qg (ui ) Qg (ui ) + Ckui k22 ≤ + Ckui k2p a a

(18)

donde C = maxp∈M (1 − S(p) ) y en la u ´ltima desigualdad hicimos uso de la a 2 desigualdad de H¨older. Como L1 (M ) es un espacio de Hilbert, la cota uniforme de {ui } implica que esta sucesi´on admite una subsucesi´on debilmente convergente a una funci´on φ ∈ L21 (M ), i.e, lim < u, ui >L21 =< u, φ >L21

j→∞

∀u ∈ L21 (M )

Pero siendo 12 − n1 = p1 , p es exactamente el exponente para el cual la inclusi´on L21 (M ) ,→ Lp (M ) no es compacta. Por lo tanto no se puede garantizar que la funci´on φ sea no nula.

4.1

Ecuaci´ on subcr´ıtica

A cada 2 ≤ s < p, consideremos la funcional definida como: Qsg (φ) =

E(φ) kφk2s

y sea λs = inf{Qsg (φ); 0 < φ ∈ C ∞ (M )} Luego, si φ es una minimizante de la funcional Qsg , con kφks = 1, entonces φ satisface: 2φ = λs φs−1 (19) que es llamada ecuaci´ on subcr´ıtica de Yamabe. Como s < p, si {ui } es una s sucesi´on tal que, Qg (ui ) → λs cuando i → ∞, entonces, de modo an”alogo a (18), {ui } es uniformemente acotada en L21 (M ) y por lo tanto tiene una subsucesi´on debilmente convergente en L21 . Vamos a mostrar que de hecho el l´ımite tal subsucesi´on es una soluci´on de (19). Inicialmente probaremos que la regularidad el´ıptica de 4 (Teorema 2.14) implica el siguiente resultado para la regularidad de la ecuaci´on subcr´ıtica. Teorema 4.1. Supongamos que φ ∈ L21 (M ) es una soluci´on d´ebil no negativa de la ecuaci´ on (19), con 2 ≤ s < p y |λs | < k para alguna constante k. Si φ ∈ Lr (M ) para algun r > (s − 2)n/2 (en particular si r = s < p, ´o si s = p < r), entonces φ satisface una de las dos posibilidades: (a) φ es C ∞ , positiva y kφkC 2,α ≤ C donde C depende u ´nicamente de M, g, k y kφkr . (b) φ ≡ 0. 26

Demostraci´ on: Supongamos que φ ∈ Lr (M ), entonces φs−1 ∈ Lq (M ) donde q = r/(s − 1). Luego λs φs−1 − Sφ ∈ Lq (M ) y φ es una soluci´on d´ebil de ¢ 1¡ 4φ = λs φs−1 − Sφ ∈ Lq (M ). a Aplicando el teorema de la regularidad el´ıptica ( Teorema 2.14) tenemos que φ ∈ Lq2 (M ). Ahora el teorema del encaje de Sobolev ( Teorema 2.11) implica 0 que L Ã q2 (M ) ⊂ Lr (M ), donde 1 1 2 s−1 2 n(s − 1) − 2r rn = − = − = ⇒ r0 = . 0 r q n r n rn n(s − 1) − 2r Observemos que la hip´otesis sobre r implica que r0 > r. Repitiendo este argumento sucesivamente, obtenemos que φ ∈ Lq2 (M ), para todo q > 1. Aplicando ahora el caso C α del teorema de encaje de Sobolev ( Teorema 2.11, item (c)), tenemos que φ ∈ C α (M ) para algun α > 0 y nuevamente por el teorema de regularidad el´ıptica obtenemos que φ ∈ C 2,α y una cota para kφkC 2,α . Siendo que φ satisface la ecuaci´on subcr´ıtica de Yamabe, i.e, 2φ = λs φs−1 , existe m > 0 tal que (4φ+mφ) ≥ 0 y m ≥ supx∈M (S−λs φs−2 ). Luego, si φ(x) = 0 para algun x ∈ M , entonces por el principio fuerte del m´aximo (Teorema 2.15), φ ≡ 0. Por lo tanto φ ≡ 0 ´o φ > 0. Finalmente si φ > 0 y φ ∈ C 2,α , aplicando sucesivamente el teorema de la regularidad el´ıptica, conclu´ımos que φ ∈ C ∞ (M ), como quer´ıamos. 2 Proposici´ on 4.2. ( Yamabe ) Para 2 ≤ s < p, la ecuaci´ on subcr´ıtica de Yamabe (19) admite una soluci´on C ∞ positiva φs , con Qs (φs ) = λs y kφs ks = 1. Demostraci´ on: Sea {ui } ⊂ C ∞ (M ), con kui ks = 1, una sucesi´on s tal que Qg (ui ) → λs , cuando i → ∞. Como en (18), tenemos que {ui } es uniformemente acotada en L21 (M ) y por lo tanto posee una subsucesi´on debilmente convergente en L21 (M ). Pasando a esta subsucesi´on si nesesario podemos suponer que ui coverge debilmente a una funci´on φs ∈ L21 (M ). Adem´as, por el teorema del encaje de Sobolev, la inclusi´on L21 (M ) ,→ Ls (M ), es un operador compacto, lo que implica que {ui } converge fuertemente a φs en Ls y kφs k = 1. Como 2 ≤ s, tenemos que kui k22 ≤ kui k2s = 1, acotando S por su m´aximo en M , el teorema de la convergencia dominada implica que: Z Z 2 (20) Sφ2s dVg . lim Sui dVg = i→∞

