MATEMÁTICAS FINANCIERAS

TEMA:

A N U A L I D A D E S ● CONTENIDO ●

AUTOR:

Tu l i o A. Ma t e o D u v a l

Santo Domingo, D. N. Rep. Dom.

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

A N U A L I D A D E S CONTENIDO: 1. 2. 3. 4. 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 5. 5.1 6. 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 7. 7.1 8. 8.1 8.2 9. 9.1 9.1.1 9.2 9.2.1 10.

Definición Elementos de una Anualidad Clasificación de las Anualidades Anualidad Vencida Simple Monto de una Anualidad Vencida Simple Cálculo de la Renta Cálculo del Plazo o Duración Cálculo de la Tasa de Interés Valor Actual de las Anualidades Vencidas y Diferidas Simples Cálculo de la Renta Cálculo del Plazo o Duración Cálculo de la Tasa de Interés Anualidad Vencida General Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Vencida General Anualidad Anticipada Simple Monto de una Anualidad Anticipada Simple Cálculo de la Renta Cálculo del Plazo o Duración Cálculo de la Tasa de Interés Valor Actual de las Anualidades Anticipadas y Diferidas Simples Cálculo de la Renta Cálculo del Plazo o Duración Cálculo de la Tasa de Interés Anualidad Anticipada General Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Anticipada General Anualidad Perpetua o Perpetuidad Anualidad Perpetua Vencida Anualidad Perpetua Anticipada Amortización y Fondos de Amortización Amortización de Deudas. Tabla de Amortización Saldo Insoluto, Derechos Adquiridos por el Deudor y Saldo a Favor del Acreedor Fondo de Amortización. Tabla de un Fondo de Amortización Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortización y del Saldo Insoluto en Cualquier Fecha Resumen de Fórmulas Relativas a las Anualidades 1

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

MATEMÁTICAS FINANCIERAS ■

ANUALIDADES

1. DEFINICIÓN En las transacciones comerciales y financieras es común emplear, en vez de un pago único al término de un plazo, una anualidad o renta, esto es, un conjunto de abonos fijos a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de anualidades: pago de las cuotas mensuales de un préstamo hipotecario, los dividendos trimestrales sobre acciones preferidas, pagos bimestrales de la prima del seguro de un vehículo, los pagos mensuales de un contrato de alquiler de un apartamento, el cobro quincenal del sueldo, los abonos mensuales efectuados para pagar una nevera comprada a crédito, los depósitos semestrales realizados en un fondo de amortización para financiar la sustitución de una maquinaria, etc. Se denomina Anualidad o Renta a una serie de pagos o sumas de dinero, generalmente de igual cuantía, que vencen a intervalos iguales de tiempo. Aún cuando el vocablo anualidad sugiere que los pagos son anuales, no debemos entenderlo siempre así, pues la frecuencia de los pagos puede ser cualquier otra: semestral, trimestral, bimestral, mensual, etc. En resumen, por anualidad no asumiremos pagos anuales, sino pagos fijos que vencen a intervalos de tiempo iguales.

2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD Una anualidad queda completamente definida mediante sus cuatro (4) elementos, a saber: a)

Renta o pago periódico de la anualidad (R): es el nombre que se da a la cuantía o valor de cada uno de los pagos periódicos de la anualidad.

b)

Periodo de los pagos o periodo de la anualidad : es el espacio de tiempo fijado entre el vencimiento de pagos o capitales sucesivos de la misma (año, semestre, bimestre, cuatrimestre, quincena, etc.).

c)

Plazo o duración de la anualidad : es el intervalo comprendido entre el inicio del primer periodo y la finalización del último, o sea, el número total de periodos o de pagos de la anualidad (n).

d)

Tasa de interés de la anualidad : es la tasa anual de interés compuesto que aplica a los abonos o depósitos de la anualidad, con capitalización periódica que puede coincidir o no con el periodo de los pagos.

▶ Ejemplo 1 Para financiar la sustitución quinquenal de una maquinaria, una empresa deposita $132,000.00 al término de cada año en un fondo que abona el 8.75% compuesto anual. Identifique los elementos y represente gráficamente la anualidad. SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $132,000.00 b) Periodo de los pagos = año c) Plazo o duración de la anualidad: n = 5 años d) j = 15% m=1

R = $ 1 3 2 ,0 0 0

0

1

2 j = 8 .7 5 %

3

4

5 años

m = 1

2

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3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Bajo el título general de anualidades existe una gran variedad de ellas. Una anualidad puede tener o no sus fechas de inicio y término definidas, o pueden sus pagos efectuarse al inicio o al final de cada periodo. Asimismo, la frecuencia de sus abonos puede coincidir o no con la frecuencia de capitalización de los intereses, así como el primer pago puede realizarse en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstos y otros factores, para fines de estudio, las anualidades se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios:

CRITERIO T IEMPO (se refiere a las fechas de inicio/término del plazo)

VENCIMIENTO DE LOS PAGOS (se refiere al momento en que se efectúan los pagos)

TIPO CIERTAS

DESCRIPCIÓN En éstas los pagos comienzan perfectamente determinadas.

y

terminan

en

fechas

CONTINGENTES

En éstas la fecha de vencimiento del primer o del último pago, o de ambos, depende de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse.

VENCIDAS

Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en las que los pagos se efectúan al final de cada periodo.

ANTICIPADAS

Las anualidades anticipadas son aquellas en las que los pagos se efectúan al inicio de cada periodo.

SIMPLES

En éstas el periodo de los pagos coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

GENERALES

En éstas el periodo de los pagos no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

INMEDIATAS

En éstas el primer pago se efectúa al inicio o al final del primer periodo de la anualidad (anticipada o vencida).

DIFERIDAS

Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.

CONCORDANCIA O NO DE PERIODOS (se refiere a la coincidencia o no del periodo de los pagos y del periodo de capitalización de los intereses)

INICIACIÓN DE LOS PAGOS (se refiere al momento en que se comienzan a realizar los pagos)

Como los criterios de clasificación antes vistos no son mutuamente excluyentes, eligiendo una característica de cada criterio se pueden formar diferentes tipos de anualidades, resultando que, en las más usuales, predominan las modalidades: ciertas, simples, inmediatas (vencidas y anticipadas) y diferidas. Cabe mencionar además la anualidad perpetua o perpetuidad, una variante de las anualidades ciertas, la cual se caracteriza porque los pagos periódicos se efectúan por tiempo ilimitado. Abordaremos aquí el estudio de las anualidades ciertas, comenzando con las simples e inmediatas (vencidas y anticipadas) por ser las más empleadas en el sistema financiero. También se analizan las anualidades diferidas y las generales, tomando en cuenta, que en este último caso, “cualquier anualidad general se puede convertir en simple si se emplea la correspondiente tasa de interés equivalente”. Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al final del plazo de una anualidad vencida simple.

▶ Ejemplo 2 ¿Qué cantidad se acumulará en 2 años si se depositan $20,000.00 al final de cada semestre en una cuenta de inversiones que abona un 10% anual capitalizable semestralmente? SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 c) Plazo duración de la anualidad: n = 4 semestres

b) Periodo de los pagos = semestre d) i = 10/2 = 5% semestral e) S = ? 3

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n=3

S=? n=2

R = $20,000

n=1

2

1

0

4 sem

3

i = 5%

Si nos ubicamos al final del plazo y efectuamos la sumatoria de los montos de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos, obtendremos a “S”:

S = 20,000 + 20,000 (1 + 0.05)1 + 20,000 (1 + 0.05) 2 + 20,000 (1 + 0.05) 3 = $86,202.50

1

4. ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE Una anualidad vencida simple es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad, además del caso visto en el Ejemplo 2, lo constituye el conjunto de 12 pagos mensuales por valor de $28,500.00 c/u, correspondientes al alquiler de un local comercial, si los mismos son depositados en una cuenta bancaria que paga intereses a razón del 8% anual convertible mensualmente.

4.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad.

S

R

0

1

2

3

i

n- 2

n- 1

n

n = núm e ro de pe riodos

R = re nta o p ago periód ico

i = ta sa de in teré s por pe rio do

S = m onto d e la an ualida d

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" se ejecuta el mismo proceso seguido en el Ejemplo 2, pero trabajando con pagos “R” invertidos a la tasa de interés “i” por periodo de capitalización y por “n” periodos de capitalización:

S = R + R (1 + i)1 + R (1 + i ) 2 + KK + R (1 + i) n−1

(A)

Multiplicando ambos miembros por ( 1 + i ) se tiene:

S (1 + i) = R (1 + i)1 + R (1 + i) 2 + R (1 + i) 3 + KK + R (1 + i) n 1

(B)

Esta operación es la que se conoce como monto de una anualidad vencida simple.

4

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Restando miembro a miembro las expresiones “B −  A “, se obtiene:

S .i = R (1 + i) n − R

S i = R [(1 + i ) n − 1]

Factorizando se tiene:

Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad vencida simple:

S=R

[(1 + i) n − 1] i

MONTO ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE

[1]

▶ Ejemplo 3 Resolver el Ejemplo 2 empleando la fórmula [1] encontrada anteriormente. SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 c) Plazo o duración de la anualidad: n = 4 semestres

b) Periodo de los pagos = semestre d) i = 10/2 = 5% semestral

e) S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene:

S = 20,000

[(1 + 0.05)

4

]= $86,202.50

−1

0.05

▶ Ejemplo 4 Si una persona deposita $1,450.00 al final de cada trimestre en una cuenta bancaria que abona un 12% compuesto trimestralmente, ¿cuánto será el balance de la cuenta al cabo de 9 años? ¿Cuál es el interés total ganado? SOLUCIÓN: R = $1,450.00

j = 12%

n = 9 ∗ 4 = 36 trimestres

m=4 S=?

i = 0.12/4 = 3% trimestral

t = 9 años

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance de la cuenta al cabo de los 9 años:

S = 1,450

[(1 + 0.03)

− 1]

36

0.03

= $91,750.12

b) Interés total ganado = S −  Depósitos = 91,750.12 − 36 × 1,450 = $39,550.12

▶ Ejemplo 5 Un señor decide ahorrar $15,000.00 al final de cada bimestre durante 5 años en una institución financiera que paga el 9% anual capitalizable bimestralmente. a) ¿Cuánto será su balance al final del plazo? b) Si al finalizar el plazo no se retira ni se deposita nada, ¿cuál será el balance de la cuenta 3 años después del último depósito? SOLUCIÓN: R = $15,000.00

n = 5 ∗ 6 = 30 bimestres

j = 9%

m=6 S=?

i = 0.09/6 = 1.5% bimestral

t = 5 años

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance al final del plazo:

S = 15,000

[(1 + 0.015)

30

0.015

− 1]

= $563,080.22 5

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b) Como el balance anterior está disponible al término de los 5 años, luego el mismo se quedará capitalizando los intereses generados durante 18 periodos (3 años × 6 bim.) adicionales. Por tanto, el balance pedido se obtiene al calcular el monto compuesto de los $563,080.22 a la tasa de interés del 1.5% bimestral y al cabo de los 18 bimestres:

S = 563,080.22 (1 + 0.015)18 = $736,137.65 ▶ Ejemplo 6 Andrés Ramírez efectúa un depósito inicial de $6,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 1% mensual. Si acordó depositar $3,000.00 al final de cada mes durante 1½ años y $4,000.00 al final de cada mes durante los 2 años siguientes, ¿cuál sería el balance de la cuenta al término de los 3½ años? ¿cuánto se ganaría por concepto de intereses? n =4 2

S n =2 4 R =$ 3 ,0 00

$6 ,00 0

0

1

2

R =$ 4 ,0 00

S1

3

18

19

20

21

S2

42 m ese s

22

i = 1%

D e p ósito inicial = $ 6 ,00 0 .0 0

S 1 = m o nto an u alidad co n R =$ 3 ,0 00 .00 S 2 = m o nto an u alidad co n R =$ 4 ,0 00 .00

i = tas a d e in teré s p or p e rio do = 1%

S = m o n to to tal p ed id o a lo s 3½ añ os

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtienen los montos o valores futuros de las 2 anualidades:

S1 = 3,000

S 2 = 4,000

[(1 + 0.01)

18

− 1]

0.01

[(1 + 0.01)

24

0.01

− 1]

= $58,844.24

= $107,893.86

a) Usando la fórmula del monto compuesto, se capitalizan los valores del depósito inicial y del monto de la anualidad "S1", sumándosele al valor de "S2", a los fines de obtener el balance pedido "S" :

S = 6,000 (1 + 0.01) 42 + 58,844.24 (1 + 0.01) 24 + 107,893.86 = $191,723.17 b) Interés total que se ganaría = S −  Depósitos = 191,723.17 − 6,000 − 18 × 3,000 − 24 × 4,000 = $35,723.17

4.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA En ocasiones se requiere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depósitos) periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad vencida simple "S", de una duración "n" y una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [1]:

R=

S .i [(1 + i ) n − 1]

VALOR DE LA RENTA

[2]

6

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▶ Ejemplo 7 ¿Cuánto deberá ahorrar una persona al final de cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 8% anual capitalizable semestralmente para acumular la suma de $120,000.00 al cabo de 6 años? ¿Cuánto se gana por concepto de intereses? SOLUCIÓN: S = $120,000.00 j = 8% n = 6 ∗ 2 = 12 semestres

m=2 R=?

i = 8/2 = 4% semestral I=?

t = 6 años

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene:

R=

120,000 × 0.04 = $7,986.26 [(1 + 0.04 )12 − 1]

b) El interés total que se gana resulta al restar la suma acumulada "S" menos los depósitos efectuados "n.R" :

I t = S − n .R

[3]

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene:

I t = 120,000 − 12 × 7,986.26 = $24,164.88 ▶ Ejemplo 8 Calcular cuánto se debería ahorrar al final de cada mes durante los próximos 7 años si se deseara acumular $300,000.00 efectuando depósitos en un fondo que paga el 15% compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: S = $300,000.00

j = 15%

n = 7 ∗ 12 = 84 meses

m = 12

i = 15/12 = 1.25% mensual

t = 7 años

R=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene:

R=

300,000 × 0.0125 = $2,039.03 [(1 + 0.0125 ) 84 − 1]

▶ Ejemplo 9 Con un depósito inicial de $5,000.00 y 10 depósitos iguales a efectuarse al final de cada mes se desea llevar el balance de una cuenta bancaria que abona el 1.1% mensual a que alcance la suma de $19,766.27. ¿Cuál sería el valor de los depósitos para que al cabo de los 10 meses se tenga acumulado dicho monto? SOLUCIÓN: n= 1 0

S R=?

$ 5 ,0 0 0

0

1

2

S1

3

1 0 m e se s

4

i = 1 .1 %

D ep ósito in ic ia l = $ 5 ,0 0 0 .0 0 i = ta s a de in te ré s p o r p e rio d o = 1 .1 %

S 1 = m o n to de la a n ua lid a d c on R =? S = m o n to to ta l a a cu m u la r

7

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Como vemos, la suma del monto compuesto del depósito inicial (hasta el final del plazo) más el monto de la anualidad deberá alcanzar la suma de $19,766.27.

5,000 (1 + 0.011)10 + S1 = 19,766.27 A partir de esta relación, se obtiene el valor del monto que se deberá acumular mediante los depósitos periódicos de la anualidad "S1" :

5,578.04 + S1 = 19,766.27 S1 = 19,766.27 − 5,578.04 S1 = $14,188.23 Conocido el monto de la anualidad "S1" y mediante la fórmula [2], se obtiene el valor de los depósitos:

R=

14,188.23 × 0.011 = $1,350.00 [(1 + 0.011)10 − 1]

4.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el monto "S" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [1]:

⎛S ⎞ log ⎜ i + 1⎟ ⎝R ⎠ n= log (1 + i )

VALOR DE LA DURACIÓN

[4]

Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 2 se procedería a dividir el valor obtenido con la fórmula [4] entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea:

t (años ) =

n m

[5]

▶ Ejemplo 10 Una persona deposita $900 al final de cada mes en una cuenta bancaria que abona el 12% anual capitalizable mensualmente con el fin de acumular la suma de $14,487.21. ¿Cuántos depósitos deberá hacer? SOLUCIÓN: S = $14,487.21

R = $900.00

j = 12%

m = 12

i = 12/12 = 1% mensual

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 14,487.21 ⎞ log ⎜ × 0.01 + 1⎟ 900 ⎝ ⎠ = 15 depósitos n= log (1 + 0.01)

2

Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).

