Unidad 3: Conjuntos 3.1

Introducci´ on

Georg Cantor [1845-1918] formul´ o de manera individual la teor´ıa de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matem´aticas como ya se hab´ıa hecho con el c´alculo cien a˜ nos antes. Cantor comenz´o esta tarea por medio del an´alisis de las bases de las matem´aticas y explic´o todo bas´ andose en los conjuntos (por ejemplo, la definici´ on de funci´on se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logr´ o unificar a las matem´aticas y permiti´o la comprensi´on de nuevos conceptos. El prop´osito de este Cap´ıtulo es el estudio de la teor´ıa intuitiva de conjuntos. En este sentido, los t´erminos conjunto, elemento y pertenencia son considerados como t´erminos primitivos, es decir, no se definen. Sobre esta base se definen la inclusi´ on y la igualdad, y se estudian sus propiedades. El mismo tratamiento se hace con las operaciones entre conjuntos. Luego desarrollamos ejemplos en los que se pretende mostrar un m´etodo adecuado de trabajo para demostrar distintas propiedades de conjuntos.

3.2

Notaciones y Definiciones

Afin de desarrollar ideas intuitivas consideramos un conjunto como una colecci´on de objetos, con una determinada cualidad, los cuales pueden ser conjuntos. Utilizaremos, generalmente, letras may´ usculas para referirnos a los conjuntos y para especificar elementos se usar´an letras min´ usculas, a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. Ejemplo 1 Sea H el conjunto de “todos los seres humanos”, y sea d la persona “Diego Reyes”. Es claro que d es un miembro o elemento del conjunto H. En general decimos “el elemento d pertenece al conjunto H” y lo simbolizamos: d ∈ H. El anterior ejemplo involucraba un conjunto “H” y un objeto “d”. La proposici´on, ”d ∈ H” se lee: d pertenece a H o bien el elemento d pertenece al conjunto H. Su negaci´on es: d no pertenece a H, la cual se simboliza: d∈ / H. En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo 2 El conjunto A de los n´ umeros enteros menores que 2, est´ a formado por los elementos del conjunto referencial Z (n´ umeros enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2. El conjunto referencial o universal depende de la disciplina en estudio; se fija de antemano, y est´ a formado por todos los elementos que intervienen en el tema de inter´es. En general se denotar´a con U. Adem´ as podemos dar los conjuntos por extensi´ on o por comprenci´on, es decir, Definici´ on 1 Un conjunto se define por extensi´ on cuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen. Un conjunto se define por comprensi´ on cuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos. Ejemplo 3 Dar por extenci´ on y por comprenci´ on el conjunto A, de las vocales. Al definir un conjunto A por extensi´ on, debemos enumerar todos sus elementos. Es decir, A = {a, e, i, o, u} y cuando se define por comprensi´ on se dar el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza a sus elementos, en este caso A = {x ∈ U / x es una vocal} , donde U es el alfabeto.

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Observaci´ on: El conjunto A de los elementos de U que verifican la propiedad P se define por comprensi´ on A = {x ∈ U / P (x)} = {x ∈ U : P (x)} o m´as brevemente (si U est´ a sobrentendido por el contexto) A = {x / P (x)} = {x : P (x)} y se lee: A es el conjunto formado por los elementos x pertenecientes a U, tales que P (x). P (x) es una f unci´ on proposicional, que se˜ nala la propiedad en cuesti´on y un elemento del conjunto referencial U, (a ∈ U ) pertenece al conjunto A si y s´olo si verifica la propiedad P (x), es decir, a ∈ A ⇔ P (a) es V. Por otra parte si un elemento del conjunto referencial U (a ∈ U) , no est´a en A (se lee a ∈ / A), si no verifica la propiedad P (x) , esto es: a∈ / A ⇔ P (a) es F. En el Ejemplo (3) si A = {x ∈ U / x es una vocal} , U, es el alfabeto. Tenemos que P (x) : “x es una vocal”, por lo tanto a ∈ A, por que P (a) es una proposici´on V, en cambio b ∈ / A, por que P (b) es F. Al n´ umero de elementos de un conjunto A se lo llama cardinalidad. Formalmente Definici´ on 2 La cardinalidad de un conjunto A, que lo indicamos con |A| o #A, es el n´ umero o cantidad de elementos (distintos) de A. Ejemplo 4 Calcular la cardinalidad del conjunto A de las ra´ıces terceras de −1, 1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los n´ umeros complejos , A se define por compresi´ on como  A = w ∈ C / w3 = −1 . y la propiedad que caracteriza a los elementos de A es: P (w) : w3 = −1. Ya que esta ecuaci´ on tiene 3 ra´ıces, la cardinalidad de A es |A| = 3 y el conjunto A, dado por extensi´ on es ( ) √ √ 1 3 1 3 A= +i , −1, −i . 2 2 2 2 2. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los n´ umeros reales. El conjunto A se define por compresi´ on como  A = w ∈ R / w3 = −1 y la propiedad que caracteriza a los elementos de A es: P (w) , en este caso la ecuaci´ on w3 = −1 solo tiene una raiz: w = −1, por lo tanto el conjunto A, definido por extensi´ on es A = {−1} , y la cardinalidad de A es |A| = 1. 3.2.1

