POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS OBJETIVOS

1

2

Conocer las características, fundamentos y particularidades que encierra el trazado de polígonos: triángulos, cuadriláteros y métodos generales de construcción.

1 FORMAS POLIGONALES

Según el numero de lados, los polígonos pueden clasificarse en: triángulos, cuadiláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos … Si un polígono tiene su lados iguales se dice que es equilátero y si tiene todos sus ángulos iguales equiángulo . El cumplimiento de ambas condiciones –ser equilátero y equiángulo– trae consigo la denominación de polígono regular. En los polígonos regulares y sólo en éstos, aparecen otros nuevos elementos: centro (punto interior que se encuentra a igual distancia de sus vértices); apotema (perpendicular trazada desde el centro a cualquiera de sus lados); radio (distancia del centro a cualquiera de sus vértices); y ángulo en el centro (aquel que forman dos apotemas o dos radios consecutivos). Si un polígono tiene sus vértices en una circunferencia se dice está inscrito en ella; y si sus lados son tangentes a la misma se dice está circunscrito a la circunferencia.

G on ag

dia

di

C

Isósceles

Escaleno

Rectángulo

a=b=c

a=b=c

a=b=c

© A = 90º

C

C

al

B

Equilátero

ap

e ot

m

n go

C

radio

a

C

C

Obtusángulo

C

© A > 90º

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

F

lado

α

A

c

c

B A

Ángulo exterior Ángulo interior

Triángulo

3

60°

180°

Cuadrado

4

90°

360°

Pentágono

5

108°

540°

Hexágono

6

120°

720°

Heptágono

7

128,6°

Octógono

8

135°

1.080°

Eneágono

9

140°

1.260°

Decágono

10

144°

1.440°

Undecágono

11

147,3°

1.620°

Dodecágono

12

150°

1.800°

n

siendo:

A

c

α α

Hb

A

c

B

na nc

Mb

Ma

hb ha A

O B

Hc 2.3.1

A 2.3.2

Alturas (ha , hb , hc ). Ortocentro (H). • Triángulo órtico (Ha Hb Hc ). •

Mediatrices (na , nb , nc ). Circuncentro (O). • Triángulo complementario (Ma Mb Mc ). • •

C

C

α α = 180° ( n – 2 ) / n

Tb

mc

Mb

G

ma A

Ma

• •

Ta

mb

2/3

va

I

vb

1/3

Mc 2.3.3

B

Mc

•

nα α

2.2 Clasificación y características.

B

nb

H

900°

…(* )

c

B A

2.2.2 En función de sus ángulos.

Ha

hc

Σαι

α

n-ágono

B

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS C

C

LADOS

POLÍGONO

c

B A

2.2.1 En función de sus lados.

E

D

(*) ..…

Oblicuángulos Acutángulo

al

2.2.1 En función de sus lados.

2 TRIÁNGULOS

Dividir, con precisión y soltura, la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales o, lo que es igual, inscribir polígonos regulares en una circunferencia.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A

Las figuras más sencillas, y fundamentales en la configuración de una forma, son los polígonos. La palabra polígono proviene del griego, poli (varios) y gono (ángulos). Se definen como figuras planas limitadas por una línea quebrada y cerrada. A cada segmento quebrado se le llama lado del polígono. Los vértices se designan con una letra mayúscula (A, B,C,…) siguiendo el orden alfabético. Otros elementos básicos son las diagonales (segmentos que unen dos vértices no consecutivos); ángulos interiores (los formados en el interior de un polígono entre dos lados adyacentes); ángulo exterior (el formado por un lado cualquiera y la prolongación de un lado adyacente); y perímetro (la suma de las longitudes de los lados).

3

Verificar la importancia que tiene la geometría de las formas poligonales para el estudio de la estructura interna de los objetos naturales o de los creados por el hombre.

vc B

Medianas (ma , mb , mc ). Baricentro o c.d.g. (G).

A

Tc

2.3.4

• •

B

Bisectrices (va , vb , vc ). Incentro ( I ).

• Equilátero: lados y ángulos iguales.

2.1 Definición y propiedades.

• Isósceles: dos lados y dos ángulos iguales.

El triángulo es el polígono de tres lados y, por tanto, el más sencillo de los polígonos que se pueden construir. En él podemos destacar las siguientes propiedades: • «La suma de los ángulos internos vale 180°».

Esto es:

©A + ©B + ©C = 180°.

• «Un lado de un triángulo es siempre menor

que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia». Así:

a < (b + c)

;

a > ( b - c ).

• «En un triángulo, a mayor lado se opone, siem-

pre, mayor ángulo».

2.3 Líneas y puntos notables.

• Escaleno: lados y ángulos distintos.