8

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▶ Ejemplo 11 Miguel Torres necesita reunir $33,585.00 y con ese propósito realiza depósitos quincenales vencidos de $500.00 c/u en un fondo que rinde el 9.024% anual convertible quincenalmente. Determine durante qué tiempo (años) deberá estar efectuando esos depósitos. SOLUCIÓN: S = $33,585.00

R = $500.00

n=?

t =?

j = 9.024%

m = 24

i = 9.024/24 = 0.376% quincenal

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 33,585 ⎞ log ⎜ × 0.00376 + 1⎟ ⎝ 500 ⎠ = 60 quincenas n= log (1 + 0.00376 ) Mediante la fórmula [5] se calcula el tiempo pedido ( en años):

t (años ) =

60 = 2 .5 años = 2 ½ años 24

▶ Ejemplo 12 Para acumular $22,000.00 un señor efectúa depósitos iguales de $2,500.00 al final de cada mes en una financiera que abona el 1.25% mensual. Determine cuántos depósitos será preciso hacer para acumular dicha suma y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: S = $22,000.00

R = $2,500.00

n=?

i = 1.25% mensual

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 22,000 ⎞ log ⎜ × 0.0125 + 1⎟ ⎝ 2,500 ⎠ = 8.40 depósitos n= log (1 + 0.0125 ) Consideraremos que para reunir los $22,000.00 se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional que vencerá al final del siguiente mes 3. Veremos a continuación 2 maneras de obtener el valor del depósito adicional:

A) D eterm inación del depósito ad icional m ediante una ecuación de valor R=$2,500

S1

n =1

S X FF

0

3

1

2

3

i=1.25%

7

8

9 mes

x = depósito adicional

S 1 = m onto de la anua lidad (n= 8 dep.)

S = m onto a acum ular = $22,000.00

La fecha focal se tom ará a los 9 m eses

Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.

9

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Cálculo de "S1" :

A nualidades

S1 = 2,500

[(1 + 0.0125)

8

− 1]

0.0125

= $20,897.22

Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: a los 9 meses, se obtendrá el valor del depósito adicional:

20,897.22 (1 + 0.0125)1 + x = 22,000 .00

21,158.44 + x = 22,000.00 x = 22,000 .00 − 21,158 .44 x = $841 .56 RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56

B) Cálculo del depósito adicional redondeando el valor de "n" obtenido al entero próximo mayor Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 22,000 ⎞ log ⎜ × 0.0125 + 1⎟ ⎝ 2,500 ⎠ = 8.40 depósitos n= log (1 + 0.0125 ) Como es de suponer, con un valor de " n = 9 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta:

S = 2,500

[ (1 + 0.0125 ) 9 − 1] = $23,658.44 0.0125

Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la cuantía del último (noveno) depósito:

Valor del exceso = 23,658.44 − 22,000 = $1,658.44 Depósito adicional " x" = 2,500 − 1,658.44 = $841.56 RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56

▶ Ejemplo 13 Milton Roque realiza depósitos iguales por valor de $1,350.00 al final de cada bimestre en una cuenta bancaria que abona el 21% compuesto bimestral con el fin de acumular la suma de $31,900.00. Determine cuántos depósitos será preciso efectuar para alcanzar dicho monto y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: S = $31,900.00

R = $1,350.00

j = 21%

m=6

i = 21/6 = 3.5% bimestral

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 31 ,900 ⎞ log ⎜ × 0 . 035 + 1 ⎟ 1 , 350 ⎝ ⎠ = 17 . 52 depósitos n= log ( 1 + 0 . 035 ) 10

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Con un valor de " n = 18 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta:

[ (1 + 0.035 )18 − 1] = $33,074.58 0.035

S = 1,350

Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la cuantía del último depósito:

Valor del exceso = 33,074.58 − 31,900 = $1,174.58 Depósito adicional " x" = 1,350 − 1,174.58

= $175.42

RESP.: Se requieren 17 depósitos completos de $1,350.00 + un depósito adicional de $175.42

4.1.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS En este acápite trataremos sobre el cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el monto "S", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [1], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:

[(1 + i) n − 1] = S i

R

[6]

Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i " , se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" , a los fines de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea:

j = i∗m

[7]

▶ Ejemplo 14 Ramón Suero ha depositado $1,700.00 al final de cada mes en una cuenta de ahorros, acumulando la suma de $14,767.52 al cabo de 8 meses. ¿Qué tasa anual convertible mensualmente ha ganado? SOLUCIÓN: S = $14,767.52 R = $1,700.00 n = 8 meses i=? m = 12 j =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene:

[(1 + i) i

8

]= 14,767.52 = 8.6868

−1

1,700

Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida.

A) Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN TANTEO " i " (%)

S/R

1 2 2.3 2.4

8.2857 8.5830 8.6745 8.7052

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente igual a 8.6868. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el valor buscado de "i ":

11

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

INTERPOLACIÓN 2.3

8.6745

i

8.6868

2.4

8.7052

X 0.1

0.0123 0.0307

Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de "i ". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida.

x 0.0123 = 0.1 0.0307

⇒

x=

0.1 ∗ 0.0123 = 0.04 0.0307

i = 2 .3 + x = 2 . 3 + 0 . 04 = 2 . 34 % j = 2.34 ∗ 12 = 28.08 %

–» Tasa anual convertible mensual pedida

B) Usando TANTEO TANTEO " i " (%)

S/R

1 2 2.3 2.4 2.33 2.34

8.2857 8.5830 8.6745 8.7052 8.6837 8.6868

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente igual a 8.6868. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]:

i = 2 . 34 % j = 2.34 ∗ 12 = 28.08 %

–» Tasa anual convertible mensual

▶ Ejemplo 15 Una persona efectuó depósitos trimestrales vencidos por $1,000.00 c/u en una cuenta bancaria. Si al cabo de 4½ años tiene en su cuenta la suma de $29,398.20, determine qué tasa anual compuesta trimestral le abonó el banco. SOLUCIÓN: S = $29,398.20 R = $1,000.00 n = 4.5 × 4=18 trimestres i=? m=4 j =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene:

[(1 + i )

18

i

]= 29,398.20 = 29.3982

−1

1,000

Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: 12

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

TANTEO " i " (%)

S/R

1 4 5 5.4 5.5 5.49 5.48 5.47

19.6147 25.6454 28.1324 29.2055 29.4812 29.4535 29.4258 29.3982

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual a 29.3982. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 29.3982 se encuentra entre los valores 29.2055 y 29.4812 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 5.4 y 5.5. Probando valores entre 5.4 y 5.5, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]: :

i = 5 .47 %

j = 5.47 ∗ 4 = 21.88 %

–» Tasa anual compuesta trimestral

4.2 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El valor actual de una anualidad vencida simple "A" es el valor de dicha anualidad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha inicial. Se obtiene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad.

R

A

0

1

2

3

n -2

i

n -1

n

n = n ú m e ro d e p e rio do s

R = re n ta o p a g o p e rió dic o

i = ta sa d e in te ré s p o r p e rio d o

A = va lo r a c tu a l d e la an u alida d

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el valor actual de una anualidad vencida simple "A", nos ubicamos en la fecha inicial y allí efectuamos la sumatoria de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía “R", los cuales se descapitalizan en base a la tasa de interés " i " por periodo de capitalización:

A = R (1 + i) −1 + R (1 + i) − 2 + R (1 + i) −3 + KK + R (1 + i) −n

(A)

Multiplicando ambos miembros por ( 1 + i ) se tiene:

A (1 + i) = R + R (1 + i) −1 + R (1 + i) − 2 + KK + R (1 + i) −n+1

(B)

Restando miembro a miembro las expresiones “B −  A “, se obtiene:

A.i = R − R (1 + i) −n Factorizando se tiene:

A.i = R [1 − (1 + i ) − n ]

Despejando a “A” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una anualidad vencida simple:

A=R

[1 − (1 + i) − n ] i

VALOR ACTUAL ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE

[8] 13

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 16 ¿Cuál es el valor actual o el valor de una deuda al día de hoy, si la misma se debe saldar mediante pagos vencidos de $1,900.00 durante 1½ años, suponiendo una tasa de interés anual del 24% compuesto mensualmente? SOLUCIÓN: R = $1,900.00

n = 1.5 × 12=18 meses

j = 24%

m = 12

i = 24/12 = 2% mensual

A=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se tiene:

A = 1,900

[1 − (1 + 0.02) ]= $28,484.86 −18

0.02

▶ Ejemplo 17 Calcular el precio de contado de un artículo que puede adquirirse pagando $30,000.00 de inicial y $2,800.00 al final de cada mes durante 2 años, suponiendo una tasa de interés del 21% anual compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: Inic.= $30,000.00 R = $2,800.00 n = 2 × 12=24 meses j = 21% m = 12 i = 21/12 = 1.75% mensual PC=?

PC

P C = In ic ia l + V A A

VAA

R

In ic ia l 0

1

2

i

3

22

. . .. . .

23

24 mes

In ic ia l = $ 3 0 ,0 0 0 .0 0

P C = p re c io d e c o n ta d o

R = re n ta = $ 2 ,8 0 0 .0 0

V A A = v a lo r a c tu a l d e la a n u a lid a d

Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 24 mensualidades de $2,800.00 descapitalizadas (las cuales estamos identificando con "VAA"), resultando:

PC = Inicial + VAA

[9]

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [9], se tiene:

PC = 30,000 + 2,800

[1 − (1 + 0.0175) ]= $84,489.92 −24

0.0175

14

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 18 Un solar valorado en $850,000.00 se puede adquirir mediante un pago inicial y mensualidades vencidas por $13,346.67 durante 5 años. Si la tasa de interés aplicada es de 1% mensual, determine la cuantía del pago inicial. SOLUCIÓN: PC= $850,000.00

R = $13,346.67

n = 5 × 12 = 60 meses

i = 1% mensual

m =12

Inicial = ?

Despejando de la fórmula [9] resulta la expresión con la cual se obtiene la cuantía del pago inicial:

Inicial = PC − VAA

[10]

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se tiene:

Inicial = 850,000 − 13,346 .67

[1 − (1 + 0.01) ]= $249,999.94 −60

0.01

▶ Ejemplo 19 (anualidad diferida simple) El valor de una motocicleta se puede saldar mediante un pago inicial de $51,880.00 y 5 abonos mensuales de $14,211.10, venciendo el primero dentro de 4 meses. Determine el precio de contado de la motocicleta, suponiendo una tasa de interés del 24% anual convertible mensualmente. SOLUCIÓN: Inic.= $51,880.00 R = $14,211.10 n = 5 meses j = 24% m = 12 i = 24/12 = 2% mensual PC=?

PC R=$14,211.10

Inic = $51,880 n=3

0

1

A3

2

3

n=5

4

i = 2%

5

6

7

8 mes

Pago inicial = $51,880.00

PC = precio de contado

R = renta = $14,211.10

A 3 = valor actual anualidad vencida simple con duración igual a 5 periodos

i = tasa de interés por periodo = 2%

Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 5 mensualidades de $14,211.10 descapitalizadas. Ahora bien, como los 5 pagos inician en el mes #4, estamos ante una anualidad diferida 4, la cual podemos analizar como una anualidad vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo así, referimos las 5 mensualidades de $14,211.10 hasta el mes #3 mediante la fórmula [8], resultando "A3" y a continuación se descontará dicho valor a interés compuesto hasta la fecha "0" para proceder finalmente a sumárselo al pago inicial, obteniéndose así el precio de contado "PC" :

A 3 = 14,211.10

[1 − (1 + 0.02) ] = $66,983.44 −5

0.02

PC = 51,880 + 66,983.44 (1 + 0.02 ) −3 = $114,999.99 4

Una ANUALIDAD DIFERIDA es aquella en la que se estipula que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Sus elementos (monto, valor actual, plazo, valor de la renta, etc.) se obtienen considerándola como una anualidad inmediata (vencida o anticipada), usándose para ello las fórmulas correspondientes a ésta.

15

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

4.2.1 CÁLCULO DE LA RENTA Esta vez de lo que se trata es de obtener el valor de la renta o de los pagos periódicos "R", partiendo de un valor actual específico de una anualidad vencida simple "A", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [8]:

R=

A .i [1 − (1 + i ) − n ]

VALOR DE LA RENTA

[11]

El uso de esta fórmula aplica para la obtención de la cuantía del pago periódico fijo (capital + interés) con el que se saldaría una deuda "A", así como para el cálculo del valor de la renta fija que se recibiría al realizar una inversión "A" durante un plazo determinado.

▶ Ejemplo 20 Una persona adquiere una computadora valorada en $29,800.00 y acuerda pagarla mediante 10 mensualidades vencidas e iguales. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le aplican una tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente y se la entregan sin pago inicial? ¿Qué interés total envuelve dicho financiamiento? SOLUCIÓN: PC= A = $29,800.00 j = 30% m = 12 i = 30/12 = 2.5% mensual n = 10 meses R=? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene:

R=

29,800 × 0.025 = $3,404.91 [1 − (1 + 0.025 ) −10 ]

b) El interés total que envuelve el financiamiento se obtiene al restarle la deuda "A" al total pagado "n.R" :

I t = n .R − A

5

[12]

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se tiene:

I t = 10 × 3,404.91 − 29,800 = $4,249.10

▶ Ejemplo 21 Si se invirtieran $180,000.00 en un fondo que abona el 12% compuesto trimestralmente con el fin de retirar sumas iguales al final de cada trimestre durante 6 años, determine la cuantía de los retiros. SOLUCIÓN: A = $180,000.00 j = 12% m=4 i = 12/4 = 3% trimestral n = 24 trimestres R=? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene:

R=

180,000 × 0.03 = $10,628.53 [1 − (1 + 0.03 ) − 24 ]

5

Con esta fórmula también se obtiene el interés ganado al realizar una inversión cuya finalidad sea recibir una renta fija. En este caso, el interés total vendría dado por la diferencia del total que se proyecta recibir menos la suma invertida.

16

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 22 Luis Lugo compra un apartamento valorado en $2,400,000.00, pagando un 60% del valor por concepto de inicial y financiando el resto para saldarlo mediante mensualidades vencidas en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés aplicada es de un 18% anual convertible mensual, determine la cuantía del abono inicial y de la cuota fija mensual a pagar. SOLUCIÓN: PC = $2,400,000.00 Inicial = 60% PC j = 18% m = 12 i = 18/12 = 1.5% mensual t = 15 años n = 15 × 12 = 180 meses R=? a) Cuantía del abono inicial = 0.60 × 2,400,000 = $1,440,000.00 b) Valor a financiar = A = PC −  Inicial  =  2,400,000  −  1,440,000  =  $960,000.00 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene:

R=

960,000 × 0.015 = $15,460.04 –» Valor de los pagos mensuales [1 − (1 + 0.015 ) −180 ]

▶ Ejemplo 23 Sobre la compra del apartamento planteada en el Ejemplo 22, determine: a) ¿Cuál es el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72? b) ¿Cuánto se le ha abonado a la deuda hasta ese momento? c) ¿A cuánto ascenderían los pagos mensuales, si el balance de la deuda obtenido anteriormente se acordara saldar en un plazo de 4 años? SOLUCIÓN: a) Para obtener el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72, basta con descontar (a esa fecha) todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 180 mensualidades y se han efectuado 72, entonces restan 108 pagos de $15,460.04, los cuales se descapitalizan mediante la fórmula [8], resultando:

A = 15,460.04

[1 − (1 + 0.015) ]= $824,232.69 −108

0.015

–»

Balance de la deuda justo después del pago #72

b) Aunque hasta ese momento se han efectuado 72 pagos por valor de $15,460.04 c/u, a la deuda sólo se le ha abonado una cantidad igual a la diferencia entre el valor del financiamiento menos el balance de deuda ya obtenido:

Valor abonado = 960,000 − 824,232.69 = $135,767.31 c) Sustituyendo: A = $824,232.69 obtiene:

R=

i = 1.5% mensual

y

n = 4 × 12 = 48 meses en la fórmula [11], se

824,232.69 × 0.015 = $24,211.83 [1 − (1 + 0.015 ) − 48 ]

–»

Valor de los nuevos pagos mensuales

17

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 24 Sergio Lorenzo compra un auto nuevo valorado en $645,000.00 y le reciben uno usado por $225,000.00 como pago inicial, aceptando saldar la suma restante mediante el pago de 36 mensualidades con intereses al 30% anual convertible mensualmente. Determine la cuantía de la mensualidad, si: a) El primer pago se realiza dentro de un mes (anualidad vencida simple) b) El primer pago se realiza dentro de 3 meses (anualidad diferida simple) SOLUCIÓN: PC = $645,000.00 R=?