M

M

27

adem´as la convergencia d´ebil de {ui } en L21 (M ) implica que: Z Z 2 |∇φs | dVg = lim g(∇ui , ∇φs )dVg ≤ i→∞

M

M

µZ

¶1/2 µZ

≤ lim sup i→∞

luego

µZ

2

|∇ui | dVg

|∇φs | dVg

M

M

¶1/2 2

|∇φs | dVg

¶1/2

2

µZ

¶1/2 2

≤ lim sup

|∇ui | dVg R elevando al cuadrado y sumando de ambos los lados M Sφ2s dVg , por ( 20) tenemos: Z Z s 2 Qg (φs ) ≤ lim sup |∇ui | dVg + lim sup Su2i dVg = i→∞

M

i→∞

M

i→∞

M

= lim sup Qsg (ui ) = λs .

M

i→∞

Ya que por definici´on λs es el ´ınfimo de Qsg conclu´ımos que Qsg (φs ) = λs . Luego φs es una soluci´on d´ebil de la ecuaci´on (19). Estimando ui por |ui | si necesario, podemos suponer que φs ≥ 0. Aplicando el teorema 4.1 conclu´ımos la prueba. 2

4.2

Soluci´ on del problema de Yamabe

En la secci´on anterior mostramos que para cada 2 ≤ s < p existe una soluci´on positiva φs ∈ C ∞ (M ) para la ecuaci´on subcr´ıtica de Yamabe (19). Vamos ahora a probar que las funciones φs convergen uniformemente, cuando s → p, a una soluci´on del problema de Yamabe, siempre que λ(M ) < λ(S n ). Multiplicando la m´etrica por una constante, si es necesario, podemos suponer que Vol(M, g) = 1. Para probar el Teorema 2.7 usaremos los siguientes resultados: R Lema 4.3. ( Aubin ) Si M dVg = 1, entonces la funci´on [2, p] 3 s 7→ |λs | ∈ IR es nocreciente, y si λ(M ) ≥ 0, λs es continua a la izquierda. Demostraci´ on: Primero probaremos que s 7→ |λs | es nocreciente. Observemos que para cada s, s0 y una funci´on positiva u ∈ C ∞ (M ) vale: Z Z 1 kuk2s 1 s0 2 2 Qg (u) = (a|∇u| + Su )dVg = (a|∇u|2 + Su2 )dVg = kuk2s0 M kuk2s0 kuk2s M 28

=

kuk2s s Q (u) kuk2s0 g

(21)

Luego, si s ≤ s0 , entonces kuks ≤ kuks0 ( desigualdad de H¨older ), y por la igualdad anterior tenemos ∞ s |Qs0 g (u)| ≤ |Qg (u)| , ∀u ∈ C

lo que prueba que |λs0 | ≤ |λs |. Ahora probemos que si λ(M ) ≥ 0 entonces λs es continua a la izquierda. Si λs < 0 para algun s, entonces podemos elegir u ∈ C ∞ (M ), tal que, Qsg (u) < 0, y por la igualdad( 21), tenemos que λs < 0 para todo s. Supongamos que λ(M ) ≥ 0, de la observaci´on anterior concluimos que λs ≥ 0 para todo s ∈ [2, p]. Para cada s ∈ [2, p], dado ² > 0, existe u ∈ C ∞ (M ) satisfaciendo: Qsg (u) < λs + ² y como kuks es continua en s, podemos elegir s0 < s, suficientemente cercano a s, tal que, kuk2s s 0 Qsg (u) = Qg (u) ≤ Qsg (u) + ² 2 kuks0 por lo tanto

0

λs0 ≤ Qsg (u) ≤ Qsg (u) + ² ≤ λs + 2² Ya que |λs | es no creciente, conclu´ımos que λs es continua a la izquierda, como quer´ıamos. 2 El error de Yamabe fue afirmar que {φs } es uniformemente acotada, lo que es falso en general. En S n , por ejemplo, tenemos que la fam´ılia de m´etricas (σ −1 ◦ δn ◦ σ)∗ g, con n ∈ IN , son todas soluciones de las ecuaci´on de Yamabe conformes a la m´etrica standard g, pero no son acotadas. Ahora vamos a mostrar que la condici´on de λ(M ) < λ(S n ), implica la cota uniforme de las soluciones del problema subcr´ıtico. Proposici´ on 4.4. ( Trudinger y Aubin ) Supongamos que λ(M ) < λ(S n ) y sean {φs }2≤s

p y C > 0 tales que: kφs kr ≤ C

,

29

∀s ≥ s0 .

