Material Didáctico DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

M A T E R I A L

D I D A C T I C O

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

M

A

T

E

M

A

T

I

C

A

S

I I

Av. Michoacán y Calzada de la Purísima, Izíapalapa, C.P. 09340, México, D.F.

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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA - IZTAPALAPA

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MATEMÁTICAS

II

C. B. I . PROBLEMARIO

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M A T E R I A L

D I D Á C T I C O

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

M A T E M Á T I C A S

C.

B.

II

I.

PROBLEMARIO

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M A T E M Á T I C A S

II

División de Ciencias Básicas e Ingeniería Problemario

Este material tiene por objeto brindar al profesor una guía para el curso

y poner

al alcance

del alumno

material

para

su mejor

desempeño

académico. Agradecemos a los lectores sus sugerencias para mejorar este trabajo. Estas se recibirán en la Coordinación del Tronco General de Matemáticas de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería. Autores:

Gerardo P. Aguilar Sánchez Luis Aguirre Castillo Jesús Manuel Cruz Cisneros Luis Nuñez Rodríguez

Mecanografía:

Martha Patricia Sánchez Sánchez Martha Beatriz Arce Vargas

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, UAM-I

Enero, 1987

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índice: Sumas Sumas

1 de

Integral Teorema Regla

Riemann

7

Definida

10

Fundamental

del

Cálculo

22

Trapecial

30

Regla de Simpson

37

Función

41

Logaritmo

Integral

Indefinida

50

Integración de Fracciones Racionales

60

Integración

por

73

Integrales

Impropias

sustitución

78

Coordenadas Polares

83

Gráficas en Coordenadas Polares

91

Cálculo

de áreas en Coordenadas Polares

.

107

Aplicaciones de la Integral Definida

112

Longitud de Arco

„

Volumen de Sólidos de Revolución

„... 119

Trabajo Otras

117

123 Aplicaciones

Ecuacioes

Diferenciales

124 138

Aplicaciones

151

Vectores en IR2 y K 3

160

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SUMAS

En el cálculo de algunas sumas con varios sumandos se utili za el símbolo

£

para abreviar dichas sumas

Ejemplos: 1.-

1+2+3+4+5

se puede abreviar como

5 J k, k=l

Recuerde que el nombre de la variable utilizada,

k

(llama-

da índice) puede variar, por ejemplo, en este caso 5

I

5 k

k=l

5

= I i = I j • • • etc. i=l

2.-

La suma a

3.-

2 + 4 + 6 + ...

4.-

13 + 14 + 15 + . . . + 100 =

Ejercicios:

+ a

j=l

+ ..• + a

+ 100 =

se abrevia como

n Ja. .

50 I 2j 100 I k k=13

Escribir en forma abreviada las siguientes sumas:

1.-

1+2+3+...+20

Resp.

20 I k k=l

2.-

1 + 3 + 5 + ... + 2001

Resp.

1001 I (2k-l)

3.-

2 + 4 + 6 + . . . + 2 n

Resp.

n I 2k k=l

4.-

1 + 3 + 5 + . . . +

Resp.

n I (2k-l) k=l

(2n-l)

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2.

5.-

I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2

Resp.

n I k2

m+5 *-

b

m

+ b

m+l

+ b

m+2

+

•"

+ b

m+5

Desarrolle las siguientes sumas: Ejemplo: 8 I 2X - 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510 il 1.

6

I

k(k-l)

Resp:

10

Resp:

0 + 2 + 6 + 1 2 + 2 0 + 3 0

k=l 50 2.

1 0 + 1 0 + 1 0 + . . .+ 1 0

i-1 50 veces 3.

1

Resp:

Xo + Xi + X2 + X3 + Xi^ + x$

yr+1

Resp:

y + y2 + y3 + y1* + y5

kk

Resp:

1 + 2 2 + 33 + 4* + .., + n

X

j

j=o 4

4.

I r=0 n

5.

1 k=l

Desarrollando, compruebe las siguientes igualdades:

f 2*" 1 = I 2 r = f 25-> = f 2 6 -* r=l

r=0

n=0

k=l

Hallar los valores numéricos de las sumas siguientes:

1.

5

Ir r=0

Resp: 15

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3.

5

n O

2.

I 2n~¿ n=2

Resp: 15

3.

I kk k=l

Resp: 32

4.

5 £ (2¿+l) i=0

Resp: 36

5

*

I

1

A

t/vin

4 Resp: r

Compruebe las siguientes propiedades de la suma n

1.

£ c = nc k=l

2.

n n n I (av+b, ) = i a, + í b, k=l K K k=l K k=l K

3.

n 1 (aai)= K k=l

4.

n

a

(Propiedad aditiva)

n I av k=l K

ik+3b,)

(Propiedad homogénea)

n

n

k=l

k=l

o I a.k +

(Linealidad)

n 5.

r a k-i ) = a n - a 0 i

6.

i=k 7.

1a

(Propiedad telescópica)

£+r x

1i=k 1

a. i=k+r

-r

£-r i=k-r

a. +r

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4.

Deducir fórmulas para las siguientes sumas

1.

2.

n Ik k=l

Resp. r-^~

I k2

resp.

n(n^l)C2nfl)

k=l 3.

4 4.

í k k=l

3

resp

? W4 ) k

,-pcn resp

JC — -L

Ejemplo; Usando la identidad

±li-(±-l)k

= 4j_3-6i24-4i - 1

obtener el

siguiente resultado n

I i 3 = i (nV2n 3 + n 2 ) = ü

Solución

= 4i3-6i2+4i-l

Entonces podemos escribir n y il

1

(Í^-ÍÍ-D *)

n = y (4i 3 -6i 2 +4i-D il

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Ahora bien, usando la propiedad telescópica

= n1*

Por otra parte:

3

2

(4i 3 -6i 2 +4i-l) =

entonces n n* = 4 H i l

3

n n n - 6 [ i2 + 4 [ i i l i l

de donde n

n

n

n

[ nJn ± lH2n ± l L ]

•4[n(n+l)]

- 2n(n+l) + n

Entonces n I i 3 = x [n^+nín+1) (2n+l) - 2n(n-l) + n ] 4 l = k ( nlf+2n3+3n2+n-2n2-2n+n) 4

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= x (n"+.2n3+n)

= j (n2+2n+l)

(n+1)

Lo cual es el resultado deseado.

Calcule las siguientes sumas:

1.

200 I 2i

(i 3 -l)

2.

25 I (i2+l)2i

3.

I (-|) k ' 2 k=0

4.

5.

*

I C/Sk^T - 73IE+7) k=l m I j(2j 2 +l)(5j+6)

6.

I [(3" k -3 k ) 2 -(3 k "" 1 +3" k " 1 ) 2 ] k=l

7.

n I [(k-1) 3 +6k 2 -3k+7] k=l

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7.

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SUMAS DE RIEMANN

Ejemplo:

Suponga que f(x) = x 3 y que P [-2,4]

es la partición del intervalo

en los 4 subintervalos determinados por X Q =- 2 ,

xi = 0, x 2 = 1 # x 3 = 3 y Xi* = 4 Riemann correspondientes a

f y a P

. Encuentre la suma de cuando

a)

É! =- 1 , í2 = 1 / £3 = 2 , U = 4

b)

£i = 0

f

£ 2 = 1 / ^3 = 3 , £,« = 4 .

Solución: La suma de Riemann de una función partición

f , correspondiente a una

P : x 0 = a < Xi < ... < x

[a,b] , dados

=b

, del intervalo

^.e[x._ 1# x.] (i=l,2,...,n) , es : n I f(C i )Ax i , donde

^^^""^-i

En este caso tenemos

= x r x o = 0 -(-2) = 2 Ax3 = X3-X2 = 3-1 = 2

a)

,

Ax2 = X 2 -Xi = 1-0 = 1

,

Axi» = x H -x 3 = 4-3 = 1

La suma de Riemann correspondiente es : n I fU,)Ax 1

X

= f Ui)Ax2

+ f(C2)Ax2

+ f(53)Ax3

+ f

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8.

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= f (-1) (2) + f U ) U ) + f (2) (2) + f (4) U ) = (-1)(2) + (1) ti) + 8(2) + 64(1) = 79 .

b)

En este caso tenemos que la suma de Riemann es 4 I f U i ) A x i = f (0) (2) + f (1) (1) + f (3) (2) + f (4) (1) = 0(2) + ti) (1) + 27(2) + 64(1) = 119 .

Encuentre las sumas de Riemann correspondientes,en cada caso.

1.

f(x) = x 2

P

partición del intervalo

[0,2j

dado por

x 0 = 0 , x x = y , x 2 = 1 , x 3 = *• , x^ = 2 , Í2 = xi , E,3 = x 2 Resp.

2.

a) x

,

g(x) = 3x+l ,

, gi» = x 3 ,

b)

£.=x.

a)

lix = x 0 t

i=l,2 f 3 / 4.

b)

P

partición del intervalo

P : x 0 =- 1 , xi = 0 , x 2 = j

f

[-1/3]

x 3 = 2 , xt» = 3 .

dada por ^¿ =

x

¿

i-1,2,3,4. 91 Resp. -r-

3.

h(x) = /x

,

P

partición del intervalo

[lf4]

P : x a = 1 , Xj = j , x 2 = 2 , x 3 - 3 , x H = 4 Zz = j ,

Í3 = j , 5* = 4

.

