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ELECTROSTÁTICA Germán Moncada M 14 de marzo de 2013
Índice general
1. Estrategia solución de problemas 1.0.1.
RECOMENDACIONES
1.0.2.
Carga eléctrica 1.0.2.1.
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Características de la carga eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. LEY DE COULOMB 2.0.2.2.
6
Montaje experimental para veri car la ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Campo eléctrico
3.0.3.
8
10
3.0.2.3.
Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales
3.0.2.4.
Dipolo eléctrico
. . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.0.2.5.
Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4. Ley de gauss para campo eléctrico
27
4.1.
Flujo vectorial
4.2.
Ecuación de Maxwell para campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.1. 4.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5. Trabajo y Energía potencial eléctrica
5.1.
27
32
5.0.1.
Diferencia de potencial y Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.0.2.
DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.0.3.
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Gradiente de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS. 6.0.0.1.
Nota matemática
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
39 41
Capítulo 1 Estrategia solución de problemas
En este aparte se hace la siguiente recomendación general: Decir lo que se hace, hacerlo que se dice, evidenciar el resultado ( producto) y en una etapa posterior mejorar el proceso, para el caso del proceso de aprendizaje de la física en general: Se dibujan las fuerzas que actúan sobre el sistema. Se calcula la resultante por el principio de superposición. Se aplica la segunda ley de Newton (ley Fundamental de la Dinámica), que se describe con la ecuación:
X
F = ma
En los problemas de campo electrostático de cargas puntuales o esféricas. La fuerza electrostática cargas,
Q
y
q,
Fe
carga) separadas una distancia
r
se rige por la ley de Coulomb:
→ − F = La intensidad del campo electrostático igual a la fuerza eléctrica
FE
E
Qq ˆ 2 r 4πε0 rQ,q
(1.0.1)
creado por una carga puntual
que ejercería la carga
Q
Q
en un punto situado a una distancia
q
r
es
sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto.
E = FE /q siendo
entre dos
puntuales o esféricas (conductoras huecas o macizas, o aislantes con una distribución homogénea de
(1.0.2)
la carga de prueba situada en el punto. La expresión queda:
E=k
Q uˆr r2
(1.0.3)
La intensidad de campo electrostático en un punto creado por varias cargas puntuales es la suma vectorial de las intensidades de campo electrostático creadas por cada carga como si las otras no estuviesen (principio de superposición). El potencial electrostático en un punto situado a una distancia
r
de una carga puntual
Q
es el trabajo que hace la
fuerza electrostática cuando la unidad de carga positiva se traslada desde su posición hasta el in nito: 2
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
V
V
ˆ∞ → ˆ∞ − − F • d→ r kQ Wr→∞ − = u ˆ • d→ r = = q q r2 r r Q ∞ Q = −k = k r r r
3
(1.0.4)
(1.0.5)
El potencial electrostático en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales electrostáticos creados por cada carga como si las otras no estuviesen. Para calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q entre dos puntos A y B se calcula primero el trabajo que hacen las fuerzas del campo, que, siendo conservativo, es igual a: trabajo que hacen las fuerzas del campo:
WA→B EP A − EP B
= −(EP B EP A ) ==
(1.0.6)
= q(VA VB )
(1.0.7)
Suponiendo que la carga parte del reposo y que llega a
B
con velocidad nula, el trabajo de la fuerza resultante es
nulo, y el trabajo de la fuerza exterior será:
WF ext = −WA→B En los problemas de movimiento de cargas en un campo magnético constante. Por la ley de Lorentz.
→ − → − − F = q(→ v ÖB )
(1.0.8)
la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que no realiza trabajo. La velocidad tendrá un valor constante, y la aceleración sólo tiene componente normal. Como todas las magnitudes son constantes, también lo será la aceleración normal y el radio de curvatura, por lo que la trayectoria será circular. Las trayectorias de las partículas en el interior de un campo magnético constante son circulares. Entonces, la aceleración sólo tiene componente normal:
aN =
v2 r
(1.0.9)
y, al no tener aceleración tangencial, el módulo de la velocidad es constante.
1.0.1.
RECOMENDACIONES
1. 1Se hará una lista con los datos, pasándolos al Sistema Internacional si no lo estuviesen. 2. Se hará otra lista con las incógnitas. 3. Dibujar un croquis de la situación, por ejemplo (diagrama vectorial) procurando que las distancias del croquis sean coherentes con ella. Se deberá incluir cada una de las fuerzas o de las intensidades de campo, y su resultante. 4. Se hará una lista de las ecuaciones que contengan las incógnitas y alguno de los datos, mencionando a la ley o principio al que se re eren.
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
4
5. 5En caso de tener alguna referencia, al terminar los cálculos se hará un análisis del resultado para ver si es el esperado. En particular, comprobar que los vectores campo electrostático tienen la dirección y el sentido acorde con el croquis. 6. En muchos problemas las cifras signi cativas de los datos son incoherentes. Se resolverá el problema suponiendo que los datos que aparecen con una o dos cifras signi cativas tienen la misma precisión que el resto de los datos (por lo general tres cifras signi cativas), y al nal se hará un comentario sobre el las cifras signi cativas del resultado.
1.0.2.
Carga eléctrica
En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas que se mani esta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargada eléctricamente es in uida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La interacción entre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética. Desde el punto de vista del modelo estándar la carga eléctrica es una medida de la capacidad de la partícula para intercambiar fotones. Una de las principales características de la carga eléctrica es que, en cualquier proceso físico, la carga total de un sistema aislado siempre se conserva. Es decir, la suma algebraica de cargas positivas y negativas presente en cierto instante no varía.Qi
= Qf
La carga eléctrica es de naturaleza discreta, fenómeno demostrado
experimentalmente por Robert Millikan. Por razones históricas, a los electrones se les asignó carga negativa: 1, también expresada e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria: ±1/3 o ±2/3, aunque no se han podido observar libres en la naturaleza. en la gura de abajo se muestra un modelo icónico del comportamiento de las cargas eléctricas.