2.3.1 Alturas ( ha , hb , h c ) . 2.2.2 En función de sus ángulos. • Rectángulo: con un ángulo recto. El lado

opuesto a este ángulo se denomina hipotenusa y catetos a los otros dos. • Acutángulo: con los tres ángulos agudos. • Obtusángulo: con un ángulo obtuso.

2.2.3 En función de sus líneas. • Rectilíneo: con los tres lados líneas rectas. • Curvilíneo: con los tres lados líneas curvas. • Mixtilíneo: con dos lados líneas rectas y uno

curvo y viceversa.

Son las distancias de cada vértice ( A, B, C ) al lado opuesto. El punto común a las tres alturas se llama Ortocentro ( H ). Se denomina triángulo órtico al que tiene por vértices los pies Ha , H b ,H c de las alturas del triángulo considerado. 2.3.2 Mediatrices ( na , nb , nc ) . Son las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Las tres rectas se cortan en un mismo punto llamado Circuncentro (O ), que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. La unión de los puntos medios de los lados ( M a , M b , M c ) determinan el triángulo complementario del dado.

2.3.3 Medianas ( ma , mb , mc ) . Son las distancias de cada vértice ( A ,B ,C ) al punto medio del lado opuesto ( M a , M b , M c ) . El punto común se llama Baricentro ( G ) , centro de gravedad (c.d.g.) del triángulo, y dista de cada vértice las dos terceras partes de su longitud correspondiente. 2.3.4 Bisectrices ( va , vb , vc ) . Son las bisectrices de los ángulos del triángulo. Su punto común recibe el nombre de Incentro ( I ) ; esto es, el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (tangente a los lados en los puntos Ta ,Tb ,Tc ).

73

3 CUADRILÁTEROS CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS 3.1 Definición. El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados. Sin duda es uno de los polígonos que resulta más familiar. No obstante, no todos los cuadriláteros tienen la misma forma, y al igual que sucede con cualquier otra forma poligonal, pueden clasificarse en base a sus ángulos dos grandes grupos: los convexos y los cóncavos.

C

TRAPECIOS

D

TRAPEZOIDE

Convexo

B

C Rectángulo

• Convexo: Cuando el polígono está situado en

Cóncavo

A

uno de los semiplanos determinados por cualquiera de sus lados. En este caso los ángulos interiores son siempre menores de 180°.

Isósceles

Escaleno

PARALELOGRAMOS

D A

180°

• Cóncavo: Cuando considerando todas y ca-

da una de las rectas que componen sus lados, el polígono se encuentra en ambos semiplanos. En este caso existe siempre un ángulo mayor de 180°.

3.2 Propiedades fundamentales. • «La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°, esto es, a la suma de los ángulos de los dos triángulos en que se descompone». • «Todo cuadrilátero convexo que tenga dos ángulos opuestos suplementarios es inscribible en una circunferencia». En la figura α y β son ángulos inscritos, opuestos y suplementarios; verificándose que la suma de sus ángulos centrales es igual a 360°. • «En todo cuadrilátero circunscribible las sumas de los lados opuestos son iguales». Esto es: AB + CD = BC + AD

C

D

A + B + C + D = 360º A

α B

2β

D

2α

Cuadrilátero inscrito

3.3 Árbol genealógico del cuadrado.

α + β = 180º

β

Cuadrado

D

CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS

d

C

D

d

C

A Cuadrilátero circunscrito

En un trapecio, la paralela a un lado trazada desde un extremo de la base menor, lo descompone en un paralelogramo ADCE y un triángulo CEB que tiene como lados la diferencia de las bases y los lados no paralelos del trapecio.

a

AB + CD = BC + AD

c b c

B

A

C

b

E

B

3.4.1

D

C

3.4.2 Construcción de un trapecio conocidos sus lados paralelos y sus diagonales.

3.2 Propiedades de los cuadriláteros.

• Romboide: Tiene sus lados y ángulos opues-

• Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos. La unión

• Rombo: Cuenta con lados iguales y ángulos

de sus vértices determina su altura. les. Sus diagonales son iguales. • Escaleno: No posee ninguna característica

indicada en los dos anteriores.

74

3.3.3 Paralelogramos. Cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos.

3.3.2 Trapecios. Cuadriláteros que tienen, únicamente, dos lados opuestos paralelos llamados bases, siendo su altura la distancia entre ambos.

• Isósceles: Tiene los lados no paralelos igua-

3.4 Consideraciones geométricas para la construcción de cuadriláteros. 3.4.1 Construcción de un trapecio conocido los cuatro lados.

a

3.3 Clasificación y características. 3.3.1 Trapezoides. Cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Rombo

Triangulación de un cuadrilátero

Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene: (a + b) + (c + d) = (a + d) + (b + c)

Rectángulo

B

A

En efecto, los puntos de contacto dividen a cada lado en dos segmentos, siendo iguales los segmentos parciales concurrentes en un mismo vértice (sabido es que desde un punto exterior a una circunferencia los segmentos de tangente son iguales).