Inicial = $225,000.00 j = 30% m = 12 i = 30/12= 2.5% mensual Valor a financiar = A = PC −  Inicial  =  645,000  −  225,000  =  $420,000.00

n = 36 meses

a) Como este caso corresponde a una anualidad vencida simple, la cuota fija mensual a pagar se obtiene directamente mediante la fórmula [11]:

R=

420,000 × 0.025 = $17,829.66 [1 − (1 + 0.025 ) −36 ]

–»

Valor de los pagos mensuales

b) Como este caso corresponde a una anualidad diferida simple, procederemos a analizarla como una anualidad vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo de ese modo, capitalizamos la deuda hasta el mes #2 (inicio de la anualidad vencida), resultando "A2" (valor de la deuda a los 2 meses):

A = $420,000.00 A2

n=2

0

1

R=?

2

n = 36

3

4

i = 2.5%

38 mes

A 2 = valor actual anualidad vencida simple

Deuda inicial = $420,000.00 j = 36%

5

m = 12

con duración igual a 36 periodos

i = tasa de interés por periodo = 2.5 %

R = renta = ?

A 2 = 420,000 (1 + 0.025 ) 2 = $441,262.50 Finalmente, el valor de la mensualidad "R" de la anualidad vencida simple de 36 meses (que se inicia en el mes #2 y termina en el mes #38) se obtiene mediante la fórmula [11]:

R=

441,262.50 × 0.025 = $18,732.29 [1 − (1 + 0.025 ) −36 ]

–»

Valor de los pagos mensuales

18

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

4.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el valor actual "A" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [8]:

⎛ A ⎞ − log ⎜1 − i ⎟ ⎝ R ⎠ n= log (1 + i )

VALOR DE LA DURACIÓN

[13]

Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 6 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea mediante la fórmula [5]:

t (años ) =

n m

▶ Ejemplo 25 ¿Cuántos pagos trimestrales vencidos de $700.00 deberán efectuarse para cancelar una deuda de $7,402.74, si la misma se contrajo con intereses a razón del 2% trimestral? SOLUCIÓN: A = $7,402.74

R=$700.00

i = 2% trimestral

m=4

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene:

⎛ 7, 402.74 ⎞ − log ⎜1 − × 0.02 ⎟ 700 ⎝ ⎠ = 12 pagos n= log (1 + 0.02 )

▶ Ejemplo 26 Una deuda por $43,315.00 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos iguales de $3,100.00 a efectuarse al final de cada quincena. Si la tasa de interés aplicada es de un 12% anual capitalizable quincenalmente, determine el número de pagos completos y el valor de un pago complementario (en caso necesario) requeridos para saldar la deuda. SOLUCIÓN: A = $43,315.00

R=$3,100.00

j = 12%

m = 24

i = 12/24 = 0.5% quincenal

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene:

⎛ 43,315 ⎞ − log ⎜1 − × 0.005 ⎟ 3,100 ⎝ ⎠ = 14.52 pagos n= log (1 + 0.005 ) Consideraremos que para saldar los $43,315.00 se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario adicional que vencerá al final de la siguiente quincena 7.

6 7

Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.). Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los pagos nunca exceda la renta originalmente establecida.

19

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Veremos a continuación 2 maneras de obtener el pago complementario:

A) Determinación del pago complementario mediante una ecuación de valor n = 15

A

R=$3,100

A1 FF

0

X 1

2

3

i = 0.5%

14

15 quinc

x = pago complementario

A 1 = valor actual anualidad (n=14 pagos)

A = deuda a saldar = $43,315.00

La fecha focal se tomará en la fecha “0”

Calculamos el valor de "A1" descapitalizando los 14 pagos de $3,100.00 hasta la fecha "0” :

A1 = 3,100

[1 − (1 + 0.005) ]= $41,814.99 −14

0.005

Luego, se plantea la igualdad entre la deuda "A" y los 15 pagos mediante una ecuación de valor con FF en la fecha "0”. A partir de ésta se obtiene el valor del pago complementario:

41,814.99 + x (1 + 0.005) −15 = 43,315.00

41,814.99 + 0.927917 x = 43,315.00 0 .927917 x = 43 ,315 .00 − 41,814 .99 0 .927917 x = 1,500 .01

x = 1,500.01 0.927917 x = $ 1, 616 . 53 RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53

B) Cálculo del pago complementario redondeando el valor "n" obtenido al entero próximo menor Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene:

⎛ 43,315 ⎞ − log ⎜1 − × 0.005 ⎟ 3,100 ⎝ ⎠ = 14.52 pagos n= log (1 + 0.005 ) Como es de suponer, con un valor " n = 14" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída:

A1 = 3,100

[1 − (1 + 0.005) ]= $41,814.99 −14

0.005

20

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A −  A1":

Valor faltante = 43,315 − 41,814.99 = $1,500.01 Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 15"):

Pago complementario " x " = 1,500.01(1 + 0.005 )15 = $1,616.53 RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53

▶ Ejemplo 27 Pilar Moreno invierte $158,000.00 en una cuenta de inversiones que abona el 9% compuesto semestralmente con el fin de efectuar retiros iguales de $9,000.00 al final de cada semestre. Determine cuántos retiros completos podrá hacer y, si es preciso, el valor de un retiro adicional. SOLUCIÓN: A = $158,000.00

R=$9,000.00

j = 9%

m=2

i = 9/2 = 4.5% semestral

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene:

⎛ 158,000 ⎞ − log ⎜1 − × 0.045 ⎟ 9,000 ⎝ ⎠ = 35.46 retiros n= log (1 + 0.045 ) Consideraremos que podrá efectuar 35 retiros completos de $9,000.00 + un retiro adicional al final del siguiente semestre. Como es de suponer, con un valor " n = 35" resulta un valor actual "A1" menor que la inversión efectuada:

A1 = 9,000

[1 − (1 + 0.045) ]= $157,149.11 −35

0.045

Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A −  A1":

Valor faltante = 158,000 − 157 ,149 .11 = $850.89 Finalmente, la cuantía del retiro adicional se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 36" ):

Re tiro complementario " x " = 850.89 (1 + 0.045 ) 36 = $4,150.11 RESP.: Podrá efectuar 35 retiros completos de $9000.00 + un retiro adicional de $4,150.11

21

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

4.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Examinaremos a continuación el proceso de cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el valor actual "A", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [8], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:

[1 − (1 + i) − n ] = i

A R

[14]

Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]:

j = i∗m

▶ Ejemplo 28 Para saldar una deuda de $24,630.00 contraída hoy, se deberán efectuar pagos iguales de $1,873.80 al final de cada trimestre durante 5 años. Determine con qué tasa anual convertible trimestralmente se estaría cargando la operación. SOLUCIÓN: A = $24,630.00 R = $1,873.80 n = 5 × 4 = 20 trimestres i=? m=4 j =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:

[1 − (1 + i) ]= −20

i

24,630 = 13.1444 1,873.80

Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida.

a)

Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 4 4.3 4.4

18.0456 13.5903 13.2363 13.1214

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.1444. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el valor buscado de "i ":

INTERPOLACIÓN 4.3

13.2363

i

13.1444

4.4

13.1214

X 0.1

0.0919 0.1149

22

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de "i ". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida.

x 0.0919 = 0.1 0.1149

⇒

x=

0.1 ∗ 0.0919 = 0.08 0.1149

i = 4 .3 + x = 2 . 3 + 0 . 08 = 4 . 38 % j = 4.38 ∗ 4 = 17.52 % b)

–» Tasa anual convertible trimestral pedida

Usando TANTEO

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 4 4.3 4.4 4.39 4.38

18.0456 13.5903 13.2363 13.1214 13.1328 13.1443

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.1444. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Probando valores entre 4.3 y 4.4, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]:

i = 4 . 38 % j = 4.38 ∗ 4 = 17.52 %

–» Tasa anual convertible trimestral

▶ Ejemplo 29 ¿Qué tasa anual convertible bimestralmente se le cobró a un crédito de $50,000.00 si el mismo fue saldado mediante 18 pagos bimestrales vencidos de $3,672.42? SOLUCIÓN: A = $50,000.00 R = $3,672.42 n = 18 bimestres i=? m=6 j =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:

[1 − (1 + i) ]= −18

i

50,000 = 13.6150 3,672.42

Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida:

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 2 3 3.1 3.2 3.11 3.12

16.3983 14.9920 13.7535 13.6380 13.5238 13.6265 13.6150

i = 3 .12 %

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.6150. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 13.6150 se encuentra entre los valores 13.6380 y 13.5238 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 3.1 y 3.2. Probando valores entre 3.1 y 3.2, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual i = 5 .pedida 47 % "j " mediante la fórmula [7]:

j = 3.12 ∗ 6 = 18.72 %

–» Tasa anual convertible bimestral 23

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 30 (Elección entre varias opciones de pago) Lucía Sánchez resultó ganadora en el sorteo de una lavadora nueva y como no piensa usarla decide venderla, recibiendo las siguientes ofertas: a) 12 mensualidades vencidas de $2,100.00 + una mensualidad adicional (#13) de $1,900.00 b) 18 mensualidades vencidas de $1,525.00 ¿Cuál oferta le conviene más, considerando una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente? SOLUCIÓN: Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir.

1) OPCIÓN “a”

n = 13

VCEa

R = $ 2 ,1 0 0

A1 $ 1 ,9 00 0

2

1

3

12

i = 1 .2 %

1 3 m es

R = $ 2 ,1 0 0 .0 0

A 1 = v a lo r a c tu a l a n u a lid a d (n = 1 2 pa g o s )

i = 1 4 .4 / 1 2 = 1 .2 %

V C E : v a lo r d e c o n ta d o e q u iv a le n te

VCEa = 2,100

[1 − (1 + 0.012) ] + 1,900(1 + 0.012) −12

0.012

−13

= $24,966.78

A1

2) OPCIÓN “b”

R=$1,525

VCE b 0

1

R = $1,525.00

2

3

i = 1.2%

i = 14.4 / 12 = 1.2%

VCEb = 1,525

18 mes

VCE : valor de contado equivalente

[1 − (1 + 0.012) ] = $24,556.07 −18

0.012

RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la porque arroja el mayor importe a recibir.

OPCIÓN

“a” 24

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 31 (Elección entre varias opciones de pago) Una persona que se dispone a comprar un equipo de música valorado en $38,000.00, puede elegir entre 3 planes de pago. Diga cuál le conviene más si la tasa de interés del mercado es de un 30% anual capitalizable mensualmente: a) De contado con un 6% de descuento b) Un pago inicial del 25% del valor y 10 mensualidades vencidas de $2,950.00 c) Un pago inicial de $13,000.00 y 6 mensualidades de $4,495.00 iniciando a los 4 meses de efectuado el pago inicial. SOLUCIÓN: Las 3 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Se obtiene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje la menor erogación.

1) OPCIÓN “a” VC a $35,720

j =30%

m=12

0

meses

VC a = $38,000 (1 −  0.06)  =  $35,720.00            –»

Este sería el valor a pagar de contado.

2) OPCIÓN “b”

VCEb A1

R=$2,950

Inicial 0

1

2

3

......

Inicial = 0.25×38,000=$9,500.00 R = renta = $2,950.00 VCEb = 9,500 + 2,950

i = 2.5%

10 meses

A1 = valor actual de la anualidad VCE = valor de contado equivalente

[1 − (1 + 0.025) ] = $35,318.59 −10

0.025 A1

25

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

3) OPCIÓN “c”

VCEc n=3

Inicial 0

R=$4,495

A1 2

1

3

4

5

6

Inicial = $13,000.00 R = renta = $4,495.00

......

9 meses

i = 2.5%

A1 = valor actual de la anualidad VCE = valor de contado equivalente −6

[1 − (1 + 0.025) ] −3 VCEc = 13,000 + 4,495 × (1 + 0.025) = $35,991.21 0.025 A1 RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegir la por involucrar la erogación de menor cuantía.

OPCIÓN

“b”

▶ Ejemplo 32 (Ecuaciones de valores equivalentes) Una deuda de $101,000.00 contraída hoy se debe pagar mediante un abono de $30,000 dentro de 4 meses, 15 abonos mensuales de $7,250.00 iniciando a los 7 meses y un último pago a los 24 meses. ¿Cuál es la cuantía del pago final, si la tasa de interés cargada a la operación es de un 3.14% mensual? SOLUCIÓN:

n = 24

FF

$101,000 i = 3.14% 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

24 meses

21

......

X

n = 15 pagos

$30,000 R=$7,250

S1

n=3

n = 20

Como vemos en el diagrama temporal, la deuda la hemos indicado con una flecha hacia arriba y los pagos con flechas hacia abajo. Para plantear la igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de la anualidad diferida, es decir, debemos trabajar con una sola suma que la represente (en este caso usaremos el monto "S1"). Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será:

101,000 (1 + 0.0314 ) 24 = 30,000(1 + 0.0314) 20 + 7,250

[( 1 + 0.0314 )15 − 1] ∗ ( 1 + 0.0314 ) 3 + X 0.0314 S1 26

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

212,115.51 = 202,955.92 + X

212,115.51 − 202,955.92 = X X = $9,159.59

–»

Valor del pago final

▶ Ejemplo 33 (Ecuaciones de valores equivalentes) Víctor Ruiz efectuó los siguientes depósitos: $3,800.00 al momento de la apertura de una cuenta bancaria y $700.00 mensuales en los próximos 10 meses. Luego realiza los siguientes retiros: $1,000.00 al cabo de 12 meses y 6 mensualidades de $500.00 iniciando a los 14 meses de la apertura de la cuenta. Si a continuación la cuenta no registra ni depósitos ni retiros, determine su balance a los 26 meses, si la misma abona una tasa del 12% compuesto mensual. SOLUCIÓN: n = 26 n = 16

0

FF

S1

R=$700 $3,800

i = 1%

n = 10 depósitos

1

2 ......

10

12

11

13

14

......

15

26 meses

19

X

n = 6 retiros

$1,000

R=$500

S2

n=7

n = 14

Como vemos en el diagrama temporal, los depósitos se han indicado con flechas hacia arriba y los retiros con flechas hacia abajo (el balance pedido es lo que tiene la cuenta disponible para retirar a los 26 meses). Para plantear la igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de las anualidades, es decir, debemos trabajar con una sola suma que represente cada anualidad (en este caso usaremos el monto, por tanto tendremos a "S1" y "S2" ). Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será:

3,800 (1 + 0.01 ) 26 + 700

[( 1 + 0.01) 6 − 1] [(1 + 0.01)10 − 1] ∗ (1 + 0.01)16 = 1,000(1 + 0.01)14 + 500 ∗ ( 1 + 0.01 ) 7 + X 0.01 0.01 S1

S2

13,509.41 = 4,447.37 + X

13,509.41 − 4,447.37 = X X = $9,062.04

–»

Balance de la cuenta a los 26 meses

27

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

5. ANUALIDAD VENCIDA GENERAL Una anualidad vencida general es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la componen, siendo éstos diferentes de los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 10 depósitos iguales de $11,200.00 c/u a efectuarse al final de cada trimestre en una cuenta de ahorros que abona el 10% de interés anual convertible mensualmente.

