ESTUDIO DE UN MODELO LINEAL ESCALAS DE TEMPERATURA Autor: Ing. Carmen González-Mesa

OBJETIVOS •

Encontrar la relación que existe entre diferentes escalas de temperatura comúnmente utilizadas versus una escala establecida en forma arbitraria, escribiendo su ecuación experimental explícita.

•

Graficar los datos experimentales de: ºF vs. ºC; ºX vs. ºC; ºX vs. ºF, e identificar el significado físico de la pendiente, m, y de la ordenada al origen, b, escribiendo sus valores experimentales explícitos.

•

Analizar el significado físico que representa la ecuación experimental explícita para cada relación de datos, según se trabajen las variables dependiente (VD) e independiente (VI): ºF vs. ºC; ºX vs. ºC; ºX vs. ºF.

Habilidades a desarrollar. Al finalizar esta práctica, el alumno será capaz de:

i)

Distinguir entre variable dependiente, variable independiente y parámetros en un modelo lineal.

ii)

Analizar datos experimentales utilizando el método de los mínimos cuadrados.

iii)

Determinar, en base al análisis efectuado, si el modelo matemático que relaciona a las variables es lineal o no.

PREGUNTAS PRE-LABORATORIO: contestarlas en la bitácora:

1. Dibuja un termómetro de bulbo como el que se utiliza en el laboratorio, y explica cómo está constituido. 2. ¿Qué es un punto fijo y cómo se relaciona con las escalas de temperatura? (i.e. las escalas de ºC y ºF). 1

3. Menciona dos ejemplos de puntos fijos mínimos y dos ejemplos de puntos fijos máximos que pudieras aplicar en esta práctica. 4. ¿Qué escalas de temperatura existen en Termodinámica?

INTRODUCCIÓN

Escalas de Temperatura: Las escalas Celsius, Fahrenheit son las más comúnmente utilizadas, son dos ejemplos de las escalas que existen en termodinámica. Estas escalas permiten usar una base común para las mediciones de temperatura. A través de la historia se han introducido varias, las cuales se establecieron tomando “puntos fijos” de temperaturas fácilmente reproducibles, como son los puntos de congelamiento y ebullición del agua, llamados también punto de hielo y punto de vapor, respectivamente. Una mezcla de hielo y agua que está en equilibrio con aire saturado con vapor a 1 at de presión está en el punto de hielo, mientras que una mezcla de agua líquida y vapor en equilibrio a 1 at de presión se encuentra en el punto de vapor. En la escala Celsius (también conocida como escala centígrada), los puntos de hielo y de vapor se les asignaron originalmente los valores de 0 y 100 ºC, respectivamente. Los valores correspondientes en la escala Fahrenheit son 32 y 212 ºF. Ambas se conocen comúnmente como escalas de dos puntos dado que los valores de temperatura se asignan en dos puntos distintos. Los físicos han descubierto que existe un límite natural de qué tan frío puede llegar a estar un objeto. La temperatura más fría posible, cero absoluto, es el cero en otra escala de temperatura, la escala Kelvin. Como está basado en un punto “cero verdadero” es una escala muy importante en Termodinámica.

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Relación entre las escalas de Temperatura Celsius, Fahrenheit y Kelvin:1

ACTIVIDAD I: Para llevar a cabo el experimento se va a necesitar el siguiente material.

MATERIAL: 1. Dos vasos de precipitados 300 mL, 2. Calentador de inmersión, 3. Termómetro de bulbo doble escala (ºC / ºF), 4. Termómetro de bulbo en ºC,

5. Regla

6. Tijeras 7. Masking Tape. 8. Hielo 9. Agua

1

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INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes actividades cuidadosamente. I.1. Coloca un pedazo de masking tape sobre la escala del termómetro (cuidado: no tapar el tubo capilar para observar el mercurio). En este termómetro realizarás tu escala ºX.

Termómetro de bulbo en donde se realizará la escala en ºX

I.1.1. El otro termómetro de doble escala será siempre tu referencia para registrar tus datos en °C y °F. Por lo que es importante que siempre realices las mediciones colocando los dos termómetros. I.2. Coloca los 2 termómetros en un vaso de precipitados con hielos con un poco de agua, y en donde se estabilice el mercurio en el termómetro de ºX, en ese punto dibuja una marca en el masking tape, de preferencia con tinta. Esa temperatura corresponderá a tu punto fijo mínimo en la escala de ºX. Punto fijo mínimo en la escala ºX

I.2.1. Registra esta temperatura en °C y °F en tu tabla de datos. Discute con tus compañeros de equipo el nombre de esta nueva escala, o sea, la que hasta ahora se ha nombrado como ºX.

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I.3. Vierte aproximadamente 250mL de agua en el segundo vaso de precipitados y caliéntala hasta que llegue al punto de ebullición. Es muy importante que el calentador esté inmerso en el agua antes de conectarlo

IMPORTANTE: SI CALIENTAS EL AGUA CON EL CALENTADOR DE INMERSIÓN TOMA LAS SIGUIENTES PRECAUCIONES: a) El calentador de inmersión nunca se conecta en seco. Debe conectarse siempre cuando se encuentre totalmente inmerso en el agua. b) Nunca coloques los termómetros de bulbo cuando el calentador de inmersión esté conectado. Desconecta primero y después registra la temperatura. I.3.1 Repite el paso I.2 ahora en el vaso de precipitados con agua hirviendo, esa temperatura corresponderá a tu punto fijo máximo. Punto fijo máximo en la escala °X

I.3.2 Registra esta temperatura en °C y °F en tu tabla de datos. No olvides nombrar tu nueva escala.

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I.4.