Resp.

j

+

dada por Ci = 1 ,

2

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9.

4.

f (x) = sen x P : X

con Resp.

P partición del intervalo

= ~ 7T , X i = - J t X 2 = Q , X 3 -

5- = x .

j

[-TWTT] t Xi* = J

dada por r X 5 = TT ,

i=l,2,•••,5 .

- g-

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10.

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INTEGRAL DEFINIDA

1.

Calcule, directamente de la definción, las siguient€¡s inte grales definidas (3x2+l)dx i

Solución:

Sea

P

la partición regular

del intervalo [l#3j. En

n

sub

intervalos:

P : x 0 = 1 / Xi = 1+Ax , x 2 = l+2Ax,..., x _ =l+(n-l)Ax , xn = 3

donde

Ax = -^— = - .

O

A

.#.

P : x 0 = 1 , xi = 1+- , x 2 = 1+-,

Sean

Ci = x x , £ 2 = x 2 /.../ £ n = x n •

O•

,x ¿ = l+-ji#...,xn = 3

La suma de Riemann correspondiente a la función la partición n

P

f (x)

= 3x2+l y

a

es : n

puesto que la partición

Jif(f:i)Ax;. -J i f(x ± )Ax

n

r

".^-^n

n A

n2

(regular/AXi=Ax

n A

n3

2

P

i=1/2f ...,n

es }

o

n-*

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11.

24 £ i*

c 4. 24r (n+l)i

8 +

if

(n+1) +

+

y

24 n(n+l) (2n+l)

. ~

K"2 (2n2+3n+l)

28 + ün + ün + n í 22 Sabemos que s i ees

f : [a,b] •> 3R

D /rb f(x)dx =

i:l#2#...fn entonces

f

lim

es integrable en

n

I f(5 ± )Ax i

y además, que s i es integrable en

luego

f

P

x±]

es continua

f (x) = 3x 2 +l

es continua en

Aquí hemos elegido

que depende del número

tervalos de igual longitud.

r

en ton

[&/b] .

es integrable en [ 1 , 3 ] .

una partición regular

£± e [ x ± - 1

fs[a,b] •* 3R

En e l caso de nuestro e j e r c i c i o , £l,3],

donde

[a,b]

n

de subin-

De este modo se tiene que:

b n j f ( x ) d x = lím00 I f U )Ax a n-»- i = l

con

£. e [ x . . , x .x]

es d e c i r : 3 / (3x 2 +l)dx = l í m

n I f(£.)

= lím (28 + — + í ) = = 28 .

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12.

2.

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Calcule, directamente de la definición la integral b j senx dx a Sol.

Sea

P

del i n t e r v a l o

una p a r t i c i ó n r e g u l a r en [a,b]

n

subintervalos

;

= a+(n-l)Ax # x =b P : a=x0 , Xi=a+Ax , x2=a+2Ax , . . . / x n~x n donde

Ax = ——

Dado que

sean

f (x) = senx

i n t e g r a b l e en

[a,b]

£.=x.

,

i=l,2, ...,n

es continua en •

[a,b]

, f (x.l

es

Entonces,

b

n n / senx dx = lím ^ sen (£.)Ax = lim J sen 1 a n->°° i = l Ax->0 i = l

(£.)Ax X

Consideremos l a Suma de Rieraann n

n

n

i=l

i=l

i=l

S n = I s e n ( £x. ) A x = J s e n ( xx. ) A x = A x £ s e n ( xx . ) = = Ax[sen (a+Ax) + sen (a+2Ax) +...+ sen (a+nAx)]

Ax Multiplicando y dividiendo por 2 sen {—)

y usando la

siguiente identidad trigonométrica

2 sena sen& = cos(a-$) - eos (a+3) , tenemos que s

= n

Ax

L 2 s e n ("Y") s e n (a+Ax) + 2sen(-y-) sen(a+2Ax)

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13.

sen(a+nAx)]

*4-X

r / . OJrV \ / " i ^ A - . X / § ** A • \ /i*^ [cos(a+-y) - cos(a+2^x) +i cos(a+jAx) - cos(a+jAx)

2sen(^)

Ax sen(^) Ax - cos(b+^)] . Luego [cos(a+^) sen (-y) b / senx dx = lím — ^ — a Ax->0 s e n ^

fcos(a+^) cos(b+^)] ^z ) - cos(b+^) Z

b • *. J senx dx = eos (a) - cos(b) = - cos(b) - (-cos(a)). a (Compare esta solución con la que se obtendrá usando el teorema fundamental del cálculo).

3.

b J xdx , directamente de la definición.

Calcule

Solución: [a,b]

Sea

P

una partición regular del intervalo

en n-subintervalos dada por:

=a , xa=a+Ax , x2=a+2Ax ,..., x.=a+iAx ,..., x =b i

n

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donde

Ax = b—a . Hacemos como antes

£.=x. ; i=l,...,n

Entonces: b n / xdx = lím £ (£.) x = a n-»-°°i=l x

(puesto que la función f (x)=x es integrable en [a,b]).

= lím

n I (a+iAx)(Ax) *

= lím

n n (I a(Ax) + (Ax)2 ^ i) =

= lira (a(Ax)n + (Ax)2

n(n

¿"¿1})) == ;; pero pero Ax Ax == ^ n

n-»-°o

= lím (ab-a2 + ° ~í^a

= lím

_ b " 2

(n+1)) =

2n a " 2

Calcule/ directamente de la definición de integral, las siguien tes integrales definidas:

1.

2 / (2x2-3)dx -1

4.

b / cosx dx a

7.

2.

b / x 2 dx a

5.

/ /x dx

8.

b / x 3 dx a

6.

3.

b / kdx a 3

l

; k = cte.

a

/ f(x)dx a

4. J =• dx 2 x

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15.

Respuestas;

1.-3

2.

b3

3. 9.

4.

" a3

7.

5. 4 (3/J -1)

° ~á 6. Demuestre que: n . 2 .

b)

n R. 2 lím T 2i i=l n 3

c)

lím -

10*.

senb-sena

1

n

2 = f O

n

k(b-a)

8. O

ln 2

x 2 dx 1

I f(i) = f f(x)dx i=l n 0

si

f

es integrable en |O,1

Usando directamente la definición de Integral definida, calcular: b j /x dx ,

Sugerencia: donde

q =

donde

tómese la partición — a

y

a > 0

P = {a,aq,aq2,...,aqn}

usar el hecho de que

n

Respuesta:

a < b

-Í

3 3 j (b - a 2 )

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16.

Suponiendo que todas las integrales involucradas existen, demues_ tre las siguientes propiedades de la integral definida;

1.

b b b J (f+g) (x)dx = / f (x)dx + f g(x)dx a a a

2.

b b J kf(x)dx = k J f (x)dx a a

3.

b b b / (kf(x) + hg(x))dx = k j f(x)dx + h / g(x)dx a a "~ a

;

k = constante

,

k,h

b a / f(x)dx = - J f(x)dx a b 4.

b c b / f(x)dx = / f(x)dx + / f(x)dx a a c

5.

Si

m £ f (x) £ M

para

,

V c e IR

xe£a,b] ,

entonces

b m(b-a) _ 1 , se tiene la desigualdad

1

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21.

(Observe que si

l

R

*12"

3 R. = ^

Evalué las siguientes integrales definidas: 3

a)

2x(x 2 +5)dx

R. 80

2x1^+1 dx

R. 0

(x 5 -3i6c+3x 2 -6)dx

R R

(2x+l) 2 dx

R. -21

sen 7 x dx

R H

1 b) 1

c) 0 d)

2

j

-1

•n

e) 0

R

1T

f)

0

(cosx+4) 2 dx

*

_ 41 6

* 35

R.

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29

g\

/ -1

h)

j 2

(x-1) (2x+3)dx

3 R R. - 2

(/x - x/x^I) dx

R. i (4-/2)-5/T5+/3

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30.

Ejercicios para el uso de la regla trapecial

Regla Trapecial

Si la función los números gular de

J

f

es continua en el intervalo cerrado

a = xof*i# * 2 ,•••#x

= b

[a,b] y

forman una partición re-

[a,b] , entonces

f(x)dx = ^

[f(x0) + 2f.(xi)

Aproximar la integral

usando la regla del trapecio

/

Solución

Empleando la regla del trapecio con valo

n « 6

en el inter

[0,1]

b-a _ 1 -25T " 1 2

i

i

f(xi)

0.0000

0

0.1666 0.3333 0.5000

1

x

i

k i f(x i )

1.0000

1

1.0000

2 2 2 2

1.6746 1.3846 1.1428 0.9474

k

0.6666 0.8333

4

0.8373 0.6923 0.5714 0.4737

5

0.3956

2

0.7912

1.0000

6

0.3333

1

0.3333

2 3

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31.