De lo que se deduce que ambos miembros de la igualdad valen a + b + c + d , que es, por consiguiente, la suma de dos lados opuestos del cuadrilátero.

Romboide

B

3.1 Cuadriláteros.

A

B

3.4.2

E

C

En general, para dibujar un cuadrilátero es aconsejable triangular el polígono y, así, su trazado se limita a dibujar los triángulos.

tos iguales entre sí. D

• Rectángulo: Lados opuestos iguales, ángulos

B

rectos y diagonales iguales. Es equiángulo. O

opuestos iguales dos a dos. Las diagonales son distintas y se cortan bajo 90°. Es equilátero. • Cuadrado: Paralelogramo de lados iguales y

ángulos rectos. Sus diagonales, iguales, se cortan bajo 90°. Es equilátero y equiángulo.

3.4.3

A

En un trapecio, si se traza una recta CE paralela a una diagonal desde el extremo de la base menor, se forma un triángulo CAE que tiene como lados la suma de las bases y las diagonales del trapecio.

3.4.3 El trapecio isósceles como cuadrilátero inscriptible en una circunferencia. El único tipo de trapecio que es inscriptible en una circunferencia es el isósceles . Lo que nos viene a decir que las mediatrices de los lados de todo trapecio isósceles, concurren en el centro de su circunferencia circunscrita.

4 TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA Conocer el trazado y características de los polígonos regulares tiene importancia no sólo en la resolución de problemas técnicos para piezas industriales, sino también como elemento auxiliar en la construcción y, por supuesto, en las artes plásticas, especialmente en las decorativas, donde los elementos ornamentales como lacerías, mosaicos, etc. se fundamentan en esquemas poligonales.

45°

O

Por ello, vamos a recordar cómo dividir la circunferencia en partes iguales con objeto de inscribir en ella polígonos regulares. Para su exposición seguiremos un orden fundamentado en el razonamiento lógico, la precisión y la dificultad del trazado. 4.1 División en 3, 6, 12, ... partes iguales. Transportando cuerdas iguales al radio de la circunferencia se obtienen los seis vértices del hexágono regular. Uniendo alternativamente, triángulos equiláteros .

4.1 Triángulo, hexágono y dodecágono regular.

4.2 Cuadrado y octógono regular.

Si se prolongan las apotemas del hexágono se obtienen, sobre la circunferencia, el resto de los vértices que definen el dodecágono regular .

l10

4.2 División en 4, 8, 16, ... partes iguales.

A

N

Los extremos de dos diámetros perpendiculares dibujan, sobre la circunferencia, un cuadrado inscrito.

l5

Sus bisectrices determinan otros cuatro puntos para inscribir el octógono regular . El trazado de nuevas bisectrices determina los polígonos de 16, 32, … lados.

l7

4.3 División en 7, 14, ... partes iguales. La mediatriz de un radio cualquiera (OR) determina, con la circunferencia, la magnitud MN que define el lado del heptágono regular . El transporte de esta magnitud ( l 7 ) , desde un punto cualquiera de la circunferencia a modo de cuerda, determina el polígono regular de siete lados. Como en construcciones anteriores, las apotemas (mediatrices de los lados) cortarán a la circunferencia en los puntos medios de los arcos; lo que define el polígono regular de 14 lados y, así, sucesivamente.

O

l9

C

l10

O

M

4.4 Pentágono y decágono regular.

A

1

La magnitud PO define el lado ( l 10 ) del decágono regular inscrito en la circunferencia.

A

2

1

C

l9

2

2

3

4.5 División en un nº cualquiera de partes iguales. ( PROCEDIMIENTO GENERAL)

4

- Ejemplo: División de la circunferencia en 9 partes.

5

- Paso 1.- Se comienza por dividir un diámetro de la circunferencia ( AB ) en el mismo número de partes iguales en que se desea dividir la circunferencia. En este caso, en 9 partes. Con centro en los extremos A y B , se trazan dos arcos, de radio AB, que se cortan en P.

P

R

4.3 Heptágono regular.

4.4 División en 5, 10, ... partes iguales. Con centro M , punto medio de un radio (obtenido en la construcción anterior), y radio MA se determina el punto P . La magnitud AP es el lado ( l 5 ) del pentágono regular inscrito.

M

6

O

7

P

O

8 9

El punto obtenido ( P ) se une con la marca o división segunda del diámetro, prolongando dicha recta hasta que corte a la circunferencia en el punto C. - Paso 2.- El segmento AC determina el lado del polígono solución, en este caso la magnitud ( l 9 ) del lado del eneágono regular .

B

4.5 Eneágono regular inscrito en la circunferencia.

B

75

5 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES DE LADO CONOCIDO

l5

DATO:

D D

5.1 Pentágono de lado conocido.

1

- Paso 1.- Se traza el segmento AB = l 5 (dato ) . Por el extremo A se traza un arco de radio AB, y una perpendicular que determina el punto N .