Cuando hayas registrado las temperaturas de tus puntos fijos realiza lo siguiente:

I.4.1 Mide con la regla la distancia entre los 2 puntos y divide en partes iguales, marca los puntos sobre el masking tape. ¿Es necesario que la escala empiece en cero grados? ¿Qué valor tendrá el punto máximo? Justifica por qué decidiste tomar esta división de la escala y no otra.

Divide la escala ºX en partes iguales

Recuerda que puedes dividir la escala como tú lo decidas, la escala en °X se realiza de forma arbitraria. En base a cómo hayas decidido dividirla, debes registrar la incertidumbre de esta escala. I.5. Cuando hayas establecido tu escala en °X utiliza este termómetro para medir. I.5.1. Realiza 8 mediciones más (10 en total) midiendo simultáneamente en ºC, °F, ºX y registra tus datos en la tabla. Anota las incertidumbres de las tres escalas. Recuerda que el termómetro de doble escala será siempre tu referencia para registrar tus datos en °C y °F. Por lo que es importante que siempre realices las mediciones colocando los dos termómetros.

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Tabla#1: Registro de datos de las diferentes escalas de Temperatura: # cant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

°C (±

)

°F(±

)

°X(±

)

I.6. Cuando hayas realizado tus mediciones, grafica tus datos siguiendo en todo momento las indicaciones de tu profesor (a). I.6.1. Grafica tus datos en papel milimétrico de la siguiente manera: Gráfica #1: º F vs.º C ºF

ºC Gráfica #2: ºX vs. ºF

ºX

ºC

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Gráfica #3: º X vs.º F ºX

ºF

I.6.2. ¿Cómo se comportan los datos al comparar las diferentes escalas; varían proporcionalmente, no varían proporcionalmente o permanecen constantes? Anota todas tus observaciones en la bitácora. Con los datos que utilizaste para realizar cada gráfica; calcula por mínimos cuadrados la pendiente y ordenada y establece la ecuación experimental explícita en cada caso.

I.7. Analizando los datos. Describe en extenso en tu bitácora el proceso que utilizaste para encontrar la ecuación y, entonces, escríbela en su formato estándar utilizando las unidades correspondientes. Sugerencias: Consulta el Apéndice I, para calcular m, b, así como Sm y Sb .

I.8. Realiza una comprobación de la ecuación. Para hacer esto: Una vez que se tiene la ecuación experimental explícita correcta para cada caso; por ejemplo: toma uno de los valores medidos de ºC y sustitúyelo en la ecuación explícita obtenida para la gráfica #1. Escribe el valor de ºF obtenido y compáralo con el valor medido. Explica en extenso y discute si los valores son lógicos, coherentes.

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PREGUNTAS

POST-LABORATORIO:

contéstalas en tu

bitácora explicando

ampliamente en base a los resultados experimentales y el análisis de los mismos.

1.- De acuerdo con los resultados del experimento y los diferentes análisis de los mismos: ¿qué tipo de relación existe entre l y ? Explica ampliamente en tu bitácora:

a) Sinusoidal del tipo: y = Aseno(mx +)

b) Exponencial del tipo: y = y0emx

c) De potencia del tipo: y = y0xm

d) Lineal del tipo: y = mx + b

2.- De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: ¿cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen? Explica en extenso en tu Bitácora.

3.- De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: ¿son lógicos los valores encontrados para la pendiente y para la ordenada al origen? Explica en extenso en tu Bitácora.

4.- De acuerdo con los resultados experimentales y análisis de los mismos: ¿cuál es el significado físico de las ecuaciones experimentales explícitas?

BIBLIOGRAFÍA 1. Baird, D. C. Experimentation. New Jersey. Prentice-Hall. 1962 2. Holman, Jack P. Métodos experimentales para ingenieros. México. McGraw-Hill. 1988. 3. Young, H. D. et al. Física Universitaria volumen 1. Decimosegunda edición. Pearson Educación. México, 2009. 4. Çengel, Y. A. et al. Termodinámica. Sexta edición. Mc Graw. Hill. México, 2008.

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APÉNDICE I: El método de los mínimos cuadrados Para ajustar datos experimentales que poseen una tendencia lineal, es decir, que pertenecerían a una recta, se utiliza el método de los mínimos cuadrados. El criterio bajo el cual opera establece que: se ajustan los datos de tal manera que la mejor recta pasa a una distancia mínima de cualquiera de los puntos experimentales –al cuadrado. Al aplicar este criterio, se obtienen los parámetros de la mejor recta, de la siguiente manera:

m





donde:

nx2i 

SmSy

x 

2

i

x2 yi  xi xiyi  i b 2 n x2  x  i  i Sy 

Utilizando  



nxiyi  xiyi

 y i



m x i

 b



2

n

Sb  Sy

  

 

n x2 xi i 



2

x 2i

n  x 2i 

 x 

2

i



n -2

los valores medidos de la variable dependiente (VD): yi; y los valores de la

variable independiente (VI): xi; así como el número de datos, n, estas ecuaciones nos proporcionan la pendiente promedio,

m

; su desviación estándar, Sm. La ordenada al origen

promedio, b ; y su desviación estándar, Sb, con un nivel de confianza del 68 % si se reporta 

una desviación estándar. En estos cálculos se presume una distribución normal. Una vez que tenemos los parámetros del modelo, escribimos la ecuación explícita  con su formato estándar, con un 68 % de probabilidad: VD = (pendiente) VI + ordenada al origen y = ( m ± Sm) x

+

( b ± Sb);

Donde y está medida en las unidades u, y x está medida en las unidades u´.

  Por ejemplo, para la velocidad en función del tiempo en una caída libre: v = (9.79 ± 0.02) t + (0.011 ± 0.005); donde v está en m/s, y t está en s.

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