5.1 CÁLCULO DEL MONTO, VALOR ACTUAL, RENTA, PLAZO Y TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA GENERAL La forma más sencilla de trabajar con una anualidad vencida general es transformarla en una vencida simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de ésta para determinar los valores deseados. Una manera de realizar dicha modificación consiste en utilizar la tasa de interés " j1 " capitalizable " m1 " veces por año, equivalente a la tasa de 8 interés anual conocida " j 2 " capitalizable " m 2 " veces por año : m

2 ⎡ ⎤ m ⎛ j2 ⎞ 1 ⎥ ⎢ ⎟ −1 j1 = m 1 ⎜⎜ 1 + ⎟ ⎢ ⎥ m 2 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦

TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE

Si la tasa equivalente deseada fuese una tasa efectiva (ésta se identificaría con " j e "

9

[15]

y " m1 " sería igual a 1),

entonces se podría trabajar con la expresión simplificada de la fórmula anterior que resulta al sustituir a " m1 " por 1:

⎛ j ⎞ je = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ m2 ⎠

m2

−1

TASA DE INTERÉS EFECTIVA

[16]

▶ Ejemplo 34 ¿Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 20 pagos bimestrales vencidos de $3,000.00 si la tasa de interés aplicada es de un 20.5% anual compuesto trimestralmente? SOLUCIÓN: R = $3,000.00

n = 20 bimestres

j = 20.5%

m = 4 (trimestral)

S=?

A=?

Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 20.5% m2 = 4

j1 = ? m1 = 6

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.205 ⎞ ( 4 j1 = 6 ⎢⎜ 1 + ⎟ 4 ⎠ ⎢⎣⎝ O sea, emplearemos:

j = 20.3288%

6)

m=6

⎤ − 1⎥ = 0.203288 = 20 .3288 % ⎥⎦ i = 20.3288 / 6 = 3.3881% bimestral

8

Si siempre se identifica con “ j2 ” la tasa de interés compuesto conocida, entonces invariablemente se podrá obtener la tasa de interés equivalente con la fórmula de “ j1 ” , o sea, con la fórmula [15]. 9 Al hallar una tasa “ j1” con una frecuencia m1 =1, es decir, una tasa efectiva, se cambia el subíndice “ 1” por “ e ” y se representa con “ je”.

28

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el valor del monto de la anualidad:

⎡(1 + 0.033881) 20 − 1⎤ ⎢ ⎦⎥ = $83,870.22 S = 3,000 ⎣ 0.033881 b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene el valor actual de la anualidad:

⎡ 1 − (1 + 0.033881 ) − 20 ⎤ ⎢ ⎥⎦ A = 3,000 ⎣ = $43,072.17 0.033881

▶ Ejemplo 35 Para la compra de un automóvil usado valorado en $350,000.00 se paga un inicial del 40% y el resto con 36 mensualidades vencidas. ¿A cuánto asciende cada mensualidad si se carga un 27.85% de interés anual convertible semanalmente? ¿A cuánto ascienden los intereses? SOLUCIÓN: PC = $350,000.00 n= 36 meses

Inicial = 0.40 PC = $140,000.00 j = 27.85% m = 52 (semanal)

Valor de la deuda = A = PC – Inicial =$210,000.00 R=? I=?

Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 27.85% m2 = 52

j1 = ? m1 = 12

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.2785 ⎞ ( 52 / 12 ) ⎤ j1 = 12 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.280996 = 28.0996 % ⎟ 52 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 28.0996%

m = 12

i = 28.0996 / 12 = 2.3416% mensual

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de la renta "R" :

R=

210,000 × 0.023416 = $8,697.61 [1 − (1 + 0.023416) −36 ]

b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], obtenemos la cuantía de los intereses:

I t = 36 × 8,697.61 − 210,000 = $103,113.96

29

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 36 Una repostería dispone de las siguientes opciones para vender unos equipos usados: a) Un cliente le ofrece $110,000.00 de contado y 8 mensualidades de $40,500.00 cada una. b) Otro le ofrece $90,000.00 de contado y 15 pagos quincenales de $22,800.00 cada uno. Determine cuál le conviene más si el rendimiento promedio del dinero es del 23% compuesto semestralmente. SOLUCIÓN: Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir. Como cada opción envuelve una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple:

a) OPCIÓN “a” Inicial = $110,000.00

R = $40,500.00

n = 8 meses

j = 23%

m = 2 (semestral)

VCEa= ?

Tasa equivalente: j2 = 23% m2 = 2

j1 = ? m1 = 12

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.23 ⎞ ( 2 / 12 ) ⎤ j1 = 12 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.219696 = 21.9696 % ⎟ 2 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 21.9696%

m = 12

i = 21.9696 / 12 = 1.8308% mensual

Descontando las 8 mensualidades hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselas al pago inicial, obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “a” (VCEa) :

VCE a = 110,000 + 40,500

[1 − (1 + 0.018308) − 8 ] = $408,857.38 0.018308

b) OPCIÓN “b” Inicial = $90,000.00

R = $22,800.00

n = 15 quincenas

j = 23%

m = 2 (semestral)

VCEb= ?

Tasa equivalente: j2 = 23% m2 = 2

j1 = ? m1 = 24

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.23 ⎞ ( 2 / 24 ) ⎤ j1 = 24 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.218699 = 21 .8699 % ⎟ 2 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 21.8699%

m = 24

i = 21.8699 / 24 = 0.911246% quincenal 30

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Descontando los 15 pagos hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselos al pago inicial, obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “b” (VCEb) :

VCEb = 90,000 + 22,800

[1 − (1 + 0.00911246) − 15 ] = $408,304.70 0.00911246

RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la porque arroja el mayor importe a recibir.

OPCIÓN

“a”

▶ Ejemplo 37 Si una persona desea acumular $8,500.00 efectuando depósitos trimestrales vencidos de $595.47 en una cuenta de ahorros que abona intereses a razón del 30% compuesto mensualmente, ¿cuántos depósitos deberá realizar para acumular dicha suma? SOLUCIÓN: S = $8,500.00

R = $595.47 (trimestral)

j = 30%

m = 12 (mensual)

n = ? (trimestres)

Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta trimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 30% m2 = 12

j1 = ? m1 = 4

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.30 ⎞ (12 / 4 ) ⎤ j1 = 4 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.307562 = 30.7562 % ⎟ 12 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 30.7562%

m=4

i = 30.7562 / 4 = 7.6891% trimestral

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene:

⎛ 8,500 ⎞ log ⎜ × 0.076891 + 1⎟ ⎝ 595.47 ⎠ = 10 depósitos n= log (1 + 0.076891)

▶ Ejemplo 38 Una deuda por $1,875,000.00 con intereses al 25% compuesto anual se saldará con pagos mensuales vencidos de $125,000.00 cada uno. Determine cuántos pagos completos será preciso hacer para saldar la deuda y obtenga el valor de un pago adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: A = $1,875,000.00

R = $125,000.00 (mensual)

j = 25%

m = 1 (anual)

n = ? (meses)

Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 25% m2 = 1

j1 = ? m1 = 12 31

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.25 ⎞ (1 / 12 ) ⎤ j1 = 12 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.225231 = 22.5231 % ⎟ 1 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 22.5231%

m = 12

i = 22.5231 / 12 = 1.8769% mensual

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene:

⎛ 1,875,000 ⎞ − log ⎜1 − × 0.018769 ⎟ 125,000 ⎝ ⎠ = 17.78 depósitos n= log (1 + 0.018769 ) Como es de suponer, con un valor " n = 17" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída:

A1 = 125,000

[1 − (1 + 0.018769) ]= $1,805,003.13 −17

0.018769

Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A −  A1":

Valor faltante = 1,875,000 − 1,805,003.13 = $69,996.87 Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 18"):

Pago adicional " x " = 69,996.87 (1 + 0.018769 )18 = $97,823.14 RESP.: Se requieren 17 pagos completos de $125,000.00 + un pago adicional de $97,823.14

▶ Ejemplo 39 Si un préstamo por $32,000.00 se saldó mediante 24 pagos trimestrales vencidos de $2,251.86 cada uno, ¿qué tasa anual capitalizable mensualmente le aplicaron al préstamo? ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a la encontrada anteriormente? SOLUCIÓN: A = $32,000.00

R = $2,251.86 (trimestral)

n = 24 trimestres

j=?

m = 12 (mensual)

j=?

m = 4 (trimestral)

Como estamos ante una anualidad vencida general y la tasa de interés capitalizable mensualmente es la incógnita, inicialmente calcularemos la tasa de interés capitalizable trimestralmente para transformar la anualidad general en una vencida simple (de modo que coincidan el periodo de los pagos y el de capitalización de los intereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de interés equivalente. Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:

[1 − (1 + i) ]= −24

i

32,000 = 14.2105 2,251.86

Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés "i ": 32

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 4 5 4.5 4.6 4.7

21.2434 15.2470 13.7986 14.4955 14.3519 14.2105

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 14.2105. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 14.2105 se encuentra entre los valores 15.2470 y 13.7986 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4 y 5%. Probando valores entre 4 y 5%, se encuentra el valor i = 5buscado .47 % de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual " j " mediante la fórmula [7]:

i = 4 .7 %

j = 4.7 ∗ 4 = 18.8 %

–»

Tasa anual capitalizable trimestral

a) Para calcular la tasa de interés anual capitalizable mensualmente (tasa pedida) empleamos la fórmula [15] que nos permite hallar la tasa equivalente a la obtenida anteriormente: j2 = 18.8% m2 = 4

j1 = ? m1 = 12

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.188 ⎞ ( 4 / 12 ) ⎤ j1 = 12 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.185129 = 18.5129 % –» ⎟ 4 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦

Tasa anual capitalizable mensual

b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 18.5129%

je = ?

m2 = 12 12

⎛ 0.185129 ⎞ j e = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0.201674 = 20.1674 % 12 ⎝ ⎠

–»

Tasa efectiva

33

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

6. ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE Una anualidad anticipada simple es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 15 depósitos de $3,400.00 a efectuarse a principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga intereses a razón del 9% anual convertible mensualmente.

R =$3,4 00

0

1

2

3

......

14

i = 0.75 %

R = renta = $3,400.00

15 m es

i = j / m = 9 / 12 = 0.75% m ensual

6.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad.

R S 0

1

2

3

.

n -2

i

n = número de periodos i = tasa de interés por periodo

n -1

n

R = renta o pago periódico S = monto de la anualidad

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" se suman los montos que acumulan cada uno de los depósitos “R” invertidos a la tasa de interés “i”, desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad:

S = R (1 + i)1 + R (1 + i) 2 + KK + R (1 + i) n−1 + R (1 + i ) n

(A)

Multiplicando ambos miembros por ( 1 + i ) se tiene:

S (1 + i) = R (1 + i) 2 + R (1 + i) 3 + ...... + R (1 + i) n + R (1 + i) n +1

(B)

Restando miembro a miembro las expresiones “B −  A “, se obtiene:

S .i = R (1 + i) n +1 − R (1 + i ) Factorizando se tiene:

S .i = R [ (1 + i) n + 1 − i − 1] 34

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad anticipada simple:

S=R

[(1 + i)

n +1

]

− i −1

MONTO ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE

i

[17]

▶ Ejemplo 40 Si en una cuenta bancaria que abona el 10% compuesto trimestralmente se depositan $3,000.00 al inicio de cada trimestre, ¿qué suma se acumulará al cabo de 4½ años? SOLUCIÓN: R = $3,000.00

j = 10%

m = 4 (trimestral)

10

n = 4.5 × 4 =18 trimestres

i = 10 / 4 = 2.5% trimestral

t = 4½ años

S=?

A n u a lid a d A n tic ip a d a S im p le R = $ 3 ,0 0 0 S 0

1

2

.

3

i= 2 .5 %

16

17

18 trim

R = re n ta = $ 3 ,0 0 0 .0 0 S = m o n to d e la a n u a lid a d

n = 1 8 trim e s tre s i = ta s a in te ré s p o r p e rio d o = 1 0 / 4 = 2 .5 %

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene:

S = 3,000

[(1 + 0.025)

]

18 +1

− 0.025 − 1 = $68,838.02 0.025

▶ Ejemplo 41 ¿Cuánto se acumula en 7 meses, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de $2,300.00, en una cuenta de ahorros que paga el 12% anual convertible quincenalmente? SOLUCIÓN: R = $2,300.00 S=?

j = 12%

m = 24

i = 12 / 24 = 0.5% quincenal

n = 7 × 2 =14 quincenas

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene:

S = 2,300

[(1 + 0.005)

− 0.005 − 1] = $33,434.06 0.005 14 +1

10

Como son 18 pagos y el primero vence en el cero, luego el último, es decir el pago #18, vence en el 17 (un periodo antes del final de la anualidad, tal como ocurrirá en todas las anualidades anticipadas).

35

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

6.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los depósitos periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad anticipada simple "S", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [17]:

R=

S .i [(1 + i ) n+1 − i − 1]

VALOR DE LA RENTA

[18]

▶ Ejemplo 42 ¿Cuánto debe invertir una persona, al inicio de cada mes, para acumular la suma de $300,000.00 en un plazo de 5 años, si su inversión gana un 13.2% anual compuesto mensualmente? SOLUCIÓN: S = $300,000.00 R=?

j = 13.2%

m = 12

i = 13.2 / 12 = 1.1% mensual

n = 5 × 12 = 60 meses

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene:

R=

300,000 × 0.011 [(1 + 0.011)

60 + 1

− 0.011 − 1]

= $3,517.98

▶ Ejemplo 43 ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada cuatrimestre durante 6 años para acumular $190,000.00, si la tasa de interés es del 4% cuatrimestral? ¿Qué cantidad de interés se gana? SOLUCIÓN: S = $190,000.00

i = 4% cuatrimestral

m= 3

n = 6 × 3 = 18 cuatrimestres

R=?

It = ?

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene:

R=

190,000 × 0.04 [(1 + 0.04 )18 + 1 − 0.04 − 1]

= $7,123.78

b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene:

I t = 190,000 − 18 × 7,123.78 = $61,771.96

6.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el monto "S" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [17]:

⎛S ⎞ log ⎜ i + i + 1⎟ R ⎝ ⎠ −1 n= log (1 + i )

VALOR DE LA DURACIÓN

[19]

36

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en 11 años se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea, mediante la fórmula [5]:

t (años ) =

n m

▶ Ejemplo 44 José Melo efectúa depósitos anticipados mensuales por valor de $623.57 cada uno en una cuenta de ahorros que abona el 35.64% anual convertible mensualmente. Determine: a) el balance de la cuenta justamente antes del 8vo depósito, y b) durante qué tiempo (años) deberá realizar dichos depósitos si pretende acumular la suma de $15,000.00. SOLUCIÓN: R = $623.57 t (años) = ?

S = $15,000.00

j = 35.64%

m = 12

i = 35.64 / 12 = 2.97% mensual

n =?

a) Como el 8vo. depósito vence en el mes #7, interesa el balance en el mes #7 pero sin incluir el depósito correspondiente a esa fecha, o sea, se pide el monto de la anualidad anticipada simple con "n=7" :

R = $ 6 2 3 .5 7 S 0

1

2

.

