Matemáticas Básicas para Computación

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA COMPUTACIÓN

Sesión No. 6 Nombre: Álgebra Booleana

Objetivo Durante la sesión el participante identificará las principales características y propiedades del Álgebra Booleana.

Contextualización

El álgebra Booleana es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos. Es un conjunto de reglas matemáticas y es la base para la teoría de la computación, recordemos que la base principal de las ciencias computacionales es la matemática. El álgebra booleana es un sistema basado en los valores 1 y 0 (verdadero y falso), es decir de forma binaria. En esta sesión veremos los postulados, teoremas y algunas aplicaciones acerca del álgebra booleana, así como algunas de sus aplicaciones y la forma de usarse.

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Introducción al Tema

A mediados del siglo XIX, George Boole desarrolló una teoría de que las proposiciones podían ser tratadas por herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas, como ya lo vimos anteriormente, tienen solo dos tipos de respuestas. Según Boole las proposiciones se pueden representar con símbolos y trabajar con éstos. Dicha lógica sigue el comportamiento del álgebra, por esta razón a dicha lógica se le conoce como álgebra de Boole. En el siglo XX resultó de gran importancia práctica, dicha importancia se ha ido incrementando hasta llegar a nuestros días en la información digital. Las variables y constantes del álgebra booleana sólo admiten un valor en sus entradas y salidas: Falso y Verdadero o Sí y No. Estos valores también pueden ser representados por 1 y 0 (números binarios) por esta razón también se le conoce como álgebra del sistema binario. Así como el álgebra tradicional, el álgebra booleana trabaja con las letras del abecedario para formar ecuaciones o expresiones booleanas, obviamente los resultados de las operaciones también serán binarios.

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Explicación Álgebra Booleana El álgebra booleana es un sistema matemático basado en los valores binarios, uno y cero (verdadero y falso). Un operador binario “•” acepta un par de entradas y produce como resultado un solo valor booleano, es decir, un operador booleano “AND” (al igual que en la aplicación de la lógica matemática) acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Así como en cualquier sistema algebraico existen algunos postulados iniciales y que de éstos se pueden deducir reglas, teoremas y algunas otras propiedades; en el álgebra booleana se emplean los siguientes postulados. •

Cerrado: Un sistema booleano con respecto a un operador binario se considera cerrando en caso de que para cada par de valores booleanos se produzca un solo resultado booleano.

•

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•

Conmutativo: se considera conmutativo al operador binario “•” si: ∗

A•B=B•A

∗

A+B=B+A

Asociativo: se considera asociativo un operador binario “•” si: ∗

(A • B) • C = A • (B • C)

∗

(A + B) * C = A + (B + C)

Distributivo: se considera a dos operadores binarios “•” y “+” si: ∗

A • (B + C) = (A • B) + (A • C)

∗

A + (B • C) = (A + B) • (A + C)

∗

A • (B • C) = (A • B) • C

Identidad: se dice que un calor booleano “1” tiene identidad con respecto a un operador binario “•” si: ∗

A•1=A

∗

A+0=A

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Inverso: Un valor booleano “1” es un elemento inverso con respecto a un operador binario “•” si A • 1 = B, siendo B diferente de A, es decir B es el inverso de A.

Expresiones booleanas Las expresiones booleanas determinan si un conjunto es verdadero o falso dando como resultado un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser: ∗

Expresiones relacionales.

∗

Funciones booleanas.

Las expresiones relacionales determinan los valores dados entre una relación, la forma general de una expresión relacional es: Expresión1 – operador de relación – expresión2 Donde: •

Expresión1 es una expresión numérica o una expresión de cadena.

•

Operador de relación puede ser: o = igual que. o =! Diferente de. o < Menor que. o Mayor que. o >= Mayor o igual que. o : Contiene.

•

Expresión2 es una expresión del mismo tipo de la expresión1.

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MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA COMPUTACIÓN Los operandos de una expresión booleana pueden formarse de acuerdo con los siguientes operadores: •

NOT (No) produce el valor Verdadero si el operando es Falso y por lo contrario produce Falso si el operando es Verdadero (al igual que en la lógica con la negación en las tablas de verdad).

•

AND (Y) produce un valor Verdadero si ambos operandos son Verdaderos, si cualquiera de los dos operandos es Falso el valor de la expresión será Falso (lo que conocemos como conjunción en las tablas de verdad).

•

OR (O) realiza una operación O-inclusivo. El resultado será Verdadero si cualquiera de los dos o ambos operandos son Verdadero, de lo contrario el resultado será Falso (lo que hemos aplicado como disyunción inclusiva en lógica).

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Conclusión Boole dentro de la historia ocupa un lugar muy destacado, su gran aportación es el uso de un lenguaje matemático-algebraico en un contexto de análisis y razonamiento. Se trata de adquirir técnicas y/o métodos afirmados en la matemática para darle un uso enfocado hacia la lógica. Podemos ver que en este sentido Boole usa un mecanismo inferencial para el análisis de una consecuencia lógica, no hay un método semántico. No te pierdas la próxima sesión donde nos introduciremos en el estudio de los usos y aplicaciones del álgebra booleana.

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Para aprender más

•

Flores, E. (2012) Fundamentos del álgebra Boleana. Video de youtube. http://brd.unid.edu.mx/fundamentos-del-algebra-bolean

•

Ribera Sánchez, A. (2011) Álgebra de Boole UPDS. Video de youtube. http://brd.unid.edu.mx/algebra-de-boole-upds/

•

S.a. (2012) Álgebra Booleana 1 Video de youtube. http://brd.unid.edu.mx/algebra-booleana-1/

•

S.a. (2012) Álgebra Booleana 2 Video de youtube. http://brd.unid.edu.mx/algebra-booleana-2/

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Actividad de Aprendizaje Instrucciones: Leer los 2 últimos videos de la sección aprender más (Álgebra Booleana 1 y 2). Aplica el método de simplificación a las siguientes funciones: •

xyz + x’yz + x’y’

•

xz’ + y’z’ + x’z

•

x’y’z’ +xy + xz

•

A + BC + ABC

•

xyz + x’y’z + x’z

Con base en las siguientes tablas, aplica los conceptos aprendidos sobre álgebra de Boole para desarrollar las funciones y simplificarlas: x

y

z

F1

F2

1

1

0

1

0

x

y

z

F1

F2

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

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0

0

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Bibliografía

•

Instituto de Estudios Documentales sobre Ciencia y Tecnología. (2013). Obtenido de Lenguaje de Formateo: http://www.cindoc.csic.es/isis/042-3.htm

•

ITESCAM.

(2013).

Álgebra

Booleana.

Obtenido

de

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r63906.PD F •

Matemáticas para computadora. (2013). Obtenido de Álgebra Booleana: http://matematicasparacomputadora.weebly.com/unidad-4--algebra-booleana.html

•

W. K. Grassmann, J. P. (1997). Matemática Discreta y Lógica. Prentice HAll.

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