I k.fCx.) = 7.2739 1 x

i=0

2 (7.2739) = 0.60615

x 2 +x+l

Calcular el valor aproximado de la siguiente integral usando la regla del trapecio con

n = 4

ir

J cosxdx b-a _

Ax

,

n = 4 b-a

TT

~H

_ ir

4

f(x) = cosx

i

X. i

f

k

0 1 2 3 4

0

1 .0000

1

*/4

.7071

*/2

0 .0000 - .7071 -1 .000

2 2 2 1

3^/4

i

f(xi)

1.0000 1.4142 0.0000 -1. 4142 -1. 0000

4

I

k

i=0 ^

J cosxdx

0

TT

J

i f (x±) = 0 4

J

° i=0

kx . f ( xx. )

ir

= £ co)

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32.

Regla del Trapecio

La tabla se obtuvo expe rimen taimen te., actúa sobre un punto con coordenada

f (x)

x

denota la fuerza que

en una recta coordenada.

Usando la regla del trapecio estimar el trabajo realizado en el intervalo

[a,b] donde los valores

a y b

son el menor y el ma-

yor respectivamente•

x/m f(x)/Kg

0

0. 5

1. 0

1 .5

2 .0

2. 5

3. 0

3 .5

4. 0

4 .5

5. 0

7.4

8. 1

8. 4

7 .8

6 .3

7. 1

5. 9

6 .8

7. 0

8 .0

9. 2

Solución: Usando la regla del trapecio b / f(x)dx « ^

[f (x o )+2f( Xl ) +...+ 2f(x n-1 )+f(x n )]

tomando n = 10 Ax = ^ - = ^P- = i n

y

b-a 2n

5 ^ 20

lü

¿

1 4

J f(x)dx = ¿ [7.4+2(8.1)+2(8.4)+2(7.8)+2(6.3)+2(6.3)+2(7.1)+2(5.9)^ a +2(6.8)+2(7)+2(8)+9.2)] =

= j

[7.4+16.2+16.8+15.6+12.6+14.2+11.8+13.6+14+16+9.2]

= j

[147.4] = 36.85 Kg«m

=

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33.

Encontrar una aproximación del área limitada por en la parte superior, x = 2 la derecha y el eje de las

Solución:

y = /xT-1

por la izquierda, x = 3

por

x / inferiormente .

Usando la regla del trapecio, tomamos

n = 10

Entonces: Ax =

3-2 LO

10

b-a >n

20

de modo que:

ZI dx = Yñ [f (xo)+2f (xi) +...+ 2f (x9) +f (xi o) ]

Construímos la siguiente tabla:

i

x.

f .5

V du du i

"

/°du 1

u

ln(8/5)

l n ( 2 3 ) - ln(5)

= 3-ln(2) - ln(5)

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43.

3.

Pruebe que si k

es un entero mayor que 1 , entonces

1/2 + 1/3 + ...+ 1/k < ln(k) < 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/k-l Solución:

Dado

la función

n

un entero mayor que 1 puesto que

1/x es decreciente en los reales positivos

tenemos que para toda

xe[n-lfn]

se satisface que

1 1 1 — < — < — - . por tanto n — x — n-l n

n-l

"

n-l~

¿n < S i hacemos

1/2

<

/

<

/ 2

1/k

< /

,

e s decir

n I¿1

x

n = 2,...,k

tenemos que

2 ¿ dx < 1 3

1/3

1 -—s- dx n-l n ~ 1

1

±. dx < 1/2

X

£ dx < 1 / k - l

Sumando estas desigualdades se tiene que

2

i

3

1

k

1

1/2 + 1/3 +...+ 1A < / =• dx + / - dx +....+ / - dx < 1 + 1/2 +...+ 1A~1 1 x 2x k-1 x DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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44.

es

decir

k

1/2

+ 1/3

4.

Si

f

+...+

1/k

i

< J ± dx = l n ( k ) x

< 1 + 1/2

+...+

1/k-l

es una función que tiene inversa y satisface que

f (a*b) = f(a) + f(b) minio de

para cualesquiera

a,b e D f

(do-

f) , muestre entonces que

f'Mc+d) = f"Mc) f'Md)

para cualesquiera

c # deD f -i=R f

(rango de f ) . Solución: Sean

c,d e D f - X

.

Hacemos

a = f^íc)

, b = f~*(d)

D f = Rf-i

Por hipótesis sabemos que

f(f~x(c).f"l(d)) = f(a-b) = f(a) + f(b) = f (f""1 (c)) + f (f"x(d)) = c+d

Por otra parte, ya que

f

]

es la inversa de

f ,

se de

be tener que f (f""1 (c+d) ) = c+d Por lo tanto

f (f~x (c) 'f" 1 (d) ) = f(f~](c+d))

y como

f

es inyectiva, tenemos que f"1 (c+d) = f^1 (c) - f " 1 ( d )

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45.

5.

Se sabe que una sustancia radioactiva se desintegra a una velocidad, proporcional a la cantidad de sustancia presen te. i)

Si

F(t)

tante

representa la cantidad de sustancia al ins-

t , ¿qué tipo de relación satisface dicha fun-

ción? ii)

Muestre que donde y

c

Fo

F(t)

F(t) = F o e

esta dada por

es la cantidad presente en el tiempo

t = 0

es una constante positiva que depende de la sus

tancia. iii)

Determine la vida media de la sustancia, es decir, el valor de

t

para el cual

F(t)

tiene el valor

(Dar la respuesta en términos de

°/2.

c )

Solución: i)

Sabemos que si

F(t)

representa la cantidad de sus-

tancia en el instante

t ,

entonces

F 1 (t)

represen

ta la velocidad con que esta cambiando la cantidad de sustancia el instante

t , de tal forma que, como di-

cha velocidad es proporcional a la cantidad presente, debemos tener que

F 1 (t) = c F(t)

donde

c

es

una constante de proporcionalidad, inherente a la sus tancia. Por otra parte, puesto que la cantidad de sustancia va disminuyendo con el tiempo,

F(t)

es una función

decreciente y por tanto su derivada debe de ser negativa, de manera que, como la cantidad de sustancia la

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medimos en números positivos, la ecuación anterior puede quedar en la forma

F f (t) = - c F(t)

sis adicional de que

c

con la hipóte-

es una constante positiva.

ii) de la relación obtenida en el inciso anterior, tenemos -

Por otra parte, derivando directamente, se obtiene que

= ¿

dn F(t))

es decir

(lnoF)'(t) = - c Por tanto, de la identidad anterior se deduce que ln(F(t)) = - ct + k Si llamamos

(1)

F o = F(0) ,

obtenemos que

sustituyendo

t = 0

en

(1)

k = ln(F0)

De la identidad de (1) , se tiene que F(t) = e" c t -e k = e ln(F 0 ) e -ct = F0e"ct

donde

Fo

es la cantidad de sustancia inicial y

c

es

una constante positiva que depende de la sustancia. iii) Nos interesa saber para que valor de dad

Foe

c

= Fo />

'

es

decir,

e

t c

se tiene la igual_

= y

Aplicando el logaritmo natural a ambos miembros de esta última igualdad, obtenemos que

-ct = ln(l/2)

tanto, que t = iSiltíL = =±ÜÍÜL = iütíl ""C

"""C

es

y por

.1 valor

C

buscado.

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47.

Problemas Propuestos

1.

Encuentre la derivada de las siguientes funciones: i)

ln(sec(x) + tan(x))

ii) iii) iv) v) vi)

2.

(R: sec(x)) secx > 0 (R: tan(x)) cosx ^ 0

'cos(x)

x

ln[ (5x-7)1*(2x+3)3 ] e

tan(x)

(R: secMx)

tan(x) e

0

2 sen (x)

(R:

Sen(x) 2

ln(2COSX))

Suponiendo que ln(2) = 0.6937 , ln(3) = 1.0986

y

ln(5) - 1.6094 , calcula los siguientes números i)

ln(10)

(R: 2.3025)

ii)

ln(5/3)

(R: 0.5108)

iii)

ln(62.5)

(R: 4.1357)

10

1f

(R: 0.9163) (R: 6.9075)

0.01

3.

Si

c > 0

y

re3R,r?¿0,

calcule el siguiente límite

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48.

cX-l lira — : — x+Q c -1

4.

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Sugerencia: use la regla de L 1 Hospital

¿Existe un número

n e I

tal que

1,000 ± 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n ?

5.

Si.

¿Cuál?,

No. ¿Por qué?

(R:

Sí, basta tomar

n ^ a 1 ; 000 -!)

¿Cuál es la diferencia entre las funciones f (x) = 2 ln(x)

g(x) = ln(x2)?

y

(R: El dominio de

f

solo son los reales positivos, mien

tras que el dominio de

g

son todos los reales distintos

de cero).

6.

Una población bacteriana crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente: i)

Si

B(t)

denota la cantidad de bacterias al instante

t , ¿qué tipo de relación debe satisfacer esta función? (R:

BV(t) = c B(t)

donde

c

es una constante positiva

que solo depende del tipo de población) ii)

Muestre que

donde ,c

B (t)

es de la forma

B(t) == B Q e

es una constante positiva (¿por qué?) y

es la cantidad de bacterias en

ct BQ

t = 0 .

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Casa abierta al tiempo

49.

iii)

¿Cuál es el tiempo necesario para que la población de bacterias se duplique?. de

7.

c .