3

i= 2 .9 7 %

E l 8 v o . d e p ó s i to v e n c e e n e l m e s 7 . i = ta s a in t e r é s p o r p e r i o d o = 3 5 . 6 4 /1 2 = 2 .9 7 %

5

6

7 m es

R = re nta = $ 6 2 3.5 7 S = m o n to d e l a a n u a l id a d

Mediante la fórmula [17], se obtiene el balance justamente antes del 8vo. depósito:

S = 623.57

[(1 + 0.0297)

− 0.0297 − 1] = $4,915.52 0.0297 7 +1

b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de periodos requeridos para acumular los $15,000.00:

⎛ 15,000 ⎞ log ⎜ × 0.0297 + 0.0297 + 1⎟ ⎝ 623.57 ⎠ − 1 = 18 meses n= log (1 + 0.0297 ) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [5], se obtiene el tiempo en años:

t=

11

18 = 1.5 años = 1½ años 12

Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).

37

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 45 Un señor deposita $9,000.00 al inicio de cada trimestre en una cuenta de inversiones con la finalidad de acumular $130,000.00. Si la cuenta abona un 10% anual capitalizable trimestralmente, determine cuántos depósitos deberá hacer para lograr su objetivo de reunir los $130,000.00 y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: R = $9,000.00

S = $130,000.00

j = 10%

m=4

i = 10 / 4 = 2.5% trimestral

n =?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de depósitos requeridos para acumular los $130,000.00:

⎛ 130,000 ⎞ log ⎜ × 0.025 + 0.025 + 1⎟ ⎝ 9,000 ⎠ − 1 = 12.22 depósitos n= log (1 + 0.025 ) Consideraremos que para reunir los $130,000.00 se requieren 12 depósitos completos de $9,000.00 + un 12 depósito adicional que vencerá al inicio del siguiente trimestre . Veamos a continuación el cálculo del depósito adicional:

Determinación del depósito adicional mediante una ecuación de valor S

R=$9,000

X

S1 0

1

2

3

.

x = depósito adicional S = monto a acumular = $130,000.00

i = 2.5%

10

11

FF

12

13 trim

S1 = monto de la anualidad (n=12 dep.) La fecha focal se fijará a los 12 trimestres

Cálculo de "S1" :

⎡(1 + 0.025) 12 + 1 − 0.025 − 1⎤ ⎢ ⎥⎦ S1 = 9,000 ⎣ = $127, 263.98 0.025 Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: en el trimestre #12, se obtendrá el valor del depósito adicional:

127,263.98 + x = 130,000 .00 x = 130,000 .00 − 127,263 .98 x = $2,736.02 RESP.: Se requieren 12 depósitos completos de $9,000.00 + un depósito adicional de $2,736.02

12

Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.

38

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

6.1.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS En este acápite trataremos sobre el cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el monto "S", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad anticipada simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [17], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:

[(1 + i)

n +1

]= S

− i −1

i

[20]

R

Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]:

j = i∗m ▶ Ejemplo 46 ¿A qué tasa anual convertible bimestralmente se acumulan $145,353.89 luego de efectuarse 15 depósitos bimestrales anticipados de $8,000.00? ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a la obtenida anteriormente? SOLUCIÓN: S = $145,353.89

R = $8,000.00

n = 15 bimestres

i=?

m=6

j =?

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [20], se tiene:

⎡(1 + i)15 + 1 − i − 1⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 145,353.89 = = 18.1692 i 8,000 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida:

TANTEO " i " (%)

S/R

1 2 3 2.5 2.4 2.3 2.35 2.36

16.2579 17.6393 19.1569 18.3802 18.2292 18.0797 18.1543 18.1692

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [20] resulte igual o aproximadamente igual a 18.1692. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 18.1692 se encuentra entre los valores 18.0797 y 18.2292 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]: :

i = 2 . 36 % j = 2.36 ∗ 6 = 14.16 %

–» Tasa anual convertible bimestralmente

b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 14.16% m2 = 6

je = ? 6

⎛ 0.1416 ⎞ j e = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0.150222 = 15.0222 % 6 ⎠ ⎝

–»

Tasa efectiva

39

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

6.2 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El valor actual de una anualidad anticipada simple "A" es el valor de dicha anualidad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha inicial. Se obtiene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad.

A

0

R

1

2

3

n -2

i

n -1

n

R = renta o pago periódico A = valor actual de la anualidad

n = número de periodos i = tasa de interés por periodo

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el valor actual de una anualidad anticipada simple "A", nos ubicamos en la fecha inicial y allí efectuamos la sumatoria de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía “R", los cuales se descapitalizan en base a la tasa de interés " i " por periodo de capitalización:

A = R + R (1 + i) −1 + R (1 + i) − 2 + R (1 + i) −3 + KK + R (1 + i) −n+2 + R (1 + i ) −n +1

(A)

Multiplicando ambos miembros por ( 1 + i ) se tiene:

A (1 + i) = R (1 + i ) + R + R (1 + i) − 1 + R (1 + i ) − 2 + KK + R (1 + i ) −n +3 + R (1 + i) −n+2

(B)

Restando miembro a miembro las expresiones “B −  A “, se obtiene:

A.i = R (1 + i ) − R (1 + i) −n +1 A. i = R [1 + i − (1 + i ) − n + 1 ]

Factorizando se tiene:

Despejando a “A” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una anualidad anticipada simple:

A=R

[1 + i − (1 + i)

− n +1

]

i

VALOR ACTUAL ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE

[21]

▶ Ejemplo 47 Determine el valor actual al día de hoy (precio de contado) de una bicicleta que puede pagarse mediante abonos mensuales anticipados de $950.00 durante 1½ años, si la tasa de interés es del 18% compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: R = $950.00 PC = A = ?

j = 18%

m = 12

i = 18 / 12 = 1.5% mensual

n = 1.5 × 12 = 18 meses

Para obtener el precio de contado se procede a descapitalizar todos los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad, o sea, hallamos el valor actual de la anualidad anticipada simple usando la fórmula [21]:

PC = A = 950

[1 + 0.015 − (1 + 0.015) 0.015

−18 + 1

]= $15,112.27 40

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 48 Determine el precio de contado de un artículo por el que se efectuaron 20 pagos quincenales iguales de $518.49. El primer pago fue de inmediato y la tasa de interés aplicada a la operación fue del 1% quincenal. ¿Cuánto se pagó por concepto de intereses? SOLUCIÓN: R = $518.49

i = 1% quincenal

m = 24

n = 20 quincenas

PC= A = ?

It = ?

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [21], se obtiene el precio de contado:

PC = A = 518.49

[1 + 0.01 − (1 + 0.01)

−20 + 1

0.01

]= $9,450.00

b) Mediante la fórmula [12], resulta el valor pagado por concepto de intereses:

I t = 20 × 518.49 − 9,450 = $919.80 ▶ Ejemplo 49 (anualidad diferida simple) Si un señor invierte $100,000.00 en una cuenta bancaria que paga el 0.93% mensual y al cabo de un tiempo puede realizar 60 retiros mensuales e iguales de $3,403.10, determine cuántos meses después de efectuar la inversión podrá realizar el primer retiro. SOLUCIÓN:

R=$3,403.10

A

n = 60 meses

i = 0.93% 0

1

2

..

n

$100,000

n+1

..

n+2

n+ 59

n+ 60 mes

FF

n=?

i = tasa de interés por mes = 0.93 %

A= valor actual anualidad anticipada simple con duración igual a 60 periodos

En el diagrama temporal se ha indicado la inversión con una flecha hacia abajo y los retiros con flechas hacia arriba.

Para obtener el valor de "n" se planteará una ecuación de valores equivalentes con FF en el mes "n" , que es el momento en que se podrá realizar el primer retiro. En la FF se igualará la inversión capitalizada hasta allí con el valor actual de la anualidad diferida 13 compuesta de 60 retiros, la cual analizaremos esta vez como una anualidad anticipada simple, cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo así, referimos los 60 retiros de $3,403.10 hasta el mes "n" mediante la fórmula [21], resultando "A" y eso lo igualamos al monto compuesto de la inversión, obteniéndose de dicha igualdad el valor pedido de "n" :

[1 + 0.0093 − ( 1 + 0.0093 ) 100,000 (1 + 0.0093 ) = 3,403.10 0.0093 n

− 60+1

]

A 13

Una ANUALIDAD DIFERIDA es aquella en la que se estipula que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Sus elementos se obtienen considerándola como una anualidad inmediata (vencida o anticipada). En este caso, la analizamos como una anualidad anticipada, procediéndose a obtener a “n” , esto es, el llamado “periodo de diferimiento o periodo de gracia” de la anualidad.

41

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

100,000 (1 + 0.0093 ) n = 157,396.27 Despejando a “n” de la igualdad anterior, se obtiene el tiempo pedido en meses:

⎛ 157,396.27 ⎞ log ⎜ ⎟ 100,000 ⎠ ⎝ n= = 49 meses log (1 + 0.0093 )

6.2.1 CÁLCULO DE LA RENTA Aquí de lo que se trata es de calcular el valor de la renta o de los pagos periódicos "R", partiendo de un valor actual específico de una anualidad anticipada simple "A", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, la obtención de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [21]:

R=

A. i [1 + i − (1 + i ) − n +1 ]

VALOR DE LA RENTA

[22]

El uso de esta fórmula aplica para la determinación de la cuantía del pago periódico fijo (capital + interés) con el que se saldaría una deuda "A".

▶ Ejemplo 50 Un reloj valorado en $7,200.00 se puede comprar a crédito mediante el pago de 6 mensualidades anticipadas. Determine el valor del pago mensual, si el interés cobrado es del 30% anual capitalizable mensualmente. SOLUCIÓN: PC = A = $7,200.00

j = 30%

m = 12

i = 30 /12 = 2.5% mensual

n = 6 meses

R= ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago mensual:

R=

7,200 × .0.025 = $1,275.28 [1 + 0.025 − (1 + 0.025 ) −6+1 ]

▶ Ejemplo 51 Un señor debe pagar hoy $280,000.00, pero al no poder cumplir con su compromiso se pone de acuerdo con el acreedor para cancelar la deuda mediante pagos trimestrales e iguales durante 5½ años, efectuando el primer pago inmediatamente. Si la tasa de interés aplicable a la operación es del 25% compuesto trimestralmente, calcule el valor del pago trimestral y el interés total a pagar por el financiamiento. SOLUCIÓN: A = $280,000.00 R= ?

j = 25% It = ?

m=4

i = 25 / 4 = 6.25% trimestral

n = 5.5 × 4 = 22 trimestres

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago trimestral:

R=

280,000 × .0.0625 = $22,363.01 [1 + 0.0625 − (1 + 0.0625 ) − 22+1 ]

b) Mediante la fórmula [12], resulta el interés total a pagar por el financiamiento:

I t = 22 × 22,363.01 − 280,000 = $211,986.22 42

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 52 (anualidad diferida simple) Fábrica de Muebles Alberto, SRL. compra a crédito una maquinaria valorada en $630,000.00, pagando $230,000.00 de inicial y acordando saldar el resto mediante 24 pagos bimestrales iguales, venciendo el primero en 6 meses. Encuentre el valor del pago bimestral si la tasa de interés aplicada es del 18% anual convertible bimestralmente. SOLUCIÓN: PC = $630,000.00 j = 18% m= 6

Inicial = $230,000.00 i = 18 / 6 = 3% bimestral

Valor a Financiar = PC −  Inicial  =  $400,000.00 n = 24 bimestres R =?

n=6

0

1

R=?

A

$400,000 2

......

6

7

8

n = 24 bimestres

......

i = 18 / 6 = 3% bimestral

29

i = 3%

30 bimest

A = valor actual de la anualidad

n = 24 bimestres

anticipada simple

La anualidad diferida la analizaremos como una anualidad anticipada, cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Luego, capitalizaremos la deuda hasta el bimestre #6, obteniéndose el valor de la deuda al inicio de la anualidad, o sea el valor actual “A” :

A = 400,000 (1 + 0.03 ) 6 = $477,620.92 A partir de “A” y con la fórmula [22], se obtiene el valor pedido del pago bimestral:

R=

477,620.92 × .0.03 = $27,380.86 [1 + 0.03 − (1 + 0.03 ) − 24+1 ]

6.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN De conocerse el valor actual "A" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [21]:

A ⎞ ⎛ log ⎜1 + i − i ⎟ R ⎠ ⎝ n = 1− log (1 + i )

VALOR DE LA DURACIÓN

[23]

Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 14 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea, mediante la fórmula [5]:

t (años ) =

14

n m

Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).

43

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 53 Andrés Morla compra a crédito un automóvil valorado en $500,000.00 con un financiamiento del 100% del valor del auto al 12.3% anual convertible quincenalmente y acordando realizar pagos quincenales e iguales de $5,560.27 comenzando de inmediato. Determine durante cuántos años se habrán de efectuar dichos pagos. SOLUCIÓN: PC = A = $500,000.00 n=?

j = 12.3% t=?

m = 24

i = 12.3 / 24= 0.5125% quincenal

R = $5,560.27

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [23], se obtiene cantidad de periodos o de pagos:

500,000 ⎛ ⎞ log ⎜1 + 0.005125 − × 0.005125 ⎟ 5,560.27 ⎝ ⎠ = 120 quincenas n = 1− log (1 + 0.005125 ) Luego, mediante la fórmula [5] se halla la cantidad de años durante los cuales se habrán de efectuar los pagos:

t =

120 = 5 años 24

▶ Ejemplo 54 Un señor debía pagar hoy $14,270.45, pero acuerda con su acreedor cancelar la deuda mediante pagos trimestrales de $1,000.00 comenzando inmediatamente. Si la tasa de interés aplicada a la operación es de un 3.25% trimestral, determine cuántos pagos son necesarios para saldar la deuda y el valor de un pago adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: A = $14,270.45

i = 3.25% trimestral

m= 4

R = $1,000.00

n=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [23], se obtiene cantidad de periodos o de pagos:

14,270.45 ⎛ ⎞ log ⎜1 + 0.0325 − × 0.0325 ⎟ 1 , 000 ⎝ ⎠ = 18.65 trimestres n = 1− log (1 + 0.0325 ) Consideraremos que para saldar los $14,270.45 se requieren 18 pagos completos de $1,000.00 + un pago adicional que vencerá al final del siguiente trimestre 15.

Determinación del pago adicional A

n = 18

A1

R=$1,000 X

0

1

2

3

x = pago complementario A = deuda a saldar = $14,270.45 15

.

i = 3.25% trimestral

17

18 trim

A1 = valor actual anualidad anticipada con n = 18 pagos

Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los pagos nunca exceda la renta originalmente establecida.

44

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Como es de suponer, con un valor " n = 18" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda a saldar:

A1 = 1,000

[1 + 0.0325 − (1 + 0.0325)

−18 +1

0.0325

]= $13,904.95

Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A −  A1":

Valor faltante = 14,270.45 − 13,904.95 = $365.50 Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste (" n = 18"):

Pago adicional " x " = 365.50 (1 + 0.0325 )18 = $649.99 RESP.: Se requieren 18 pagos completos de $1,000.00 + un pago adicional de $649.99

6.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Analizaremos a seguidas el proceso de cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el valor actual "A", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad anticipada simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [21], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:

[1 + i − (1 + i) ]= A − n +1

i

R

[24]

Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]:

j = i∗m ▶ Ejemplo 55 Una persona se comprometió a pagar $34,009.00 en la fecha de hoy, pero al no poder cumplir con su compromiso acuerda saldar la deuda mediante 9 pagos semestrales e iguales de $4,600.00 comenzando de inmediato. Obtenga la tasa de interés anual convertible semestralmente aplicada a la operación. SOLUCIÓN: A = $34,009.00 R = $4,600.00 n = 9 semestres i=? m=2 j =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se tiene:

[1 + i − (1 + i) ]= 34,009 = 7.3933 − 9 +1

i

4,600

Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida:

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 4 5 5.2 5.3 5.25 5.27

8.6517 7.7327 7.4632 7.4113 7.3856 7.3984 7.3933

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [24] resulte igual o aproximadamente igual a 7.3933. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. c) Como se observa, el valor de 7.3933 se encuentra entre los valores 7.4113 y 7.3856 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 5.2 y 5.3. Probando valores entre 5.2 y 5.3 se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: i = 5.27% j = 5.27 × 4 = 21.08% i = 5 .47 %

45

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 56 Si me entregan una nevera valorada en $53,800.00 y acepto pagar 24 mensualidades anticipadas de $3,120.59 cada una, determine la tasa de interés anual capitalizable mensualmente cargada a la operación, así como la tasa de interés efectiva. SOLUCIÓN: A = $53,800.00 R = $3,120.59 n = 24 meses i=? m = 12 j =? je = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se tiene:

[1 + i − (1 + i) i

− 24 +1

]=

53,800 = 17.2403 3,120.59

a) Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés anual capitalizable mensualmente: TANTEO

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [24] resulte igual o aproximadamente igual a 17.2403.