Figura 1.0.1: cargas eléctricas
1.0.2.1. Características de la carga eléctrica. 7. Modi can las propiedades del espacio creando un campo eléctrico 8. Interaccionan con los campos eléctricos creados por otras partículas cargadas eléctricamente. 9. Partículas cargas de igual signo se repelen 10. Partículas de diferente signo se atraen. 11. La carga eléctrica no se crea ni se destruye sino que uye de un lugar a otro (conservación de la carga) 12. cualquier carga eléctrica experimenta una fuerza que depende de la magnitud y signo de la carga,
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS → − → − F = qE
5
Capítulo 2 LEY DE COULOMB
Ley de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del mismo signo. La ley de Coulomb puede expresarse como:
→ − q1 q2 u ˆ F = 2 r12
(2.0.1)
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario. La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas. Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una bra capaz de torcerse. Si la barra gira, la bra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la bra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas. Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia. En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra. Dichas mediciones permitieron determinar que:
( F F
α q1 α q2
en consecuencia concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas.
F αq1 q2 La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 6
4 = (22 );
al triplicarla, disminuye en un factor
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB de9
= (32 )
7
y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de16
= (42 ).
En consecuencia, la fuerza
de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
Fα
1 r2
Asociando ambas relaciones: Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad. La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática. En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se expresa como: Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por: La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
− − → − q1 q2 (→ r2−→ r 1) F = 3 kr2 − r1 k
(2.0.2)
donde es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta. Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean éstas positivas o negativas. El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces . Representación grá ca de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo. Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas. La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistema MKS o sistema internacional:
1 N m2 4π C 2
La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición de un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la aditividad de las fuerzas sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo de nir un potencial eléctrico. Para ello a una carga puntual se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:Constante de Coulomb La constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es Nm²/C². A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y F/m es la permitividad del medio en el vacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda nalmente expresada de la siguiente manera: La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistema MKS (). En cambio, si la unidad de las cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma y su resultado estará en las unidades CGS ().
→ − F 12 = q2 ∇φ1
De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB
8
φ1 (r) = donde
q 4π0 kr − rq1 k
→ − r es el vector posición genérico de un punto donde se pretende de nir el potencial de Coulomb y , es el vector
de posición de la carga eléctrica cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial. [editar]Limitaciones de la Ley de Coulomb La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casos estáticos más complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial eléctrico. Cuando las cargas eléctricas están en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Liénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partículas son grandes comparadas con la velocidad de la luz.Veri cación experimental de la Ley de Coulomb
2.0.2.2. Montaje experimental para veri car la ley de Coulomb. Es posible veri car la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la gura adjunta. Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso
mg ,
la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión
eléctrica entre las bolitas . En el equilibrio: (1) y también: (2) Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene: Siendo la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: (3) Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será y la fuerza de repulsión entre las mismas estará dada por: Con esta aproximación, la relación se transforma en otra mucho más simple: De esta forma, la veri cación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado. Comparación entre la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresándolo matemáticamente: Siendo: la constante de gravitación universal, las masas de los cuerpos en cuestión y la distancia entre los centros de las masas. A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes. La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es de5, 3 datos:
· 10−11 m.
La carga del electrón y la del protón valen y respectivamente y sus masas son y . Sustituyendo los
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB
Figura 2.0.1: Representación campo eléctrico
9
Capítulo 3 Campo eléctrico
3.0.2.3. Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales Para hallar el campo eléctrico, en un punto P, producido por una distribución de cargas puntuales, se suma vectorialmente el campo producido por cada una de las cargas en dicho punto
P .En
la gura de abajo se representa una
distribución de cargas que producen campos indivifduales pero que afectan modi cando las propiedades de una una región del espacio La superposición de estas deformaciones se describe mediante:
→ −
Figura 3.0.1: Representación vectorial de E producido por cargas puntuales
EP EP
n X qi uˆri = E1 + E2 + E3 + .. = 2 4πε 0 ri i=1 X− → = Ei
Obsérvese que el campo eléctrico es una cantidad vectorial y por consiguiente se deben determinar adecuadamente sus componentes
10
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
11
Figura 3.0.2: Lineas de campo eléctrico para dos cargas puntuales
3.0.2.4. Dipolo eléctrico Consideremos ahora un caso especial de distribución de cargas, llamado dipolo el eléctrico, donde se tienen dos cargas
q
de de igual valor, pero de signo contrario. Para calcular el campo en la perpendicular bisectriz que une las
cargas como se indica en la gura de arriba , se tiene que:
− → − → − → Er = E1 + E2 por la simetría de la gura se observa que la componentes en
− → Ex =
X
del campo se anulan:
2 X −→ −−→ −−→ Exi = Ex1 + Ex2 = 0 i=1
Eyr
=
2 X → − → − → − −→ E yi = E y1 + E y2 = 2Ey i=1
En consecuencia en campo resultante total es, con dirección del eje
Y
y apuntando hacia abajo, su magnitud se
calcula como:
→ − Ey → − Er
→ − E 1 cos θ → − = 2 E 1 cos θ
=
como ya se indico el campo producido pr un a partícula puntual esta dado por:
→ − E1=
q 4πε0 x2
de la geometría de la gura se observan dos relaciones:
x2
=
y cos θ
=
a2 + r2 a √ 2 a + r2
(3.0.1) (3.0.2)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
12
reemplazando en la ecuación(1.2) se obtiene la siguiente ecuación
sí la distancia
r >> a
→ − Er
=
→ − Er
=
1 2qa √ 4πε0 (a2 + r2 ) a2 + r2 1 2 4πε0 (a + r2 )3/2
(3.0.3)
(3.0.4)
se obtiene la siguiente expresión:
→ − E =
2qa 4πε0 r3
(3.0.5)
se de ne el momento dipolar electrice como:
P =2aq de forma que el campo producido por un dipolo electrice queda descrito por
→ − E =
P 4πε0 r3
Figura 3.0.3: Dipolo eléctrico
3.0.2.5. Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz Se puede crear un cuadrupolo eléctrico lineal superponiendo dos dipolos eléctricos de orientación opuesta de modo que se superpongan sus cargas positivas. Este caso se puede tratar analíticamente y proporcionarnos algún conocimiento sobre la naturaleza de los campos cuadrupolares. El campo eléctrico de cualquier conjunto de cargas se puede obtener por la ley de Coulomb mediante la suma vectorial de los campos de los elementos de cargas individuales.