Ve la respuesta en términos

(R: t = ln(2)/c)

La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez con la cual un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Un objeto caliente se encuentra en un medio cuya temperatura es

T

:

m i)

Si

T(t)

es la temperatura del objeto en el instante

t , ¿qué tipo de relación cumple esta función? T1(t) = - k(T(t) - T ) con k una constante positi m — va la cual solo depende del objeto). (R:

ii)

Muestre que

T(t)

T(t) = (To - T m )e ^ donde iii)

To

es de la forma + Tm

es la temperatura en el instante

t = 0 .

Si un objeto pasa de 120° a 40° centígrados en 40 minutos en un medio que se encuentra a 35° centígrados, ¿cuál es la temperatura del cuerpo en el minuto 100?

(R:

T(100) * 35°)

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50.

Casa abierta al tiempo

Integral Indefinida

1.

Encuentre la antiderivada (ó primitiva) más general de las siguientes fundones: i)

f (x) = lOx* - 6x 3

Solución5 n ción

x

+5

Puesto la antiderivada más general de la funxn+1 (con n / - 1)

es igual a — r y

/

y dado que -

la antiderivadá de una suma es la suma de las antideriva das,

se tiene Qltó * 2x5- rj

Kk + 5x + C

es la antiderivada más general de ii)

f(x) = lOx1* - 6x3 + 5.

f(x) = eos2 (x) •aen(x) + 1

Solución:

Ya que

-sen(x)

e? la derivada de

eos(x) ,

por la regla de lá cadena, se tiene que F(x);•'# - j eos 3 (x) + x +"c es la antiderivad.a más general de iii)

f (x) = e a x + J ^ J -

Solución:

f(x) = eos 2 (x) sen(x) +

la ¥ 0)

Usando nuevamente la regla de la cadena, tene-

mos que

F l x i ^ i e ^ + ~ ln (x +1) + C

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51.

es la antiderivada más general de

2.

Encuentre la función diciones

f

,

Puesto que

f1

f'(2) = - 2

f'(2) = - 2

,

de donde

= - 8 .

d

tenemos que Así,

y

f(l) = 3

es una antiderivada de

f'(x) = 2x 2 - x + d

entonces

+ "*2+j

que satisfaga las siguientes con

f"(x) = 4x-l

Solución:

f (x) = e

f" ,

y usando la condición - 2 = f'(2) = 2(2)2 - 2 +

d

f.1 (x) = 2x 2 -. x - 8 .

es una antiderivada de f1 •, debemos tener 2 x2 f (x) = *• x 3 - j - 8x 4- C 2 , usando la condición

Ahora, como que de que

f

f(1) = 3

,

entonces

3 = f (1) = | (1)3 - ¿±±- - 8(1) +

d

3 r

-

65

., x 2 - o8x _. + , 65 3 f (x) = 2 j x - j ^—-

y por tanto

satisface las -

condiciones deseadas.

3.

Sean

f(x) = |x|

y

F

definida como 1

x¿

si

x < 0

si

x >^ 0

F(x) = 1

Muestre que Solución:

F Sea

es una antiderivada de

f

en

(-00,00).

Xqe (-»,«>) y supongamos primero que

x o 0 tal que , si xe(xQj*í/

XQ+6)

,

F(x) 2* - j x2 \

se tiene que

xO ,

F 1 (X-Q) = xo * |XQ¡ = f(x 0 ) .

entonces

Para calcular

curriremos (directamente a la definición.

F 1 (0)

re

Sabemos que

Ahora, para calcular este límite y mostrar que existe, basta mostrar que los correspondientes límites laterales existen ^ §on lífuálés.

- 0

Por tanto,

F 1 (0)

Por lo tantos que

F(x)

existe y además

P' (X) = f(.x)

V

F 1 (0) = 0 = |0| = f(0)

xe (-», °°)

es una antiderivada de

f

en

lo que prueba (-00,00) .

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53.

4.

Si un automóvil parte del reposo, ¿qué aceleración constante se le debe imprimir para que recorra 100 metros en 10 segundos? Solución:

Supongamos que

s(t)

denota la distancia reco

rrida (medida en metros) por el automóvil en el instante t

(medido en segundos).

En donde

t = 0

será el instan

te en el que el automóvil parte del reposo.

Sabemos que

la aceleración del automóvil en el instante

t

por

s"(t),

esta dada

de tal forma que, como la aceleración que se

le va a imprimir al automóvil es constante, debemos tener que

s" (t) = C

en cualquier instante

es determinar para que valor de Ahora, puesto que

s'(t)

C

Finalmente, ya que entonces

s(t)

s'(t) = ct . s'(t),

y como el auto parte del entonces

de modo tal que

Puesto que lo que se desea es que 100 = s(10) = j c (10)2

de donde

es una antiderivada de

s(0) = 0 ,

0 = s(0) = 2 - c - 0 + C 2

y como el automó-

s1(0) = 0

y por tanto

s(t) = y c t 2 + C 2

reposo, es decir

s(10) = 100,

es una antiderivada de s"(t) ,

vil parte del reposo, entonces 0 = s'(0) = c*0 + Ci

El problema

se tien que

s1(t) = ct + Ci

tenemos entonces que

t .

s(t) = j c t 2 .

s(10) = 100,

de tal forma que

entonces

C = 2 (m/seg2)

es la aceleración deseada.

5.

Utilizando el método de integración por partes, calcule

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54.

las siguientes integrales indefinidas

i)

iv)

/ x(2x+3)"dx

ii)

/ x ln(x)dx

iii)

/ arcsen(x)dx

j exsen(x)dx

Solución: tes, si

(i) De acuerdo al método de integración por par f(x) = x

y

g(x) = j^

(2x+3)

,

entonces

x(2x+3)"dx = / f(x) g'(x)dx

= f(x) g(x) - / f (x) g(x)dx

100

- J 1 - ^

(2X+3)1»0- ^



Suponga que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto

P

de la gráfica de una función

drado de la abscisa de

P .

f

es igual al cua

Encuentre la función

f

su-

poniendo que la gráfica contiene a : x3 i) ii) iii) 6.

el origen

(sol: f(x) = j )

el punto (3,6)

(Sol: f(x) - j - 3 )

el punto (-1,1) (Sol: f(x) = j + 4/3)

Encuentre las siguientes integrales indefinidas por el m£ todo de integración por partes X

LJL iii)

J xnln(x)dx ; n^-1

(Sol: 1 (l-6 X ) 1/2 (26 X -5) + C) n+1 (Sol: ^ (ln(x) - J — J + O

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59.

±v\

v)

vi)

¡ xarctang (.x) dx

(Sol: j [(x 2 +l) arctan(x) - x] + C)

/ In(x 2 +l)dx

(Sol: xln(x 2 +l) - 2x + 2 arctan(x) + C)

j ±ii^¿- dx

(Sol: f (ln(x)) 2 + C)

f

vii) /iii)

X2

o

z

xi)

/ In(x+(l+x 2 ) 1 / 2 )dx

(Sol: xln(x + (l+x 2 ) 1 / 2 )

(Sol:

J x arctan((x 2 -l) 1 / 2 )dx

_

{1^)l/2axcaea(x)

- (l+x 2 ) x / * + C)

+ x + c)

(Sol: | arctan

/ sen(x) ln(cos(x))dx (Sol: eos (x) (l-ln(cos (x)) + C) 2

xii)

1

(Sol: T + -j sen2x + ^ cos2x)

x arcsen(x)

x)

X

J xcos (x)dx

2

/ x 3 e~ x dx

(Sol: - e/^~x (x2+l) + C)

dx

(Sol: ( x 2 + l ) 1 / 2 ( x 2

- 2/3) + C)

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60.

Integración de fracciones racionales

1)

Calcular el área de la región limitada por la curva y = (x-1) (x2-5x+6f f el eje y

x

y las rectas

x = 4

x = 6

Solución El área corresponde a la integral siguiente 6

í x-1

dx

hagamos

x-1 _ x-1 _ A x 2 -5x+6 "" (x-2) (x-3) x-2

entonces tenemos Para

B (x-3)

x - 1 = A(x-3) + B(x-2) ; para

x = 3

2 = B

x = 2

1 = - A

o sea

A = - 1

por lo tanto podemos

x-1 _ _1_ x*-5x+6 "" " x-2

escribir

_2_ x-3

y entonces:

X

(x -5x+F)

dx =

~ J

6 + 21n|x-3 4

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61.

= - lnl6-2 I + ln|4-2

+2 ln|6-3| - ln|4-3| *

= - ln 4 + ln 2 + 2 ln 3 - ln 1 = ln|2»32| - ln| 4 • 11 = ln|-^-¡ = ln |

2.

Calcular

'

unidades cuadradas

dx

(3x+2)s

Solución hacemos

u = 3x+2

entonces

du = 3 dx

y

dx =

Substituyendo en la integral

(3x+2)5

3

*

( I

=

I (ax+b)n

uu "5

Si

du == 1 u ^^ 33 TT -44

n

u = ax+b

í dx J (ax+b) n

Si

n = 1

ax+b

[ J

12(3x+2)

^ ! ' hagamos: du = adx =

-n du = 1 u 1 " 11 a a 1-n

dx =

u

— a

(ax+b) 1 " 11 a (1-n)

entonces

= i. ln|ax+b| + C a

dx (ax+b)n

(ax+b)1"11 a(1-n)

^ n + C

;

sx n

I lnIax+bI + C

;

si n = 1

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62.