2

3

N

N

E

N

E

C

A continuación se dibuja la mediatriz ( m ) de AB, obteniendo su punto medio M . - Paso 2.- Con centro en M y radio MN se traza un arco que corta en P a la prolongación de AB . A continuación con centro en B y radio BP (diagonal del pentágono regular solución) se dibuja un arco que corta al anterior en E y a la mediatriz m en el punto D , ambos vértices del pentágono solución. - Paso 3.- Con centro en D y B y con radio AB se trazan dos arcos que se cortan en el punto C , último vértice del pentágono regular solución.

m M A

- Paso 1.- Se comienza por trazar una circunferencia de centro O y radio arbitrario. A continuación se divide la circunferencia en tantas partes iguales como lados tiene el polígono que se pretende dibujar; para ello se aplica el procedimiento general visto en el apartado 4.5.

- Paso 3.- La distancia OB = OA determina el radio de la circunferencia circunscrita al polígono buscado; transportando el lado dado se dibuja el undecágono deseado.

A

l 11

DATO:

1

l 11

2

M

Q

B

P

A

B

l 11

A

B Q

B

3

M

A

R

1

C

2 3 4

- Paso 2.- Una vez obtenido el lado MQ del undecágono inscrito en la circunferencia de radio arbitrario, se trata de definir el radio de la circunferencia concéntrica que ha de contener al polígono solución, semejante al trazado. Se trata pues, de encajar el segmento dado AB = l11 , en el ángulo central MOQ. Para ello, se traslada la magnitud l11 (dato) = MR sobre la recta MQ , a partir del punto M , y por R se traza la paralela al diámetro MN , que corta a la prolongación del radio OQ en el punto B , resultando encajado el segmento AB = l11 .

M P

B

5.1 Construcción de un pentágono regular.

5.2 N-ágono regular. ( MÉTODO GENERAL) - Ejemplo: Construcción del undecágono regular de lado conocido.

m

it arb

rari

5

o

6

O

P

O

O

7

D

8 9 10

N

5.2

11

N

E F

Construcción de un undecágono regular.

PENTÁGONO ESTRELLADO

HEPTÁGONO ESTRELLADO

OCTÓGONO ESTRELLADO

ENEÁGONO ESTRELLADO

6 POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS Partiendo de un polígono regular, y únicamente cambiando el orden de la unión de sus vértices, se construyen otros polígonos diferentes llamados estrellados o cóncavos, cuyos lados y ángulos son iguales. La alternancia en la unión de los vértices o lados no consecutivos es lo que se denomina paso de un polígono estrellado. El polígono se cierra en el mismo vértice que se comenzó: su trazado puede hacerse sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo, si partimos de un pentágono regular convexo y unimos sus vértices saltando de dos en dos (con paso 2), se obtiene una estrella pentagonal. En este tipo de polígonos cóncavos existen dos términos que identifican a cada forma estrellada: - El género: número de cuerdas utilizadas (igual al número de puntas o vértices). - La especie: número de vueltas completas para cerrar la forma (igual al paso).

76

5º género

2ª especie

7º género

2ª especie

8º género

3ª especie

9º género

4ª especie

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( I ) 1. Construye el TRIÁNGULO definido por sus lados a = 66 mm., b = 75 mm. y c = 60 mm. Dibuja su CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.

mm. y la altura ha = 54 mm. que parte del vértice desigual. Dibuja la CIRCUNFERENCIA INSCRITA al triángulo y las dos EXINSCRITAS de igual radio señalando, con toda precisión, los PUNTOS DE CONTACTO con las rectas que determinan los lados del triángulo.

nombre y apellidos

cuya suma de catetos b + c = 80 mm.

5. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC conocido el lado a = 70

nº

curso/grupo

fecha

mm. y las medianas mb = 75 mm. y mc = 50 mm. Recuerda la métrica que se establece en las medianas respecto al baricentro o c.d.g.

2

ISÓSCELES

DATOS:

p = a + b + c = MN = 160 mm. ;

ha = 54 mm.

a = 66 mm. ; b = 75 mm. ; c = 60 mm.

A

3

21

4. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 60 mm. y

ESCALENO DATOS:

3

3. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70 mm. y ©C = 60°. Utiliza el método del ARCO CAPAZ.

2. Construye el TRIÁNGULO ISÓSCELES conociendo su perímetro p =160

1

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

2

RECTÁNGULO

B

c

DATOS:

M

4

a = 70 mm. ©C = 60º

N

RECTÁNGULO

DATOS:

5

a = 60 mm. b + c = 80 mm.

ESCALENO DATOS:

a = 70 mm. mb = 75 mm. mc = 50 mm.

