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MATEMÁTICAS 3º ESO
TEORÍA
Tema 2: ÁLGEBRA: Polinomios y fracciones algebraicas.
Ejercicios resueltos en video
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1. E XPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables o incógnitas. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por las operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y por paréntesis. Ejemplos:
3 2 x2 x
o
x y 32 ( x y 2 y )
son dos expresiones algebraicas.
El signo de multiplicar se sobreentiende delante de una letra o un paréntesis. Los ejemplos anteriores los escribiremos así:
3 2x 2 x
o
xy 32( xy 2 y )
Empecemos estudiando las más sencillas: los monomios. Ejercicios cursos anteriores: del 1 al 9. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 10 al 14.
2. M ONOMIOS ¿Qué son? Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o más variables. Al número lo llamaremos coeficiente y al conjunto de las variables, parte literal. Llamaremos grado del monomio a la suma de los exponentes de su parte literal y grado respecto de una variable, al exponente de esa variable. Ejemplo 1: El monomio
3a tiene como coeficiente "3", parte literal "a" y es de grado "1".
Ejemplo 2: El monomio
2 2 xy 3
tiene como coeficiente "
2 2 ", parte literal " xy ", es de grado "3" y el grado 3
respecto la variable "y" es "2".
Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica. Ejemplo 1: Los monomios " 3a
2
b"
y " 7a
Ejemplo 2: Los monomios " 3ab " y " 7 a
2
2
b " son semejantes porque tienen la misma parte literal " a 2 b ".
b " no son semejantes porque no tienen la misma parte literal.
Suma de monomios:
Dos monomios solo se pueden sumar si son semejantes. En ese caso, se suman los coeficientes, dejando la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y esta operación no puede expresarse de manera más simplificada. El siguiente ejemplo con peras y manzanas puede aclararte cuando dos monomios se pueden sumar: 3
+2
=5
pero en cambio 3
+2
no es igual a 5 peras ni a 5 manzanas
Ejemplos: a) c)
5a 2 a 7 a 3x 2 x 2 no puede simplificarse
b) d)
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8 x 2 3x 2 5 x 2 a 2 a a 2 2a 2 a
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Multiplicación de monomios.
El producto de dos monomios es un monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y por parte literal el producto de las partes literales (recuerda la propiedad: a m a n a m n ).
Ejemplos: a) Multiplica los monomios " 3a
2
b " y " 2a ". Es (3a 2 b) (2a ) (3 2)a 2 ba 6a 21b 6a 3b
b)
5 5 5 15 23 2 (3 x 2 ) ( x 3 y 2 ) (3 ) x 2 x 3 y 2 x y x5 y 2 6 6 6 2
c)
(2 x 4 y ) 3 (2 x 4 y ) (2 x 4 y ) (2 x 4 y ) (2 3 ) x 4 yx 4 yx 4 y 2 3 x12 y 3 8 x12 y 3 (2 x y ) 2 ( x ) y 2 x y 8 x y 4
3
3
4 3
3
3
12
3
12
o bien
3
División de monomios.
El cociente de dos monomios puede ser un número, otro monomio o una fracción algebraica. Ejemplos: a)
b)
c)
6a 2 b 6 2 (un número) 3a 2 b 3 6x5 y 3 2 x3 x 2 y 2 2 5 3 (6 x y ) : (15 x ) x y 5 15 x 3 3 5 x3 5 3 2 x2 6x y 3 2 x x y (6 x 5 y ) : ( 2 x 3 y 2 ) 3 2 3 y 2x y 2 x3 y y (6a 2 b) : (3a 2 b)
(un monomio)
(es una fracción algebraica pero no un monomio)
Ejercicios cursos anteriores: del 15 al 18. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 19 al 24.
3. P OLINOMIOS ¿Qué son? Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes también llamados términos del polinomio.
Los coeficientes del polinomio son los números que multiplican a cada monomio. Si uno de los monomios no tiene parte literal se llama término independiente. El mayor grado de todos los monomios se llama grado del polinomio. Nombramos los polinomios con una letra mayúscula y entre paréntesis las variables que lo integran. Ejemplo 1: El polinomio P ( x ) x 2 x 4 tiene una variable (la "x"), es de grado 5, los coeficientes son el 1, el 2 y el –4 y el término independiente es –4. Este polinomio también se llama trinomio porque tiene tres monomios o términos. 5
Ejemplo 2: El polinomio Q ( a, b) 4a b 5a tiene dos variables ( la "a" y la "b"), es de grado 3, los coeficientes son 4 y –5, no hay término independiente. Este polinomio también se llama binomio porque tiene dos monomios o términos. 2
El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable o variables por números concretos y efectuar las operaciones. Los números cuyo valor numérico en el polinomio es cero se llaman raíces del polinomio.
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P( x) x 2 5 x 6 , el valor numérico para x 1 es el número 12 pues P (1) (1) 2 5 (1) 6 12 y para x 2 el valor numérico es cero, P (2) (2) 2 5 (2) 6 0 . 2 Observa que el número "2" es una raíz del polinomio P ( x ) x 5 x 6 . Ejemplo 1: Dado el polinomio
Ejemplo 2: Dado el polinomio número –28 pues
Q( x, y ) 3 x 2 y 5 x 6 y , el valor numérico para x 2 , y 1
es el
Q(2,1) 3 2 (1) 5 2 6 (1) 12 10 6 28 . 2
Ejercicios cursos anteriores: del 25 al 27. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 33 al 34.