4.

dx

Calcular Solución:

Consideremos e l denominador

x 2 +4x+13

observamos que e l discriminante

42-4(l)(13) es un número negativo, así que

x2+4x+13

es irreducible y completemos el trinomio cuadrado perfe£ to: x2+4x+13 = x2+4x+2 +13-2 = (x+2)2+9 por lo tanto:

f

fx

í dx

=

J x*+4x+13

J (x+2)2+9

hacemos

9u2 = (x+2)2

entonces

3u

y

3du

= x+2

,

u - (x+2)/3

= dx

Substituyendo en la integral

x2+4x+13

3*1 _ 3 r du 911^+9 9 u*+l

i 3

tan-i u +

c

substituyendo los valores originales tenemos

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63.

v

5.

Calcular

X3-xt-?x

Casa abierta al tiempo

3

dx

Solución factorizainos el denominador x-1

x-1

X3_X2_2X

X(X"2)

Podemos escribir la ecuación como sigue: x-1 x á -x 2 -2x

~—

A "•"" x

"i

B «•* \ (x-2)

/

"T*

C (x+1)

"

entonces x-I = A (x-2) (x+1) + B x(x+l) + C x(x-2)

Esta ecuación es una identidad para todos los valores de x

y deseamos encontrar los valores de

Cuando

x = 0

- 1 = - 2A Para

tenemos

=>

A =

I

x = 2

1 = 6B - * Para

A,B y C.

B = ¿

x = - 1

-2=3C=í>

C =

- |

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64.

Sustituyendo éstos yalores en la ecuación 1 x*-x2-2x"* x

1 +

1

Casa abierta al tiempo

tenemos:

-2

x^I + x+T

así que

P ° d e m o s escribir la inte-

gral como:

í

x-1 d _ 1 í dx+ 1 f. dx 2 x

«'¿.xa-óx

2" I x "

6 \ x = T" 1

= | ln|x| + | ln|x-2| - | ln|x+l| + | ln C

1 Cx (x-2) ln 6 (x+1) *•

6.

Calcular

í1 ..H.. (x3-l) "(3dx J x2(x-2)

Solución: El integrando lo podemos escribir como suma de fracciones parciales.

¿ (x-2) 3 " x 2 + x

+

(x-2).s+ (x-2)2+ (x-2)

multiplicando ambos lados por

x 2 (x-2) 3

x 3 -l = A(x-2) 3 + Bx(x-2) 3 + Cx 2 + Dx 2 (x-2) + Ex 2 (x-2)

Substituyendo

x = 2

tenemos:

7 = 4C —*• C = j

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Casa abierta al tiempo

65.

al substituir

x = O

- 1 = - 8A = > A = ~ Substituyendo los valores obtenidos para

A y C

y desa

rrollando la expresión, tenemos: 3

-l = |(x3-6x2+12x-8) + Bx(x3-6x2+12x-8) + Dx3 - 2Dx2 + Ex 2 (x2-4x+4)

Agrupando términos para cada una de las potencias de

x

escribimos: X3-1 = (B+Ejx1* + (¿ - 6B + D-4E)x3 + (-y + 12B + j -2D + 4E)x2

+ (¿ - 8B)x-l para que la expresión anterior sea válida se debe cumplir que:

B+E = 0 i - 6B+D - 4E = 1 - | + 12B + j - 2D + 4E = 0

| - 8B = 0

resolviendo obtenemos:

B

- é 'D = i 'E = - é

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66. Casa abierta al tiempo

Por lo tanto podemos escribir

x

_

~ 1

2 (x-2}3

1

•.

8x 2

_ 3 _ _ • ••

7

,

4U-2J.B

16x

: • • 5 •.

3

4 ( x - 2 } 2 " 16(.x-2)

de manera q u e : x3-l

f

j xTTx^T

,

3dx =

1 f dx . • 3 f dx . 7 f

8J1 P

+

+

dx

16 j 1T 4 j Tx^2T

, 5 f

3+

dx

4 J Tx^5T 2 " 16

l n | x

-llx2 + 17x - 4 . 3 . 8x(x-2) 2 "~~+ *^± n

~

7.

Calcular

Solución: X 2 +X

f

2 x . , > . •+x !..._,

J X3-X2+X-l

x x-2

"2

+C

dx

Consideremos e l integrando; X 2 +X x (x-l)

X 2 +X

2

Su desarrollo en fracciones parciales es de la forma; x 2 +x

^ _

A

y" xi

Bx+C

x2+i

Determinaremos los valores de A,B y C . Multiplicando por

x 2 +x

(x-1)(x2+l)

-

A(x2+1)

se tiene que:

+

(Bx+C)(x-1)

...(1)

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67.

Haciendo 2

=

Casa abierta al tiempo

x = 1 obtenemos:

2A =>

A =1

Sustituyendo

A = 1 en (1) y realizando el producto in-

di cado: x 2 +x

= x 2 +l

+

Bx 2 - Bx + Cx - C

(1+B)x2 +

=

(C-B)x + 1-C

Comparando coeficientes: 1+B = 1 C-B = 1 1-C = 0 de manera que

B = 0

y

C= 1 •

Luego: x 2 +x

1

1

¿be = í J x

+

( dx

= ln x-11 -i- arctan + C

*/2 8.

Calcular

4sen9+3cos0 0

Solución:

Como

0 Í 2 Ja

Ejemplo 11 :

Calcular el área acotada por la curva

r = 3 eos 2 0

Solución:

La gráfica de la curva fue construida en el ejemplo 5.

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Casa abierta al tiempo

10 8,

TT/4

La gráfica es simétrica respecto al eje polar, la recta el polo.

-r-

y

Para obtener el área basta calcular la de la parte -

acotada por las rectas

6 = 0 , 6 = -j

y

r = 3

eos 2 6

multiplicar el valor obtenido por ocho. Tí

. ".

A= 8 I • i

8_ 2

[3 eos 2 6] 2 d6 =

9 cos 2 20d9 = 36

fl+cos49 •} d9 = 18 I 9

= 36

cos 2 2ed9 =

(l+cos46) d6

Tí

"4

[o

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109.

= 18 [I A = ~Y

senu - O - sen 0 )

Tí

9TT

- 18 • J -

Unidades cuadradas

Ejemplo 12 : Encontrar el área acotada fuera del rizo y dentro de la cardioide r = 3 - 4 eos 9 Solución:

La gráfica fue construida en el ejemplo 9 y la

mostramos otra vez.

^/^

Como lo probamos anteriormente, esta gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

El área que nos interesa calcular es

la que está fuera del rizo y dentro de la "cardioide11.

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110.

Esta gráfica se cruza en el eje polar 0

.' . r = 0

y el ángulo

de esta coordenada se calcula de la manera siguiente

si

r = 0 0 = 3 - 4

eos 9

4 eos 0 = 3 entonces

=>

eos 0 = j

8 = +_ 0.23ir

El área acotada por la curva, tal que está fuera del rizo y dentro de la cardioide esta dada por .23TÍ Tí

A = 2 j |

(3 - 4 e o s e ) 2 d 9 - ~

i

(3 - 4 e o s 9 ) 2 d e l

0.23TT

0

.23* ( 3 - 4

eos 0)2d0

-

( 3 - 4 e o s 6) 2 d 6

I

0.23TT

0

7T

I

( 9 - 2 4 eos 0 + 1 6

1

+

^Qs

2 9

) d0

29

) d0

-

0.23TT

- 24 eos

+ 16

1 + CO S 2

Ejercicios

9. Hallar el área del campo limitado por un arco de la cicloi^ de sas.

x = a (T - sent) ,

y = a (1 - cost),

Respuesta:

y el eje absci-

3ira2

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Casa abierta al tiempo

111.

10.

Hallar el área de la gráfica limitada por la hipocicloide: x = a cos2t

,

y = a sen 3 t . Respuesta:

11.

3 p- na

Hallar el área total del campo limitada por la lemniscata r 2 = a 2 eos 2 0 Respuesta:

12.

a2

Calcular el área del campo limitado por un lazo de la curva

r = a sen 2 8 Respuesta:

-5- ira2 o

13.

Calcular el área total del campo limitado por la cardioide r = a(l - eos 9) Respuesta:

14.

^ ~- TTa2 3

Hallar el área del campo limitado por la curva

r = a eos

_ . na2 Respuesta: --r-

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112.

APLICACIONES DE LA IiSÍTEGRAL DEFINIDA

1.

Calcule el área limitada por las gráficas de f(x) = x 3 -3x 2 +2x

y

g(x) = - x 3 +4x 2 -3x .