Conjuntos especiales

Un conjunto unitario est´ a formado por un u ´nico elemento. Ejemplo 5 Si A es el conjunto cuyo u ´nico elemento es a, escribiremos A = {a} = {x / x = a} El conjunto vac´ıo es el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Consideramos el conjunto {x ∈ U : x ∈ / U} la proposici´on: “∀ x ∈ U : x ∈ / U” es falsa. En otras palabras, no posee elementos, es decir, es un conjunto vac´ıo. ¿Podemos decir que este conjunto es el u ´nico con esta propiedad? La respuesta es s´ı, como demostraremos en la proposici´on1 y lo indicamos con la letra φ.

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Ejemplo 6 Determinar simb´ olicamente y por extensi´ on (en caso de ser posible) los siguientes conjuntos definidos por comprensi´ on: 1. A es el conjunto de los n´ umeros reales cuyo cuadrado es igual a −1. 2. B es el conjunto de los n´ umeros naturales mayores que 2, y que no superan a 6. 3. C es el conjunto de los n´ umeros reales mayores que 2, y que no superan a 6. 1. A es el conjunto de los n´ umeros reales cuyo cuadrado es igual a −1. Se tiene: A = {x ∈ R/ x2 = −1} Como el cuadrado de ning´ un n´ umero real es negativo, P (x) : x2 = −1 es F para todo real x, resulta entonces A = φ y |A| = 0. 2. B es el conjunto de los n´ umeros naturales mayores que 2, que no superan a 6. La propiedad caracter´ıstica de los elementos de B es la conjunci´ on de las siguientes funciones proposicionales: P (n) : n > 2 y Q(n) : n ≤ 6 que podemos expresar R(n) : 2 < n ≤ 6 y se tiene B = {n ∈ N / 2 < n ≤ 6}

(1)

Como en este caso consideramos a N como universal, podemos dar por extenci´ on el conjunto y no queda: B = {3, 4, 5, 6}

y

|B| = 4

3. C es el conjunto de n´ umeros reales mayores que 2 que no superan a 6. La propiedad caracter´ıstica de los elementos de C es igual a la del conjunto B, es decir; R(x) : 2 < x ≤ 6, pero como el como conjunto universal es R, resulta: C = {x ∈ R / 2 < x ≤ 6} . Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjunto no finito de elementos, no se puede expresar por extensi´ on. Lo denotaremos por: C = {x ∈ R/ 2 < x ≤ 6} = (2, 6] . La determinaci´ on de conjuntos por extensi´ on no es posible en el caso de infinitos elementos y hay que limitarse a la definici´ on por comprensi´ on. La matem´ atica trabaja casi con exclusividad en este sentido. Ejemplo 7 Caracterizar simb´ olicamente el siguiente conjunto: P es el conjunto de los n´ umeros enteros pares. Por definici´ on, un entero es par si y s´ olo si es el duplo de alg´ un entero. Es decir a es par ⇔ ∃ k ∈ Z : a = 2k, entonces P = {x ∈ Z / x = 2k ∧ k ∈ Z} Es claro que P consiste en el conjunto de los m´ ultiplos de 2. A veces, acudiendo a un abuso de notaci´ on, suele proponerse una aparente determinaci´on por extensi´ on de un conjunto infinito, con la adjunci´ on de puntos suspensivos. As´ı, P = {· · · , −4, −2, 0, 2, 4, 6, · · · }