4. S UMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar dos o más polinomios o bien restar dos polinomios tendremos en cuenta lo que ya sabemos sobre la suma y resta de monomios. Ejemplo 1: Dados los polinomios suma:
A 2 x 3 3x 2 6
y
B x 2 5x 4
de una sola variable, halla su
Es A B ( 2 x 3 x 6) ( x 5 x 4) 2 x 3 x 6 x 5 x 4 2 x 2 x 5 x 10 (hemos sumado los monomios semejantes). También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la misma columna, los monomios semejantes. Observa la imagen 3
2
Ejemplo 2: Dados los polinomios
A B:
2
3
A 2 x 3 3x 2 6
2
y
2
B x 2 5x 4
3
2
de una sola variable, halla la resta
Es A B ( 2 x 3 x 6) ( x 5 x 4) 2 x 3 x 6 x 5 x 4 2 x 4 x 5 x 2 (el signo menos delante del paréntesis cambia de signo todos los términos del polinomio B; después hemos sumado los monomios semejantes). También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la misma columna, los monomios semejantes y cambiando de signo los término del sustraendo. Observa la imagen 3
2
2
3
2
2
3
2
5. P RODUCTO DE POLINOMIOS 5.1. P RODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN NÚMERO
Recuerda que para multiplicar un número por una suma, debemos multiplicar el número por cada sumando. Es la propiedad distributiva a (b c) a b a c Ejemplo:
5 (2 x 3 3x 4) 10 x 3 15 x 20
5.2. P RODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Observa el siguiente ejemplo en el que se vuelve a aplicar la propiedad distributiva. Ejemplo:
5 x 2 (2 x 3 3x 4) 10 x 5 15 x 3 20 x 2
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5.3. P RODUCTO DE DOS POLINOMIOS
Combinando los productos de un polinomio por un número y por un monomio, como hemos visto más arriba, podemos calcular el producto de dos polinomios. Para calcular el producto de dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y se suman los monomios obtenidos, reduciendo los que sean semejantes. Ejemplo: Realiza el producto
( x 3 4 x 2 5 x 1) ( x 2 3 x 2)
En el próximo curso estudiarás la división de polinomios.
Ejercicios cursos anteriores: del 28 al 31. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 35 al 43.
6. E XTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN
Consiste en aplicar la propiedad distributiva pero al revés de como la utilizamos cuando multiplicamos, es decir: p a p b p c p ( a b c ) El monomio " p " que se extrae tiene como coeficiente el MCD de los coeficientes y como parte literal, las variables comunes elevadas al menor exponente. Ejemplos: a)
3x 3 y 3 ( x y )
b)
6 x 2 8 x 2 x (3 x 4)
c)
12 x 3 18 x 2 6 x 2 (2 x 3)
d)
12 x 2 4 x 4 x (3x 1)
e)
12 x 3 4 x 2 x x (12 x 2 4 x 1)
f)
6 x 2 y 9 xy 2 3 xy (2 x 3 y )
Ejercicios cursos anteriores: el 44 (Está resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 45 al 47.
7. P RODUCTOS NOTABLES
Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorización resulta útil para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas. 7.1. C UADRADO DE UNA SUMA
Se verifica (a b) 2 a 2 2ab b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar: (a b) 2 (a b) (a b) a 2 ab ba b 2 a 2 2ab b 2 pues es ab ba Se lee: "El cuadrado de una suma es igual ... al cuadrado del primer sumando .... más el
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Interpretación gráfica del cuadrado de la suma
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doble del primero por el segundo ... más el cuadrado del segundo". Ejemplo 1:
( x 3) 2 x 2 2 x 3 3 2 x 2 6 x 9
Ejemplo 2:
(2 3x) 2 2 2 2 2 3 x (3x) 2 4 12 x 9 x 2
7.2. C UADRADO DE UNA DIFERENCIA
Se verifica (a b) 2 a 2 2ab b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar: (a b) 2 (a b) (a b) a 2 ab ba b 2 a 2 2ab b 2 pues es ab ba Se lee: "El cuadrado de una diferencia es igual ... al cuadrado del primer sumando .... menos el doble del primero por el segundo ... más el cuadrado del segundo." Ejemplo 1:
( x 1) 2 x 2 2 x 1 12 x 2 2 x 1
Ejemplo 2:
( x 2 3x) 2 ( x 2 ) 2 2 x 2 3 x (3 x) 2 x 4 6 x 3 9 x 2
7.3. S UMA POR DIFERENCIA
Se verifica (a b) ( a b) a 2 b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar: (a b) (a b) a 2 ab ba b 2 a 2 b 2 Se lee: "La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" Ejemplo 1:
( x 2) ( x 2) x 2 2 2 x 2 4
Ejemplo 2:
(3 4 x) (3 4 x) 3 2 (4 x) 2 9 16 x 2
Ejercicios cursos anteriores: del 48 al 49. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: del 50 al 59. 8. F RACCIONES ALGEBRAICAS
Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios
Ejemplos:
3x x 5 2
;
1 x3
;
P ( x) . Q( x)
3xy x 5y 2
Dada una fracción algebraica, podemos hallar fracciones equivalentes de dos formas: Simplificando: Dividiendo numerador y denominador por un mismo polinomio. Ejemplo 1: Simplifica la fracción
Solución: Es
9 x( x 1) 2 3 3 x ( x 1) ( x 1) 3( x 1) 3x 3 3 2 x x ( x 1) 2x 2x 6 x 2 ( x 1)
Ejemplo 2: Simplifica
3 x( x 1) 2 . 6 x 2 ( x 1)
3x 3 12 x . 6 x 12
Solución: Es
3 x 3 12 x 3 x( x 2 4) 3 x ( x 2) ( x 2) x 2 3 2 x ( x 2) 2 6 x 2 12 x 6 x( x 2)
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Amplificando: Multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio. Se suele amplificar cuando queremos que varias fracciones algebraicas tengan el mismo denominador para tal vez sumarlas. Ejemplo 3: Encuentra fracciones equivalentes a
Solución: Es
2 2 ( x 1) 2 x 2 x x ( x 1) x 2 x
y
2 5x y a que tengan el mismo denominador. x x 1
5x 5x x 5x 2 2 x 1 ( x 1) x x x
P ( x) R( x) y son equivalentes: Q( x) T ( x) Son equivalentes si P ( x) T ( x) R( x) Q( x) (método de los productos cruzados). Son equivalentes si al simplificarlas obtenemos la misma fracción irreducible.
Hay dos métodos para saber si dos fracciones algebraicas
Ejercicios cursos anteriores: 61, 62 y 70. (Están resueltos en vídeo) Ejercicios curso actual: 60 y del 63 al 65.