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
13
Figura 3.0.4: Cuadropolo eléctrico
En la gura de arriba se aplica el principio de superposición de los campos eléctricos y se obtiene las siguientes expresiones:
−−→ E2q = −−→ E−q
=
−−→ E−q
=
2q 4πε0 r2 −2q sin θ 4πε0 (r2 + d2 ) −2qr 4πε0 (r2 + d2 )3/2
(3.0.6)
(3.0.7)
(3.0.8)
observe de la gura de arriba que:
sin θ = √ efectuando la suma vectorial en la dirección del eje
Y
r2
r + d2
se obtiene el valor de cada componente colineal con la bisectriz,
la descripción de todas las contribuciones se hace mediante la siguiente ecuación:
Er
=
Er
=
Er
=
Er
=
Er
=
2qr − 4πε0 (r2 + d2 )3/2 r3 1− 2 (r + d2 )3/2 r3 √ 1− (r2 + d2 ) r2 + d2 r 3/r 3 2q √ 1− 1/r 2 (r 2 + d2 )1/r r 2 + d2 4πε0 r2 " # −3/2 2q d2 1− 1+ 2 4πε0 r2 r 2q 4πε0 r2 2q 4πε0 r2 2q 4πε0 r2
dividendo el segundo termino del paréntesis por
r3
y haciendo una expansión binomial se obtiene la ecuación
2q 3d2 1−1− 2 4πε0 r2 2r
(3.0.9)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
14
haciendo una expansión binomial y tomando el hecho de:
d2 5)
de la esfera
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
24
˛ φE =
→ − E •n ˆs =
˛
→ − E scosθ = E
aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se calcula la carga de radio
r
˛ s = E4πr2
q
contenida en una super cie Gaussiana esférica
y aplicando la ley de Gauss
˛ s
=
E4πr2
E4πr2
=
q ε0
E
=
q 4πε0 r2
E
E
=
ρV 4πε0 r2
reemplazando el valor de la carga en la expresión para el campo eléctrico en
r < 0, 05
se obtiene:
1,2·10−5 C 4 3 πr N πm3 3 E= = 144000r 2 4πε0 r C Para
r > 0,05
se tiene
q
= ρV
q
=
E
=
3
Calcular el potencial en el centro
r = 0,
1,2·10−5 C 4π (0,05) 3 πm 3 18 N r2 C
de la esfera.
ˆ ˆ ˆ
V
=
→ − − E • d→ r
=
ˆ
→ − − E • d→ r 0,05
(3.0.16)
→ − − E • d→ r +
ˆ
0
→ − − E • d→ r
ˆ
14000rdr + 0
V
Plano in nitamente cargado
→ − − E • d→ r
0,05 ˆ ∞
0,05
=
∞
=
0,05
(3.0.17)
18 N dr r2 C
540v
(3.0.18) (3.0.19)
La gura de abajo representa un plano de tamaño in nito, observa que las
super cies laterales forman ángulo de
90◦
con las lineas de campo eléctrico por lo tanto el ujo eléctrico es cero.
Las únicas contribuciones no nulas al ujo son las que se producen a través de sus dos bases. El ujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:
˛
φE =
→ − E •n ˆs =
ˆ sp later
→ − E ds +
ˆ Bas 2
→ − E ds +
ˆ Bas1
→ − E ds
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
25
Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su super cie, la integral anterior se simpli ca, quedando:
ˆ φE = 2E
ds = 2ES
aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se tiene
2ES
=
E
=
E
=
q ε0 q 2Sε0 σ 2ε0
Figura 3.0.16: Plano in nitamente cargado
condensador de placas planas y paralelas
Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos
conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo. El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:
→ − σ E = 20 Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa. como se observa en la gura de abajo.
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
26
Figura 3.0.17: Condensador de placa planas y paralelas
Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas.La siguiente ecuación modela el campo eléctrico entre las placas del condensador:
E=
σ ε0
(3.0.20)
los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746.
Actividad en clase
Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente
distribuida por todo su volumen con una densidad de de radio cargada con
−4 · 10
−9
4 10−5 C . π m3
En su centro hay una esfera conductora de
C.
Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones
r > 5.
1cm
Calcular el potencial del centro de la esfera conductora .
r < 1, 1 < r < 3, 3 < r < 5,
Capítulo 4 Ley de gauss para campo eléctrico
4.1.
Flujo vectorial
El ujo denotado comoΦ es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una super cie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el ujo (
ΦE
) se mide por el número de líneas de fuerza que
atraviesan la super cie. Para de nir al ujo eléctrico con precisión considérese la gura de abajo, que muestra una super cie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.