B

C

a B

b+c

B

C

a

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( I ) 1. Construye el TRIÁNGULO definido por sus lados a = 66 mm., b = 75 mm. y c = 60 mm. Dibuja su CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.

mm. y la altura ha = 54 mm. que parte del vértice desigual. Dibuja la CIRCUNFERENCIA INSCRITA al triángulo y las dos EXINSCRITAS de igual radio señalando, con toda precisión, los PUNTOS DE CONTACTO con las rectas que determinan los lados del triángulo.

nombre y apellidos

4. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 60 mm. y cuya suma de catetos b + c = 80 mm.

5. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC conocido el lado a = 70

nº

curso/grupo

fecha

mm. y las medianas mb = 75 mm. y mc = 50 mm. Recuerda la métrica que se establece en las medianas respecto al baricentro o c.d.g.

2

ESCALENO DATOS:

21

3

3. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70 mm. y ©C = 60°. Utiliza el método del ARCO CAPAZ.

2. Construye el TRIÁNGULO ISÓSCELES conociendo su perímetro p =160

1

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

2

ISÓSCELES

DATOS:

p = a + b + c = MN = 160 mm. ;

ha = 54 mm.

a = 66 mm. ; b = 75 mm. ; c = 60 mm.

AO = ha

C

En el ¬ MBA: MB = BA A

S2

S3

ha b

a

O

S1

A A

3

B B

c

RECTÁNGULO

DATOS:

M

B

=

4

a = 70 mm. ©C = 60º

RECTÁNGULO

DATOS:

O

N

C

5

a = 60 mm. b + c = 80 mm.

=

ESCALENO DATOS:

a = 70 mm. mb = 75 mm.

A

mc = 50 mm.

o

ca

z pa

de

90 °

=

A G: Baricentro o Centro de gravedad del triángulo.

Ar

c

C1

Mc

Mb

a

C2

b1

a

C C

mc

O

3)

60° B B

(2 /

G

b2

(2 / 3)

a

=

mb

A / 2 = 45° A2

b+c DOS SOLUCIONES

A1

B

B

C

a

VERIFICACIONES 1. Construir el TRIÁNGULO definido por los lados a = 55 mm., c = 64 mm. y ©C = 60º.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO DATOS:

a = 55 mm. c = 64 mm. ©C = 60°

A

B

c

2. Dibujar el TRIÁNGULO ISÓSCELES de perímetro p = 155 mm. y ©B = ©C = 75º.

TRIÁNGULO ISÓSCELES DATOS:

p = 155 mm. ©B = ©C = 75°

p=a+b+c

78

VERIFICACIONES 1. Construir el el TRIÁNGULO TRIÁNGULOdefinido definidopor porlos loslados ladosa = a 55 = 55 mm., mm.,c =c64 = 64 mm. mm. y ©C y ©C = 60º. = 60º.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO ACUTÁNGULO DATOS:

a = 55 mm. c = 64 mm. C

55

° 60

Arc oc ap az

de

©C = 60°

b

a O

A A

c

B B

cMC

C = 60°

2. Dibujar el TRIÁNGULO TRIÁNGULO ISÓSCELES ISÓSCELES dede perímetro perímetro pp = 155 = 155 mm. mm.y y ©B ©B = ©C = ©C = 75º. = 75º.

TRIÁNGULO ISÓSCELES TRIÁNGULO ISÓSCELES p = 155 mm. ; ©B = ©C = 75° DATOS: DATOS:

A

p = 155 mm. ©B = ©C = 75°

37° 30’

37° 30’

75°

B/2 = 37° 30’

B/2 = 37° 30’

M

M

N B

C

p=a+b+c

78

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( II ) 1. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, sabiendo que su perímetro es p = 110mm. y su ©B = 60°. a = 70 mm., la altura ha = 50 mm. y la mediana ma = 55 mm. que parten del mismo vértice A.

3. Construye el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70

1

RECTÁNGULO

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

DATOS:

nombre y apellidos

5. Construye el TRIÁNGULO ABC, dado el lado c = 65 mm. y la situanº

ción exacta de su BARICENTRO G. Dibuja su TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO y la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al primero.

p = a + b + c = 110 mm.

2

; © B = 60°

ESCALENO

DATOS:

curso/grupo

fecha

a = 70 mm. ; ha = 50 mm. ; ma = 55 mm.

B

RECTÁNGULO

DATOS:

a = 70 mm. b - c = 18 mm.

22

ha = 55 mm. y hb = 50 mm. Traza su TRIÁNGULO ÓRTICO.

C

p

3

3

mm. y diferencia de catetos ( b - c ) = 18 mm.

4. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo a = 60 mm.,

2. Construye el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo el lado

2

a

4

ESCALENO

DATOS:

5

a = 60 mm. ha = 55 mm. hb = 50 mm.

ESCALENO

DATOS:

c = AB = 65 mm. G = Baricentro (c.d.g.)