Demostraci´ on: Sea δ > 0, Como Qsg (φs ) = λs , entonces φs satisface: a 4 φs + sφs = 2φs = λs φs−1 s . Multiplicando por φ1+2δ e integrando, obtenemos: s Z Z s+2δ λs φs dVg = (aφ1+2δ 4 φs + Sφ2+2δ )dVg = s s M M Z Z 1+2δ dVg = Sφ2+2δ = ag(∇(φs ), ∇φs )dVg + s M M Z Z 2δ = a(1 + 2δ)φs g(∇φs , ∇φs )dVg + Sφ2+2δ dVg . s M

M

Escribiendo w = φ1+δ ⇒ ∇w = (1+δ)φδs ∇φs , la igualdad anterior se reescribe s como: Z Z Z 1 + 2δ 2 s−2 λs w φs dVg = a g(∇w, ∇w) + Sw2 dVg ⇒ 2 (1 + δ) M M ZM Z 1 + 2δ ⇒ a|∇w|2 dVg = (λs w2 φs−2 − Sw2 )dVg . (22) s (1 + δ)2 M M Por el Teorema 2.12, para cada ² > 0, existe una constante C² , tal que: Z Z 2 2 kwkp ≤ (1 + ²)σn |∇w| dVg + C² w2 dVg M

M

Substituyendo (14) y la igualdad ( 22), tenemos que: kwk2p

¶ µ ¶−1 µZ Z 1 + 2δ a 1 + 2δ 2 2 ≤ (1 + ²) |∇w| dVg + C² w = λ(S n ) (1 + δ)2 (1 + δ)2 M M µZ ¶ Z (1 + ²)(1 + δ)2 2 s−2 2 λs w φs dVg + (S + C² )w dVg ≤ = λ(S n )(1 + 2δ) M M ¶ µZ Z (1 + ²)(1 + δ)2 2 s−2 2 ≤ λs w φs dVg + C²,S w dVg λ(S n )(1 + 2δ) M M

donde C²,S = maxx∈M S + C² . Aplicando la desigualdad de H¨older, obtenemos: kwk2p ≤

(1 + ²)(1 + δ)2 λs 2 kwkp2 kφs ks−2 (s−2)n + C²,S kwk2 . 1 + 2δ λ(S n ) 2 30

(23)

Ya que s < p, tenemos que dad de H¨older, tenemos:

(s−2)n 2

< s. Aplicando nuevamente la desigual-

kφs k (s−2)n ≤ kφs ks = 1. 2

Si λ(M ) < 0, entonces, de la igualdad (21), λs < 0 para todo s ∈ [2, p), y en este caso la desigualdad (23) implica que: kwk2p ≤ C²,S kwk22 ∀s ∈ [2, p]. Supongamos que 0 ≤ λ(M ) < λ(S n ). Entonces podemos reescribir la desiqualdad ( 23) como: µ ¶ (1 + ²)(1 + 2δ)2 λs kwk2p ≤ C²,S kwk22 . (24) 1− 1+δ λ(S n ) Aplicando el lema 4.3, existe s0 = s0 (λ(M )) ∈ [2, p) tal que: 0 ≤ λ(M ) ≤ λs < λs0 < λ(S n ) siempre que s0 < s < p. Por lo tanto 0≤

λ(M ) λs λs0 ≤ < < 1. n n λ(S ) λ(S ) λ(S n )

Elegiendo ² y δ suficientemente chicos, tales que 1<

(1 + ²)(1 + δ)2 λ(S n ) < 1+δ λs0

Luego, de la desigualdad (24), vale: kwk2p ≤ Ckwk22 ∀s ∈ [s0 , p). Aplicando una vez mas la desigualdad de H¨older, obtenemos que : 1+δ kwk2 = kφs k1+δ = 1, 2(1+δ) ≤ kφs ks

para δ suficientemente chico. Por lo tanto kwkp = kφs k1+δ p(1+δ) esta acotado en Lp(1+δ) para todo s > s0 , como quer´ıamos. 2 El Teorema 2.7 es una consecuencia directa del siguiente teorema: 31

Teorema 4.5. Supongamos que λ(M ) < λ(S n ) y sean {φs }2≤s