Las operaciones con fracciones algebraicas se realizan de forma similar a las operaciones con fracciones numéricas. 8.1. S UMA Y RESTA
Para sumar o restar fracciones algebraicas, se reducen a común de nominador y se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador común. Ejemplo 1:
2 5x 2 ( x 1) 5x x 2x 2 5x 2 2 x 2 5x 2 5x 2 2 x 2 2 2 x x 1 x ( x 1) ( x 1) x x x x x x2 x x2 x
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
8.2. P RODUCTO
El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores.
Ejemplo:
8.3. C OCIENTE
El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, dividido por el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda (producto cruzado de términos).
Ejemplo 1: Ejemplo 2:
3 5x 3 5x 3 3 (5 x 3) x 3 x (5 x 3) 3 : x x 1 x x ( x 1) (5 x 3) x ( x 1) (5 x 3) x 1
Ejercicios curso actual: del 66 al 78.
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TEORÍA Y EJERCICIOS Expresiones algebraicas
1. (1º ESO) a) ¿Qué es el álgebra?. ¿Qué es la aritmética? Propón un problema aritmético y uno algebraico. b) ¿Cuál es la propiedad distributiva del producto respecto de la suma?. ¿Conoces alguna propiedad más de los números enteros? c) ¿Cuál es la diferencia entre una expresión algebraica, una igualdad algebraica y una ecuación algebraica? Propón ejemplos de cada caso.
2. (1º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora? b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro? c) El lado de tres cuadrados iguales mide x metros. ¿Cuál es el área de los 3 cuadrados? d) El doble del número x. e) El doble de x más cinco. f) El doble del resultado de sumarle cinco a x. g) La mitad del número x. h) La mitad de x menos cinco. i) La mitad del resultado de restarle cinco a x. j) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h. k) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg. l) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros. m) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro.
3. (2º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Mi paso es de 69 cm. ¿Cuántos pasos daré para dar tres vueltas a un circuito de "a" metros? b) Si hace tres horas estaba en el kilómetro 26 de una carretera y voy a una velocidad media de x km/h ¿En qué punto kilométrico me encuentro de la misma carretera?
4. (2º ESO) En una granja hay C caballos, V vacas y G gallinas. Asocia cada una de estas expresiones al número de: a) Patas
b) Cabezas
c) Orejas
d) Picos más alas
1ª) 2C+2V
2ª) C+V+G
3ª) 4(C+V)+2G
4ª) 3G
5. (2º ESO) Llamando "x" al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraicamente: a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo. b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria. c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y en Navidad.
6. (2º ESO) Traduce a una igualdad algebraica (ecuación) cada uno de estos enunciados: a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado, obtienes el triple de dicho número. Calcula por tanteo el valor del número "x" (has resuelto la ecuación por tanteo). b) Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes la edad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge. Calcula por tanteo la edad "x" de Jorge (has resuelto la ecuación por tanteo).
7. (2º ESO) Un trabajador cobra un sueldo base, "B", más 16 euros por cada hora extra. A todo ello se le descuenta un 18% de IRPF. El resultado es el sueldo neto, "S". Si "n" es el número de horas extra que ha hecho en un mes, ¿cuál, o cuáles, de estas expresiones sirven para calcular el sueldo neto? a) S B 16n 18
8.
b) S ( B 16n) 0,82
c) S
18 ( B 16n) 100
(2º ESO) Un fontanero que presta servicio a domicilio cobra, por acudir a una llamada, un fijo de 25 €, más el importe del material utilizado, más 15 € por cada hora de trabajo. Y a todo ello se le añade el 21% de IVA. Escribe la fórmula para obtener el importe de la factura (I), en función de las horas invertidas (h) y el coste del material (M).
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9. (2º ESO) a) Halla la expresión algebraica que da las unidades del triple de un número de tres cifras abc ("a" son las centenas, "b" las decenas y "c" las unidades). b) Halla la expresión algebraica de un número par, de un número impar, de la suma de tres números pares consecutivos, de un cuadrado perfecto, de un cubo perfecto. c) Doblando un alambre de 40 cm formamos un rectángulo. Halla la expresión algebraica que define el área del rectángulo de base "x" y calcula su valor para x=4.
10. Traduce los siguientes enunciados a expresiones algebraicas o a ecuaciones: a) El doble de un número menos su tercera parte. b) El doble del resultado de sumar tres a un número. c) El área del triángulo de la derecha es 36 cm2. d) Gasto tres quintos de mi dinero comprando un vestido, y 60€ en dos camisetas. Me queda la mitad de mi dinero inicial.
x 2x
11. Asocia una expresión algebraica a cada uno de los siguientes enunciados: a) b) c) d)
El cuadrado de un número menos su doble. 80% de un número. Un número impar. Dos tercios de un número más cinco.
12. Traduce al lenguaje algebraico, usando solo una variable: a) b) c) d)
Tres veces un número menos dos. El producto de dos números consecutivos. El cuadrado de un número menos su mitad. La suma de dos números, uno diez unidades más que el otro.
13. Traduce al lenguaje algebraico usando dos variables. a) b) c) d)
La suma de los cuadrados de dos números. El cuadrado de la diferencia de dos números. La mitad del producto de dos números. La semisuma de dos números.
14. Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, traduce los siguientes enunciados usando las dos variables: a) La suma de sus edades hace 5 años. b) El producto de sus edades dentro de 6 años. c) La diferencia entre la edad de uno y la mitad de la del otro. Monomios. Operaciones con monomios.