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3.2.2

Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matem´atico y fil´osofo brit´anico. Venn introdujo este u ´til sistema de representaci´ on gr´afica de conjuntos en el a˜ no 1880. Existe una representaci´ on visual de los conjuntos dados por diagramas llamados de V enn. En este sentido, el conjunto de referencial suele representarse por un rect´angulo y los conjuntos en U, por recintos cerrados en el interior del mismo. Si los conjuntos en cuesti´on son finitos sus elementos se representan mediante puntos en el interior de los correspondientes recintos. U

A

Ejemplo 8 Sean U = N y los conjuntos A = {x / x |6 } B = {x / x |8 } C = {x / x ≤ 2} Se pide la representaci´ on de tales conjuntos mediante diagramas de Venn. Definimos la relaci´ on de divisibilidad en N mediante a |b

si y s´ olo si ∃ n ∈ N : b = a.n

Se lee: a divide a b, ´ o a es divisor de b ´ o b es m´ ultiplo de a. Teniendo en cuenta esta definici´ on, y la relaci´ on de menor o igual, la representaci´ on por extensi´ on de tales conjuntos es A = {1, 2, 3, 6}

B = {1, 2, 4, 8}

C = {1, 2} y en t´erminos de diagramas de Venn N B 3 6

A

4

2 1 8

C

Ejemplo 9 Consideremos el conjunto referencial U de todos los tri´ angulos; si I denota el conjunto de los tri´ angulos is´ osceles, E de los equil´ ateros y R de los tri´ angulos rect´ angulos, verifique las relaciones planteadas por el siguiente diagrama: U I

E R

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3.2.3

Conjuntos y Subconjuntos

Definici´ on 3 Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A esta incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A ⊆ B. Simb´ olicamente: A ⊆ B si ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

(2)

U A

B

Ejemplo 10 El conjunto de los n´ umeros reales R es un subconjunto de los n´ umeros complejos C, ya que si x ∈ R entonces x = x + 0i ∈ C. Usando la definici´ on de inclusi´ on podemos definir la igualdad de dos conjuntos A = B si A ⊆ B y B ⊆ A,

(3)

esto significa que para afirmar que dos conjuntos son iguales debe cumplirse que todo elemento de cualquiera de ellos pertenezca al otro. Es claro, entonces que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo 11 Los siguientes conjuntos son iguales. 1. M = {x ∈ N / x < 5}

N = {1, 2, 3, 4} ,

El conjunto M , esta dado por comprensi´ on en cambio el conjunto N, esta dado por extensi´ on.  2. A = x ∈ Z / x2 = 1 B = {x ∈ Z / |x| = 1} . La relaci´on (3) nos permitir´ a demostrar cuando dos conjuntos son iguales. En este caso diremos que estamos haciendo una demostraci´ on por doble inclusi´ on. Definici´ on 4 A no es subconjunto de B, que denotamos A * B, si es falso que A ⊆ B. El lema siguiente muestra como a partir de las nociones de subconjunto y usando conceptos de l´ ogica podemos dar una definici´ on simb´ olica de A * B. Lema 1 Si A no es subconjunto de B, si ∃ x : [ x ∈ A ∧ x ∈ / B] Demostraci´ on. Como A no es subconjunto de B, tenemos que (2) es falsa por lo tanto la proposici´ on “∼ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B)” es verdadera usando proposiciones equivalentes nos queda que: ∃ x :∼ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∃x : [ x ∈ A ∧ x ∈ / B]

Negaci´on del cuantificador existencial Negaci´on de la implicaci´on

As´ı tenemos que , A * B si: ∃x : [ x ∈ A ∧ x ∈ / B] .



Definici´ on 5 A es subconjunto propio de B cuando A ⊆ B y A 6= B, lo denotaremos por A ⊂ B, o A

B.

