E táti Estática 1.Equilibrio 1 Equilibrio 2.Centros de g gravedad y 3.Momentos de inercia

Parte de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos

Parte de la física que estudia las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan en un cuerpo para que se encuentre en equilibrio

Un punto está en equilibrio si la resultante de las fuerzas aplicadas es nula

G G ΣF = 0

Un sólido/sistema está en equilibrio si 1) la resultante de las fuerzas aplicadas es nula y 2) el momento resultante de las fuerzas aplicadas es nulo

G G ΣF = 0

G G ΣM = 0

∑F

=0

x

∑F

y

P

=0

∑M

O

f s − F1 = 0

Fn − P = 0 =0

Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company

En el equilibrio la resultante de las fuerzas aplicadas es nula

G G ΣF = 0

Si la resultante de las fuerzas aplicadas es conservativa, se puede expresar por

∑

G G F = −∇ ∇U

En las posiciones de equilibrio la energía potencial debe ser máxima o mínima

Si al separarse de la posición de equilibrio, el sistema retorna a dicha posición, el equilibrio es estable Si al separarse de la posición de equilibrio, equilibrio el sistema se aleja cada vez más de dicha posición el equilibrio es inestable Si all separarse de d la l posición i ió de d equilibrio ilib i ell sistema i t sigue i estando en una posición de equilibrio análoga a la inicial el equilibrio es indiferente

Estable Indiferente

Inestable

q estable → Energía g p potencial mínima Equilibrio Equilibrio inestable → Energía potencial máxima Equilibrio l b indiferente df → Energía í potenciall constante

Estable

Inestable

Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company

Indiferente

El centro de gravedad de un sistema de puntos materiales (o un sólido) ólid ) es ell punto t del d l espacio i en ell que se considera id que está aplicado el peso. Es un p punto único, independiente p de la p posición y orientación del sólido

G •G G

Cada partícula i del sistema, está situada en un punto de coordenadas d d (x ( i, yi, zi) respecto a un sistema i d referencia de f i cartesiano, y tiene un peso pi. Z

mi(xi, yi, zi) Pi zi Y xi yi X

El centro de gravedad de un sistema, es un punto del espacio en el que se puede considerar que está aplicada la resultante de los pesos de cada una de las partículas que constituyen el sistema.

Z p2 p1 X

Z p3

p4

•G

Y pn

Y X

P

Sistema 1 (n pesos) = Sistema 2 ( resultante de los n pesos)

El sistema constituido pon n pesos, se puede sustituir por el peso resultante aplicado en el centro de gravedad, gravedad y la resultante y el momento resultante es el mismo El centro de gravedad G está situado en un punto de coordenadas (xG, yG, zG) respecto a dicho sistema de referencia y en él se aplica la resultante de t d los todos l pesos P

n

m x + ... + mn xn = xG = 1 1 m1 + ... + mn

∑m x

i i

i =1 n

∑m

i

i =1

n

m y + ... + mn yn = yG = 1 1 m1 + ... + mn

∑m y i

i =1 n

i

∑m

i

i =1

n

m1 z1 + ... + mn zn zG = = m1 + ... + mn

∑m z i =1 n

i i

∑m i =1

i

Z M dm

1 xG = M

∫ xdm L

L r z Y

1 yG = M

∫ ydm

1 zG = M

∫ zdm

L

x y X

L

Z

M A

dA

z Y x y X

1 xG = M

∫∫ xdm

1 yG = M

∫ ydm

1 zG = M

d ∫ zdm

A

L

L

Z M dV

r z

1 xG = M

∫∫∫ xdm

1 yG = M

∫∫∫ ydm

1 zG = M

d ∫∫∫ zdm

Y x y X

v

v

v

El área generada cuando una curva plana y homogénea gira en torno a un eje contenido en su plano, pero que no la corta es igual a la longitud L de la curva por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad al girar

A

L

yG

B

ω

A X

L

yG

B X

La curva AB, de longitud L, al gira en torno a X describe una circunferencia de radio yG: A= 2πyG·L

El volumen generado cuando una superficie plana y h homogénea é gira i en torno a un eje j contenido id en su plano, l pero que no la corta es igual al área de la superficie por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad al girar

yG

ω

yG X

La superficie, de área A, al gira en torno a X describe una circunferencia de radio yG: V= 2πyG·A

vi = ω ri

n

n 1 1 1 2 n 2 2 2 EC = ∑ mi vi =∑ miω ri = ω ∑ mi ri 2 2 i =1 2 i =1 2 i =1

n

EC =

1 I ejeω 2 2

I eje = ∑ mi ri i =1

2

n

n

i =1

i =1

I O = ∑ mi ri 2 =∑ mi ( xi2 + yi2 + zi2 ) Z

n

IYOX = ∑ mi zi2

mi(xi, yi, zi)

i =1

n

IYOZ = ∑ m x i =1

2 i i

ri

zi Y

n

I XOZ = ∑ mi yi2

xi yi

i=1

X

El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto

I O = I XOY + I XOZ + IYOZ El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma de los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto

1 I O = ( I OX + I OY + I OZ ) 2

El momento de inercia respecto p a un p punto es la suma del momento de inercia respecto a un eje y el momento de inercia respecto a un plan perpendicular a él que se corten en dicho punto

I O = I OZ + I XOY = I OY + I XOZ = I OX + IYOZ El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los momentos de inercia respecto a los dos planos perpendiculares entre sí que se corten en dicho eje

IOX = I XOY + I XOZ

I OY = I XOY + IYOZ

I OZ = I XOZ + IYOZ

Si la figura está en el plano YOZ

IYOZ = 0 I OX = I XOY + I XOZ

Z

Y X

I OY = I XOY I OZ = I XOZ

1 I O = ( I OX + I OY + I OZ ) = I OY + I OZ 2

I O = IYOZ + I OX = I OX

I O = I XOY + I OZ I O = I XOZ + I OY

En una figura g plana,, el momento de inercia respecto p p a un punto es la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano, que se cortan t en dicho di h punto t En una figura plana, plana el momento de inercia respecto a un punto es igual al momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la figura, que pase por dicho punto En una figura plana, el momento de inercia respecto a un eje contenido en el plano, es igual al momento de inercia respecto a un plano perpendicular a él que le corte en dicho eje

Respecto a las rectas OX, OY Y

mi

n

PXY = ∑ mi xi yi i=1

yi X xi

Z

G

I O = I G + Md

2 1

d1 O

Y

X El momento de inercia respecto a un punto O es la suma del momento de inercia respecto p al centro de g gravedad G y de la masa total del sistema p por el cuadrado de la distancia que separa los puntos G y O

d2

Z

G

I OZ = I GZ + Md O

2 2

Y

X El momento de inercia respecto a un eje cualquiera (OZ) es la suma del

momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por el centro de gravedad G (Eje CZ) y la masa total del sistema por el cuadrado de la distancia que separa los dos ejes

Z

G

d3

O

I XOY = I XGY + Md

2 3

Y

X El momento de inercia respecto a un plano cualquiera (XOY) es la suma del momento de inercia respecto a un plano paralelo que pase por el centro de gravedad d d G (Plano (Pl XGY) y la l masa total t t l del d l sistema i t por ell cuadrado d d de d la l distancia que separa los dos planos

El momento de inercia respecto a un punto, eje o plano es igual al momento de inercia respecto a un punto, punto eje o plano paralelo al anterior y que pase por el centro de gravedad, mas la masa total del sistema por el cuadrado de la distancia que separa ambos puntos, ejes o planos