Elementos Uniaxiales Sometidos a Carga Axial Pura Definición: La Tensión representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área en diferentes puntos de una sección del sólido aislada (Fig. 1a). •

El vector tensión S, se define como ∆F dF = ∆A→ 0 ∆A dA

S = lim

(1)

•

La tensión tiene unidades de fuerza por unidad de área.

•

Un vector de esfuerzo, S, puede ser representado por los componentes normal y tangencial a la superficie analizada (Fig. 1b). Utilizando los vectores unitarios i, j, k, el vector de esfuerzo puede expresarse como S = σ xi + τ xy j + τ xz k

(2)

Tanto los esfuerzos internos (N, Vi, Mi) como los componentes del vector tensión sobre sección determinada, están relacionados con las fuerzas internas que actúan sobre dicha sección. Por consiguiente, los componentes de la tensión y los esfuerzos internos deben estar relacionados entre sí.

(b)

(a)

z

Fig.1. (a) Fuerza ∆F que actúa sobre un área ∆A en un punto de una sección del sólido; (b) componentes del vector tensión en un punto de una sección del sólido.

1

Teniendo en cuenta que las componentes de un estado de esfuerzos (fuerzas y momentos internos) en un punto de la sección transversal son las resultantes de las

tensiones normales y tangenciales que actúan en los puntos de la sección transversal (Fig. 2), los componentes del estado de esfuerzos pueden ser expresados mediante las siguientes ecuaciones (Ecuaciones Estáticas)

N = ∫ σ x dA A

V y = ∫ τ xy dA

Vz = ∫ τ xz dA

A

A

M x = ∫ (τ xz y − τ xy z )dA

M y = ∫ σ x zdA M z = − ∫ σ x ydA

A

A

(3)

A

z

Fig. 2. Fuerzas que actúan sobre un área infinitesimal dA expresadas en función de los componentes de la tensión.

Distribución de Tensiones Normales en la Sección Transversal de un Elemento Sometido a Carga Axial Pura 1. Introducción

Existen muchos problemas prácticos en los cuales los esfuerzos internos sobre un plano definido por un corte imaginario a través de la sección transversal del sólido, constan 2

solamente de la fuerza axial N. Como ejemplo, se pueden mencionar a elementos que forman un enrejado, un tirante o puntal y cables. La fuerza axial N, que es normal a la superficie cortada y actúa sobre el eje longitudinal del sólido que se define como el lugar geométrico de los centros de gravedad de diferentes secciones obtenidas al realizar cortes imaginarios a lo largo de un eje, es la resultante de las tensiones normales σx sobre la sección transversal. Basándose en las Ecs. (3), se tiene que

N = ∫ σ x dA

(4)

A

La condición que Vy, Vz y Mx se satisface con el hecho que τxy = τxz = 0. Además, la condición Vy, Vz en las Ecs. (3) sólo exige que σx esté distribuida simétricamente con respecto a los ejes y y z. Considerar una barra prismática de sección circular que está sometida a una carga axial P en sus dos extremos (Fig. 3a). La distribución de tensiones normales σx sobre la sección transversal es uniforme en secciones suficientemente alejadas de los extremos de la barra, tal como lo muestra la Fig. 3b. La tensión en todos los puntos de estas secciones es igual al valor promedio. Se define como tensión promedio σ

σ =σx =

Ν =F

N A

(5)

σx

Fig. 3. (a) Acción fuerza interna N y (b) distribución normal uniforme σx.

3

donde N es la fuerza axial interna y A es el área de la sección transversal analizada.