15. (2º ESO) Copia en tu cuaderno y completa: Monomio
2 2 ab 5
3x5
a
Coeficiente
3
1/ 4
Parte literal
x 2 yz 3
ab
Grado
16. (2º ESO) Suma de monomios. Reduce todo lo posible: a) b 3 b 3 b 3 b3 e) 3x 2 4 4 x
b) x x f) 5 x 2 3 4 x 2 1
c) 4a a g) 4 x 1 4 x 4
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d) 8 x 3 x h) 3x 4 2 x 2
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EJERCICIOS
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17. (2º ESO) Producto de monomios. Haz las multiplicaciones siguientes: a) (3x) ( x)
b) (4a) (5a 2 )
x2 c) (6 x) 2
d) (
4x2 x2 ) 3 2
f) (3x) (5 xy )
g) (2ab) (4ba 2 )
4 h) (4ab) b 3
2 2 i) ab ab 3 3
1 e) (5 x) x 2 2 3 2ab 3a b j) 3 2
18. (2º ESO) Cociente de monomios. Haz las divisiones siguientes: a)
4x 2
b)
5x 10 x
c)
12 x 2 4x
d)
6x 3x 2
e)
6 x3 3x 2
f)
5x 5x3
g)
128 x 2 32 x 2
19. ¿Cuál es el grado de los siguientes monomios? a) –5xy2z3
b) 11xy2
c) –12
20. Agrupa términos semejantes: a) 5x + 3x2– 11x + 8x – x2+ 7x c) 2x – 5x2+ 3x + 11y + 2x3
b) 6x2y – 13x2y + 3x2y – x2y d) 3yz3+ y3z – 2z3y + 5zy3
21. Calcula los siguientes productos: a) (3x)·(5x2)
2 2 3 3 x . x 9 5
d)
2 3 x .( 6x) 3
b) (– 3x2)·(4x3)
c)
e) (7xy2)·(2y)
f) (5xyz)·(– 3x2z)
22. Indica el grado de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) – 5xy e)
2 2 2 x y 3
b) (– 7x)3 f)
4 3 x 5
c) 8x
d) (xy)2
g)
h)
3yx 5
1 2 x 2
23. Reduce: a) 6x2– 7x2+ 3x2
b) – 6xy – 5xy + 10xy
c)
2 x3 1 3 3 x x 3 5
24. Calcula los siguientes productos de monomios: a) 6x2(– 3x) b) (2xy2)(4x2y)
3 4
1 2
c) x 3 x 3
1 4
3xz 2
d) xy
Polinomios. Operaciones con polinomios
25. (1º ESO) Define y propón ejemplos de: a) Monomios. c) Monomios semejantes.
b) Coeficiente, parte literal y grado de un monomio. d) Polinomios y grado de un polinomio.
26. (1º ESO) Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: 2 3 2 a) 5 x 9 en x 2 b) x 9 x 1 en x 3 c) x 2 x 3x 2 en x 1 27. (1º ESO) a) Halla el valor numérico del polinomio P( x) x 4 2 x 3 en x 0 , en x 2 , en x 1 , en x 1 . b) Halla mentalmente el número que anula el binomio 2 x 16 (ese número se llama raíz del binomio). c) Halla mentalmente los dos números que anulan el polinomio x 2 x 2 (esos números se llama raíces del polinomio y en el tema posterior aprenderemos a calcularlos resolviendo una ecuación) d) Halla el valor numérico del polinomio de dos variables P ( x, y ) 4 x 2 y 3 y 3 para x 2; y 1
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28. (2º ESO) Suma de polinomios. Completa: a)
b)
c)
d)
29. (2º ESO) Suma y resta de polinomios. Dados los polinomios P ( x) 3x 3 5 x 2 3 x 2 ; Q( x) 2 x 3 4 x 2 x 3 ; R( x) 5 x 3 3 x 5 , calcula: a) P ( x) Q( x) b) P( x) Q( x) c) Q( x) P( x) d) P( x) R( x) e) P( x) Q( x) R( x)
30. (2º ESO) Producto de polinomios. Haz las siguientes multiplicaciones: a) 2 ( x 3 3 x 2 2 x 2)
b) 3x 2 (5 x 2 4 x 1)
c) (2 x) (5 x 2 3)
d) ( x 1) (2 x 3)
e) (2 x 1) (2 x 5)
f) (3x 2) ( x 3 x 2)
g) ( x 2) ( x 3x 1)
h) ( x 2 2 x 3) (2 x 3 5 x 1)
2
2
2
3
31. (2º ESO) Reduce: a) 2(3x 1) 3( x 2) 4 x 2
b) ( x 1) ( 2 x 3) 2 ( x 2 1)
c) ( x 3) (2 x 3) (3x 2) 2 x
d) 3(4 x 3) (2 x 5) (24 x 2 5 x 2)
e) [3x ( x 2 3 x) ( x 1)] 2 x 1
f) [3x ( x 2 3x) ( x 1)] 2 x 1
32. Indica el grado de los siguientes polinomios: a) x6– 3x4+ 2x2+ 3
b) 5x2+ x4– 3x2– 2x4+ x3
c) x3+ 3x2– 2x3+ x + x3– 2
33. a) Halla el valor numérico del polinomio P( x) x 3 3 x 2 5 x 9 en x 1 , en x 1 , en x 2 , en x 0 . b) Halla mentalmente el número que anula el binomio Q( x) 2 x 12 (ese número se llama raíz del binomio). c) Halla mentalmente los dos números que anulan el polinomio x 2 5 x 6 (esos números se llama raíces del polinomio y en el tema posterior aprenderemos a calcularlos resolviendo una ecuación) d) Halla el valor numérico del polinomio de dos variables P ( x, y ) 5 x 2 y 2 y 3 3x 2 para x 2; y 1
34. a) ¿Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio? b) Comprueba si 3 o 0 son raíces de alguno de estos polinomios: P ( x) x 3 2 x 2 x 12 ; Q( x) x 3 5 x 2 7 x ; R ( x) ( x 4 5 x 10)( x 3) c) ¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio x3 – 5x2 –7x + k? Justifica tu respuesta.
