Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Introducci´ on al C´ alculo Los n´ umeros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades CNM-107 Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia c 2008. Reproducci´ Copyleft on permitida bajo los t´ erminos de la licencia de documentaci´ on libre GNU.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros naturales

Los n´ umeros naturales: Hist´ oricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los n´ umeros naturaless son aquellos que sirven para designar el n´ umero de elementos de um conjunto finito. N = {0, 1, 2, 3, . . .}

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros naturales

Los n´ umeros naturales: Hist´ oricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los n´ umeros naturaless son aquellos que sirven para designar el n´ umero de elementos de um conjunto finito. N = {0, 1, 2, 3, . . .} En N se definen las operaciones de adici´ on (+) y multiplicaci´ on (·), estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros naturales

Los n´ umeros naturales: Hist´ oricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los n´ umeros naturaless son aquellos que sirven para designar el n´ umero de elementos de um conjunto finito. N = {0, 1, 2, 3, . . .} En N se definen las operaciones de adici´ on (+) y multiplicaci´ on (·), estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´ umeros reales

1

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z

y+z y·z

Desigualdades

Los n´ umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

y+z y·z

Desigualdades

Los n´ umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale x + y = y + x; x · y = y · x.

y+z y·z

Desigualdades

Los n´ umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z

Desigualdades

y+z y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale x + y = y + x; x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x ∈ N vale x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

Los n´ umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z

Desigualdades

y+z y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale x + y = y + x; x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x ∈ N vale x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale x · (y + z) = x · y + x · z.

Los n´ umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale x+w = x = y o =⇒ x·w = w = z

Desigualdades

y+z y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale x + y = y + x; x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x ∈ N vale x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale x · (y + z) = x · y + x · z.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z En Z est´ an definidas la adici´ on + y la multiplicaci´ on ·

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z En Z est´ an definidas la adici´ on + y la multiplicaci´ on · La adici´ on en Z cumple una nueva propiedad (no v´ alida en N)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z En Z est´ an definidas la adici´ on + y la multiplicaci´ on · La adici´ on en Z cumple una nueva propiedad (no v´ alida en N) 1

Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que x + y = y + x = 0. El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros enteros

Los n´ umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros naturales. Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} N⊂Z En Z est´ an definidas la adici´ on + y la multiplicaci´ on · La adici´ on en Z cumple una nueva propiedad (no v´ alida en N) 1

Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que x + y = y + x = 0. El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q est´ an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q est´ an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad 1

Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x + y = y + x = 0.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q est´ an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad 1

Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 6= 0, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x · y = y · x = 1.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q est´ an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad 1

Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 6= 0, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x · y = y · x = 1. Cuando x 6= 0, el n´ umero racional y para el cual x · y = 1, se llama el inverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por x1 .

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros racionales Los n´ umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matem´ aticas s´ olo con los n´ umeros enteros.

Q=

nm n

o : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

Z⊂Q

En Q est´ an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad 1

Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 6= 0, existe un u ´nico y ∈ Q tal que x · y = y · x = 1. Cuando x 6= 0, el n´ umero racional y para el cual x · y = 1, se llama el inverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por x1 .

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros irracionales Los n´ umeros irracionales: Diversos problemas relacionados con geometr´ıa dieron surgimiento a nuevos n´ umeros cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representaci´ on racional. Se denotan por Q∗

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros irracionales Los n´ umeros irracionales: Diversos problemas relacionados con geometr´ıa dieron surgimiento a nuevos n´ umeros cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representaci´ on racional. Se denotan por Q∗ Ejemplos de n´ umeros irracionales son √ √ √ √ − 2, 2, − 3, 3, −π, π

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros irracionales Los n´ umeros irracionales: Diversos problemas relacionados con geometr´ıa dieron surgimiento a nuevos n´ umeros cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representaci´ on racional. Se denotan por Q∗ Ejemplos de n´ umeros irracionales son √ √ √ √ − 2, 2, − 3, 3, −π, π

+, · no son operaciones en Q∗

No necesariamente la suma o la multiplicaci´ on de dos n´ umeros irracionales es de nuevo un n´ umero irracional, por ejemplo √ √ − 2 + 2 = 0, √ √ 2 · 2 = 2. Pero 0, 2 no son n´ umeros irracionales.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros irracionales Los n´ umeros irracionales: Diversos problemas relacionados con geometr´ıa dieron surgimiento a nuevos n´ umeros cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representaci´ on racional. Se denotan por Q∗ Ejemplos de n´ umeros irracionales son √ √ √ √ − 2, 2, − 3, 3, −π, π

+, · no son operaciones en Q∗

No necesariamente la suma o la multiplicaci´ on de dos n´ umeros irracionales es de nuevo un n´ umero irracional, por ejemplo √ √ − 2 + 2 = 0, √ √ 2 · 2 = 2. Pero 0, 2 no son n´ umeros irracionales.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Los de n´ umeros reales: La uni´ on del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los n´ umeros irracionales forma el conjunto de los n´ umeros reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ .

