LA INTEGRAL DEFINIDA IES MURILLO

Un poco de Historia 

El concepto de integral definida surge para resolver el problema del área de figuras limitadas por arcos de curva.

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Algunos matemáticos que trabajaron sobre este problema, fueron: Arquímedes, Newton y Leibniz.

ARQUÍMEDES (Siglo III a.c.) Arquímedes (298 a.c.-212 a.c.) fue el matemático más grande de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, fue asesinado durante su captura por los Romanos en la Segunda Guerra Púnica. Arquímedes hizo muchas contribuciones originales a la GEOMETRIA en las áreas de figuras planas y las áreas y volúmenes de superficies curvas. Sus métodos anticipaban el CALCULO INTEGRAL 2.000 años antes de ser "inventado" por NEWTON y LEIBNIZ.

ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS Partiendo del área del rectángulo se hallan las áreas de figuras poligonales sencillas: Triángulo, paralelogramo, trapecio, etc

ÁREA DE OTRAS FIGURAS Si las figuras están delimitadas por arcos de curva el problema se complica:

Arquímedes calculó el área del circulo aproximándola por áreas de polígonos inscritos con un número elevado de lados.

Áreas limitadas por arcos de curva Arquímedes encontró una forma de hallar el área (A) de la región comprendida entre la recta x = b, el eje OX y la parábola y = x2

CÁLCULO DEL ÁREA Es evidente que A1  A  A2

Cuando el número de divisiones crece ambas áreas se aproximan cada vez más a A. Así encontró que el área bajo la curva es: 3

b A 3

ISAAC NEWTON 

Nacido en Woolsthorpe (Inglaterra) en 1642 y muerto en 1727.

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Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas, el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud.

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Newton hace también tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales)

GOTTFRIED W. LEIBNIZ 

Nacido en Leipzig (Alemania) en 1646 y muerto en 1716. Diplomático, filósofo, matemático, científico y erudito universal.

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Introduce el símbolo de la integral, como una S estilizada (en 1675).

EL PROBLEMA DEL ÁREA Veinte siglos después, cuando aparece el cálculo integral, vuelve a usarse el método de Arquímedes para el cálculo de áreas. Hacia 1690, Newton, Leibniz y los dos hermanos Bernoulli, eran las únicas personas capaces de manejar el cálculo diferencial e integral. Newton y Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal en el periodo comprendido entre 1666 y 1680. Parece demostrado que ambos descubrieron esta poderosa técnica con independencia uno del otro. Sin embargo, el método de Newton no se publicó hasta 1711, mientras que Leibniz publicó sus ideas en Acta Eruditorum en 1684.

LA INTEGRAL DEFINIDA Vamos a hallar el área de regiones planas limitadas por la gráfica de una función continua y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x=a y x=b.

SUMAS INFERIORES 

En principio, supondremos que f(x)>0 en todo el intervalo.  Para calcular el área, dividiremos el intervalo [a,b] en partes no necesariamente iguales.  Llamaremos P a esta partición del intervalo [a,b]:

x 0 , x1,........,x n

SUMAS SUPERIORES Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos interiores (gráfico anterior) o de los exteriores (gráfico de esta página). Evidentemente, el área que queremos hallar está comprendida entre las dos: La verde (inferiores) de antes, y la rosa (superiores) de ahora.

PARTICIÓN MÁS FINA Es evidente que si hacemos una partición más fina (con más divisiones), las áreas superior e inferior estarán más cercanas al área que queremos hallar.

PARTICIÓN MÁS FINA AÚN sn(P)