Figura 4.1.1: Flujo a travez de una super cie
La super cie se encuentra dividida en cuadrados elementales∆S , cada uno de los cuales es lo su cientemente pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores
~ ∆S
, cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la super cie y hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico tan pequeños como se quiera,
~ y ∆S ~ caracterizan E
E
~ E
. Ya que los cuadrados son
puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
a cada cuadrado y forman un ánguloθ entre sí y la gura muestra una vista ampli cada de dos
cuadrados. 27
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
28
El ujo, entonces, se de ne como sigue:
φE φE
X→ − → − E • 4S → − = E •n ˆ ds =
El ujo de un campo vectorial se de ne como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la super cie, es una cantidad escalar. Para cuanti carlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la super cie. En la gura de abajo se representa un ujo vectorial.
Figura 4.1.2: Flujo a través de una super cie
4.2.
Ecuación de Maxwell para campo eléctrico
El ujo del campo eléctrico a través de cualquier super cie cerrada es igual a la carga super cie, dividida por la constante
0 .
q
contenida dentro de la
La super cie cerrada empleada para calcular el ujo del campo eléctrico
se denomina super cie gaussiana. Matemáticamente, la ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la super cie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.
4.2.1.
‰
→ − q E •n ˆ ds = ε0
(4.2.1)
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean una alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es su dirección se pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. En estos casos se puede:
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
29
1. seleccionar una super cie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga; 2. determinar el ujo de dicha super cie en función del campo eléctrico ; y. 3. resolver la ecuación 2.2.1 para obtener el campo . El primer paso es el más importante. Debe escogerse una super cie gaussiana para la que se pueda determinar el ujo eléctrico de forma inmediata. Estos pasos se ilustran con los ejemplo siguientes:
4.3.
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.
Como se vio en el capitulo anterior los conductores son materiales en los que los portadores de carga se mueven libremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interior del conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son: 4. En el interior del conductor
E=0 5. Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico es normal a su super cie: esto signi ca que es paralelo al vector de super cie. Además, esto permite enunciar un teorema que se puede probar mediante la ley de Gauss para los conductores aislados:
La carga en exceso en un conductor aislado debe residir completamente en su super cie externa. La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductora situada en un campo externo constante producido por un plano in nito como se muestra en la siguiente gura:
Figura 4.3.1: Conductor en equilibrio
En equilibrio electrostático, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero. Si éste no fuera el caso, las cargas libres se acelerarían bajo el campo. Antes de que se aplique el campo externo, los electrones se distribuyen uniformemente por todo el conductor. Cuando se aplica el campo externo, los electrones aceleran hacia la izquierda y producen una acumulación de carga negativa en la super cie izquierda y una carga positiva a la derecha. Esta distribución de cargas crean su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico externo. El sistema logra el equilibrio electrostático cuando:
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
30
Ei = Eex lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero. Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor es cero entonces la carga neta dentro del conductor debe ser cero. Como , el ujo a través de cualquier super cie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa super cie no encierra carga eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la super cie exterior. Puede también utilizarse la ley de Gauss para determinar el campo justamente sobre la super cie de un conductor. Este campo debe ser perpendicular a la super cie del conductor. Si el campo tuviera en la super cie del conductor una componente tangencial, los portadores de carga se moverían a lo largo de la super cie, en respuesta a la fuerza tangencial correspondiente y, por lo tanto, no se estaría en la condición electrostática. Por lo tanto, en la super cie de un conductor en equilibrio el campo eléctrico solo tiene la componente normal.
Actividad en clase
Un conductor posee una carga neta de
dentro de ella se encuentra una carga punto
Q = 3µC
10µC
. Dentro del conductor hay una cavidad y
como en la gura de abajo. Hállese la carga
interior del conductor (es decir en la pared de la cavidad), y la carga
q2 en
q1
en la super cie
la super cie exterior del mismo.
Figura 4.3.2: ejemplo conductor con cavidad interna
Para resolver este problema se escoge una super cie gaussiana en el interior del conductor que rodee la cavidad como se muestra en la gura. Como la gaussiana queda comprendida completamente dentro del conductor,E en todos sus puntos. por lo tanto, el ujo eléctrico de entonces
E
=0
través de la super cie gaussiana es
˛
φE q1
→ − QN q1 + Q E •n ˆs = = =0 ε0 εo = −Q = −3µC =
. Como ,
q1 + q2 = 10µC
entonces
q2 = 10µC − (−3µC) = 13µC
. Así, la carga del conductor se distribuye a sí misma
como sigue:
q1
= −3µC (enlasuperf icieinterior)
q2
=
13µC (enlasuperf icieexterior)
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
Ejercicio de
Una placa plana, inde nida de espesor
ρ = 2 10
−8
C m3
2d = 2cm,
31
está uniformemente cargada, con densidad de carga
Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha
placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punteo situado a
5cm
de dicho plano.
Figura 4.3.3: Placa in nita
Ejercicio 6. Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positivas de igual valor. Cuando están separadas 30 cm la fuerza de repulsión es de
F = 0,15N .
diga:
a)
¾Cuál es la carga de cada esfera? y
b)
) ¾cuál sería la carga de cada una de si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?
Capítulo 5 Trabajo y Energía potencial eléctrica
En esta sección se conceptualizará y se operará lo relacionado con los cambios de energía de partículas cargadas en dentro de un campo eléctrico , estos cambios son conocidos como la Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos.Es a±i como: 1. Los estudiantes comprenderán que es potencial eléctrico, y que es diferencia de potencial. como se descríbela diferencial entre potencial en un campo eléctrico uniforme y un campo eléctrico no uniforme. 2. Los estudiantes comprenderán la naturaleza escalar del potencial eléctrico.