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Los de n´ umeros reales: La uni´ on del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los n´ umeros irracionales forma el conjunto de los n´ umeros reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ . Una representaci´ on geom´etrica de R es la recta real

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Los de n´ umeros reales: La uni´ on del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los n´ umeros irracionales forma el conjunto de los n´ umeros reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ . Una representaci´ on geom´etrica de R es la recta real

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Los de n´ umeros reales: La uni´ on del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los n´ umeros irracionales forma el conjunto de los n´ umeros reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ . Una representaci´ on geom´etrica de R es la recta real

−1

0

1

√ 2

7 2

R

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Los de n´ umeros reales: La uni´ on del conjunto de los n´ umeros racionales y el conjunto de los n´ umeros irracionales forma el conjunto de los n´ umeros reales, que se denota por R, o sea R = Q ∪ Q∗ . Una representaci´ on geom´etrica de R es la recta real

−1

0

1

√ 2

7 2

R

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

y+z y · z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z).

y+z y · z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R, x + y = y + x; x · y = y · x.

y+z y · z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

y+z y · z.

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R, x + y = y + x; x · y = y · x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R, x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

y+z y · z.

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R, x + y = y + x; x · y = y · x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R, x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

El real 0 es llamado m´ odulo o elemento neutro para la adici´ on. El real 1 es llamado m´ odulo o elemento neutro para la multiplicaci´ on.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R, x+w x = y o =⇒ x·w w = z

= =

y+z y · z.

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z); (x · y) · z = x · (y · z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R, x + y = y + x; x · y = y · x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R, x + 0 = x = 0 + x; x · 1 = x = 1 · x.

El real 0 es llamado m´ odulo o elemento neutro para la adici´ on. El real 1 es llamado m´ odulo o elemento neutro para la multiplicaci´ on.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que x + (−x) = 0.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que x + (−x) = 0. Para cada n´ umero real x 6= 0, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ´ o x1 , tal que x · x−1 = x ·

1 = 1. x

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que x + (−x) = 0. Para cada n´ umero real x 6= 0, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ´ o x1 , tal que x · x−1 = x ·

1 = 1. x

AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que x + (−x) = 0. Para cada n´ umero real x 6= 0, existe un u ´nico n´ umero real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ´ o x1 , tal que x · x−1 = x ·

1 = 1. x

AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Diferencia y Divisi´ on Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones de resta y divisi´ on de n´ umeros reales, en efecto para cada x, y ∈ R, x − y = x + (−y); Si y 6= 0,

x 1 = x · = x · y −1 . y y

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Diferencia y Divisi´ on Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones de resta y divisi´ on de n´ umeros reales, en efecto para cada x, y ∈ R, x − y = x + (−y); Si y 6= 0,

x 1 = x · = x · y −1 . y y

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on:

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y

=

x+z

Hip´ otesis

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y (−x) + x + y

= =

x+z (−x) + x + z

Hip´ otesis (AC1)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y (−x) + x + y (−x + x) + y

= = =

x+z (−x) + x + z (−x + x) + z

Hip´ otesis (AC1) (AC2)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y (−x) + x + y (−x + x) + y 0+y

= = = =

x+z (−x) + x + z (−x + x) + z 0+z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y (−x) + x + y (−x + x) + y 0+y y

= = = = =

x+z (−x) + x + z (−x + x) + z 0+z z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adici´ on: Para cada x, y, z ∈ R, x + y = x + z =⇒ y = z. Demostraci´ on: x+y (−x) + x + y (−x + x) + y 0+y y

= = = = =

x+z (−x) + x + z (−x + x) + z 0+z z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on:

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y

=

x·z

Hip´ otesis

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y)

= =

x·z (x−1 ) · (x · z)

Hip´ otesis (AC1)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y) (x−1 · x) · y

= = =

x·z (x−1 ) · (x · z) (x−1 · x) · z

Hip´ otesis (AC1) (AC2)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y) (x−1 · x) · y 1·y

= = = =

x·z (x−1 ) · (x · z) (x−1 · x) · z 1·z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y) (x−1 · x) · y 1·y y

= = = = =

x·z (x−1 ) · (x · z) (x−1 · x) · z 1·z z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R, (x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z. Demostraci´ on: x 6= 0 ∧ x · y (x−1 ) · (x · y) (x−1 · x) · y 1·y y

= = = = =

x·z (x−1 ) · (x · z) (x−1 · x) · z 1·z z

Hip´ otesis (AC1) (AC2) (AC5) (AC4)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x. x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x.

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x. x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x. −(x + y) = (−x) + (−y).

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x. x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x. −(x + y) = (−x) + (−y). x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y −1 .

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y ∈ R x · 0 = 0. 1 6= 0. x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0. x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0. −(−x) = x. x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x. −(x + y) = (−x) + (−y). x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y −1 .