35. Si P(x) = 5x3– 2x + 1 y Q(x) = x4– 2x2 + 2x – 2 calcula P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x). 36. Calcula los siguientes productos e indica su grado: a) 2x(x2+ 3x – 1) d) 5(x2+ x – 1) g) 4x2(3 – 5x + x3)
b) 2x2(3x2– 4x + 6) e) –7x5(2x2– 3x – 1) h) 8x2(x2+ 3)
c) –2(–3x3– x) f) –7x(2x3– 3x2+ x) i) –x3(–3x + 2x2)
37. Si P(x) = 4x2+ 3, Q(x) = 5x2– 3x + 7 y R(x) = 5x – 8, calcula: a) P · Q
b) P · R
c) Q · R
38. Desarrolla y agrupa términos semejantes: a) x(5x2+ 3x – 1) – 2x2(x – 2) + 12x2 2( x 3) 4( y x) x 2 7 3 5 15
c) 15
b) 5(x – 3) + 2(y + 4) –
7 (y – 2x + 3) – 8 3
d) (x2– 2x + 7)(5x3+ 3) – (2x5– 3x3– 2x + 1)
39. Reduce las siguientes expresiones e indica su grado: a) (2x3– 5x + 3) – (2x3– x2 + 1)
b) 5x – (3x + 8) – (2x2– 3x)
40. Considera los polinomios: B = 2x4+ x3– 2x + 4 A = 3x3– 5x2+ x – 1 Calcula: A + B; A – C; A – B + C
C = –x3+ 3x2– 7x
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41. Desarrolla, reduce e indica el grado de los polinomios obtenidos: a) x(x2– 5) – 3x2(x + 2) – 7(x2+ 1) b) 5x2(–3x + 1) – x(2x – 3x2) – 6x c)
1 2 3 2 x x 6x 9 3 2
42. Desarrolla y reduce: a) (2x2+ 3)(x – 1) – x(x – 2)
b) (x + 4)(2x2+ 3x – 5) – 3x(–x + 1)
c) (x2– 5x + 3)(x2– x) – x(x3– 3)
d)
1 1 2 5 x x 6 x 12 3 6 2
43. Desarrolla y reduce:
a) (3x 1) (2 x) 2 (3 x 2 1) (2 x 5) 5 17 x 2 b) 2 x 3 (3x 4)( x 1)(2 x 2 1)
c) (3x 2 2 x 5) 2 2(2 x 1) 3
Sacar factor común
44. (2º ESO) Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios: a) 4 x 4 y 4 z
b) 2 x 6 xy 3xz
c) a 2 3a
d) 3a 6b
e) 2 x 4 y 6 z
f) 4 x 8 x 2 12 x 3
g) 9a 6a 2 3a 2
h) 2a 2 5a 3 a 4
i) 4 xy 6 y
j) 48 x 7 12
k) 4 x 3 4 x 2 3
l) 12 y 6 xy 2 z 2
45. Saca los factores comunes en las siguientes expresiones: a) 5x2– 15x3+ 25x4 c) 2x2y– 5x3y(2y– 3)
b) 2x3y5– 3x2y4+ 2x7y2+ 7x3y3 d) 2(x – 3) + 3(x – 3) – 5(x – 3)
e) 2xy2– 6x2y3+ 4xy3
f)
( x 2 3) 7 ( y 1) ( y 1) 2 2
46. Saca factor común: a) 12x3– 8x2– 4x
b) –3x3+ x – x2
c) 2xy2– 4x2y + x2y2
d)
2 2 1 3 5 x x x 3 3 3
47. Saca factor común: a) 3x(x + 1) – x2(x + 1) + (x + 1)(x2– 2) c) x2(x + 1) – x2(x + 2) + 2x2(x – 3)
b) 2x(x – 2) + x2(x – 2) – 3(x – 2) d) 3x2(x + 3) – 6x(x + 3)
Productos notables
48. (2º ESO) Calcula utilizando las fórmulas de los productos notables. Después comprueba el resultado realizando la operación: a) ( x 3)
b) (3 a)
2
5 3 g) a 2 2
f) (5 3a) 2
3 c) x 2
2
2
d) (a 6) 2
e) (2 x 1) 2
i) (3x 5) (3 x 5)
3 3 j) ( x 5) ( x 5) 4 4
2
h) ( x 5) ( x 5)
49. (2º ESO) Utilizando los productos notables, descompón en factores: a) x 2 6 x 9
b) x 2 8 x 16
c) x 2 2 x 1
d) 4 x 2 4 x 1
e) x 2 4
50. Desarrolla los siguientes cuadrados de binomios: a) (x + 4)2
x 2
d)
3 4
b) (2x – 5)2 2
e) 2 x 2
1 2
c) (1 – 6x)2 2
f) (ax + b)2
Página 11
f) 1 4 x 2
g) 4 9 x 4
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51. Desarrolla los siguientes productos: a) (x + 1)(x – 1)
x 1 x 1 3 2 3 2
c)
b) (2x + 3)(2x – 3)
52. Factoriza usando una identidad notable: a) x2– 4
b) 4x2– 25
c) x2+ 8x + 16
d) x2+ 2x + 1
e) x2+ 1 – 2x
f) 9x2+ 6x +1
g) 4x2+ 25 – 20x
h)
x2 x 1 4
53. Reduce las siguientes expresiones: a) c) e) g)
(x – 2)(x + 2) – (x2+ 4) 2(x – 5)2– (2x2+ 3x + 50) (5x – 4)(2x + 3) – 5 3x2– 2(x + 5) – (x + 3)2+ 19
b) (3x – 1)2– (3x + 1)2 d) (2x – 4)2– (2x + 4)(2x – 4) f) 3(x2+ 5) – (x2+ 40) h) (x + 3)2– [x2+ (x – 3)2]
54. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma por diferencia).
a) 7 x 2 3
2
b)
3x 2
3x 2
55. Desarrolla los siguientes productos: 2 2 1 1 2 a) x y b) x 3 2 5 1 1 d) (x2+ x)(x2– x) e) x 1 x 1 2 2
c) (x – 2y)2
f) 1
1 1 1 x x
56. Reduce las siguientes expresiones: a) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2 c) 3x(x + 1)2– (2x + 1)(2x – 1)
b) (2x + 3)2– (2x – 3)2– 9 d) (x2+ 2)(x2– 2) – (x2– 1)2
57. Reduce las siguientes expresiones: a) (x 3) 2
b) (200 x 2 2 (102 2)) 2
c) (2 x 2 x 3) 2
d) ( x 2) 2 ( x 2)
e) ( x 2) 4
58. Completa el término que falta para formar el cuadrado de un binomio: a) x2+ 4x +….
b) x2 – 10x +….
c) x2 + …. +9
d) x2– ….+ 16
59. Expresa en forma de producto utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma por diferencia). 1 a) 16 x 2 9 b) 5 x 4 c) x 2 6 x 9 d) 4 x 4 4 x 2 1 16 Fracciones algebraicas. Operaciones con fracciones algebraicas.