G

C

B

C

a

A

B

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( II ) 1. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, sabiendo que su perímetro es p = 110mm. y su ©B = 60°. a = 70 mm., la altura ha = 50 mm. y la mediana ma = 55 mm. que parten del mismo vértice A.

3. Construye el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70

1

RECTÁNGULO

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS nombre y apellidos

ha = 55 mm. y hb = 50 mm. Traza su TRIÁNGULO ÓRTICO.

5. Construye el TRIÁNGULO ABC, dado el lado c = 65 mm. y la situanº

ción exacta de su BARICENTRO G. Dibuja su TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO y la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al primero.

p = a + b + c = 110 mm.

DATOS:

3

mm. y diferencia de catetos ( b - c ) = 18 mm.

4. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo a = 60 mm.,

2. Construye el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo el lado

22

2

2

; © B = 60°

ESCALENO

curso/grupo

fecha

a = 70 mm. ; ha = 50 mm. ; ma = 55 mm.

DATOS:

A2

A1

C

30°

A/2 = 45°

RECTÁNGULO

DATOS:

B B

B

p

a

4

a = 70 mm. b - c = 18 mm.

ESCALENO

DATOS:

5

a = 60 mm. ha = 55 mm. hb = 50 mm.

C C

Ma

a

ESCALENO

A

c = AB = 65 mm. G = Baricentro (c.d.g.)

DATOS:

GMc = 1/3 mc

;

GC = 2/3 mc C

Hb

a

ha

Arco capaz de 90°

med

h

b

iana

B

a

3

B/2 = 30°

60° A

ha

m

a

45°

Mb

Hc

c

Ma

b O H

45° C C

b-c

c

A

B B

me

Ma Ha

a

G G

a

C C

A

=

c

Mc

dia

na

=

b ¬Ha Hb Hc órtico del ¬ABC

¬ Ma Mb Mc complementario del ¬ ABC

B

VERIFICACIONES 1. Construir el TRIÁNGULO ABC, rectángulo en A, dado el lado AB = c = 40 mm. y la mediana ma = 35 mm.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DATOS:

2. Construir el TRIÁNGULO ESCALENO ABC , dada la altura ha = 35 mm., la mediana ma = 44 mm. y el radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.

TRIÁNGULO ESCALENO

AB = c = 40 mm. ma = 35 mm.

DATOS:

ha = 35 mm. ma = 44 mm. r = 30 mm.

p

ha

A

A

B

c

80

q

VERIFICACIONES 1. Construir el TRIÁNGULO TRIÁNGULOABC, ABCrectángulo , rectánguloenenA,Adado , dado el el lado lado ABAB = c==c 40 = 40 mm. mm. y la y = 35 35 mm. mediana la mediana mam a = mm.

2. Construir el TRIÁNGULO TRIÁNGULO ESCALENO ESCALENOABC ABC, , dada dadala laaltura altura hhaa==35 35mm., mm., la la mediana 44mm. mm.yyelelradio radiode delalacircunferencia circunferenciacircunscrita circunscrita r =r 30 = 30 mm. mm. m maa== 44

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DATOS:

TRIÁNGULO ESCALENO

AB = c = 40 mm. ma = 35 mm.

DATOS:

ha = 35 mm. ma = 44 mm. r = 30 mm.

C

ê

na

A

p

r

A

Ma

p

ma

Mc

= A

ha

ma

nc

A

O

ha

ê

ma

B

q

Ma B

C

=

q

B

a

c

COMENTARIO - El punto Ma de la hipotenusa a (desconocida) se proyecta sobre el cateto AB = c en su punto medio Mc .

COMENTARIO - Se trazan dos rectas paralelas p y q distantes ha.

- Por ello, Ma se encontrará en el punto intersección de la mediatriz de AB ( nc ) y la mediana ma.

- A continuación, desde un punto A, de una de ellas, se traza el arco de radio ma que corta a la recta q en Ma (punto medio del lado BC por definir).

- Una vez determinado el punto Ma , se une con B prolongando la recta hasta cortar en el punto C al cateto perpendicular al AB.

- Con centro en A y radio r se obtiene el centro O de la circunferencia circunscrita, situado en la mediatriz del lado a que nace en Ma. - La intersección de la circunferencia circunscrita con la recta q, determina los otros dos vértices B y C del triángulo solución.

80

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

Construye, dejando patentes los TRAZADOS AUXILIARES correspondientes, los siguientes CUADRILÁTEROS:

1. CUADRADO, dada la magnitud de la diagonal d = 50 mm.

5. TRAPECIO ISÓSCELES, conociendo la diagonal d, la diferencia entre

2. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la diagonal d. 3. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la suma de la diagonal y el otro lado paralelo ( b + d ).

4. ROMBO, dada la distancia h entre lados opuestos y la diagonal mayor d1.

1

CUADRADO

DATOS:

2

d = 50 mm.

nombre y apellidos

sus bases ( a - b) y el ángulo en A. El ejercicio se resuelve aplicando la primera consideración geométrica vista en la teoría.