5.0.1.
Diferencia de potencial y Potencial eléctrico
La diferencia de potencial, también denominada voltaje (V ), entre dos puntos de un campo eléctrico o un circuito eléctrico es la energía que gana o pierde la carga unidad al desplazarse entre ellos. Esta diferencia de potencial provoca el movimiento de las cargas eléctricas y por ello a veces se le da el nombre de fuerza electromotriz
(f.e.m.).
La unidad de la diferencia de potencial en el Sistema Internacional de Unidades es el voltio (V). Potencial eléctrico A manera de analogía se recordaran los conceptos sobre energía potencial gravitacional y extender estos conocimientos al caso de la energía potencial eléctrica. Vamos a considerar un campo eléctrico como se muestra en la gura 01.
Figura 5.0.1: Trabajo hecho por una fuerza externa o por el campo
32
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
33
Considérese el caso de transportar una carga de un punto muy lejano a otro dentro de ese campo en la dirección radial de la gura . Pueden ocurrir dos cosas: 1. Si la carga es Carga positiva: se produce una fuerza de repulsión sobre ella, que es necesario compensar para situarla por ejemplo en hasta
A.En
este caso la fuerza externa tiene que realizar un trabajo para llevar la carga
A.
2. Si la Carga negativa: el campo produce un movimiento que acerca la carga al cuerpo, en estas condiciones, es el campo el que hace trabajo. Se puede concluir entonces que se produce un cambio de energía al transportar la carga desde el in nito hasta el punto A.
5.0.2.
DEFINICIÓN
El potencial en un punto dentro de un campo eléctrico, es el trabajo cuando se lleva una carga de prueba positiva desde el in nito hasta otro punto dentro del campo. El potencial será positivo si es necesario realizar un trabajo (agente externo) para trasladar la carga y será negativo si es el campo que realiza el trabajo. Por ejemplo, consideremos una carga positiva próxima a una gran carga negativa, como en la gura de abajo, obsérvese que el la fuerza del campo es de sentido contrario a ala fuerza externa . La situación es idéntica a la de una masa m en el campo gravitacional de la tierra. El trabajo de un agente externo para llevar la partícula
B
q desde un punto A hasta un punto
más alejado , es igual al incremento de la energía potencial del sistema. Es signi ca: que si el ángulo que forman
la fuerza externa y el vector de desplazamiento dentro del campo es de
0°se
a rma que la fuerza eléctrica realiza
un trabajo negativo ya que el vector de desplazamiento va en sentido contrario a la fuerza eléctrica y se modela mediante la siguiente ecuación:
W = F • r = F r cos θ
(5.0.1)
Figura 5.0.2: Trabajo hecho por una fuerza externa y por el campo eléctrico
Debe notarse que la cargaq hay que transportarla desde
A hasta B
con velocidad constante, las fuerzas se equilibran,
esto signi ca
F externa = F campo
(5.0.2)
Entonces nos queda que:
W = 4U = UB − UA Lo que signi ca que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es igual al decremento de la energía entre los puntos
A
y
B.
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
CONCLUSIÓN
Si una partícula
q
se suelta en el interior de un campo eléctrico
34
E,
esta se moverá de la región
de menor potencial hacia la región de menor potencial. POTENCIAL EN UN PUNTO 1. Hacer una síntesis escrita, previa lectura sobre potencial eléctrico 2. Deducir, experimentalmente la diferencia de potencial dentro de un campo eléctrico uniforme. potencial de interacción entre una distribución de cargas. 3. Resolver, en equipo, los problemas del texto guía. 4. Analizar algunas de las aplicaciones, tecnológicas, Solucionar problemas del texto guía 1. Diseño, aplicación, y corrección pública, de una prueba escrita. 2. Solución de los problemas dados en la parcelación. 3. Informe escrito de laboratorio. 4. Trabajo en equipo. 6. Síntesis escrita sobre las consultas y actividades interactivas. La descripción de la energía necesaria invertida para hacer trabajo dentro de un campo eléctrico, o el trabajo que hace el campo eléctrico sobre una partículas cargadas, para trasladarlas de un punto dado a otro con coordenadas
(x, y, z)
y su articulación con con el concepto de potencial eléctrico y potencial eléctrico por unidad de carga o
diferencia de potencial. Hace referencia a la simbolización de los conceptos que explican el origen y el modelamiento del potencial eléctrico. y su utilización en la construcción de explicaciones y modelos en diferentes contextos, a su modelización por medio del lenguaje formal , establece relaciones de relaciones entre el campo eléctrico y el trabajo necesario para mover partículas cargadas dentro de un campo eléctrico en forma de principios y leyes, que constituyen la estructura del potencial eléctrico. Conceptos (Tópicos generativos) Energía potencial eléctrica (Hilo conductor) Trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una partícula cargada. Trabajo hecho en contra del campo eléctrico para mover una partícula de un punto a otro Diferencia de potencial entre dos puntos Potencial eléctrico de cargas puntuales. Potencial eléctrico de una distribución continua de carga Niveles de desempeño NIVEL 1 Reconocimiento y distinción del sistema de signi cación básico se evidencia con 1. Diferenciar los distintos tópicos del campo magnético listando sus atributos. Se de ne el potencialV como la energía potencial por unidad de carga
V = Como la energía potencial es un escalar,
V
es un campo escalar. Debido a que V es un escalar, en ocasiones es más
aconsejable su uso que el de campo eléctrico la relación entre campo eléctrico
E
y
V
U q
E
, y como se verá, uno de ellos se puede obtener del otro. De hecho
es análoga a la que existe entre una fuerza conservativa y la energía
potencial que lleva asociada.De la de nición de potencial
ˆ V
Si
cos θ = 1se
=
=
→ − E • dl
dV
= −E • dl
dV
= −Edl cos θ
obtiene una expresión conocida como el gradiente de potencial.
