SEMANA 14

PRISMAS Y PIRÁMIDE 1.

3.

Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.

A) 10 D) 12

B) 20 E) 18

Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m.

A) 64m2 C) 16 m2 E) 84m2

C) 30

B) 32 m2 D) 128 m2

RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Sea “n” el número de lados de la base del prisma: C: Números de caras del prima V: Número de vértices A: Número de aristas

→

Piden:C = n + 2 Dato:V + A = 50 2 n + 3 n = 50 n = 10 C = 10 + 2 = 12

RPTA.: D 2.

Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864 m2 m2 m2 m2

A) 2 592 B) 2 590 C) 3 024 D) 2592

3 m2

Piden: AL = Perímetro(BASE) × h Dato:

AL =

( 8 ) ( 8 ) = 64 m2

RPTA.: A 4.

Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.

E) 2 488 2 m2

A) 3 D) 6

B) 4 E) 8

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Piden: V = A '(BASE) a Dato: AL = 864 Perimetro(BASE) × a = 864 a =12 V = 6 (12 )

→

2

V = 2 592

3 × (12 ) 4 3 RPTA.: D

Piden: “n” AiT 3 Dato: = Ai L 2

C) 5

6.

  m  2  n  a  + an ( a)  3  2  =  2 2

→

m+a 3 = a 2 3a = 2m + 2 a a=2m

⇒

m ∢ AOB = 90° =

→

n=4

Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82.

A) 4 000 C) 4 424 E) 4 864 360º n

B) 4 224 D) 4 624

RESOLUCIÓN

RPTA.: B 5.

Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45°. Si el área de la superficie lateral del sólido es 16 2 m2 , calcule su volumen.

A) 1m3

B) 2m3

C) 2 π m3

D)

Piden: A T = 2 ( ab + bc + ac ) ………..(I) Dato: d = 50 ……………………………(II) a + b +c = 82………………………..(III) Elevamos (III)2

(a + b + c)

3 m3

2

= ( 82 )

2

a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac ) = ( 82 )

E) 8 2 m3

(50 )

2

+ A T = ( 82 )

A T = ( 82 ) − (50 ) 2

RESOLUCIÓN

2

2

2

A T = 4 224

RPTA.: B 7. a 2

Calcule el volumen de un prisma regular octagonal, sabiendo que el área de una de sus caras laterales es 50 y el apotema de su base mide 4.

A) 500 D) 800

a 2

B) 600 E) 900

RESOLUCIÓN

(

Piden: V = a2 a 2

)

Dato: AL = 16 2

(

)

4 a a 2 = 16 2 →

a=2 V = 22 2 2 = 8 2 m3

( )

RPTA.: E

C) 700

 a× 4  Piden: V = 8   ×h  2  V = 16 ah …………………………………..(I) Dato: Área de una cara = 50

ah =50 En (I) V = 16(50) = 800

RPTA.: D 8.

El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular cuadrangular, es una región cuadrada inscrita en una circunferencia cuyo radio mide 2 . Calcular el volumen del prisma.

A)

1 2

D) 2 2

2 2

B)

C) 2

E) 4

RESOLUCIÓN

r = 2

2

( )

Piden: V = a2 h ……………………..(I) →

Dato: r = 2 h=2 4a=2→ a=

1 2 2

1 En (I) V =   2 1 V= 2

(2 )

RPTA.: A 9.

La base de un prisma recto es una región limitada por un rombo de área 6 m2 ; las áreas de las secciones diagonales son iguales a 18m2 y 24 m2 . Calcule el volumen del prisma.

A) 20 m3 D) 30 m3

B) 22 m3 E) 36 m3

C) 25m3

RESOLUCIÓN 11. d2

Calcule el volumen de tetraedro regular de arista 6

A) 2 3

B)

6

D) 2 6

E)

5

C)

un

3

d1

Piden: V = ( 6 ) × h …………………..(I)

RESOLUCIÓN

Dato: Área(BASE) =

d1 × d2 = 6 → d1 × d2 = 12 2

Dato:

6

d1 (h) = 18 d2 (h) = 24

x

d1 × d2 (h) = 18 × 24 2

12h2 = 18 ( 24 )

→

6

 1 Piden: V =  × 3 

h=6 En (I) V = ( 6 ) ( 6 ) = 36 m3

RPTA.: E 10.

Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de 24 3 de área. La altura del prisma mide 8 3 y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base.