6. PARALELOGRAMO ROMBOIDE, de base 44 mm. y diagonales de

nº

valores 60 y 70 mm. Para resolver el ejercicio, debes de tener en cuenta la segunda de las consideraciones geométricas vistas en la parte teórica de esta lección.

RECTÁNGULO

DATOS:

3

a = 40 mm. d = 65 mm.

curso/grupo

RECTÁNGULO

fecha

a = 50 mm. DATOS: b + d = 88 mm.

D

C

a

d

A

A

B

a

4

ROMBO

DATOS:

h = 35 mm. d1 = 70 mm.

5

TRAPECIO ISÓSCELES

DATOS:

A

b+d

6

d = 70 mm. a - b = 24 mm.

ROMBOIDE

DATOS:

a = 44 mm. d1 = 60 mm. d2 = 70 mm.

© A = 75°

75°

A

h

A

A

a-b

B

a

2 3

23

1

CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

Construye, dejando patentes los TRAZADOS AUXILIARES correspondientes, los siguientes CUADRILÁTEROS:

1. CUADRADO, dada la magnitud de la diagonal d = 50 mm.

5. TRAPECIO ISÓSCELES, conociendo la diagonal d, la diferencia entre

2. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la diagonal d. 3. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la suma de la diagonal y el otro lado paralelo ( b + d ).

4. ROMBO, dada la distancia h entre lados opuestos y la diagonal mayor d1.

1

CUADRADO

DATOS:

2

d = 50 mm.

6. PARALELOGRAMO ROMBOIDE, de base 44 mm. y diagonales de

nº

valores 60 y 70 mm. Para resolver el ejercicio, debes de tener en cuenta la segunda de las consideraciones geométricas vistas en la parte teórica de esta lección.

DATOS:

D

D

3

a = 40 mm. d = 65 mm.

C

3

23

nombre y apellidos

sus bases ( a - b) y el ángulo en A. El ejercicio se resuelve aplicando la primera consideración geométrica vista en la teoría.

RECTÁNGULO

2

curso/grupo

RECTÁNGULO

D

fecha

a = 50 mm. DATOS: b + d = 88 mm.

C

α

b

d

C

d

a

d

A O

A

B

α

B

A

a

B

b

E

d

b+d b+d

ROMBO

DATOS:

h = 35 mm. d1 = 70 mm.

5

TRAPECIO ISÓSCELES

DATOS:

6

d = 70 mm. a - b = 24 mm.

ROMBOIDE

DATOS:

a = 44 mm. d1 = 60 mm. d2 = 70 mm.

© A = 75°

C

b D

C

a

C

1

D d

d1

D

d2

4

d B

75°

A

h

A

a-b

A’

B

a

A

B

a

E

a

VERIFICACIONES 1. Construir un PARALELOGRAMO RECTÁNGULO conocida su diagonal d = 65 mm. y la suma de sus lados: a + b = 90 mm.

PARALELOGRAMO RECTÁNGULO

DATOS:

d = 65 mm.

2. Construir un TRAPECIO, conocidos sus lados paralelos a y b y el valor de los otros dos c y d. Aplicar la CONSIDERACIÓN GEOMÉTRICA del apartado teórico 3.4.1.

TRAPECIO ESCALENO

a + b = 90 mm.

DATOS:

Bases: a = 55 mm. y b = 35 mm. Lados: c = 40 mm. y d = 50 mm.

A

a+b

82

B

a

VERIFICACIONES 1. Construir un PARALELOGRAMO PARALELOGRAMO RECTÁNGULO RECTÁNGULOconocida conocidasusudiagonal diagonaldd= =6565mm. mm.y y lala suma suma dede sussus lados: lados: a +ab+=b90 = 90 mm. mm.

PARALELOGRAMO RECTÁNGULO

DATOS:

2. 2. Construir Construirun unTRAPECIO, TRAPECIO, conocidos conocidossus suslados ladosparalelos paralelosaayybbyyel elvalor valorde delos losotros otrosdos dos cc yy d. d. Aplicar Aplicarla laCONSIDERACIÓN CONSIDERACIÓN GEOMÉTRICA GEOMÉTRICAdel delapartado apartadoteórico teórico 3.4.1. 3.4 .1.

TRAPECIO ESCALENO

d = 65 mm.

DATOS:

a + b = 90 mm.

A2

Bases: a = 55 mm. y b = 35 mm. Lados: c = 40 mm. y d = 50 mm.

D2

b

65 D

d

A1

C

D1

d

d

50

40

d

c

B / 2 = 45° E

B1

B2

a+b

82

C

A

B

a-b a

1

MESA DE PING - PONG Las ilustraciones muestran las dimensiones de una MESA REGLAMENTARIA DE PING-PONG, plegable mediante barras articuladas en los puntos A, B, C, D y sus simétricos.