Solución: Primero encontramos los puntos de intersección igualando ambas ecuaciones y resolviendo la que se obtiene. x 3 -3x 2 +2x = - x 3 +4x 2 -3x 2x 3 -7x 2 +5x = 0 x(2x-5) (x-1)

= 0



x = 0

Por lo t a n t o l a s g r á f i c a s

ó

2x-5 = 0 6

se i n t e r s e c t a n

x-1 = 0 .

cuando

x = Ü ,

x = 1 , x = —. Tomemos un punto g(x 0 )

= - Q-

y

x0e[0,l], f(x 0 )

digamos

= -5- ,

o

x0 = y ,

entonces

vemos de aquí que

o

g(x 0 ) < f(xo)

y debido a que las funciones son continuas

concluimos que: f(x) >_ g(x)

en el intervalo

[0, lj .

ma manera tomamos un número real xie[l, 2"] f(x 2 ) = 0

Razonando de la mis_

xf:\±f — \f digamos x } = 2.

y

g(x x ) = 2

. ".

gtxj

> f( x j

y en ton

rr

ces

f(x) < g(x)

en el intervalo

[l> y] - A continuación

mostramos la gráfica

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Casa abierta al tiempo

113.

x

El área 1 Ai =

A

que nos interesa es

(f(x)-g(x))dx

y

A2 =

A = Ai+A 2 , Í

donde :

(g(x)-f(x))dx .

0 Luego:

í A =

(-2xJ+7x -5x)dx =

(2x J -7x : "_ 7x3

5x2

\

7x3 3

5x¿¡?

253 unidades cuadr. 96

0

2.

Encuentre el área de la región, limitada por las gráficas de y = x2,

x = y3

y

x+y = 2 .

Solución: Sean

F(x) = 2 - x G(x) = x 2 H(x) = xa

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Casa abierta al tiempo

Calculamos los puntos de intersección: a) para G(x)

y

(x ) - (xi) 3

x* =,x +'«>

x6 - x = 0

Luego

b) para F(x)

y

x 2 = : 2-x »#.

x

~

c) para P (x)

-

x6 = x

>

x(x 5 -l) = 0

=

x = 0

ó

x = 1

G(x) x 2 +x-2=0

2

6 •• x

y

H(x) ,

2~x « xT

H(x) 2 3

x

=

1



(x+2) (x-1) = 0

.

tenemos:

= (2-x)3

x =f - x 3 + 6x 2 -12x 4- 8

(x-1). (-x2+5x-8) = 0 (ya que = 0

-x 2 +5x-8 f 0

X =

A continuación mostrarnos una gráfica de estas ecuaciones

y = G(x)

= H(x¡

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115. Casa abierta al tiempo

El área

A

es: O

A = Ai + A 2 =

1 (F(x)-G(x) )dx + I

-2

(F(x)-H(x) ) dx =

O

(2-x)-x¿|dx +

r

49 (2-x-x3)dx = ^pr- unidades cuadradas. 12

O

3.

Hallar el área de la región dentro del cardiode r = a(l + eos 9)

y fuera del círculo

r = a

Solución: Calculemos los puntos de intersección

de estas curvas

r = a (1 + eos 9) r = a

entonces

a = a (1 + eos 9)

;

a ^ 0

=>

1 + eos 9 = 1 . # . eos 9 = 0 luego

9 = y

°

9

9

Y los puntos

de intersección son: (a, 2") & (a, -y) .

La gráfica se muestra a continuación.

Dado que la gráfica es simé= a

trica con respecto al eje = a(l + cose)

polar, basta calcular el área sombreada. El área total sora el (lob 1 e do ósta.

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Casa abierta al tiempo

116.

A= 2

4.

j

[a2 (l+cos6) 2 - a 2 ] de = I (a 2 +2a 2 cos6+a 2 cos 2 e-a 2 ) de

Determine el área de la región limitada por las gráficas de y 2 = 4(x-2)

&

y = 2(x-2) - 4

Solución: Para encontrar los puntos de intersección, despejamos x-2 de cualesquiera de las dos ecuaciones y este valor lo sustituimos en la que nos haya quedado. De

y = 2(x-2) - 4

(x-2) = Z±i sustituyendo este valor en y2

y

= 4(x-2)

se obtiene que

- 2y - 8 = 0

= > (y-4)(y+2) = 0 entonces si

y = 4 ,

;

luego

y = 4

ó

y = - 2

al sustituir este valor en una de las

ecuaciones se encuentra que

x = 6 . Si

y = - 2

entonces

x = 3 . Por lo tanto, los puntos de intersección son: (3,-2) & (6,4) .

La gráfica de la ecuación

y 2 = 4(x-2)

es una parábola con eje horizontal, mientras que la de y = 2(x-2)-4

es una recta.

A continuación mostramos la

gráfica en el mismos plano.

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117.

X

Casa abierta al tiempo

/ y = 2(x-2)-4

= 4(x - 2)

Tomando rectángulos paralelos al eje de las x entonces

y 2 = 4x-8

= >

y = 2(x-2)-4 =>

tendremos

x = y.+8 x = *• + 4 .

4

.'. el área es

í 1"ÍY +. J 41 _-fy +8 dy

= 9u:

-2

LONGITUD DE ARCO

Recuerde que si C

f : [a,b] -»• IR

es una función de clase

(es decir, diferenciable y con derivada continua),

entonces la longitud del arco formado por la trayectoria de la gráfica de

f

en

[a,b]

, está dada por

b L =

/f'(x)2+1 dx.

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Casa abierta al tiempo

118.

5.

Sea y = 3x+5 , O £ x £ 2 la longitud es ;

(segmento de recta) , entonces

2

/9+1 dx = 2/TO unidades. 0 (En este ejemplo se puede comprobar geométricamentef que la distancia entre los puntos

es precisa-

2/Tü unidades).

mente

6.

(0,5), (2,11}

Determine la longitud del arco de la curva parametrizada descrita por las ecuaciones paramétricas: V = t 3 +l

,

Solución:

y = 2t 9 / 2 -4

sobre

[l,3]

o

/ f ' ( t ) 2 + g " ( t ) 2 dt

Sabemos que

a co de la curva parametrizada por

es la longitud del ar x = f(t)

,

y = g(t)

[a,3] .

en .*.

En nuestro caso tenemos: 3 /(3t2)2+(9t7/2)2

L =

dt 1 3 I t 2 /I+9t 3 dt 1 3 = ~

(l+9t3)

3/2

(488/6T - 10/10)

unidades.

1 _ 4

(244/5T - 5/Tff)

unidades

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119. Casa abierta al tiempo

7.

Determine la longitud del arco de

f (x) = x '

en

[q- / 4 ]

Solución:

L=

/I + J x dx = |~

~

27

unidades

-

Volumen de Sólidos de revolución

8.

Obtenga el volumen del sólido generado por la rotación, .. alrededor del eje y 2 = 4x

bola

x ,

de la región acotada por la para,

y la recta

y = x .

Solución: Sean

f (x) = 2/x

,

g(x) = x

Calculamos los puntos de intersección: 4x = x 2 . *. son

Sea

0 = x 2 - 4x = x(x-4)

x = 0 , x = 4

(0,0)

P



y los puntos de intersección

(4,4) .

una partición del intervalo

I 0,4 i :

P : x 0 = 0 < Xi < x 2 < ... < x = 4 n

y sean: = 1,2,...,n)

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12 0.

La medida del volumen del anillo circular es :

AVÍ

=

A.X

n

£

AV.

es aproximadamente el volumen reque_ rido.

Volumen =

lím

n

:±)z

- g u ^ 2 ] AXÍ

(f (x) 2 - g(x)2 )dx

=

II I

(4x-x2)dx = ~

ñ

0

9.

Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar, alrededor de la recta por la curva Solución:

x = y2 ,

Sea

el eje

x = 4 , x

la región limitada

y la recta

x = 4 .

f(y) = y2 f 2

x=y

x=4 -2 Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor de la

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Casa abierta al tiempo

121.

recta

x = 4 ,

de altura

se produce un disco de radio

h = Ay.

y volúmenes de los

r = 4-f(£.) , A .V = 11(4-(5 .) )2 Ay

y por tanto de volumen

"n"-discos, correspondientes a los

n-rectangulos genéricos es:

I =l

A.V = I II(4-fUx )) 2 Ay x x i=i

Note la simetría de la parábola con respecto al eje

x .

Luego, el volumen pedido es :

V = lim I il(4-f(e i )) 2 Ay ± = 2 ||p| .|+0i=l

I

n(4-y 2 ) 2 dy

O

512 „

3

10. Calcule el volumen de la esfera generada al girar alrededor del diámetro, la región encerrada por la circunferencia

x 2 + y2 = r2

Como en el ejemplo anterior, dividamos el área mediante franjas horizontales,; cuando él rectán^ X'

gulo genérico de la figura gire alrededor del eje

y , se produ

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Casa abierta al tiempo

122.

ce un disco de radio

v = x , altura

h = Ay. y de volu

A.V = íl (x) 2 Ay . La suma de los volúmenes de los

men

n-discos, correspondientes a los n-rectángulos genéricos es: £ A .V = £ II x 2 Ay

y el volumen pedido es:

r

r 2 2

V = 2 f n(/P^y ) dy = 2 n í (r2-y2)dy o

o

11. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la región acotada por entre

x = 0

y

y = 1 + sen x , el eje

x ,

x = 211:

Solución: Y

Por el método de las capas ci^

2

lindricas (o concéntricas), y=l+senx n

211

tenemos que:

x 211

Volumen =

211 x ( l + s e n x) dx 0 2n

Volinnen =

2Ü

211 xdx + 0

0

= |2i[ y I

=

II x sen x dx

4II3 - 4n 2

+ 2 ü | - x eos x + sen x

unidades c ú b i c a s .