" i " (%)

A/ R

1 2 3 3.1 3.2 3.11 3.12

21.4558 19.2922 17.4436 17.2739 17.1068 17.2571 17.2403

b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. c) Como se observa, el valor de 17.2403 se encuentra entre los valores 17.2739 y 17.1068 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 3.1 y 3.2. Probando valores entre 3.1 y 3.2 se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida " j " mediante la fórmula [7]:

i = 5 .47 %

i = 3.12%

j = 3.12 × 12 = 37.44%

b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 37.44% m2 = 12

je = ? 12

⎛ 0.3744 ⎞ j e = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0.445822 = 44.5822 % 12 ⎠ ⎝

–»

Tasa efectiva

7. ANUALIDAD ANTICIPADA GENERAL Una anualidad anticipada general es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siendo éstos diferentes de los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 8 pagos iguales por valor de $7,850.00 a efectuarse al inicio de cada cuatrimestre a los fines de saldar una deuda contraída al 19% de interés anual convertible mensualmente.

7.1 CÁLCULO DEL MONTO, VALOR ACTUAL, RENTA, PLAZO Y TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA GENERAL La forma más sencilla de trabajar con una anualidad anticipada general es transformarla en una anticipada simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de ésta para determinar los valores deseados. Una manera de realizar dicha modificación consiste en utilizar la tasa de interés " j1 " capitalizable " m1 " veces por año, equivalente a la tasa de interés anual conocida " j 2 " capitalizable " m 2 " veces por año 16 ( fórmula [15] ). 16

Si siempre se identifica con “ j2 ” la tasa de interés compuesto conocida, entonces invariablemente se podrá obtener la tasa de interés equivalente con la fórmula de “ j1 ” , o sea, con la fórmula [15].

46

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 57 Sandra Lora acuerda efectuar depósitos anticipados de $3,800.00 cada 2 meses en un fondo de inversión que paga un 12.7% anual convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo justamente antes de realizar el décimo quinto depósito? SOLUCIÓN: R = $3,800.00 (bimestral)

j = 12.7%

m = 2 (semestral)

n = 14 bimestres

S=?

Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 12.7% m2 = 2

j1 = ? m1 = 6

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.127 ⎞ ( 2 / 6 ) ⎤ j1 = 6 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.124403 = 12.4403 % ⎟ 2 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ O sea, emplearemos:

j = 12.4403%

m=6

i = 12.4403 / 6 = 2.0734% bimestral

R=$3,800 n = 14 bimestres

S 0

1

2 i = 2.0734% bim

3

.

12

13

14

15 bim

S = monto a acumular un instante antes de realizar el décimo quinto depósito Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se obtiene el valor acumulado:

S = 3,800

[(1 + 0.020734)

14 +1

]

− 0.020734 − 1 = $62, 264.58 0.020734

▶ Ejemplo 58 Para la compra de una computadora valorada en $34,650.00, una compañía realizó pagos iguales al inicio de cada mes durante un año, a partir de la fecha en que recibió el equipo. Considerando intereses al 28.85% anual capitalizable diariamente, ¿de cuánto fueron los pagos? ¿Qué suma se pagó por concepto de intereses? SOLUCIÓN: PC = A = $34,650.00

j = 28.85%

m = 360 (diaria)

n = 12 meses

R = ? (mensual)

It = ?

Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 28.85% m2 = 360

j1 = ? m1 = 12

Sustituyendo en la fórmula [15], se tiene: 47

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

⎡⎛ 0.2885 ⎞ ( 360 / 12 ) ⎤ j1 = 12 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.291878 = 29.1878 % ⎟ 360 ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ O sea, emplearemos:

j = 29.1878%

m = 12

i = 29.1878 / 12 = 2.4323% mensual

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago mensual:

R=

34,650 × 0.024323 = $3,284.22 [1 + 0.024323 − (1 + 0.024323) −12+1 ]

b) Mediante la fórmula [12], resulta la suma a pagar por concepto de intereses:

I t = 12 × 3,284.22 − 34,650 = $4,760.64

▶ Ejemplo 59 ¿Con cuántos depósitos iguales de $8,500.00, efectuados al comienzo de cada trimestre, se alcanza un monto de $350,000.00, si el dinero rinde un 1.34% mensual? Obtenga el valor de un depósito adicional, si fuera necesario. SOLUCIÓN: R = $8,500.00 (trimestral) n = ? (trimestres)

S = $350,000.00

i = 1.34% mensual

m = 12

j = 1.34 × 12 = 16.08%

Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta trimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 16.08% m2 = 12

j1 = ? m1 = 4

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.1608 ⎞ (12 / 4 ) ⎤ j1 = 4 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.162964 = 16.2964 % ⎟ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ O sea, emplearemos:

j = 16.2964%

m=4

i = 16.2964 / 4 = 4.0741% trimestral

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de depósitos requeridos para acumular los $350,000.00:

⎛ 350,000 ⎞ log ⎜ × 0.040741 + 0.040741 + 1⎟ ⎝ 8,500 ⎠ − 1 = 24.04 depósitos n= log (1 + 0.040741) Consideraremos que para reunir los $350,000.00 se requieren 24 depósitos completos de $8,500.00 + un depósito adicional que vencerá al inicio del siguiente trimestre 17. Veamos a continuación el cálculo del depósito adicional:

17

Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.

48

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Determinación del depósito adicional mediante una ecuación de valor S

R=$8,500

X

S1 0

1

2 i = 4.0741%

.

3

22

23

FF

24

25 trim

S1 = monto de la anualidad (n=24 dep.) La fecha focal se fijará a los 24 trimestres

x = depósito adicional S = monto a acumular = $350,000.00 Cálculo de "S1" :

⎡(1 + 0.040741) 24 + 1 − 0.040741 − 1⎤ ⎢ ⎥⎦ S1 = 8,500 ⎣ = $349,044.07 0.040741 Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: en el trimestre #24, se obtendrá el valor del depósito adicional:

349,044.07 + x = 350,000 .00 x = 350,000.00 − 349,044.07 x = $955.93 RESP.: Se requieren 24 depósitos completos de $8,500.00 + un depósito adicional de $955.93

▶ Ejemplo 60 FINECA, S.A. financia una deuda ascendente a $420,000.00, acordando su cancelación mediante el pago de 30 mensualidades anticipadas de $20,432.38 cada una. ¿Cuál es la tasa efectiva cargada a la operación? SOLUCIÓN: A = $420,000.00

R = $20,432.38 (mensual)

n = 30 meses

je = ? j=?

m = 1 (anual) m = 12 (mensual)

Como estamos ante una anualidad anticipada general y la tasa de interés efectiva es la incógnita, inicialmente calcularemos la tasa de interés capitalizable mensualmente para transformar la anualidad general en una anticipada simple (de modo que coincidan el periodo de los pagos y el de capitalización de los intereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de interés equivalente. Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se tiene:

[1 + i − (1 + i) i

− 30 +1

]=

420,000 = 20.5556 20,432.38

Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés "i ":

49

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

TANTEO " i " (%)

A/ R

1 2 2.5 2.8 2.9 2.85

26.0658 22.8444 21.4535 20.6803 20.4321 20.5556

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [24] resulte igual o aproximadamente igual a 20.5556. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 20.5556 se encuentra entre los valores 20.6803 y 20.4321 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 2.8 y 2.9%. Probando valores entre 2.8 y 2.9%, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa i = 5 .47 % anual "j " mediante la fórmula [7]:

i = 2 . 85 %

j = 2.85 ∗ 12 = 34.2 %

–»

Tasa anual capitalizable mensual

Para calcular la tasa de interés efectiva (tasa pedida) empleamos la fórmula [16]: j2 = 34.2% m2 = 12

je = ? 12

⎛ 0.342 ⎞ j e = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0.401043 = 40.1043 % 12 ⎠ ⎝

–»

Tasa efectiva

▶ Ejemplo 61 (anualidad diferida general) Al comprar a crédito un artefacto eléctrico valorado en $13,740.00 se acuerda saldar totalmente su precio mediante 6 pagos bimestrales e iguales de $2,862.43, venciendo el primero 4 meses después de la compra. Calcule la tasa de interés anual convertible quincenalmente cargada a la operación. SOLUCIÓN: PC = A = $13,740.00

R = $2,862.43 (bimestral)

n = 6 bimestres

n=4

j=?

m = 24 (quincenal)

j=?

m = 6 (bimestral)

R=$2,862.43

A

FF

n = 6 bimestres

i=? 1

0

2

3

4

5

6

..

9

10 bim

$13,740

R = $2,862.43 i =?

A= valor actual anualidad anticipada simple con duración igual a 6 bimestres

En el diagrama se ha indicado el plan de pago #1 (al contado) con una flecha hacia abajo y el plan de pago #2 (a plazos) con flechas hacia arriba

Como estamos ante una anualidad diferida general y la tasa de interés anual convertible quincenalmente es la incógnita, inicialmente calcularemos la tasa de interés capitalizable bimestralmente para transformar la anualidad general en una diferida simple (de modo que coincidan el periodo de los pagos y el de capitalización de los intereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de interés equivalente. Considerando la anualidad diferida como una anualidad anticipada, cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules, planteamos una ecuación de valores equivalentes con FF en la fecha “0” , igualando el valor de contado (plan de pago #1) al valor actual de la anualidad anticipada “A” (fórmula [21]) descapitalizado desde la fecha “4” hasta la fecha “0” (plan de pago #2) : 50

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

2,862.43

[1 + i − ( 1 + i ) i

− 6 +1

]

∗ (1 + i ) − 4 = 13,740

A −5

[1 + i − ( 1 + i ) ] 13,740 ∗ (1 + i ) − 4 = = 4.8001 i 2,862.43 P/ R Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés "i ":

TANTEO " i " (%)

P/R

1 3 3.5 3.6 3.51 3.52

5.6250 4.9575 4.8060 4.7764 4.8031 4.8001

a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la ecuación resulte igual o aproximadamente igual a 4.8001. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i " asumida. c) Como se observa, el valor de 4.8001 se encuentra entre los valores 4.8060 y 4.7764 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 3.5 y 3.6%. Probando valores entre 3.5 y 3.6%, se encuentra el de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual " j " i =valor 5 .47buscado % mediante la fórmula [7]:

i = 3 .52 %

j = 3.52 ∗ 6 = 21.12 %

–»

Tasa anual capitalizable bimestralmente

Para calcular la tasa de interés anual capitalizable quincenalmente (tasa pedida) empleamos la fórmula [15] que nos permite hallar la tasa equivalente a la obtenida anteriormente: j2 = 21.12% m2 = 6

j1 = ? m1 = 24

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.2112 ⎞ ( 6 / 24 ) ⎤ j1 = 24 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.208468 = 20.8468 % –» ⎟ 6 ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦

Tasa anual capitalizable quincenal

51

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

8. ANUALIDAD PERPETUA O PERPETUIDAD Una anualidad perpetua, renta perpetua o perpetuidad es aquella que está compuesta por pagos periódicos iguales efectuados indefinidamente sin límite de tiempo. Tal es el caso que se presenta cuando se invierte un capital y sólo se retiran los intereses generados, dejando intacto el capital invertido. Los dividendos sobre las acciones preferentes de una compañía y las donaciones efectuadas por filántropos, que son invertidas y cuyos intereses periódicos se les entregan a centros de investigación o de beneficencia, son ejemplos de anualidades perpetuas. Como hablamos de una serie de pagos que se inician en una fecha fija, pero cuyo plazo o duración no tiene fin, es imposible obtener el monto o valor futuro de los mismos. Sin embargo, el valor actual sí puede establecerse, ya que para tener derecho a percibir una renta perpetua habrá que efectuar una inversión inicial, la cual no es otra cosa que el valor actual o presente de la serie de pagos. Por ejemplo, si se realiza el depósito de $500,000.00 en una cuenta bancaria que abona el 14.4% anual capitalizable trimestralmente, se podrán retirar $18,000.00 cada trimestre, permaneciendo inalterable la suma invertida. Si se deja indefinidamente el capital en manos del banco, es obvio que la percepción de los $18,000.00 trimestrales constituye una anualidad y, dentro de la suposición de que no existe una fecha para retirar el depósito, la anualidad es perpetua. Como vemos los $500,000.00 son el valor actual o presente de una anualidad o renta perpetua de $18,000.00 trimestral. Al igual que las anualidades antes vistas, las anualidades perpetuas pueden ser vencidas, anticipadas o diferidas, así como también, simples y generales.

8.1 ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA Una anualidad perpetua vencida es aquella en que el valor de la renta “R” es igual a los intereses generados por una inversión al final de cada periodo. En los casos en que el periodo de vencimiento de los pagos “R” coincida con el periodo de capitalización de los intereses diremos que la anualidad es simple, en caso contrario, general. Si llamamos “A” al capital invertido (por tiempo indefinido) a la tasa de interés por periodo “i ”, expresada en forma decimal, luego el valor de la renta “R” será igual al interés generado en cada periodo, el cual estará dado por la igualdad: R = A. i VALOR DE LA RENTA [25] El valor actual de una anualidad perpetua vencida simple, es decir la inversión que proporciona la serie indefinida de pagos “R”, se obtiene con la fórmula que resulta al despejar a “A” de la igualdad anterior:

A=

R i

VALOR ACTUAL RENTA PERPETUA VENCIDA SIMPLE

[26]

Despejando de la fórmula [25] se tiene una expresión para calcular la tasa de interés por periodo “i ” :

i=

R A

TASA DE INTERÉS POR PERIODO

[27]

Luego, la tasa anual "j " se obtiene mediante la fórmula [7]:

j = i∗m

TASA DE INTERÉS ANUAL

■ Perpetuidad pagadera cada cierto número de periodos de capitalización Lo visto hasta aquí responde a un modelo en que se efectúa el retiro periódico indefinido de la renta (o interés) en cada uno de los periodos que se genera. Ahora bien, analizaremos a continuación el caso en que el interés periódico generado se deja capitalizar por cierto número de periodos, al final de los cuales se retira el interés compuesto ganado, dejando únicamente el capital inicial. Sean “A” el capital inicial, “i ” la tasa de interés por periodo, “n” el número de periodos de capitalización existentes entre la fecha inicial y la fecha en que el interés compuesto se va a retirar, luego el valor de la renta perpetua 52

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

“R” será igual al interés compuesto generado en los “n” periodos de capitalización, el cual lo podemos calcular restando el monto compuesto acumulado menos el capital inicial:

R = A (1 + i ) n − A Factorizando se tiene:

R = A [ ( 1 + i ) n − 1]

[28]

VALOR DE LA RENTA

Despejando de la expresión anterior se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una perpetuidad pagadera cada “n” periodos de capitalización:

A=

R

[29]

VALOR ACTUAL

[(1 + i ) n − 1]

▶ Ejemplo 62 Milton Mena donó $650,000.00 a un asilo de ancianos. Si el dinero se depositó en una cuenta bancaria que abona una tasa de interés del 14.1% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto podrá retirar el asilo al final de cada bimestre por tiempo ilimitado? SOLUCIÓN: A = $650,000.00

j = 14.1%

m=6

i = 14.1 / 6 = 2.35% bimestral

R=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [25], se tiene el valor del retiro bimestral:

R = 650,000× 0.0235 = $15,275.00 ▶ Ejemplo 63 ¿Cuál es la cuantía de la inversión que debe efectuarse al 10.8% anual convertible mensualmente, de modo que garantice una renta indefinida mensual de $15,660.00, quedando intacta dicha inversión? SOLUCIÓN: R = $15,660.00

j = 10.8%

m = 12

i = 10.8 / 12 = 0.9% mensual

A=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [26], se tiene la cuantía de la inversión:

A=

15,660 = $1,740,000.00 0.009

▶ Ejemplo 64 ¿A qué tasa anual compuesta trimestralmente deberán invertirse $900,000.00, si se desea recibir $29,250.00 al final de cada trimestre por tiempo indefinido? SOLUCIÓN: A = $900,000.00

R = $29,250.00

i=?

m = 4 (trimestral)

j=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [27], se tiene la tasa de interés trimestral:

i=

29,250 = 0.0325 = 3.25% 900,000

Mediante la fórmula [7] se obtiene la tasa anual "j " pedida:

j = 3.25 ∗ 4 = 13 % 53

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 65 (anualidad perpetua vencida general) ¿Qué tasa de interés efectiva rinde una inversión de $740,000.00 si produce una renta quincenal indefinida de $4,625.00? SOLUCIÓN: A = $740,000.00

R = $4,625.00

i=?

m = 24 (quincenal)

j=?

je = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [27], se tiene la tasa de interés quincenal:

i=

4,625 = 0.00625 = 0.625% 740,000

Mediante la fórmula [7] se obtiene la tasa anual "j " compuesta quincenalmente:

j = 0.625 ∗ 24 = 15 % Para calcular la tasa de interés efectiva (tasa pedida) empleamos la fórmula [16]: j2 = 15%

m2 = 24

je = ?