60. a) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x ( x 1) 9x a1) a2) 2 5( x 1) 12x
a3)
x 2 ( x 2) 2x 3
3x x5 y a que tengan el mismo denominador. x 1 2x 3 x2 2x 1 3x 3 3x 2 y c) Demuestra que las fracciones algebraicas son equivalentes. 2x 2 2 6x3 6x2 b) Encuentra fracciones equivalentes a
61. (2º ESO) Descompón en factores el numerador y el denominador utilizando los productos notables y extraer factor común y después simplifica: x2 9 5 x 15 a) 2 b) 2 x 6x 9 x 6x 9
c)
3x 3 3x 2 3
d)
x2 2x 1 5x2 5x
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e)
2x2 6x 2 x 3 12 x 2 16 x
f)
3x 2 6 x 3 5x2 5x
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Tema 2: ÁLGEBRA: Polinomios y fracciones algebraicas.
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62. (2º ESO) Simplifica las fracciones de polinomios (fracciones algebraicas), si es posible: a)
2x 2 3x 3
b)
x 2 x 3x
c)
x 2 3x x
d)
x ( x 2) 2x 4
e)
63. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3( x 1) 2 15x 2 a) b) 9( x 1) 5x 2 ( x 3) d)
9( x 1) 3( x 1) 2( x 1)
e)
5x 2 ( x 3) 2 ( x 3) 15x ( x 3)
18 x ( x 2)3 ( x 2) 6 x 2 ( x 2) 2
c)
3x 2 9 x 3 15 x 4 9 x 3
f)
x (3x 3 x 2 ) (3x 1) x 3
64. Factoriza el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3x 3x 3 x 2 4x a) b) 2 c) 2 x x 2x ( x 1) 2 d)
2x 2 4x x 3 2x 2
e)
8x 3 4 x 2 (2x 1) 2
f)
5x 3 5x x4 x2
65. Factoriza el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2x 4 x 1 x2 a) b) 2 c) 2 2 3x 6x x 1 x 4x 4 2 2 x3 2x 2 x x 3x x 4 d) e) f) 3x 3 x2 9 x 2 4x 4 66. Opera y simplifica: x2 1 x ( x 2) x 2 4 x 2 2x 1 x 1 a) : ( x 1) b) c) : : x x x2 x x 2 2x 4x x 3 3x 3 x ( x 1) : d) 6 x 2 · 3 e) f) · 2 2 x 1 2x 2 x x x 1 2 4x 3 4x x5 3x 3 3x 5 · g) h) i) · · 2 2 2x 8x 6 10 x 10x 25 18x 18 x 67. Opera y simplifica si es posible: 3 2 3x 2 x 1 x 3 x2 1 : ( x 1 ) : · 3 : a) b) c) d) 2 x 1 x x 1 x ( x 1) 4 ( x 1) 2 68. Reduce a común denominador y calcula: 2 3 x2 1 1 1 a) b) 2 3 x 2x x 6x 3x 2x 2x x 1 2 x 1 d) e) x 3 x 3 x x 7 2 7x 3 2 x 2 8x g) 2 4x h) 2 3 x 1 x 9 x 3 x x 69. Opera y simplifica:
3 1 x x 1 2x 4 2 3 x 1 f) x x4 x4 3 1 i) 2 2 x 1 x x c)
x2 1 x3 x2 5 x 2 25 5 ( x 1)(5 x 2 25)
a)
5x 6 x 2 5x : 2 4x 9 2x 3 2x 3
b)
c)
1 5 x x 1 (3 x) 3 4 12
d)
( 2 x 5) 2 x(3x 9) ( x 1)( x 1) 6 9 3
Página 13
f)
18( x 2)3 2 6 x 2 ( x 2) 2
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EJERCICIOS
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70. (2º ESO) Utilizando el asistente matemático WIRIS realiza los siguientes cálculos: a) Halla el valor numérico del polinomio P ( x) x 4 2 x 3 en x 2 . Ayuda: escribe P(x) y luego P (2) b) Dados los polinomios P ( x) 3x 3 5 x 2 3 x 2 ; Q( x) 2 x 3 4 x 2 x 3 ; calcula: P ( x) Q( x) y P( x) Q( x) c) Simplifica [3x ( x 2 3 x) ( x 1)] 2 x 1 d) Desarrolla (5 3a) 2 . e) Factoriza 4 x 2 4 x 1 . Ayuda: escribe factorizar (4 x 2 4 x 1) f) Simplifica la fracción algebraica
18 x ( x 2)3 ( x 2) 6 x 2 ( x 2) 2
Otros ejercicios
71. Expresa, usando una expresión algebraica, el perímetro y el área de los siguientes rectángulos: A
B
3
x
72. Expresa, usando una expresión algebraica, el perímetro y el área de los siguientes rectángulos:
C
x
2x
A
x+2
B
y
x
x
C
y
x–1
y+1
x
x
73. Expresa usando una expresión algebraica: a) El área del triángulo azul. b) El área del trapecio rojo. c) La longitud de “d”.
3
d
x
74. Expresa, usando una expresión algebraica, el área coloreada: y
2 2 x
75. Expresa, mediante expresiones algebraicas, el área del siguiente trapecio y la longitud de su diagonal “d” x
y
d 3x
76. Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor. Divide el resultado por el del medio. ¡Obtienes siempre 4! Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico.
77. Utiliza el lenguaje algebraico para demostrar que los siguientes enunciados son verdaderos: a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al triple del segundo. b) Si al cuadrado de un número impar le restas 1, obtienes siempre un múltiplo de 4. c) Si al cuadrado de un número le resto el producto del número anterior por el número posterior, el resultado es siempre igual a 1.
78. a) Simplifica la expresión (a 1) 2 (a 1) 2 . b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de 25012–24992.