2. Elementos Cargados Axialmente. Principio de Saint-Venant

Un elemento cargado axialmente se encuentra en estado de tensión uniaxial, lo cual implica que la línea de acción de la carga axial P coincide con el eje centroidal longitudinal del elemento. Si éste no es el caso, el elemento está sometido a una carga combinada axial y flexión. Si σx es constante en la Ecs. (4), será igual a la tensión promedio en la Ec. (5) y la distribución de tensiones es uniforme. En general, la distribución de tensiones depende de la distribución de la deformación longitudinal y de la relación tensión-deformación unitaria del material (leyes constitutivas). Para los elementos cargados axialmente, la distribución de la deformación se toma usualmente como uniforme, con base en la hipótesis de que las secciones transversales planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación (Hipótesis de Bernoulli). Por lo tanto, si la tensión es proporcional a la deformación (Ley de Hooke), la distribución de tensiones también es uniforme. Esto es cierto para elementos cargados axialmente, excepto en las cercanías de los puntos de la aplicación de las cargas concentradas. Por ejemplo, considérese la barra de la Fig. 4a cuya mayor dimensión es lateral es w y cuya longitud es mucho mayor que esta dimensión (i.e., L >> w). En esta figura, se representan las distribuciones de tensiones a la mitad de la altura y a las distancias w, w/2 y w/4 del punto de aplicación de la carga. Se observa que a una distancia igual a la dimensión

lateral w, la distribución de tensiones es prácticamente uniforme. Sin embargo, si la barra es cargada uniformemente en su extremo libre (Fig. 4b), la distribución de las tensiones internas es uniforme a lo largo la barra. Por lo tanto, las únicas diferencias significativas en el comportamiento de la barra sujeta a estos dos tipos de carga, son los efectos localizados cerca del extremo libre en el cual se aplican las cargas. Si bien la distribución de tensiones y la deformación cerca del punto de aplicación de la carga son muy diferentes, prácticamente no presentan ninguna diferencia hacia la mitad de la altura.

4

Fig. 4. (a) Distribución de tensiones en la cercanía de una carga concentrada; (i) a la mitad de la altura, (ii) a distancia w de la carga, (iii) a w/2 de la carga, (iv) a w/4 de la carga; (b) distribución de tensiones debido a una carga uniforme en una sección cualquiera.

La idea demostrada con este ejemplo fue enunciada por Saint-Venant en 1855. En términos simples, el principio de Saint-Venant establece que es importante para las tensiones la manera de aplicar las fuerzas sólo en la vecindad de la región en que se aplican. Este principio también es válido para cambios bruscos de la sección transversal como lo muestra la Fig. 5. Nuevamente se observa que la distribución

de tensiones se hace

uniforme en las secciones que están suficientemente alejadas de los cambios bruscos en la sección transversal.

5

P

P

P

P σpro

Fig. 5. Tensiones altamente localizadas debido a cambios bruscos en la geometría

En la Fig. 5 se presentan dos casos de concentración de tensiones: barra plana con un agujero de radio r y dos barras planas de diferente ancho conectadas entre si por filetes. Las distribuciones de las tensiones mostradas en la Fig. 5 para ambos casos fueron obtenidas experimentalmente usando el método de la fotoelasticidad. En ambos ejemplos se observa que en torno a la singularidad de la sección transversal se generan tensiones normales mayores que la tensión normal promedio definida por la Ec. (5). Estas tensiones máximas pueden contribuir a la ocurrencia de fallas estructurales prematuras en forma de fractura frágiles o fatiga. Para el caso de los materiales con comportamiento elástico-lineal, la razón entre la tensión normal máxima y la tensión normal promedio sólo depende de las características geométricas del elemento. La tensión normal máxima puede definiese como

σ max= Kσ = K

N A

(6)

donde la constante K representa la razón entre la tensión normal máxima y la tensión normal promedio y se denomina factor de concentración de tensiones. En la Fig. 6 se

6

muestra la variación de la constante K con respecto a la geometría de los elementos mostrados en la Fig. 5.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Fig. 6. Factores de concentración de tensiones para barras planas.

3. Deformación de Elementos Cargados Axialmente

Considerar un segmento de longitud diferencial dx de un elemento sometido a una carga axial P, tal como se muestra en la Fig. 7. L +∆ uB

uD

P

P x

dx

N

N +dN dx + εxdx

Fig. 7. Barra cargada axialmente

De las relaciones deformación-desplazamiento se tiene que la deformación normal εx está determinada por la siguiente relación

7

ε x=

du dx

(7a)

donde u es el desplazamiento longitudinal del elemento. Integrando todas las variaciones de desplazamientos longitudinales a lo largo del elemento, se tiene que la variación total ∆ de longitud del elemento está dado por ∆ = u ( L) − u (0) = ∫ ε xdx L

(7b)

0

donde L es el largo total del elemento. Para materiales lineales y elásticos, de acuerdo con la ley de Hooke, εx = σx /E, donde σx = N(x)/A(x) (Ec. 5). Sustituyendo estas relaciones en la Ec. 7b, se tiene ∆=∫

L

0

N ( x) dx A( x) E ( x)

(7c)

donde la fuerza axial interna N(x), el área de la sección transversal A(x) y el módulo de Young E(x) pueden variar a lo largo de la longitud del elemento.