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x (−x) · (−y) = x · y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x (−x) · (−y) = x · y −(x · y) = (−x) · y = x · (−y)

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x (−x) · (−y) = x · y −(x · y) = (−x) · y = x · (−y) −

−x x x = = y y −y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´ as consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0 z x·w+y·z x + = y w y·w x z x·z · = y w y·w

−x = (−1) · x (−x) · (−y) = x · y −(x · y) = (−x) · y = x · (−y) −

−x x x = = y y −y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Reales positivos

Axioma (PO1) Existe un subconjunto R+ de R tal que 1

Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que x + y ∈ R+ ;

2

x · y ∈ R+ .

Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Reales positivos

Axioma (PO1) Existe un subconjunto R+ de R tal que 1

Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que x + y ∈ R+ ;

2

x · y ∈ R+ .

Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .

Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los n´ umeros reales diferentes del cero que no son n´ umeros reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R− . R = R− ∪ R+ ∪ {0}.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Reales positivos

Axioma (PO1) Existe un subconjunto R+ de R tal que 1

Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que x + y ∈ R+ ;

2

x · y ∈ R+ .

Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .

Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los n´ umeros reales diferentes del cero que no son n´ umeros reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R− . R = R− ∪ R+ ∪ {0}.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Reales positivos

Axioma (PO1) Existe un subconjunto R+ de R tal que 1

Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que x + y ∈ R+ ;

2

x · y ∈ R+ .

Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .

Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los n´ umeros reales diferentes del cero que no son n´ umeros reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R− . R = R− ∪ R+ ∪ {0}.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Observaci´ on Como consecuencia de la notaci´ on y del axioma (P O1) se tiene

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Observaci´ on Como consecuencia de la notaci´ on y del axioma (P O1) se tiene 0∈ / R+ ∧ 0 ∈ / R−

x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+

(1)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Observaci´ on Como consecuencia de la notaci´ on y del axioma (P O1) se tiene 0∈ / R+ ∧ 0 ∈ / R−

x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+

Reescribiendo P O1 a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo, b) Todo n´ umero real es positivo, es el cero o es negativo.

(1)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Observaci´ on Como consecuencia de la notaci´ on y del axioma (P O1) se tiene 0∈ / R+ ∧ 0 ∈ / R−

x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+

Reescribiendo P O1 a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo, b) Todo n´ umero real es positivo, es el cero o es negativo.

(1)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Desigualdades

Definici´ on (Desigualdad) Si x, y son n´ umeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .

(2)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Desigualdades

Definici´ on (Desigualdad) Si x, y son n´ umeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . Observaci´ on Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ . Luego

(2)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Desigualdades

Definici´ on (Desigualdad) Si x, y son n´ umeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . Observaci´ on Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ . Luego R+ = {x ∈ R : x > 0}.

(2)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Desigualdades

Definici´ on (Desigualdad) Si x, y son n´ umeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . Observaci´ on Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ . Luego R+ = {x ∈ R : x > 0}. Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene R− = {x ∈ R : x < 0}.

(2)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Desigualdades

Definici´ on (Desigualdad) Si x, y son n´ umeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . Observaci´ on Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ . Luego R+ = {x ∈ R : x > 0}. Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene R− = {x ∈ R : x < 0}.

(2)

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´as desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y x > y ⇔ x − y ∈ R+

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´as desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´as desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y

x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

M´as desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y

x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostraci´ on: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el n´ umero x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostraci´ on: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el n´ umero x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ;

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostraci´ on: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el n´ umero x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ; o de forma equivalente,

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostraci´ on: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el n´ umero x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ; o de forma equivalente, x < y;

x = y;

x > y.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotom´ıa) Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostraci´ on: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el n´ umero x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ; o de forma equivalente, x < y;

x = y;

x > y.

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R. (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R. (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z. Monoton´ıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R. x < y ⇐⇒ x + z < y + z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R. (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z. Monoton´ıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R. x < y ⇐⇒ x + z < y + z. Monoton´ıa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R. z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z. z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R. (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z. Monoton´ıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R. x < y ⇐⇒ x + z < y + z. Monoton´ıa de la multiplicaci´ on: Para cada x, y, z ∈ R. z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z. z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Propiedades adicionales

Ley de los signos Para x, y ∈ R.

x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0. x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Propiedades adicionales

Ley de los signos Para x, y ∈ R.

x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0. x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.

Leyes de cuadrados Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2 , entonces x2 ≥ 0. Para cada x, y ∈ R+ ,

x < y ⇐⇒ x2 < y 2 .

Desigualdades

Los n´ umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Propiedades adicionales

Ley de los signos Para x, y ∈ R.

x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0. x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.

Leyes de cuadrados Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2 , entonces x2 ≥ 0. Para cada x, y ∈ R+ ,

x < y ⇐⇒ x2 < y 2 .

Desigualdades