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SOLUCIONES www.josejaime.com
SOLUCIONES: 1. 2. 3. 4. 5.
(Ver vídeo) (Ver vídeo) a) 3a/0,69; b) 26+3x (Ver vídeo) 1-c; 2-b; 3-a; 4-d (Ver vídeo) a) 0,8x; b) 1,8x; c) 13,6x (Ver vídeo)
6.
a)
7.
La b. (Ver vídeo)
8.
I ( 25 M 15h) 1,25 (Ver vídeo)
9.
a) 300a 30b 3c ;
x 15 3x ; es x 3 ; b) 3x 5 x 33 ; x 19 años (Ver vídeo) 2
10. a) 2x
b) 2 x ; 2 x 1 ; 2 x 2 x 2 2 x 4 ; x 2 ; x 3 ;
c) x (20 x) ; 64 cm2 (Ver vídeo)
2x.x x 3 x b) 2(x + 3) c) 36 d) x x 60 3 2 5 2
11. a) x2– 2x
b) 0.8x c) 2x + 1 d)
12. a) 3x – 2 b) x(x+1) c) x 2 13. a) x2+ y2 b) (x – y)2 c)
x 2
2 x5 3 d) x + (x +10)
x.y xy d) 2 2
14. a) (x – 5) + (y – 5) = x + y – 10
c) x
b) (x + 6)(y + 6) = xy + 6x + 6y + 36
y 2
15. (Ver vídeo) 16. a) 4b3 ; b) 0; c) 5a ; d) 5 x ; e) 7 x 2 ; f) x 2 2 ; g) –3; h) 2 x 2 3x 4 (Ver vídeo) 17. a) 3x 2 ; b) 20a 3 ; c) 3x 3 ; d) 18. a) 2 x ; b) 1 / 2 ; c) 3 x ; d)
2 4 5 16 2 4 x ; e) x 3 ; f) 15 x 2 y ; g) 8a 3b 2 ; h) ab ; i) a 2b 2 ; j) a 4b 2 (Ver vídeo) 3 2 3 9
1 2 ; e) 2 x ; f) 2 ; g) 4 (Ver vídeo) x x
19. a) 6 b) 3 c) 0 20. a) 2x2+ 9x b) –5x2y c) 2x3– 5x2+ 5x + 11y d) yz3+ 6y3z 21. a) 15x3 22. a) 2
b) – 12x5 c) – 4x4
d)
2 5 x 15
b) 3 c) 1 d) 4 e) 4 f) 3 g) 2 2 3 x 15 3 c) x 6 8
e) 14xy3
f) – 15x3yz2
h) 2 ; términos semejantes: a y g; b y f; d y e
23. a) 2x2 b) – xy c) 24. a) – 18x3 25. 26. 27. 28.
b) 8x3y3
d)
3 2 x yz 8
(Ver vídeo) a) –19; b) –17; c) 0 (Ver vídeo) a) 3; –9; 0; 4; b) 8; c) 1 y –2; d) –13 (Ver vídeo) (Ver vídeo)
29. a) x 3 x 2 4 x 1 ; b) 5 x 3 9 x 2 2 x 5 ; c) 5 x 3 9 x 2 2 x 5 ; d) 8 x 3 5 x 2 6 x 3 ; e) 4 x 3 x 2 x 4 (Ver vídeo) 30. a) 2 x 3 6 x 2 4 x 4 ; b) 15 x 4 12 x 3 3x 2 ; c) 10 x 3 6 x ; d) 2 x 2 x 3 ; e) 4 x 3 2 x 2 10 x 5 ; f) 3 x 3 7 x 2 12 x 4 ; g) x 5 x 3 x 2 6 x 2 ; h) 2 x 5 4 x 4 11x 3 9 x 2 17 x 3 (Ver vídeo)
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SOLUCIONES
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31. a) 5x+6; b) 5x+1; c) 6 x 3 23x 2 11x 18 ; d) 37 x 47 ; e) x 3 2 x 2 8 x 1 ; f) 2 x 4 4 x 3 12 x 2 1 (Ver vídeo) a) 6 b) 4 c) 2 a) –12; 0; 21; –9; b) –6; c) 2 y 3; d) –10 b) 3 es raíz de P y de R, 0 es raíz de Q ; c) k=14 P+Q = x4+5x3–2x2–1 ; P–Q = –x4+5x3+2x2–4x+3 a) 2x3+6x2–2x; grado 3 b) 6x4–8x3+12x2; grado 4 c) 6x3+2x; grado 3 d) 5x2+5x–5; grado 2 e) –14x7+21x6+7x5; grado 7 f) –14x4+21x3–7x2; grado 4 g) 12x2–20x3+4x5; grado5 h) 8x4+24x2; grado4 i) 3x4–2x5; grado 5 37. a) P·Q = 20x4–12x3+43x2–9x+21 b) P·R = 20x3–32x2+15x–24 c) Q·R = 25x3–55x2+59x–56
32. 33. 34. 35. 36.