Las siguientes son propiedades que satisfacen los subconjuntos de un conjunto dado: Proposici´ on 1 Para cualquier conjunto A 1. A ⊆ A,

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2. φ ⊆ A, y 3. φ es u ´nico. Demostraci´ on. 1. Se verifica que A ⊆ A, porque ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, es una proposici´on verdadera (ley l´ogica p ⇒ p), por lo tanto por (2) tenemos: A ⊆ A. 2. (Por el absurdo) Supongamos que φ * A entonces por Lema 1, ∃x : x ∈ φ ∧ x ∈ / A, pero esta proposici´on es falsa, por que contradice la definici´on del conjunto φ, esto proviene de suponer que φ * A, por lo tanto φ ⊆ A. 3. Supongamos que existen dos conjuntos vac´ıo: φ1 y φ2 , por 2 . tenemos φ1 ⊆ φ2 y φ2 ⊆ φ1 entonces por (3), tenemos que φ1 = φ2 .  3.2.4

Conjunto de Partes

Dado un conjunto A, podemos formar un nuevo conjunto constituido por todos los subconjuntos de A, el cual recibe el nombre de conjunto de partes de A. Definici´ on 6 Sea A un conjunto llamamos conjunto de partes de A, al conjunto P (A) = {X / X ⊆ A} Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, por lo tanto decidir si un objeto es un elemento de P (A) se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de A. Es decir: X ∈ P (A) si X ⊆ A

(4)

Lema 2 Sea A un conjunto, entonces A ∈ P (A) y φ ∈ P (A). Demostraci´ on: este lema es consecuencia inmediata de la proposici´on 1.



Ejemplo 12 Determinar el conjunto de partes de A = {2, 3, 4} .Los elementos de P (A) son todos los subconjuntos de A, es decir φ {2} {3} {4} {2, 3} {2, 4} {3, 4} A As´ı tenemos que: P (A) = {φ, {2} , {3} , {4} , {2, 3} , {2, 4} , {3, 4} , A} . Ejemplo 13 El conjunto de partes del conjunto vacio, φ, es P (φ) = {φ} .  3.2.5

Operaciones entre Conjuntos

Complemento de un conjunto Definici´ on 7 Sea A un conjunto el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. Lo denotamos por Ac o A, en s´ımbolos Ac = {x : x ∈ / A} = {x ∈ U : x ∈ / A} .

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Por lo tanto x ∈ Ac ⇔ x ∈ / A, el complemento es una operaci´ on unitaria, en el sentido de que a partir de un conjunto se obtiene otro. Es usual tambi´en obtener el complemento de un conjunto A, respecto de otro B, en cuyo caso la definici´on es: CB A = {x ∈ B : x ∈ / A} U

A

B CB (A)

Ahora daremos algunas operaciones binarias entre conjuntos, en el sentido de que a partir de dos conjuntos se obtiene otro. Uni´ on, Intersecci´ on, Diferencia y Diferencia Sim´ etrica Definici´ on 8 Sean A y B dos conjuntos, definimos: 1. La uni´ on de A y B: A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

B

A

2. La intersecci´ on de A y B : A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} .

B

A

U

3. La diferencia de A y B: A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ / B} .

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B

A

U

A−B

De la definici´ on se sigue que A − B = A ∩ B c . 4. La diferencia sim´ etrica de A y B es A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B) = {x : (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ / A ∩ B)}

B

A

U

Definici´ on 9 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅. Ejemplo 14 Sea U = {1, 2, 3, ..., 9, 10} el conjunto de referencia, A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {3, 4, 5, 6, 7} y C = {7, 8, 9} tenemos que: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A ∩ B = {3, 4, 5}

A∆B = {1, 2, 6, 7} = (A ∪ B) − (A ∩ B)

A ∩ C = ∅ (son disjuntos)

A ∪ C = A∆C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} .

En el ejemplo tambi´en tenemos que: a) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B, b) A ∪ C = A∆C con A y C disjuntos. c) A∆B = (A − B) ∪ (B − A) (Ejercicio No 12) Estos resultados no son algo particular de este ejemplo, valen en general como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 1 Sean A y B dos conjuntos, entonces 1. A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. 2. Los conjuntos A y B son disjuntos si y s´ olo si A ∪ B = A∆B. Demostraci´ on. 1. Tenemos que probar: (a) A ∩ B ⊆ A y (b) A ⊆ A ∪ B.