A) 300 D) 382

B) 384 E) 381

( 6)

  × h  ….(I)  

EN LA BASE: R 3 = 6 →

R = 2

TEOREMA DE PITÁGORAS: h2 =

( 6) − ( 2) 2

→

h=2 En (I)  16 3 V=  × 2  3  4 

→

V= 3

C) 328

2

RPTA.: C 12.

8 3

Calcule el volumen de un octaedro regular de arista 2 2

A) 32 D)

Piden: A L = 6 b ( a) …………….…(I)

6 (b )

2

→

3

4

RESOLUCIÓN

Dato: A ( S.R ) = 24 3 =

2

3

4

b=4

Notable: a =16 En (I) AL = ( 6 ) (16 ) ( 4 ) = 384

RPTA.: B

32 3

B)

32 5

E) 18

C) 16

RESOLUCIÓN

 15  En (I) Vx = 2   = 10  3 

RPTA.: E 2 2

14.

2 2

( ) h  …………(I) Diagonal: 2h = ( 2 2 ) 2 1 Piden: V = 2  2 2 3

→

( ) C) 9 ( 3 − 2 ) E) 4 ( 3 − 2 )

2

(

B) 6 3 − 2

RESOLUCIÓN

)

2

 ×2 

RPTA.: D 13.

( ) D) 9 ( 3 − 3 2 )

A) 9 3 − 2 2

h=2

En (I) 1 V = 2 2 2 3 32 V= 3

En el interior y exterior de un cubo ABCD – EFGH, se ubican los punto M y N, de modo que: M – ABCD – N es un octaedro regular cuya área de su superficie es 18 3 ; calcule la diferencia de volúmenes del cubo y octaedro regular.

a 2

Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los centros de las caras de un prisma recto triangular de volumen 120 m3

A) D)

12 m3 4 m3

B) E)

6 m3

C) 5 m3

10 m3

RESOLUCIÓN →

→

Se observa: AC es diagonal del octaedro y diagonal del cuadrado ABCD. AM = AB = a  a2 3   = 18 3 Dato: 8   4   a=3 Piden: VCUBO − VOCTAEDRO =

(3)

3

1 3 2 2 − 2  (3) ×  3 2  

(

27 − 9 2 = 9 3 − 2

)

RPTA.: C 15.  Bh  Piden: Vx = 2   ………………….(I)  3  Dato: VPRISMA = 4B(2h) = 120

B h = 15

Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16.

A) 7 D) 14

B) 21 E) 16

C) 12

RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Sea: “n” el número de lados de la base de la pirámide. Piden: A =2 n ….....…………………(I) Dato: C + V = 16 n +1 + n + 1 = 16 n=7 En (I) A = 14

RPTA.: D 16.

Calcule el volumen de una pirámide regular cuadrangular si su apotema mide 5 y la apotema de la base mide 3

* *

A) 40 D) 60

B) 48 E) 50

C) 36

Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =? 4A: Ubicados en las caras del tetraedro. 4A: Ubicados en el interior del tetraedro. Dato: 4 ( 4A ) = 18

RESOLUCIÓN

8A = 9

RPTA.: B 18.

Pide: V = →

En una pirámide regular triangular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide 3 3 ; calcule su volumen.

A) 15 D) 75

(6 )2 × 4

B) 45 E) 80

C) 65

RESOLUCIÓN

3

V = 48

RPTA.: B 17.

Calcule el área total del sólido que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, sabiendo que el área total del tetraedro es 18.

A) 6 D) 18

B) 9 E) 4,5

3 3

C) 3 Piden: 1 3 2 V = (10 ) 3 3 4 V = 75

(

→

3

) RPTA.: D

19.

Se tiene un foco a 12 m. de altura con respecto al suelo. ¿A qué distancia del suelo se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm. por 4 cm. para que proyecte una sombra de 288 cm2 ?

A) 8 m D) 5 m

B) 6 m E) 2 m

C) 4 m

RESOLUCIÓN V

1

RESOLUCIÓN

1m M 2 Vx = 26 m

M 3

A

Dato: Volumen Pirámide= ( 6 ) m = k 3

Piden: x = ?

(12 − x ) 32 Propiedad: = 2 288 (12 )

2

(12 − x ) 4 = 12 12 →

x=8

RPTA.: A 20.

En una pirámide de vértice “V” y arista lateral VA se trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide que intersectan a VA en M y N (M en VN ). Calcule el volumen de sólido determinado por los planos en la pirámide, si el volumen de la pirámide es “K” y VM MN NA = = 1 2 3

A)

13 k 108

D) 2 k

13 k 54 k E) 2

B)

C) 6 k

Piden:  k  Vx = 26    216  13k Vx = 108

RPTA.: A