Ejemplo: El pilote de fundación se carga con una fuerza vertical P que es soportada por una fuerza de roce cuya intensidad varía cuadráticamente en la forma px = bx2, donde es una constante (Fig. 8). Determinar el acortamiento total del pilote.

L px

P

Fig. 8. Pilote cargado axialmente

8

4. Elementos y Sistemas Cargados Axialmente Estáticamente Indeterminados

Se considera que un sistema estructural es estáticamente indeterminado, si bajo la aplicación de una carga, el número de ecuaciones de equilibrio estático disponibles es insuficiente para determinar todas las reacciones y fuerzas internas. En el caso de sólo un elemento cargado axialmente, la indeterminación estática generalmente es producida por el hecho de que hay más de una reacción de apoyo, una en la misma dirección y otra opuesta a la carga total aplicada (Fig. 9a ) Un sistema de dos o más barras cargadas axialmente es estáticamente indeterminado si tiene más reacciones o fuerzas internas en las barras que las que se pueden determinar a partir de las ecuaciones de equilibrio estático. Por ejemplo el sistema de tres barras representado en la Fig. 9b es estáticamente indeterminado en primer grado debido a que hay tres reacciones y sólo dos ecuaciones de equilibrio disponibles (∑Fy = 0 y ∑Mz = 0). Para armaduras y marcos se puede distinguir entre la indeterminación interna y externa. La indeterminación interna indica la presencia de más elementos internos o uniones de los necesarios para que exista el equilibrio estático. La indeterminación externa se refiere a la existencia de más componentes de reacción externa que las necesario para que se satisfaga el equilibrio estático externo. Por ejemplo la armadura que se muestra en la Fig. 9c es estáticamente indeterminada en forma externa en primer grado, mientras que la armadura de la Fig. 9d es indeterminada externamente en primer grado e indeterminada internamente en segundo grado. Por lo tanto su grado de indeterminación total es tres. Además de los sistemas mostrados en la Fig. 9, con frecuencia se presenta indeterminación estática en barras cargadas axialmente que son formadas por dos o más materiales diferentes. Este tipo de barras se estudian en detalle en la próxima sección. Para determinar las reacciones externas y/o fuerzas internas en las barras de un sistema estáticamente indeterminado, es necesario aumentar el número de ecuaciones de equilibrio estático con las ecuaciones geométricas de desplazamientos. Estas ecuaciones generalmente expresan las condiciones de desplazamientos comunes o sus relaciones geométricas para las diferentes partes o elementos que componen el sistema.

9

(b)

W

(a) y

Bloque Rígido

P

A1

A3

A2

x

(c)

(d)

Fig. 9. Ejemplos de sistemas cargados axialmente estáticamente indeterminados.

Ejemplo: Considerar la barra mostrada en la Fig. 10. Suponiendo comportamiento elásticolineal y EA constante a lo largo de la barra, determinar las reacciones RA y RB.

RA a L

P b

RB

Fig. 10. Barra doblemente apoyada cargada axialmente

10

Ejemplo: Considérese una barra rígida ABC cuya deformación por flexión es despreciable, apoyada mediante una articulación en A y soportada por dos cables de 1.5m de longitud cada uno, que tienen igual módulo de elasticidad E y área de la sección transversal A. La barra estás cargada con una fuerza de 80 KN (ver Fig. 11). Cuáles son las fuerzas en los cables y en el apoyo A?

E

D

1.5 m

80 KN A

B

C 1m

2m

2m

Fig. 11. Barra rígida con tres apoyos verticales

11