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TRABAJO:

12. Calcule el trabajo efectuado para estirar un resorte desde su longitud natural de 8 cm. hasta una longitud de 11 cm, si sabemos que 20Kg estira el resorte y cm. ¿ b Solución: Por definición, J f(x)dx = trabajo efectuado a por una función con fuerza continua f, al desplazar un obje^ to desde el punto

x = a

para encontrar la fuerza Hooke

f (x) = kx .

4 = 20 Así,

y

f(x) = 40x 3 W = / f (x)dx = 0

hasta el punto f(x) ,

Sustituimos

x = b .

Ahora,

de acuerdo a la ley de x0 = y

para

f (xo) = 20

k = 40 y el trabajo será 3 / 40xdx = 180 kg-cm. 0

13. Un tanque que tiene la forma de un cilindro circular recto de altura 4m y radio de la base 2m. se encuentra lleno de agua.

Calcule el trabajo efectuado al bombear toda el

agua del tanque hasta un nivel de 8 metros por encima de la parte superior del tanque. Solución: Sea

P

un partición del intervalo

[0>4]

P : yo = 0 < yi < y 2 < .. • < y n = 4 i

Sean

" 1 / 2 /---/n

Consideremos el i-ésimo disco de altura ±

Ay.

y volumen:

= ¡1(2)2 Ay ±

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124.

.*.

El trabajo realizado al bombear el agua de este disco

es:

w. = F. d.

,

donde

F. = 1000 Av. = fuerza necesa-

ria para levantar el i-ésimo disco, d. = 12-r . = distancia '

i

i

que se tiene que levantar el disco. .'. w ¿ = (1000n(4)Ayi)(12-C±) w ± = 400011(12-^)Ay± . *.

n I w. i=l

es aproximadamente el trabajo realizado al va-

ciar el tanque. Finalmente el trabajo será:

w =

4000n(12~y)dy = 16000JI

kq-m.

0 Otras aplicaciones.

14. Hallar el momento

Mx

respecto al eje

densidad constante 3 encerrada por para

x

y = 0

de una placa con ,

y = sen x

0^x^:1

Solución: Tenemos que la masa tomemos .* .

dm = p*dA = 3 sen < dx

.= y

Mx = i i y dm

(3 sen x) dx

Mx = 3 ¿

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125.

15. Encontrar el centro de masa de una barra de 2 metros de lar go si la densidad en un punto a quierdo de la barra es

x

metros del extremo iz-

p(x) , donde

p(x) = /x2+5

Solución: Colocamos la barra en el eje en el origen.

x

con su extremo izquierdo

Entonces

2 x/x2+5 dx

x =°

—

°

dx

(Si una barra de longitud

L m

0 tiene su extremo izquierdo en el origen y el número

p(x)

representa la densidad a

p

continua en

[0,L],

x

metros del origen, con

entonces el centro de masa de la barra

es:

L x p(x)dx Ó x

=

f I • p(x) d x

0 (2

2 2

Ahora

x/x^T5 dx = y ( x + 5 )

3/2

0

= ~ (27-5/5)

y

0 • x^+S" dx = 5 L[~ x/x*2T5 + i- ln (,^2 + 5 + x)J ] 2 2 0 = 3 + j ln 5

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126.

El centro de masa de la barra es : ¿ (27-5/5) x = -——= * 1.05 . 3 + | ln 5 16. Determine el momento de inercia de un disco delgado de ra dio

R

y masa

M

con respecto a uno de sus diámetros.

y,

Solución: La ecuación para un disco cir cular es

x2+y2= R2

. - . y = .+ . /R2-X2 Sean y arriba = /R2-x2 y abajo

= - /R2-x2

Podemos tomar una diferencial de volumen de la siguiente manera: dv = t(y arriba - y abajo)dx * Substituyendo en esta ecua ción las

y arriba y y abajo tenemos:

dv = 2t /R2-x2dx i donde

t = espersor del disco.

El momento de inercia está definido por: I = M— Í

rzdv

sobre el volumen completo

v

del cuerpo.

Entonces: T

=

2t /R2-x2dx

ü

Si el volumen del disco es

I =

M2 HR2t

v =

entonces:

= j 1IR

-R

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127.

17. Un punto se desplaza por una recta que será el eje de las y .

Su velocidad en el tiempo

ejemplo). tante

t

es

v(t)

(en m/seg. por

Encontrar el desplazamiento total desde el ins-

t = a

hasta el instante

t = 3 (a '

2/7

Lineales de ler. orden

9.

x

5x

+

(x+1)y = * 3

dx La ecuación

x 1

Sol:

Dividimos la ecuación por

x

*

es lineal de leré orderi,

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144.

El factor de integración es:

e

dx

x

7

Multiplicamos xe

,n x + ln x x = e = xe

1

por

xe

x dy , x . , . > x -^- + e (x+1) y = x 3e

Dx(xe y) = x 3 e

Integrando tenemos:

xe X y = I x 3 e x dx = e X (x 3 ~3x 2 +6x-6) + c + x2-3x+6 - — x

.*. 1y = — e x

10.

(x2+l) -^- + 4xy = x y = 1

si

Solución:

con la condición inicial

x = 2 . Dividimos la ecuación por

y

=

^TT

...

1

x 2 +l

y obtenemos:

(lineal 1? orden)

El factor de integración es :

J ^ + T d x = e2 In(x2+1) = eIn|(x2 + l ) 2 | ' = .(x,,+1) _2

eJ

Multiplicamos

1

por

(x 2 +l) 2 (x2+l) 4xy = (x2+l) x

j Q.X

Dx|(x ¿ +l) 2 y|

=

(xz+l) x .

Integrando tenemos

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145.

(x2+l)2y = ¡ (x3+x)dx = j c

1

solución general de la ecuación.

rxr

x2^

Para obtener la solución

particular que cumple las condiciones iniciales

y * 1,

x = 2 , sustituimos estos valores en la solución general:

fül\ lil 2 4

2

c = 19

Luego la solución particular es:

y

=

19 (x +l) 2

2 +

1 x1* x 2 ^ Tv2TiT2 1J + T i

11. xy 1 + y = 4x3 Solución:

Como

^— (xy) = xy 1 + y ,

^— (xy) = 4x3 .

xy

== J 4x 4x 3dx 3

tenemos

Integrando

= x"+c

(Bernoulli) y Otras:

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146.

12. y 1 + y - y 2 e x Solución:

La ecuación es una ecuación diferencial de BerPara resolverla, dividimos la ecuación por y 2 :

noulli.

. • . y

Sea

2

y ' + y

1

X

= e

— z = y l . Entonces:

dz —" -=— = - y 2 yf

Sustituimos en 1

dz , -=r— 4- z dx dz

x

= e

x - z=-e

n

....

2

que es una ecuación

diferencial lineal de ler. orden.

El factor de integración es:

i "** r~] y

eJ

=e

""X

multiplicando e

tenemos:

-x -x dz -5— ~ e z = - 1 dx

Dx|e

e

2 por e

z| = - 1 .

Integrando tenemos:

z = - x +c

x x z = - xe + ce Finalmente como

z = yL

,

tenemos:

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147.

xx -xe + ce 13. 2(u2 + uv)du + (u2 + v2)dv = O Solución:

Reagrupamos los términos de la siguiente forma:

2u 2 du + v 2 dv + (2uvdu + u2dv) = 0 Por inspección reconocemos que : diferencial de tegrables.

u2v

2uvdu + u2dv

es la

y que los términos restantes son in-

Por lo tanto, integrando la ecuación diferen-

cial; se obtiene que: 2 v3 3 j u + rr + u 2 v = c ,

o bien ,

2u 3 + v 3 + 3u2v = c?

14. (x2-y)dx - xdy = 0 Solución:

Reagrupando términos tenemos:

x 2 dx - ydx - xdy = 0 .'.

x 2 dx - (ydx + xdy) = 0

Integramos directamente, considerando que la diferencial de x3

ydx + xdy

es

yx :

- xy = c

x2 . c Y =3 t DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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148.

Ejercicios Propuestos

Resolver: 1.

(l+x3)dy - x 2 ydx = 0

con las condiciones iniciales x = 1 , y = 2 .

y 3 = 4(l+x 3 )).

(Sol.

2.a) ^§- + 25 = st 2 dt b) con las condiciones

(Sol. s(t) = ce ^ - 2t) 3 s(0) = 1

(c = 1) .

:L 3.

xdy + (2y-3)dx = 0

4.

|Z =

5.

(3x+l)dx + e X + Y dy = 0

X e

(Sol. |3-2y|

~y

2 = ex).

(Sol. y = ln(eX+c) ). (Sol. x+y = ln | 3x+4+ceX | )

r

1

dx

6.

ln x

-T—

x = —

/n i ln xN (Sol. y = c x ).

7.

(cos2e-sen28)dr + 2r sen9cos6d6 = 0 (Sol. r 2 = c eos 20 )

8.

ydx - xdy = y 2 dx + dy

con las condiciones

x=l , y=l . 1/2

(Sol. ye = (x+1) (1-y2) 9.

) .

x 2 (y 2 +l)dx + y/x3+l dy = 0 (Sol. 4/x^ + l + 3 In(y2 + 1) = c ).