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(a) Por (2) debemos probar que ∀x : x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A. Sea x (arbitrario) que cumple que x ∈ A ∩ B, debemos demostrar que x ∈ A. En efecto: (1)

(2)

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A. (1) Definici´ on de intersecci´ on de conjuntos. (2) Ley l´ogica “p ∧ q ⇒ p”. (b) La demostraci´ on de esta incluci´ on es similar a la anterior, usando la definici´on uni´on de conjuntos y de la ley l´ ogica “p ⇒ p ∨ q”. Los detalles quedan como ejercicio. 2. Usamos la ley l´ ogica: “p ⇔ q” que es l´ ogicamente equivalente a “(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)”. En este caso: p : Los conjuntos A y B son disjuntos, es decir, A ∩ B = φ q : A ∪ B = A∆B (a) Probemos que la implicaci´ on p ⇒ q es verdadera. Supongamos que p es verdadera y demostraremos que q es verdadera. Es decir, debemos probar que: A ∪ B = A∆B, lo haremos por la doble inclusi´ on. Sea x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B (o tal vez a ambos). Pero como hip´ otesis los conjuntos A y B son disjuntos, es decir A ∩ B = φ entonces x ∈ / A ∩ B, es decir x ∈ A ∪ B y x∈ / A ∩ B. por lo tanto A ∪ B ⊆ A∆B (5) Sea x ∈ A∆B, por definici´ on de diferencia sim´etrica tenemos: (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ / A ∩ B) entonces x ∈ A ∨ x ∈ B (es consecuencia de “p ∧ q ⇒ p” ) y por definici´on de la uni´on de conjunto tenemos que x ∈ A ∪ B, es decir A∆B ⊆ A ∪ B (6) Por lo tanto de (5) y (6) resulta: q : A ∪ B = A∆B es verdad. (b) Probemos que la implicaci´ on “q ⇒ p” es verdadera. Haremos una demostraci´on por el contrarec´ıproco, es decir probaremos: “v p ⇒v q” lo cual es: A ∩ B 6= φ ⇒ A ∪ B 6= A∆B. Como A ∩ B 6= φ existe y ∈ A ∩ B, entonces por la parte 1. y ∈ A ∪ B. As´ı y ∈ A ∪ B ∧ y ∈ A ∩ B, entonces y ∈ / A∆B. Por lo tanto: A ∪ B 6= A∆B, como quer´ıamos demostrar.



La siguiente tabla muestra las propiedades m´as usadas, que cumplen las operaciones entre conjuntos, las demostraciones quedan como ejercicios.

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Proposici´ on 2 Sean A, B y C conjuntos, entonces se verific´ an las siguientes igualdades: 1

Involuci´ on

2

Idempotencia

3

Conmutatividad

4

Asociatividad

5

Distributividad

6

Leyes de De Morgan

7

Ley de Absorci´ on

8

Universo y Vac´ıo

A=A A∪A=A A∩A=A A∪B =B∪A A∩B =A∩B A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪B =A∩B A∩B =A∪B A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A A∪A=U A∪U =U A∪φ=A A∩A=φ A∩U =A A∩φ=φ

Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias inmediatas de las definiciones de las operaciones entre conjuntos. En lo que queda de esta secci´ on presentamos una manera efectiva (en muchos casos) de mostrar que dos conjuntos son iguales. Ejemplo 15 Mostrar que A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B). Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena gu´ıa) consistir´ıa en dibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad. O para una prueba rigurosa podr´ıamos utilizar, como lo hemos venido haciendo, de doble inclusi´ on. Sin embargo existe otro procedimiento que consiste en transformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas (como la distributividad, el doble complemento y las leyes de De Morgan, etc.). Veamos c´ omo: Conjunto

(A ∩ B) ∪ (A
∩ B) = A ∪ (A ∩
B) ∩ B ∪ (A ∩ B) = A ∪ (A ∩ B) ∩ B ∪ (A
 ∩ B) = A ∩ (B ∪ A) ∩ B ∪ B = A ∩ [(B ∪ A) ∩ U] = A ∩ (A ∪ B) = A

Propiedades (4) (2) y (4) (8) (8) y (3) (7)

Ejemplo 16 Simplificar la siguiente expresi´ on: (A ∪ B) ∩ C ∪ B Razones (A ∪ B) ∩ C ∪ B =

(6) Leyes de De Morgan

= (A ∪ B) ∩ C ∩ B = ((A ∪ B) ∩ C) ∩ B = (A ∪ B) ∩ (C ∩ B) = (A ∪ B) ∩ (B ∩ C) = [(A ∪ B) ∩ B] ∩ C =B∩C

(1) (4) (3) (4) (7)

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Involuci´ on Asociativa Conmutativas Asociativa Absorci´ on

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