→ − dV E =− dl
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA x, y y z
Si el campo se describe en función de
35
y se deja quel se re era a los mismos ejes
X, Y y Z , la ecuación anterior
se convierte en:
∇V = (− En un campo eléctrico externo
E se
∂V ∂V ∂V ,− ,− ) ∂x ∂y ∂z
coloca una carga de prueba
(5.0.3)
q0 sobre
la cual se ejerce una fuerza eléctrica. Si
se aplica una fuerza externa que hace que esa carga este en equilibrio, dicha fuerza debe ser tal que.
F qEext = 0
El campo eléctrico también tiene otros atributos relacionados con la magnitud y la dirección Las líneas de campo eléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcular el campo eléctrico.
Figura 5.0.3: Super cies equipotenciales de una carga puntual
Es así como se puede clasi car en Campo eléctrico uniforme y campo eléctrico donde puede estar variando la dirección y la intensidad. Para el primer caso se utiliza el siguiente modelo; Sean campo eléctrico uniforme, estando Una carga de prueba
→ − F,
q0
Po
se mueve de
a una distancia
Po
a
Pf
x de Pf
P0 yPf dos
puntos situados en un
en la dirección del campo, tal como muestra la gura.
en un campo eléctrico
→ − E
uniforme por causa de una fuerza externa
se tiene que el trabajo hecho por la fuerza se describe mediante la siguiente expresión:
ˆ W
= ˆ
W
=
→ − − F • d→ r
(5.0.4)
→ − − q E • d→ r
(5.0.5)
Para el segundo caso se tiene un campo eléctrico donde puede estar variando la intensidad y la dirección del campo, en este caso se tiene que el trabajo hecho por una fuerza externa para mover la carga de prueba en equilibrio desdeP0 hasta
Pf
a lo largo de una trayectoria. Obsérvese en la gura de abajo que si una partícula con carga q se
mueve entre dos puntos identi cados por A y B siguiendo una trayectoria que en cada punto forma un ángulo con respecto al campo eléctrico, por lo que se hace trabajo y esta expresado por la ecuación 5.3.3
5.0.3.
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme
Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga de prueba entre dos puntos
A
y
B
es el mismo por cualquier trayectoria. Este hecho es debido a que el campo
electrostático es conservativo. En la gura de abajo se consideran dos situaciones en la cual se mueve una carga de prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme.
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
36
Figura 5.0.4: Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme
En un caso la partícula cargada se mueve en forma antiparalela Quedando nalmente:as líneas de campo eléctrico y en el otro el desplazamiento forma un ángulo
270◦
con el campo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico siempre
apuntan en la dirección decreciente del potencial eléctrico; esto signi ca que el potencial mayor tiene signo positivo, o un punto tiene mayor potencial que otro si su valor es mayor. Super cies equipotenciales: en la gura de abajo se muestran una serie de super cies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio; surge la pregunta que sucede si se lleva una partícula cargada de de la super cie
C
a la super cie
A,
o de_ la super cie
C a un punto cualquiera sobre la misma super cie A. Podría contestarse con una analogía de la energía potencial mecánica. Para el caso de super cies equipotenciales De la gura se puede ver que
V b = V a.
Esto signi ca que, los puntosa y
b
V b − V c = V a − V c. Por lo tanto,
están al mismo potencial, o sea, pertenecen a una misma super cie
compuesta de una distribución continua de puntos que están al mismo potencial eléctrico. Esta super cie recibe el nombre de super cie equipotencial.
Figura 5.0.5: Super cies equipotenciales
El trabajo
Wa→b
es proporcional a la carga
q0 . Si se divide este trabajo por la carga de prueba se obtiene el trabajo V b − V a entre los puntos by a. La expresión
por unidad de carga. A esta cantidad se le llama diferencia de potencial,
anterior también se puede escribir como el cambio de energía potencial por unidad de carga y se describe mediante V. El potencial electrostático escalar es el trabajo por unidad de carga para mover una cargaq desde un punto inicial a un punto nal.
ˆ Vb − Va =
b
→ − → − E •d l
(5.0.6)
a La ecuación 3.0.6 sólo de ne una diferencia de potencial. Es decir, únicamente tienen importancia las diferencias en V, por lo tanto se puede de nir al potencial en un punto determinado de tal manera que tenga cualquier valor
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
37
conveniente. Usualmente, se toma el potencial en el in nito como cero. Entonces, el potencial en un punto simplemente se expresa mediante la ecuación 2.6 Por otra parte la consideración de que.para cada punto valor del potencial potencial
VP
VP ;
P
P
es
hay un
esto es, el potencial es un campo escalar. Dependiendo de la distribución de las cargas, el
puede ser positivo, negativo, o cero.