38. a) 3x3+19x2–x b)
29 1 x y 22 3 3
c) 23x–12y–133 d) 3x5–10x4+38x3+3x2–4x+20
39. a) x2–5x+2; grado 2 b) –2x2+5x–8; grado 2 40. A+B = 2x4+4x3–5x2–x+3; A–C = 4x3–8x2+8x–1; A–B+C = –2x4+x3–2x2–4x–5 1 4 x 2 x 3 3x 2 ; grado 4 2 d) 3x3+4x2–19x–2
c)
41. a) –2x3–13x2–5x–7; grado 3 b) –12x3+3x2–6x; grado 3 42. a) 2x3–3x2+5x–3
b) 2x3+14x2+4x–20
43. a) 18 x 4 27 x 3 13x
c) –6x3+8x2
b) 6 x 4 11x 2 x 4 c) 9 x 4 4 x 3 2 x 2 32 x 27
44. a) 4( x y z ) ; b) x(2 6 y 3 z ) ; c) a (a 3) ; d) 3(a 2b) ; e) 2( x 2 y 3 z ) ; f) 4 x(1 2 x 3 x 2 ) ; g) 9a (1 a ) ; h) a 2 (2 5a a 2 ) ; i) 2 y ( 2 x 3) ; j) 12(4 x 7 1) ; k) 4 x 3 4 x 2 3 ; l) 6 y (2 xyz 2 ) (Ver vídeo) 45. a) 5x2(1–3x+5x2) b) x2y2(2xy3–3y2+2x5+7xy)
x 2 10 c) x2y(2–10xy+15x) d) 0 e) 2xy2(1–3xy+2y) f) ( y 1) 2
46. a) 4x(3x2–2x–1) b) (–3x2+1–x)x c) xy(2y–4x+xy) d)
1 x 2x x 2 5) 3
47. a) (x+1)(3x–2) b) (x–2)(2x+x2–3) c) x2(2x–7) d) 3x(x+3)(x–2)
9 3 x x 2 ; d) a 2 12a 36 ; e) 4 x 2 4 x 1 ; f) 25 30a 9a 2 ; 4 25 15 9 9 2 a a 2 ; h) x 2 25 ; i) 9 x 2 25 ; j) g) x 25 (Ver vídeo) 4 2 4 16
48. a) x 2 6 x 9 ; b) 9 6a a 2 ; c)
49. a) ( x 3) 2 ; b) ( x 4) 2 ; c) ( x 1) 2 ; d) (2 x 1) 2 ; e) ( x 2)( x 2) ; f) (1 2 x)(1 2 x) ; g) (2 3 x 2 )(2 3 x 2 ) (Ver vídeo) 50. a) x2+8x+16 b) 4x2–20x+25 51. a) x2–1
b) 4x2–9
c)
c) 1–12x+36x2
d)
x 2 3x 9 4 4 16
e) 4x 4 2 x 2
1 4
f) a2x2+2abx+b2
x2 1 9 4
52. a) (x+2)(x–2) b) (2x+5)(2x–5) c) (x+4)2
d) (x+1)2 e) (x–1)2 f) (3x+1)2 g) (2x–5)2
x h) 1 2
2
53. a) –8 b) –12x c) –23x d) –16x+32 e) 10x2+7x–17 f) 2x2–25 g) 2x2–8x h) 12x–x2 54. a) 49 x 4 42 x 2 9 b) 3x 2 4 55. a)
4 2 4 1 1 c) x 2 4 xy 4 y 2 d) x4–1 x xy y 2 b) x 2 x 25 15 9 4
1 2 x 1 4
e)
f) 1
1
x2
56. a) –6x–15 b) 24x–9 c) 3x3+2x2+3x+1 d) 2x2–5 57. a) x 2 6 x 9 b) 40000 x 4 80000 x 2 40000 c) 4 x 4 4 x 3 13 x 6 x 9 d) x 3 2 x 2 4 x 8 e) x 4 8 x 3 24 x 2 32 x 16 58. a) x2+4x+4 b) x2–10x+25 c) x2+6x+9 59. a) 4 x 34 x 3
d) x2–8x+16
1 1 b) 5 x 2 5 x 2 4 4
c) x 32 d) 2 x 2 1
Página 16
2
MATEMÁTICAS 3º ESO
IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org
Tema 2: ÁLGEBRA: Polinomios y fracciones algebraicas.
Ejercicios resueltos en video x 3 a2) 5 4x dos fracciones.
60. a1)
SOLUCIONES www.josejaime.com
6x 2 9x x 2 6x 5 x2 ; b) y ; c) Utiliza el criterio de los productos cruzados o simplifica las 2x 2x 2 x 3 2x 2 x 3
a3)
61. a)
x3 5 1 x 1 3x 3 x3 ; b) ; c) ; d) ; e) 2 ; f) (Ver vídeo) x 3 x3 x 1 5x 5x x 6x 8
62. a)
x 3( x 2)( x 2) 9( x 2)3 1 2 5 ; b) ; c) x 3; d) ; e) ; f) (Ver vídeo) 3 x3 2 x 3 x 2 ( x 2) 2
63. a)
3 x 3
b)
x 1 3
64. a)
x4 x
b)
3 x2
65. a)
2 3x
66. a)
x 1 x
67. a)
3 3 3 2 ( x 1) x x x2
68. a)
2x 3 2x
g)
b)
1 x 1
1 3x x(5 x 3)
c)
c)
3 x 1
1 x2
c)
b) 1 c) x–1 d)
b)
b)
x 2 2x 3
4x 2 6x 5 x 1
6x 3
e)
4x 2 2x 1
x x 3
e)
x2 x2
6( x 3) 6x 18 x x
3x 2 2 x x 1 2
c)
i)
e)
5 x
f) f)
f) 1
x ( x 1) 3
3 x
f)
1 x
1 1 2( x 5) 2 x 10
g)
3 3 2 2 2( x 1) 2x 4x 2
c)
x 3 x 2 14 x 2 4 x ( x 1)
4 x 2 21x 25 ( x 3)( x 3)
h)
69. a) 3/10 ; b) –1/5 ; c)
2 x
d)
d)
x ( x 3)( x 3) x 3 9 x 3 3
d) 3 e)
d)
x 2 10 x 3 ( x 3)( x 3)
e)
d)
h) x i)
2 x 1
x 2 x 14 x ( x 7)
f)
2 x 2 5x 1 x ( x 1)
3x 2 26 x 27 ; d) 6 6
70. (Ver vídeo) 71. A: P = 2x + 6; A = 3x; B: P = 6x; A = 2x2; C: P = 4x + 4; A = x2+ 2x 72. A: P = 2(x + y) = 2x + 2y; A = xy; B: P = 2(x – 1 + y) = 2x + 2y – 2; A = (x – 1)y = xy – y; C: P = 2(x + y +1) = 2x + 2y + 2; A = x(y + 1) = xy + x 73. a)
1 2 2 2 x b) x c) 3 3
13 x 3
74. 4x+4y–16 75. A = 2xy; d = 9x 2 y 2 76. (Ver vídeo) 77. (Ver vídeo) 78. a) 4a ; b) 10000
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1 2x
x2 8 x ( x 4)