⎛ 0.15 ⎞ j e = ⎜1 + ⎟ 24 ⎠ ⎝

24

− 1 = 0.161292 = 16 .1292 %

–»

Tasa efectiva

▶ Ejemplo 66 (anualidad perpetua diferida general) Una compañía dona $1,200,000.00 al hospital de su comunidad, los cuales se depositan en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés del 15.7% anual convertible semestralmente. ¿Cuánto podrá retirar indefinidamente el hospital al final de cada bimestre, comenzando desde el noveno bimestre? SOLUCIÓN: A = $1,200,000.00

j = 15.7%

m = 2 (semestral)

R = ? (bimestral)

Como estamos ante una anualidad perpetua diferida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una simple: j2 = 15.7% m2 = 2

j1 = ? m1 = 6

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene:

⎡⎛ 0.157 ⎞ ( 2 / 6 ) ⎤ j1 = 6 ⎢⎜ 1 + − 1⎥ = 0.153062 = 15.3062 % ⎟ 2 ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ O sea, emplearemos:

j = 15.3062%

m=6

i = 15.3062 / 6 = 2.5510% bimestral

Luego, analizando la anualidad diferida como una anualidad vencida, procedemos a capitalizar la donación hasta el bimestre #8 (un bimestre antes de la fecha en que se iniciarán los retiros), obteniéndose:

A1 = 1,200,000 (1 + 0.025510 ) 8 = $1,417,913.43 A partir del noveno bimestre el hospital podrá retirar cada bimestre una suma cuya cuantía la obtenemos con la fórmula [25]:

R = 1,417,913.43× 0.025510 = $37,446.47 54

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 67 Hallar el valor actual de una renta perpetua vencida de $240,000.00 cada semestre, si la tasa de interés es del 18% anual capitalizable quincenalmente. SOLUCIÓN: R = $230,000.00 A=?

j = 18%

m = 24 (quincenal)

i = 0.75% quincenal

n = 0.5 × 24 = 12 quincenas

Como estamos ante una anualidad perpetua vencida, pagadera cada “12” quincenas, entonces sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [29], obtenemos el valor actual pedido:

A=

230,000 [(1 + 0.0075)12 − 1]

= $2,451,845.29

▶ Ejemplo 68 Un señor donó $800,000.00 al hospital “San Marcos”. Si el dinero se depositó en una cuenta que abona una tasa de interés del 14.7% anual convertible bimestralmente, determine el valor de la renta perpetua que recibirá el hospital al final de cada año. SOLUCIÓN: A = $800,000.00

j = 14.7%

m = 6 (bimestral)

i = 2.45% bimestral

n = 6 bimestres

R=?

Como estamos ante una anualidad perpetua vencida, pagadera cada “6” bimestres, entonces sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [28], obtenemos el valor pedido de la renta perpetua:

R = 800,000 [ (1 + 0.0245 ) 6 − 1] = $125,042.66

8.2 ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA Una anualidad perpetua anticipada es aquella en que el pago de la renta perpetua “R” se hace efectivo de inmediato, es decir, al inicio de cada periodo. Como vemos, esto es equivalente a una anualidad perpetua vencida más un primer pago que debe efectuarse en la fecha inicial. Si el periodo de vencimiento de los pagos “R” de la anualidad coincide con el periodo de capitalización de los intereses diremos que la anualidad es simple, en caso contrario, general. El valor actual de una anualidad perpetua anticipada simple es aquella cantidad “A” que, disminuida en la primera cuota “R”, y colocada a la tasa de interés por periodo “i ” (expresada en forma decimal), produce como intereses una renta perpetua “R”, o sea:

( A − R ).i = R De donde resulta:

A= R+

R i

VALOR ACTUAL RENTA PERPETUA ANTICIPADA SIMPLE

[30]

Si el pago que debe efectuarse en la fecha inicial “Q”, es distinto de “R”, entonces el valor actual vendría dado por:

A=Q+

R i

[31] 55

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

A partir de la fórmula [30], el valor de la renta “R” será igual a:

R=

A. i 1+ i

VALOR DE LA RENTA

[32]

Despejando de la fórmula [30] se tiene una expresión para calcular la tasa de interés por periodo “i ” :

i=

R A− R

TASA DE INTERÉS POR PERIODO

[33]

A continuación la tasa anual "j " se obtiene mediante la fórmula [7]:

j = i∗m

TASA DE INTERÉS ANUAL

▶ Ejemplo 69 ¿Cuál es el valor actual de una anualidad perpetua anticipada, si la renta tiene un valor de $13,800.00 mensuales, suponiendo una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente? SOLUCIÓN: R = $13,800.00

j = 14.4%

m = 12 (mensual)

i = 1.2% mensual

A=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [30] se obtiene el valor actual pedido:

A = 13,800 +

13,800 = $1,163,800.00 0.012

▶ Ejemplo 70 Mario Peña donó a un orfanato $270,000.00 para la compra de equipos de cocina y $75,100.00 trimestrales indefinidamente para cubrir costos operativos. Si la tasa de interés es del 11% compuesto trimestralmente, determine el valor actual de la donación. SOLUCIÓN: Q = $270,000.00

R = $75,100.00

j = 11%

m = 4 (trimestral)

i = 2.75% trimestral

A=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [31] se obtiene el valor actual pedido:

A = 270,000 +

75,100 = $3,000,909.09 0.0275

▶ Ejemplo 71 Una persona crea un fondo con $1,590,000.00 que se invierte en forma indefinida al 8.7% anual capitalizable bimestralmente, con la finalidad de ayudar a la institución Casa del Niño “San Lucas”. ¿Qué cantidad bimestral por tiempo ilimitado recibirá esta institución, comenzando en el momento mismo en que se realiza la inversión? SOLUCIÓN: A = $1,590,000.00

j = 8.7%

m = 6 (bimestral)

i = 1.45% bimestral

R=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [32] se obtiene el valor de la renta bimestral pedida:

R=

1,590,000 × 0.0145 = $22,725.48 (1 + 0.0145 ) 56

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 72 ¿A qué tasa de interés anual compuesto mensualmente están invertidos $2,300,000.00, si por esta inversión la Escuela Hogar “Doña Melba” recibe una renta perpetua anticipada de $23,899.06 cada mes? SOLUCIÓN: A = $2,300,000.00

R = $23,899.06 (mensual)

i=?

m = 12 (mensual)

j=?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [32] se obtiene el valor de la tasa de interés mensual:

i=

23,899.06 = 0.0105 = 1.05 % ( 2,300,000 − 23,899.06 )

Luego mediante la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida:

j = 1.05 ∗ 12 = 12.6 %

–»

Tasa anual compuesta mensualmente

9. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN En este acápite analizaremos la cancelación de una deuda, contraída a interés compuesto, mediante una serie de pagos o abonos periódicos. Visualizaremos este proceso mediante la elaboración de tablas de amortización que muestran lo que ocurre con los pagos, los intereses, los abonos y el saldo de la deuda. Adicionalmente, se estudiarán los fundamentos de los fondos de amortización, los factores que intervienen en ellos, sus aplicaciones, así como las técnicas para elaborar tablas de fondos de amortización.

9.1 AMORTIZACIÓN DE DEUDAS. TABLA DE AMORTIZACIÓN Por amortizar una deuda entenderemos la cancelación o saldo gradual de una deuda (capital + interés) mediante una serie de pagos o abonos periódicos. Cada abono debe tener una cuantía tal que permita: 1) saldar los intereses generados en el periodo previo al pago, y 2) reducir (o amortizar) en alguna medida el valor adeudado, también conocido como saldo insoluto. O sea:

ABONO

=

Intereses + Amortización

Para visualizar mejor el proceso de amortización de una deuda utilizaremos las llamadas tablas de amortización, las cuales nos muestran: a) cómo se va reduciendo la deuda según se realizan los pagos, b) qué parte se paga para cubrir intereses y cuánto se amortiza a la deuda de cada abono efectuado, y c) el interés total pagado. Existen diferentes sistemas para amortizar una deuda18, sin embargo en todos los casos, se presta atención a la regla que establece que el interés debe liquidarse al final de cada periodo, calculándolo siempre en base al saldo insoluto. Analicemos a seguidas los dos de mayor uso: amortización constante y amortización gradual.

■     Amortización Constante En este sistema la deuda se liquida mediante amortizaciones iguales, a las que periódicamente se le adicionan los intereses cobrados sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el saldo deudor. Como el saldo insoluto disminuye a medida que se efectúan los abonos, asimismo variará la suma a pagar por concepto de intereses. Por tal razón, el conjunto de pagos que saldará la deuda estará compuesto por una serie de abonos periódicos decrecientes provenientes de la suma de una cuota de amortización constante más los intereses variables generados en cada periodo. Una ventaja de este sistema de amortización es lo fácil que resulta el cálculo del saldo insoluto en cualquier momento, sin embargo, el hecho de que la cuantía de los abonos varíe en cada periodo, hace que esta modalidad de pago no se use tan frecuentemente como el sistema de amortización gradual. 18

Entre los sistemas más comunes para amortizar una deuda están: amortización constante, amortización gradual y amortización con renta variable.

57

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 73 Juana Rodríguez compra a crédito equipos para su peluquería valorados en $31,000.00, acordando efectuar un pago inicial de $5,000.00 y 4 pagos mensuales. Si a la operación se le carga una tasa de interés del 30% anual convertible mensualmente, determine el valor de los abonos mensuales considerando una cuota de amortización constante. Elabore la tabla de amortización. SOLUCIÓN: VALOR DE LA COMPRA

–»

PAGO INICIAL

–»

$31,000.00 –

5,000.00

$26,000.00 –» AMORTIZACIÓN PERIÓDICA

–» $ 26,000.00 / 4 pagos = $6,500.00

VALOR DE LA DEUDA O SALDO INSOLUTO INICIAL j = 30%

m = 12

i = 30 / 12 = 2.5% mensual

TABLA DE AMORTIZACIÓN ▪  Amortización Constante ▪ PERIODO ( MES)

AMORTIZACIÓN ($)

INTERESES ($)

ABONO ($)

1

6,500.00

650.00

7,150.00

19,500.00

2

6,500.00

487.50

6,987.50

13,000.00

3

6,500.00

325.00

6,825.00

6,500.00

4

6,500.00

162.50

6,662.50

0.00

TOTALES

26,000.00

1,625.00

27,625.00

0

SALDO INSOLUTO ($) 26,000.00

CÁLCULO DE INTERESES:

CÁLCULO DE SALDOS INSOLUTOS:

I1 = 26,000 × 0.025 × 1 = $650.00 I2 = 19,500 × 0.025 × 1 = $487.50 I3 = 13,000 × 0.025 × 1 = $325.00 I4 = 6,500 × 0.025 × 1 = $162.50

S1 = 26,000.00 −   6,500.00 = $19,500.00 S2 = 19,500.00 −   6,500.00 = $13,000.00 S3 = 13,000.00 −   6,500.00 = $ 6,500.00 S4 = 6,500.00 −   6,500.00 = $

0.00

■      Amortización  Gradual   Es el sistema más empleado para saldar deudas mediante pagos periódicos, debido a que, los abonos son siempre iguales y se efectúan a intervalos de tiempo también iguales19. Como cada abono efectuado es un valor fijo que disminuye en alguna medida el capital adeudado, por ende, los intereses a liquidar en cada periodo serán cada vez menores y la cantidad destinada a reducir la deuda (cuota de amortización) aumentará gradualmente. Dado que en este caso se trata de liquidar una deuda mediante abonos periódicos fijos a realizarse en periodos de igual duración, la deuda se puede interpretar como el valor actual de una anualidad vencida, siendo posible entonces, calcular la cuantía de los pagos o abonos periódicos fijos mediante la fórmula [11], tal como se analizara en el acápite 4.2.1.

▶ Ejemplo 74 Determine el valor de los pagos y haga una tabla de amortización de una deuda por $52,000.00 contraída al 18% anual convertible bimestralmente a ser cancelada mediante 5 abonos iguales a efectuarse al final de cada bimestre. SOLUCIÓN: A = $52,000.00 j = 18% m=6 i = 18 / 6 = 3% bimestral n = 5 bimestres R=? 19

En general usaremos el sistema de amortización gradual, salvo indicación contraria.

58

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de los abonos bimestrales:

R=

52,000 × 0.03 = $11,354.44 [1 − (1 + 0.03 ) −5 ] TABLA DE AMORTIZACIÓN ▪  Amortización Gradual ▪

PERIODO

ABONO ($)

INTERESES ($)

AMORTIZACIÓN ($)

1

11,354.44

1,560.00

9,794.44

42,205.56

2

11,354.44

1,266.17

10,088.27

32,117.29

3

11,354.44

963.52

10,390.92

21,726.37

4

11,354.44

651.79

10,702.65

11,023.72

5

11,354.44

330.72

11,023.72

0.00

TOTALES

56,772.20

4,772.19

52,000.00

(BIMESTRE)

0

SALDO INSOLUTO ($) 52,000.00

Veamos a continuación cómo se obtienen los valores que aparecen en la tabla de amortización: CÁLCULO DE INTERESES:

CÁLCULO DE LAS CUOTAS DE AMORTIZACIÓN:

CÁLCULO DE SALDOS INSOLUTOS:

I1 = 52,000.00 × 0.03 × 1 = $1,560.00

A1 = 11,354.44 −  1,560.00  =  $ 9,794.44

S1 = 52,000.00 −   9,794.44 = $42,205.56

I2 = 42,205.56 × 0.03 × 1 = $1,266.17

A2 = 11,354.44 −  1,266.17 = $10,088.27

S2 = 42,205.56 −  10,088.27 = $32,117.29

I3 = 32,117.29 × 0.03 × 1 = $ 963.52

A3 = 11,354.44 −        963.52  =  $10,390.92

S3 = 32,117.29 −  10,390.92  =  $21,726.37

I4 = 21,726.37 × 0.03 × 1 = $ 651.79

A4 = 11,354.44 −        651.79  =  $10,702.65

S4 = 21,726.37 −  10,702.65  =  $11,023.72

I5 = 11,023.72 × 0.03 × 1 = $ 330.72

A5 = 11,354.44 −   330.72 = $11,023.72

S5 = 11,023.72 −  11,023.72 = $

0.00

9.1.1 SALDO INSOLUTO, DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR Hay ocasiones en que un deudor está saldando un crédito mediante “n” pagos periódicos iguales y precisa conocer el capital vivo o valor de la deuda pendiente de amortización (saldo insoluto) en un momento determinado. Si se dispone de la tabla de amortización del crédito y se desea obtener el saldo insoluto que se tiene una vez efectuado el pago número “h ”, basta con entrar en la tabla y tomar el valor correspondiente al periodo “h ” que aparece en la columna identificada con el nombre de saldo insoluto. Ahora bien, si no se dispusiera de la tabla de amortización, el saldo insoluto justamente después de efectuado el pago número “h ” es posible obtenerlo hallando el valor actual de los restantes “n−h ” abonos que faltan por efectuar. Si en este último caso, quisiéramos saber también cómo se distribuye el pago número “h ” (intereses y amortización), primeramente se procede a encontrar los intereses multiplicando la tasa de interés por periodo por el saldo insoluto que se tiene al final del periodo anterior ( h −1) y luego la cuota de amortización viene dada por la diferencia del abono periódico fijo menos el valor de los intereses ya obtenidos. El derecho (total o absoluto) de propiedad sobre un bien comprado a crédito, pagadero mediante pagos periódicos, se adquiere al saldar la última cuota. Sin embargo, los derechos adquiridos por el deudor del crédito se inician con el primer pago efectuado y se van incrementando paulatinamente en la misma medida que se realicen los pagos restantes. Por tanto, se conoce como derechos adquiridos por el deudor a la parte del crédito que se ha amortizado, y al resto, es decir, al saldo insoluto, capital vivo o deuda pendiente de amortización se le conoce como saldo a favor del acreedor.