10.

xy1 + y = (xy)3

11.

x y 1 - y = Sx¿ + y2

(Sol. (xy)" 2 - c-2x) . ( S o l . y + ¿ixX+^z = e x 2 )

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149.

x-tx2 tTxt2

12

.„ '

dx dt

13.

cot x - r ^ + y +

=

,_ , '

(So1

3 = 0

tx xe

=

ct)

'

(Sol. y = c eos x - 3) t

14.

e

X

(^

+ 1] = 1

; x(0) = 0

uu

1—e

15.

X ^ ^ dx = x+y

(Sol. x2-2xy - y ¿ =ii' c)

16.

x -r*- - 2y = x 2 + x dx

con

y = 1

si

x = 1

(Sol. y = x2(2+ln|x|)-x) 17.

p~ + 2y = e~ X x3 2 ^ dx + x-rír +l =

(Sol. y = (eX + c) e " 2 x ) con

1

o

(Sol. y = i x2(x2+l) - — 19.

j ^ - (tanx)y = sen x (Soi.

" 1 /2

17

(x2+l)2 + =4 (x:

con

y = 1

y = (5§n!i + eos 4 - SgnÜ)

si sec

x = 4

x . t

20.

a)

- ^ = 30 -

2lJo

(Sol.

b) Con las condiciones iniciales

y •= 2 0 0 ( 3 0 -

ce

y = 0 , t = 0

(y = 6000 (1 - e- t / 2 0 °) 21.

y1 + sen

X

22.

(a22+y 2 )dx + 2x/ax-x2 dy = 0

Y = sen — ^

(Sol. ln|tan ^| = c - 2 sen —

(Sol. y = a tan/ - - 1 ) . 23.

(x2y3+y+x-2)dx + (x3y2+x)dy = 0

sea ,

t = xy

(Sol. 3x2-12x + 2x 3 y 3 + 6xy = c) DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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150

24.

( y - ^ x ^ d y = - xy dx

(Sol.

25.

(2x-4y)dx + (x+y-3)dy = 0 (Sol.

x¿ = y" + cy 6 ) (y-2x+3)

3

= c(y-x+l) 2 )

26. y ' + y e o s x = sen x eos x : y(0) = 1 (Sol. y = 2 e " s e n 1 27. I

AC "f* Afí

AM = ——x

Encontrar un vector

v

ortogonal al vector

c = (-l#0/l)

Existe una infinidad de vectores que son ortogonales

a

C , procederemos a encontrar solamente uno de ellos el vector

v

tiene que ser de la forma

v = (Vi,v 2 ,v 3 ).

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161.

Por definición,

V

será ortogonal a

C

si y sólo si

OV = 0

Por lo que: C-V = (-1,0,1) (Vi,V2,V3) = 0 - Vi + 0V2 + V 3 = 0 V 3 = Vi Sea

Vi = 1

entonces

V3 = 1 y a V2

le podemos asignar cualquier valor, por ejemplo, 1 V = (1,1,1)

Ejemplo 3.

es un vector ortogonal al vector

de modo que

C .

Encontrar la ecuación del plano que pasa por los s.i

guientes tres puntos. (2,1,1),(3,-1,1),(4,1,-1) Solución:

Sean

Pi = (2,1,3), P 2 = (3,-1,1), P 3 = (4,1,-1).

buscaremos un vector

n

que sea perpendicular a

P1P2 y

P1P3.

P2-P1 = (3,-l,l)-(2,l,3) = (1,-2,-2) = PTP2 P3-PI

Sea

= (4,l,-l)t(2,l,3) = (2,0,-4) =

PTP3

n = (n

Se debe tener entonces que (nx,n2,n3)•(1,-2,-2) = 0 (nifn2/n3)•(2,0,-4)

= 0

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16 2

ni - 2 n 2 - 2 n 3 = O 2rii

- 4n3 = O

Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que m Hagamos

= 2n3

y

n

n;i =• 1 . Entonces

= -j (n¡ - 2:n3) ni = 2

y

n2 = 0

. Luego:

n = (2,0,1) y la ecuación del plano es : (x - Pi) • n = 0 (x-2,y-l,z-3) • (2,0,1) - 0 2x + z = 7

Ejemplo 4.

Encontrar un vector que sea perpendicular a

(1,2,-3) y a (2,-1,3). Solución: Sea

(x,y,z)

un vector que es perpendicular a (1,2,-3)

y

(2,-1, 3) . Entonces:

y

(x,y,z) • (1,2,-3) = 0



x+2y - 3z = ü

(x,y,z) • (2,-1, 3) = 0



2x-y + 3z = 0

(*)

sumando miembro a miembro ambas ecuaciones resulta: 3x 4- y = 0 3x = - v DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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16 3.

sea

y = 3

= > x = - 1

. *.

sustituyendo en (*)

- l + 6 - 3 z = 0 3z = 5

y

z = |

luego para este caso el vector buscado es

(-1, 3, ^) •

Cabe hacer notar que existe una infinidad de estos vectores aquí solo escogimos uno de ellos.

Ejemplo 5.

Sea

(1,1,-1,2)• pasa por a)

P

P

Sea

A

(1,-1,3,1)

el vector

X

sobre la recta

Q & X .

y

Q

el punto

(1,-3,2,1)y L la recta que

y que es paralela al vector

Dado un punto cia entre

el punto

A .

L ,

(Como una función

calcular la distan f

de un parámetro

t ) . b)

Demostrar que hay precisamente un punto

Xo

sobre la rec

ta, tal que esta distancia alcanza un mínimo y que este mínimo es igual a

/T5" c)

Demostrar que

Xo - Q

es perpendicular a la recta

L .

Solución: a)

La ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela al vector

A = (1,-3,2,1)

X(t) = (1,-1,3,1) + t (1,-3,2,1)

:

(1,-1,3,1) está dada por

teTR

= (t+1, -l-3t, 2t+3, t+1) DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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164.

La distancia de un punto cualquiera sobre la recta al punto 0(1,1,-1,2)

está dada por

f(t) = d(x(t),Q) = /(t+1-1) 2 + (-l-3t-l)2 + (3+2t+l)2 + (l+t-2)* = /t2+(-2-3t)2 + (4+2t)2 + = /15t2 + 26t + 21 Luego:

f(t) = /15t2 + 26t + 21

es la función

cia de cualquier punto sobre la recta al punto

que da la distan Q .

30t + 26 b)

f'(t) =

2/15t2 + 26t + 21

f • (t*) = O

* t r Ejercicio:



30t* + 26 = O

= - ü 15

pruebe que

Por lo tanto, cuando

f"(t*) > 0

t = t*

la función-distancia asume un va-

lor mínimo igual a :

El punto

XQ

sobre la recta tal que la distancia al punto

Q

es mínima :

x - r - M + i - i + Ü -26_+3 0 ~ *• TF 15 ' 15 X

. M + ii ' 15 '

2 8 19 _2_ , f ° " v 15- ' 5 ' T5 ' 15 J

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165.

c) C)

X - gO -

A

°

"

í - ±2- I

í

15 '

5 '

11

(X o - Q) - X ( t ) = [ - ± | = 0

Ejemplo 6.

_ 28 ,

15 '

f

15 -'

- , g

r

- J | J .

(t+l#

-3t-l,

2 t +3 ,

V teffi

La dirección y magnitud de una fuerza están dadas por

el vector

a = - i + 5j - 3k

.

Calcular el trabajo efectuado si

el punto de aplicación se mueve de

P(4,0,-7) a Q(2,4,0) .

Solución: El vector correspondiente a

PQ = (-2,4,7)

el vector correspondiente a

y

a = (-1,5,-3)

El trabajo efectuado será a«P~Q = 2 + 20 - 21 = 1

Ejemplo 7. y

Encuentre

b = 2ci + 3j + 4k

C

tal que los vectores

ii = 3i - j + ck

sean ortogonales

Solución: Si los vectores son ortogonales, entonces: a»É> = 0

,

es decir

(3r-l,c)•(2c,3,4) = 0 6c - 3 + 4c = 0 10c - 3 = 0 c - 3/10

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166 .

Ejemplo 8. Encontrar los cosenos directores de P(7,-2,4) y

PQ

donde

0(3,2,-1)

Solución: Sea

a

el vector asociado a

Los cosenos directores de

entonces

a = (-4,4,-5)

están definidos como

, eos 6 = -~ 2

eos a = — —

donde

a

PQ ,

| |a| | = /16+16+25 + /§7

f

y

eos y = — ~

a = (a

por lo tanto: -4

4

-5

eos a = y^-y , eos 3 = f?rj , eos y =

Ejercicios Propuestos

1.

Encuentre un vector que tenga la misma dirección que (-6,3,0)

y

(a)

el doble de su magnitud;

(b)

la mitad

de su magnitud. Solución: a) 2.

(-12,6,0)

Demuestre que P1,P2,...,P no coordenado.

;

b) (-3, | , 0)

I P.P. - + P P 2 es el vector cero, donde n i=l x 1 + x son puntos coordenados arbitrarios en un pía Ilustrar este hecho para

n = 3,4,5,6 .

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16 7.

3.

Demuestre gráficamente que ¿Bajo que condiciones

4.

Dados los vectores

| |a+b| |