ˆ V =
→ − E • dl
(5.0.7)
Si el potencial es positivo en un cierto punto; de acuerdo con la ecuación 3.3 el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga, lo cual indica que la carga de prueba ha experimentado una fuerza de repulsión. Por lo tanto, el potencial cerca de una carga positiva es positivo. si el potencial es negativo ocurre entonces lo contrario. Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo al mover la carga de prueba desde el in nito, aunque la carga de prueba haya pasado por una región donde experimentó fuerzas eléctricas de atracción o de repulsión. Esto signi ca que en un punto de potencial cero, no necesariamente el campo eléctrico en dicho punto es cero. Para el caso anterior el mejor ejemplo, es el de dos cargas iguales y de signo contrario. El potencial en el punto intermedio entre ellas es cero. Pero el campo en ese punto es diferente de cero. Si se conoce el potencial Va del punto a respecto del in nito y Vb del punto b respecto del in nito, la diferencia de potencial es la dada por la ecuación 3.2. El potencial en b puede ser mayor que, menor que, o igual que el potencial en a. Por ejemplo, si Vb-Va >0, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga de prueba conforme la carga de prueba se mueve en equilibrio de a hasta b. Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía, la unidad del SI del potencial es joule sobre coulomb, de nido por una unidad especial, la unidad de medida conocida como voltio debe su nombre al conde Alessandro Volta (1745-1827), que fue profesor de física en la Universidad de Pavía, Italia. Volta inventó el primer dispositivo capaz de proporcionar una corriente eléctrica continua, la pila eléctrica o batería. 6.1 Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga de prueba entre dos puntos A y B es el mismo por cualquier trayectoria. Este hecho es debido a que el campo electrostático es conservativo. En la gura de abajo se consideran dos situaciones en la cual se mueve una carga de prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme. En un caso la partícula cargada se mueve en forma antiparalela a las líneas de campo eléctrico y en el otro el desplazamiento forma un ángulo 270° con el campo eléctrico. 42 Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección decreciente del potencial eléctrico; esto signi ca que el potencial mayor tiene signo positivo, o un punto tiene mayor potencial que otro si su valor es mayor. Super cies equipotenciales: en la gura de abajo se muestran una serie de super cies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio.
Figura 5.0.6: Líneas equipotenciales
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
38
Figura 5.0.7: Lineas de campo y super cies equipotenciales
5.1.
Gradiente de potencial
La gura siguiente muestra las líneas de campo y super cies equipotenciales para dos carga puntuales de diferente signo, observes que la super cies equipotenciales son perpendiculares a las lineas de campo. Las líneas de campo eléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcular el campo eléctrico.
Figura 5.1.1: lineas equipotenciales
Capítulo 6 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
La ecuación 4.8 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribución continua de carga. Para ello se divide la distribución continua en un número in nito de cargas pequeñas, tratando este elemento como una carga puntual ( gura 4.6), el potencial V es:
1 V = 4πε0
ˆ
dq r
(6.0.1)
Figura 6.0.1: Potencial debido a na distribución continua de carga
donde la integración se extiende a toda la distribución de carga y
r
es la distancia que hay desde
dq
al puntoP
donde se evalúa el potencial. Esta expresión paraV emplea como nivel de referencia cero en el in nito. Ejemplo 2. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad super cial de carga , en los puntos de su eje como en la siguiente gura:
39
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
40
Figura 6.0.2: Potencial creado por un disco uniformemente cargado
Se divide el disco en anillos de ancho
dy ,
de forma que el área de cada uno de ellos es
2πydy
, y su carga
Q = σA
.
Por lo tanto el potencial producido por el anillo es:
σ V = 4πε0 haciendo
u = x2 + y 2
se tiene que
du = 2ydy
ˆ
2πydy p x2 + y 2
(6.0.2)
y la integral queda:
V
ˆ σπ du √ 4πε0 u p 2 2 x +a −x
=
V
σ 2
=
(6.0.3) (6.0.4)
. Ejemplo 3. Un trozo de alambre no conductor de longitud nitaL tiene una carga total a lo largo de ella. Hallar el potencial
V
en el punto
P
q , distribuida uniformemente L→∞ .Ver
en la perpendicular bisectriz ¾ Que sucede cuando
la gura de abajo:
Figura 6.0.3: Alambre no conductor
El elemento de longitud tiene carga
dq = λdl
. Puesto que el elemento está a una distancia de
debido a este elemento es
V
=
1 4πε0
V
=
λ 4πε0
ˆ ˆ
dq r L/2
−L/2
dx p x2 + y 2
P,
el potencial en
P
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
41
integrando esta expresión ( ver tabla) se tiene :
V =
p λ ln x + x2 + y 2 4πε0
Evaluando se encuentra
L 2 + 2 V = ln 4πε0
(6.0.5)
r
L2 + y2 4 y
6.0.0.1. Nota matemática La integral se realiza mediante la transformación trigonométrica:
x =
V V V V V V
y tan θ
dx
=
p
x2 + y 2
=
p
x2 + y 2
=
y sec2 θdθ q y 2 tan2 θ + y 2 p y 1 + tan2 θ
p
x2
=
y sec θ
=
+
y2
λ 4πε0
ˆ
L/2
x2 + y 2 y sec2 θdθ y sec θ ˆ sec θdθ
−L/2
ˆ
dx p
λ 4πε0 λ = = 4πε0 λ = ln (sec θ + tan θ) 4πε0 ! p x λ x2 + y 2 + = ln 4πε0 y y h i p λ x2 + y 2 + x − ln (y) = 4πε0 =
Ejemplo 4. Para el alambre de carga q uniformemente distribuida con forma de arco de circunferencia de radio R y que subtiende un ángulo
2θ
como en la gura de abajo. Calcular el potencial eléctrico en el punto
P.
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
42
Figura 6.0.4: Alambre doblado con carga distribuida uniformemente
El potencial medido respecto al in nito para esta distribución es
V
=
V
=
ˆ 1 λdl 4π0 R 2λRθ q = 4π0 R 4π0 R
donde se ha tenido encuentra para la integración la simetría del alambre. Ejemplo 5. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumétrica de carga , en los puntos
r > a, r = a y r < a.
ver gura Figura 2.06
Figura 6.0.5: Esfera uniformemente cargada
Lo que se sabe
Para
r>a
simetría
Para
ra r=a r a la distribución
de carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribución. Puesto que el potencial debe ser continuo en
r = a,
se puede obtener el potencial en la super cie de la esfera a partir de la expresión
obtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto
B
de la gura es Parar
> a
el campo eléctrico tiene
simetría esférica y se describe mediante la ecuación.
