LOS CUADRADOS DE FERMAT Generalidades.−Propiedades de los cuadrados.−Condición suficiente para que un número par sea suma de Cuadrados.−Demostración. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− El presente trabajo tiene como objeto principal , conocer la relación entre los deno− minados cuadrados de Fermat , y otro cuadrado conocido [ (N+1)/1] ² . ( x + y ) ² (x − y ) ² −−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−− 2²2² en el que, N = x . y Pierre de Fermat fundamentó su estudio de factorización en los cuadrados arriba citados . Sea N , el número a factorizar , se trata de encontrar un cuadrado al que restado N ,esta diferen− cia sea otro cuadrado. Después ,los factores vendrían determinados por , a+b=xa−b=y El resumen de nuestro estudio se encuentra contenido en las siguientes : Propiedades de los cuadrados de Fermat 1ª.− Dado un número N, entero , positivo , impar ,no múltiplo de 3 ni de 5 ,ya que esta condición se apre− cia a simple vista , cuyos factores son x e y , la diferencia entre la mitad de ese número más uno, elevado al cuadrado , y el primer cuadrado de Fermat , es congruente cero , módulo 144. (N+1)²(x+y)² −−−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 ) 2²2² 2ª.−Relativo a dicho mismo número , la diferencia entre la mitad de ese número menos uno , elevado al cuadrado , y el segundo cuadrado de Fermat , es congruente cero , módulo 144. ( N " 1) ² ( x " 1 ) ²

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−−−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 ) 2²2² 3ª.−La condición suficiente para que un número N , par , positivo, sea suma de dos cuadrados , es que el producto de las bases de dichos cuadrados , elevadas al cuadrado , más la unidad , sea congruente en dicho valor de N , módulo 192. En nuestra demostración partimos de N, como hemos dicho, entero, positivo, com− puesto , no múltiplo de 3 ni de 5, impar : N=x.y ( N + 1) ² ( x + y ) ² −−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−− , y después del correspondiente desarrollo , llegamos a , 44 ( N + 1 ) ² ( x + y ) ² (x + 1) ( x− 1 ) ( y + 1 ) ( y − 1 ) −−−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 444 En un principio hemos de precisar que N puede estar encuadrado en uno de estos tres Grupos : Grupo nº 1 : N ð + ó − 3 ( módulo 8 ) Grupo nº 2 : N ð + ó − 1 ( módulo 8 ) x ð + ó − 1 ( mod.8 ) y ð + ó − 1 ( mod.8 ) Grupo nº 3 : N ð + ó − 1 ( módulo 8 ) x ð + ó − 3 ( mod. 8 ) y ð + ó − 3 ( mod.8 ) Habíamos dejado nuestro estudio en : (y + 1) ( y − 1) ( x + 1 ) ( x−1) ( N + 1 ) ² ( x + y ) ² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−−− 444 Si N pertenece al 3º Grupo :

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Si (x+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (x−1) , o viceversa . Si (y+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (y−1) , o viceversa . (y + 1)( y − 1) ( x +1 ) ( x− 1 ) 4c .4 d . 2 e . 2 f −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 16 ) 44 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Si N pertenece al 1º Grupo : Si ( x + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( x − 1 ), o viceversa. Si ( y + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( y − 1 ), o viceversa. (y − 1) ( y + 1) ( x − 1) ( x + 1 ) 8c. 2 d . 4 e . e f −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 32 ) 44 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Si N pertenece al 2º Grupo : ( y + 1 ) (y − 1) ( x + 1) ( x − 1 ) 8 c . 2 d .8 e . 2 f −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 64 ) 44 Por otra parte como ni x ni y son múltiplos de tres : Si (x+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (x−1) sea incongruente cero ( módulo 3 ) Si (y+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (y−1) sea incongruente cero ( módulo 3 ) o viceversa en ambas. Conclusión : (x + 1) ( x − 1) ( y + 1) ( y − 1) a).− Si N , es del Grupo 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 ) 4 (x +1 ) ( x −1 ) ( y + 1 ) ( y − 1 )

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b).− Si N , es del Grupo 1..−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 288 ) 4 (x + 1 ) (x − 1 ) (y + 1 ) ( y − 1) c).− Si N , es del Grupo 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 576 ) 4 con esto queda demostrado el primer Teorema. Siguiendo el mismo procedimiento podemos demostrar la segunda pro− piedad , relativa a ( x " y ) ² / 4 . En cuanto a la demostración del tercera propiedad , es una consecuencia del anterior . ( y + 1) ( y − 1) ( x + 1 ( x − 1) ( N + 1) ² ( x + y ) ² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−− = 144 a 444 ( N + 1 ) ² − ( x + y ) ² = 576 a ; ( x . y ) ² − 576 a + 1 = x ² + y ² Esto sería válido para todo N´ , par positivo, compuesto, en el que ninguno de sus factores sea múltiplo de 3. Al objeto de generalizarlo para todo valor de N , par , quedaría : ( x . y ) ² − 192 a + 1 = x ² + y ² = N ´ ( x . y ) ² + 1 " ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a ) BIBLIOGRAFIA Ivars Peterson.− El Turista matemático .−Alianza Editorial .− (pag.29 ) Blas Torrecillas Jover.− Fermat,el mago de los números.− Editorial Nivola ( pag. 33 ) D.E.Knuth.−The Art of Computer Programming,Vol,2. (Addison−Wesley,1981 ) N.Koblitz.−A course in Number Theory and Cryptography (Springer,1987) 4 1

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