PI, Pitágoras y Excel Índice PI, Pitágoras y Excel .......................................................................................... 1 Índice .............................................................................................................. 1 1.- Introducción ............................................................................................... 2 1.1.- Objetivo............................................................................................... 2 1.2.- Cálculo de PI....................................................................................... 2 1.3.- Método probabilístico .......................................................................... 2 2.- Cálculo....................................................................................................... 4 2.1.- Estrategia del cálculo .......................................................................... 4 3.- Implementación ......................................................................................... 5 3.1.- Pasos a realizar para calcular el valor de PI ....................................... 5 3.2.- Gráfico ................................................................................................ 6 4.- Bibliografía................................................................................................. 9
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1.- Introducción 1.1.- Objetivo En este manual aprenderás a: • Utilizar la función ALEATORIO • Utilizar la función RAIZ • Utilizar la función SI • Utilizar la función ABS • Exponenciación • Realizar un gráfico • Teorema de Pitágoras • Método para calcular el número PI
1.2.- Cálculo de PI Actualmente existen muchos algoritmos para conseguir el valor de PI con algunos de sus infinitos decimales, como son: Algoritmo John Wallis • Algoritmo Gottfried Wilhem von Leibniz • Método de Georges Luis Leclerc Buffon • Aguja de Buffon • Método probabilístico En este manual utilizaremos el método probabilístico •
1.3.- Método probabilístico Imaginemos un cuadrado de lado 2, dentro del cual aleatoriamente vamos poniendo puntos.
Este cuadrado lo divimos en dos partes iguales
¿cual es la probabilidad de que un punto elegido al azar caiga en la parte verde? ... la contestación es 0,5
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...y si dividimos la parte verde en 2 partes iguales, ¿cual sería la probabilidad de que un punto estuviera en la parte verde?
la contestación es 0,25 Generalizando, podríamos decir que la probabilidad de que un punto esté en una zona delimitada por un cuadrado es el cociente del área de la zona delimitada entre el área del área del cuadrado La siguiente pregunta se resume en: Si incluimos una circunferencia al cuadrado original...
¿cual es la probabilidad de que un punto este dentro de la circunferencia?
( )
l área círculo πr 2 π 2 Pr obabilidad = = 2 = área cuadrado l l2
2
=
πl 2 4l
2
=
π 4
Es decir; si averiguamos el valor de la probabilidad podremos obtener PI.
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2.- Cálculo 2.1.- Estrategia del cálculo La manera de calcular PI consiste en calcular la probabilidad realizando un gran número de pruebas. Las preguntas que nos surgen son: 1.- ¿Cómo generar puntos aleatorios? Con la función aleatorio podemos definir la coordenada x y la coordenada y que definen un punto. 2.- ¿Cómo sabemos si el punto está dentro del círculo o no? Lo sabremos si calculamos la distancia entre el punto generado al azar y el punto (1,1) que es el centro del círculo. Si la distancia es mayor que 1, indica que esta fuera del círculo de radio 1. 3.- ¿Cómo calculamos la distancia de un punto?: Pitágoras nos dice que:
a2 = b2 + c2
Con lo que si queremos calcular la distancia entre el punto P1 y P2 lo que debemos hacer es:
a2 = b2 + c2 → a 2 = ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) → a = 2
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2
( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) 2
2
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3.- Implementación 3.1.- Pasos a realizar para calcular el valor de PI En la fila 6 pondremos la cabecera y realizaremos el cálculo de PI con 3000 puntos escogidos aleatoriamente Columna A: Cabecera: Paso Indica en qué numero de prueba nos encontramos En la fila 7 pondremos un contador desde 1 hasta llegar a 3000 Columna B y C: Cabecera: X, Y Indica la posición de los puntos respecto del eje horizontal (x) y del eje vertical(y) Pondremos la siguiente formula: =ALEATORIO()*2 La función ALEATORIO devuelve un número entre 0 y 1, que al multiplicarlo por 2 dará un valor entre 0 y 2; con esto conseguimos crear puntos aleatorios que estén dentro del cuadrado Columna D: Cabecera: Dist Es la distancia respecto del punto central de la circunferencia Para calcular la distancia recordamos la fórmula que debemos aplicar:
a=
( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) 2
2
=RAIZ((ABS(Bxi-1)^2)+(ABS(Cx-1)^2)), donde x es la fila En esta fórmula asumimos que el punto x2, y2 es el punto central del círculo, es decir, el punto (1,1) Columna E: Cabecera: Dentro Indica con un 1 si el punto definido en la columna B y C está dentro del círculo o no =SI(DxGráfico... 2.- Elegir el del tipo Dispersión
3.- Pulsar Siguiente 4.- Poner en rango de datos: =pi!$A$6:$A$3006:pi!$G$6:$G$3006: 5.- Indicar Series en Columnas 6.- Pulsar Siguiente
7.- Pulsar Siguiente 8.- Pulsar Finalizar
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Para ajustar y ver mejor la tendencia del gráfico vamos a convertir el eje x a escala logarítmica. Para ello debemos: 1.- Pulsar sobre el eje de las x 2.- Botón de la derecha del ratón 3.- Opción de “Formato de Ejes”
4.- Ir a la pestaña de Escala 5.- Marcar Escala logarítmica
Adicionalmente ponemos un eje con el valor 3,141592 que nos señala el punto PI: Doble click sobre el eje de la y, en la pestaña Escala poner el valor cruza en:
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El gráfico resultante que nos queda es el siguiente:
Ten en cuenta que los valores son aleatorios; por lo tanto el gráfico no tiene por que ser exactamente igual al que se muestra