Q 4πε0 r2
E= Para obtener el potencial en un punto exterior, como en
C e,
e sustituye en la ecuación:
ˆ VC
=
−
E • dr ˆ
VC
=
VC
=
VC
=
Q • dr 4πε0 r2 ˆ −Q dr 4πε0 r2 Q 4πε0 r
−
Las anteriores ecuaciones sugieren la de nición de una nueva unidad de energía, conocida como el electronvolt. Un electronvolt, eV es igual al trabajo realizado sobre una partícula de carga e cuando se la mueve a través de una diferencia de potencial de un voltio. Entonces se tiene que un electronvoltio es
1eV = (1,6022x10−19 C)(1V ) = 1,6022x10−19 J.
Ejemplo
En los famosos experimentos de dispersión de Rutherford que llevaron al modelo planetario del átomo,
las partículas
+79e).
α
cuya carga esta dada por:+2e,
masa = 6,6x10 − 27kg )
se dispararon contra núcleos de oro (cargas
Una partícula alfa inicialmente muy alejada del núcleo de oro se dispara a
α
el centro del núcleo. ¾Qué tanto se acerca la partícula
2,0x107 ms − 1directamente
hacia
a este centro antes de regresarse ?.
Si la partícula alfa esta muy alejada y el blanco está en reposo la energía inicial del sistema es toda cinética y está dada por
K0 =
1 mα v02 2
Cuando la partícula alfa alcanza el máximo acercamiento al blanco toda la energía del sistema es potencial eléctrica y está dada por:
Uf =
qα qbanco 4πε0 rα blanco
Aplicando el principio de conservación de energía del sistema radio atómico del modelo de Rutherford:
ra =
E0 = Ef
2qα qbanco 4πε0 mv02
, entonces se obtiene una expresión para el
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
ejercicio
Hallar el potencial eléctrico en el punto
P,
44
el cual se halla ubicado en el punto medio de uno de los
lados del cuadrado de la gura 5.0.7 El cuadrado es de lado
a
y en cada vértice tiene sus respectivas cargas con sus
signos.
Figura 6.0.6: distribución discreta de cargas eléctricas
ejercicio
Calcular el vector de campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la gura en el centro del
hexágono regular. Datos:
q = 10mC , lado = 10cm
Figura 6.0.7: Hexágono regular (todos los lados son iguales
Evaluación
En su estrategia de solución debe hacer: un diagrama de ujo de procesos para el punto1. En los
puntos de selección marque con una X la respuesta correcta. 1. Elija la respuesta correcta. Una de las siguientes propiedades no es la de un campo vectorial:
a)
Tienen magnitud.
b)
Tienen dirección
c)
Es un escalar
d)
Se representa por medio de vectores
e)
Se representan por medio de componentes
2. Una de las siguientes propiedades no es la de la carga eléctrica:
a)
Cuntizacion
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS. b)
Conservación.
c)
Desintegración.
d)
Polarización
45
3. Cuando los electrones se transportan en presencia de un campo eléctrico ellos se mueven
e)
De mayor a menor potencial.
f)
De menor a mayor potencial.
g)
Perpendicularmente al campo.
h)
Con velocidad constante
4. Una bolita cargada pende de un hilo ligero en la forma indicada en la gura. La bolita tiene una carga
q2 de 0,060µC .
se mantiene ja una carga de
q1 de o,125µC .
A partir de estos datos y de las dimensiones
señaladas en la gura calcule el peso de la bola.
Figura 6.0.8: Aplicar condiciones de equilibrio
5. Tres cargas puntuales de
+4,0x10−6 C
están colocadas en los vértices de un triangulo equilátero cuyos lados
miden 10 cm ¾qué fuerza en magnitud actúa sobre cualquiera de las cargas? 6. Cuatro cargas puntuales iguales están localizadas en los vértices de un cuadrado. entonces se puede a rmar que en el centro de un lado :
a)
El campo
→ − E
b)
El campo
E
c)
El potencial es cero.
d)
El potencial es perpendicular al lado.
es nulo. es perpendicular al lado.
7. Seleccione y justi que la respuesta correcta. ¾cuánto campo eléctrico vertical se necesita para hacer levitar una esfera de 1g que tiene una carga eléctrica de 5000C o que caiga con velocidad constante?
e)
196N/C.
f ) 1,96x10−2 N/C. g ) 1,96x10−4 N/C.
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
46
h ) 1,96x10−6 N/C 8. Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la gura en el centro del hexágono regular. Datos:
q = 10mC , lado = 10cm
Figura 6.0.9: Hexágono regular (todos los lados son iguales
9. En un tubo de rayos catódicos el haz de electrones se desvía en una región de campo eléctrico hacia una pantalla uorescente. El campo entre las placa paralelas es de 400 N/C, el haz de electrones entra horizontalmente como se observa en la gura a una velocidad de 5x106 m/s si el ancho de las placas es L= 4,0 cm ¾Qué distancia vertical se desvía el haz al momento de salir si justamente alcanza a pasar entre estas.
Figura 6.0.10: Electrocinética
10. Elija la respuesta correcta: Una carga eléctrica q que se mueve con velocidad uniforme
E,
v
paralela a un campo eléctrico
está sometida a una fuerza F:
a)
De módulo
qE
y paralela a
b)
De módulo
qE
y perpendicular a
c)
Nula.
v v.
11. Describa el campo eléctrico. Tomando como referente las propiedades física y su modelo matemático Intensidad de campo.