59

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

▶ Ejemplo 75 Un solar valorado en $460,000.00 se acuerda pagar a plazos mediante un inicial del 20% de su valor y pagos trimestrales vencidos durante 5 años. Considerando una tasa de interés del 24% anual compuesto trimestralmente, resuelva: a) Calcule el valor del abono trimestral. b) Elabore la tabla de amortización. c) Obviando la tabla, determine el saldo insoluto y el porcentaje de los derechos adquiridos por el deudor justamente después de efectuado el pago # 13. d) Obviando la tabla, obtenga la distribución (intereses y amortización) del pago # 14. e) Si inmediatamente después de realizado el pago #16 se acuerda refinanciar el balance restante para pagarlo en 12 abonos trimestrales iguales, obtenga el valor de los nuevos pagos. SOLUCIÓN: PC = $460,000.00 n = 20 trimestres

Inicial = 0.20 PC = $92,000.00 j = 24% m=4 i = 24 / 4= 6 % trimestral Deuda = A = PC −  Inicial  =  460,000 −  92,000 = $368,000.00 R=?

a) Como este caso corresponde a una anualidad vencida simple, el abono fijo trimestral a pagar se obtiene directamente mediante la fórmula [11]:

R=

368,000 × 0.06 = $32,083.9170 [1 − (1 + 0.06 ) − 20 ]

–»

Valor de los pagos trimestrales

b)

TABLA DE AMORTIZACIÓN PERIODO

ABONO

INTERESES

AMORTIZACIÓN

0

SALDO INSOLUTO 368,000.00

1

32,083.9170

22,080.00

10,003.92

357,996.08

2

32,083.9170

21,479.76

10,604.15

347,391.93

3

32,083.9170

20,843.52

11,240.40

336,151.53

4

32,083.9170

20,169.09

11,914.83

324,236.70

5

32,083.9170

19,454.20

12,629.71

311,606.99

6

32,083.9170

18,696.42

13,387.50

298,219.49

7

32,083.9170

17,893.17

14,190.75

284,028.74

8

32,083.9170

17,041.72

15,042.19

268,986.55

9

32,083.9170

16,139.19

15,944.72

253,041.83

10

32,083.9170

15,182.51

16,901.41

236,140.42

11

32,083.9170

14,168.43

17,915.49

218,224.93

12

32,083.9170

13,093.50

18,990.42

199,234.51

13

32,083.9170

11,954.07

20,129.85

179,104.66

14

32,083.9170

10,746.28

21,337.64

157,767.02

15

32,083.9170

9,466.02

22,617.90

135,149.13

16

32,083.9170

8,108.95

23,974.97

111,174.16

17

32,083.9170

6,670.45

25,413.47

85,760.69

18

32,083.9170

5,145.64

26,938.28

58,822.42

19

32,083.9170

3,529.35

28,554.57

30,267.85

20

32,083.9170

1,816.07

30,267.85

(0.00)

TOTALES

641,678.3400

273,678.34

368,000.00

60

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

c) Para obtener el saldo insoluto justamente después de efectuado el pago #13, basta con hallar el valor actual de todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 20 pagos trimestrales y se han efectuado 13, entonces restan 7 pagos de $32,083.9170, los cuales se descapitalizan mediante la fórmula [8], resultando:

A = 32,083.9170

[1 − (1 + 0.06) ]= $179,104.66 −7

0.06

–»

Saldo insoluto justamente después del pago #13

El valor de los derechos adquiridos por el deudor justamente después de efectuado el pago # 13 se obtiene al sumar el pago inicial + la cantidad amortizada:

Derechos adquiridos por el deudor = 92,000 + ( 368,000.00 − 179,104.66 ) = $280,895.34 El porcentaje de los derechos adquiridos por el deudor es:

280,895.35 = 0.6106 = 61.06 % 460,000 d) Para obtener la distribución (intereses y amortización) del pago # 14, se debe hallar el saldo insoluto justamente después de efectuado el pago # 13:

A = 32,083.9170

[1 − (1 + 0.06) ]= $179,104.66 −7

0.06

Los intereses a pagar incluidos en el pago #14 serán:

I = 179,104.66× 0.06×1 = $10,746.28 De donde, la cuota de amortización correspondiente al pago #14 será:

Amortización = 32,083.92 − 10,746.28 = $21,337.64 e) Tomando de la tabla de amortización, el saldo insoluto justamente después de efectuado el pago #16, encontramos: A16 = $111,174.16. Luego con dicho valor, la misma tasa de interés por periodo y con n = 12 trimestres se obtiene el valor de los nuevos pagos empleando la fórmula [11]:

R=

111,174.16 × 0.06 = $13,260.52 [1 − (1 + 0.06 ) −12 ]

–»

Valor de los nuevos pagos trimestrales

61

T ulio A . Mateo Duval

9.2

A nualidades

FONDO DE AMORTIZACIÓN. AMORTIZACIÓN

TABLA

DE

UN

FONDO

DE

Un fondo de amortización es una reserva que se establece en una cuenta que abona intereses, y en la cual se ha acordado efectuar depósitos periódicos e iguales (vencidos o anticipados) durante un cierto número de periodos, a fin de lograr acumular un monto prefijado. Los fondos de amortización se emplean para amortizar algunos tipos de deudas o compromisos que vencen en fechas futuras (mediano o largo plazo), tales como: la reposición de una maquinaria que se desvaloriza con el uso, los fondos necesarios para rescatar a su vencimiento una emisión de bonos u obligaciones, las aportaciones que debe efectuar una compañía para proveer el pago de las pensiones por jubilación de sus empleados, la compra de un automóvil o cualquier otro bien en el futuro, etc. Aunque las sumas depositadas en un fondo de amortización podrían ser de diferentes cuantías y efectuarse a intervalos desiguales, ésta no suele ser la norma. Lo que se estila, y será ese el modelo que aquí emplearemos, es un proceso sistemático consistente en depositar cantidades de igual cuantía a intervalos iguales de tiempo (pudiendo ser al inicio o al final de cada periodo) en una cuenta que devenga una tasa de interés específica. Partiendo de ese modelo y siendo conocidas la cuantía y la fecha de vencimiento de la suma a acumular, así como la tasa de interés abonada, un fondo de amortización no es más que una anualidad vencida o anticipada en la que se debe determinar el valor de los depósitos periódicos. Tal como vimos en la amortización de una deuda, en este caso también es útil elaborar lo que se conoce como tabla de un fondo de amortización, en la cual se visualiza el proceso de acumulación del monto prefijado y la variación de los intereses cada vez que se realiza un depósito. Aunque la amortización de deudas y los fondos de amortización tratan ambos de la liquidación de deudas, hay una importante diferencia entre ellos: los pagos periódicos de una amortización van dirigidos a saldar una deuda actual, por eso se relaciona con una anualidad con su valor actual al comenzar el plazo; en tanto que los depósitos efectuados en un fondo de amortización tienen la misión de acumularse, junto a los intereses generados, a fin de liquidar una deuda futura, por eso se asocia a una anualidad con su valor futuro venciendo al final del plazo.

▶ Ejemplo 76 Un señor desea reunir $70,000.00 dentro de 6 meses por lo que decide realizar depósitos iguales al final de cada mes en una cuenta de ahorros que abona un 15% anual capitalizable mensualmente. Determine el valor de los depósitos mensuales y elabore la tabla del fondo de amortización. SOLUCIÓN: S = $70,000.00 j = 15% m = 12 i = 15/ 12 = 1.25% mensual n = 6 meses R=?

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene el valor de los depósitos mensuales:

R=

70,000 × 0.0125 [(1 + 0.0125 ) 6 − 1]

= $11,307.3667

b)

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN PERIODO

DEPÓSITO

PERIÓDICO

INTERESES

VALOR SUMADO

VALOR ACUM.

POR PERIODO

TOTAL

1

11,307.3667

0.00

11,307.37

11,307.37

2

11,307.3667

141.34

11,448.71

22,756.08

3

11,307.3667

284.45

11,591.82

34,347.89

4

11,307.3667

429.35

11,736.72

46,084.61

5

11,307.3667

576.06

11,883.42

57,968.03

6

11,307.3667

724.60

12,031.97

70,000.00

TOTALES

67,844.2002

2,155.80

70,000.00

62

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Veamos a continuación cómo se obtienen los valores que aparecen en la tabla del fondo de amortización: CÁLCULO DE INTERESES (I):

VALORES SUMADOS POR PERIODO (VSP):

VALOR ACUMULADO TOTAL (VAT):

I1 = 0

VSP1 = 11,307.37 +

VAT1 = $11,307.37

I2 = 11,207.37 × 0.0125 × 1 = $141.34

VSP2 = 11,307.37 + 141.34 = $11,448.71

VAT2 = 11,307.37 + 11,448.71 = $22,756.08

I3 = 22,756.08 × 0.0125 × 1 = $284.45

VSP3 = 11,307.37 + 284.45 = $11,591.82

VAT3 = 22,756.08 + 11,591.82 = $34,347.89

I4 = 34,347.89 × 0.0125 × 1 = $429.35

VSP4 = 11,307.37 + 429.35 = $11,736.72

VAT4 = 34,347.89 + 11,736.72 = $46,084.61

I5 = 46,084.61 × 0.0125 × 1 = $576.09

VSP5 = 11,307.37 + 576.06 = $11,883.42

VAT5 = 46,084.61 + 11,883.42 = $57,968.03

I6 = 57,968.03 × 0.0125 × 1 = $724.60

VSP6 = 11,307.37 + 724.60 = $12,031.97

VAT6 = 57,968.03 + 12,031.97 = $70,000.00

0

= $11,307.37

▶ Ejemplo 77 Construcciones Urbanas, SRL. compra equipos de construcción por valor de $3,100,000.00, pagando $600,000.00 de inicial y acordando liquidar el resto mediante un pago único a los 3 años con intereses al 20% anual convertible semestralmente. Si simultáneamente a la compra se constituyó un fondo con reservas trimestrales vencidas que ganan una tasa del 18% anual convertible trimestralmente, determine cuánto se debe depositar cada trimestre. Exprese las primeras tres filas y la última de la tabla del fondo y obtenga el total de intereses. SOLUCIÓN: PC = $3,100,000.00 n = 3 × 2 = 6 semestres

Inicial = $600,000.00 j = 20% m=2 i = 20 / 2 = 10 % semestral Deuda actual = PC −  Inicial  =  3,100,000  −  600,000  =  $2,500,000.00 S=?

El valor futuro de la deuda “S” se calcula capitalizando a interés compuesto el valor actual de la deuda:

S = 2,500,000 (1 + 0.10 ) 6 = $4,428,902 .50 Fondo de amortización: S = $4,428,902.50 j = 18%

m=4

i = 18 / 4= 4.5 % trimestral

n = 3 × 4 =12 trimestres

R=?

Como este caso corresponde a una anualidad vencida simple, el depósito fijo trimestral a realizar se obtiene directamente mediante la fórmula [2]:

R=

4,428,902.50 × 0.045 [ (1 + 0.045 )12 − 1]

= $286,400.2445

–»

Valor de los depósitos trimestrales

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN PERIODO

DEPÓSITO

PERIÓDICO

INTERESES 0.00

VALOR SUMADO

VALOR ACUM.

286,400.24

286,400.24

POR PERIODO

TOTAL

1

286,400.2445

2

286,400.2445

12,888.01

299,288.26

585,688.50

3

286,400.2445

26,355.98

312,756.23

898,444.73

286,400.2445

178,385.26

464,785.51

4,428,902.50

11 12

63

T ulio A . Mateo Duval

A nualidades

Veamos a continuación cómo se obtienen los valores que aparecen en la tabla del fondo de amortización: CÁLCULO DE INTERESES (I):

VALORES SUMADOS POR PERIODO (VSP):

VALOR ACUMULADO TOTAL (VAT):

I1 = 0

VSP1 = 286,400.24 +

VAT1 = $286,400.24

I2 = 286,400.24 × 0.045 × 1 = $12,888.01

VSP2 = 286,400.24 + 12,888.01 = $299,288.25

VAT2 = 286,400.24 + 299,288.25 = $585,688.49

I3 = 585,688.49 × 0.045 × 1 = $26,355.98

VSP3 = 286,400.24 + 26,355.98 = $312,756.22

VAT3 = 585,688.49 + 312,756.22 = $898,444.71

0

= $286,400.24

Para determinar los valores de la última fila hay que tomar en cuenta que: VAT11 + 286,400.24 + 0.045 VAT11 = VAT12 = $4,428,902.50 VSP12 VAT11 (1+ 0.045) = 4,428,902.50 −  286,400.24 VAT11 = 4,142,502.26 / 1.045 VAT11 = $3,964,116.99 Luego, los valores de la última fila además del depósito trimestral (ya conocido) son: I12 = 3,964,116.99 × 0.045 × 1 = $178,385.26

VSP12 = 286,400.24 + 178,385.26 = $464,785.51

VAT12 = 3,964,116.99 + 464,785.51 = $4,428,902.50

El total de intereses se obtiene mediante la fórmula [3]:

I t = 4, 428,902.50 − 12 × 286,400.24 = $992,099.62

9.2.1

CÁLCULO DEL TOTAL ACUMULADO EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN Y DEL SALDO INSOLUTO EN CUALQUIER FECHA

Si son conocidos la cuantía y los vencimientos de los depósitos periódicos de un fondo de amortización, así como la tasa de interés abonada, el total acumulado en el fondo al cabo de “k” periodos se obtiene sumando los montos que acumulan cada uno de los depósitos desde sus respectivos vencimientos hasta el periodo número “k”, lo cual se efectúa directamente mediante la aplicación de la fórmula [1]. Por otro lado, cuando se ha establecido un fondo con el fin de acumular el monto que permita pagar una deuda a su vencimiento, es posible obtener en una fecha intermedia el saldo insoluto, esto es, la cantidad que le falta al total acumulado para garantizar que, al final del plazo, el balance disponible en el fondo sea suficiente, para liquidar la deuda. Por ejemplo, supóngase que la deuda vence dentro de “n” periodos y que se requiere el saldo insoluto al cabo de “k” periodos (k