Para facilitar la posición de los datos, se dan situados algunos de ellos. Tan solo debes continuar razonando y dibujando el resto de las posiciones que conforman la representación. Deja constancia de las construcciones auxiliares.

15 2

25

En posición DESPLEGADA las CUATRO PATAS de las esquinas deben quedar VERTICALES, y en posición PLEGADA, la DISTANCIA entre los semiplanos verticales de los tableros debe de ser de 12 cm., la ANCHURA entre extremos de patas plegadas 50 cm. y la ALTURA total 180 cm., quedando la barra AD en posición vertical.

A la vista de las DIMENSIONES ACOTADAS, representa gráficamente, a escala 1 / 10, la POSICIÓN del NUDO o ARTICULACIÓN A (magnitudes x, z ) y la POSICIÓN que adoptan las BARRAS cuando la mesa se encuentra DESPLEGADA y PLEGADA.

24

2

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

3

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

12

27 4

76

C

SOLUCIÓN X=

cm.

Z=

cm.

25

B C A

X

D

25

z

180

MESA DE PING-PONG DESPLEGADA

25 50

B

C’

12

180

C D

76

D B

A

z

25

X

76

D’

PLEGADO DE LA MESA

e = 1 / 10

1

MESA DE PING - PONG Las ilustraciones muestran las dimensiones de una MESA REGLAMENTARIA DE PING-PONG, plegable mediante barras articuladas en los puntos A, B, C, D y sus simétricos. En posición DESPLEGADA las CUATRO PATAS de las esquinas deben quedar VERTICALES, y en posición PLEGADA, la DISTANCIA entre los semiplanos verticales de los tableros debe de ser de 12 cm., la ANCHURA entre extremos de patas plegadas 50 cm. y la ALTURA total 180 cm., quedando la barra AD en posición vertical.

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

A la vista de las DIMENSIONES ACOTADAS, representa gráficamente, a escala 1 / 10, la POSICIÓN del NUDO o ARTICULACIÓN A (magnitudes x, z ) y la POSICIÓN que adoptan las BARRAS cuando la mesa se encuentra DESPLEGADA y PLEGADA.

24

2 3

nombre y apellidos

Para facilitar la posición de los datos, se dan situados algunos de ellos. Tan solo debes continuar razonando y dibujando el resto de las posiciones que conforman la representación. Deja constancia de las construcciones auxiliares.

nº

curso/grupo

fecha

15 2

N

27 4

15 2

25 25

50 12

76

76

27 4

51

C

76

C

SOLUCIÓN

25

B

XX==

38 cm.cm.

ZZ==

cm. 12,5 cm.

C A 2 D 5

z C

MESA DE PING-PONG DESPLEGADA X

180 - 76 - 25 = 79

B

25

X

D

z

25

50

MESA DE PING-PONG DESPLEGADA

274 / 2 = 137

A

180

180

C

D C’1

180

12

N’1

´ DD to en m

51

eg ls

76

M

N’

D’1

de

33

D

D

C’ C’

iz

z

B’

tr

B

T’1

α α

El punto o articulación B queda definido por la diferencia de cotas entre la altura total del punto N (180 cm.) y la altura del tablero cuando la mesa está abierta (76DE cm.). que dimensiona a la barra BC con 79 cm. (180 - 76 - 25). PLEGADO LA Lo MESA La articulación en A se encontrará en un punto de la barra vertical que arranca de D y encuentra a la mediatriz del segmento DD´, y que es el centro de giro que lleva el punto D (cuando la mesa está plegada) a D´ (con la mesa abierta). Obsérvese, asimismo, cómo la barra DA resulta ser la mediatriz del segmento que une la articulación B con su posición B´ (mesa desplegada).

D’

43

76

Se comienza por situar, de acuerdo a las dimensiones acotadas en el enunciado, la posición del semitablero de la mesa (NM) y la situación de la articulación C en posición vertical (cerrada) ; así como su posición horizontal (desplegada): el A con la articulación en D´. semitablero M´N´ y la Xpata C´T´ z

25

PLEGADO DE LA MESA

A C

76

180

X

T

B

ia

B

B

ed

12

M’

M

D

Mediatriz del segmento BB´

D

50

M’1

COMENTARIO

25 25

79

A 12,5 T’

38

e = 1 / 10

VERIFICACIONES 1. Reproducir, a escala natural, la TETERA del modelo que muestra su vista FRONTAL.

2. Construir, dejando patentes los trazados auxiliares correspondientes, un PARALELOGRAMO, dados sus lados a y b, y la DIFERENCIA de sus ÁNGULOS.

ROMBOIDE

a = 50 mm. b = 60 mm.

DATOS:

14

α - β = 30°

45°

30° 60°

1

14

30 TETERA

A

B

a

e :1/1

84

VERIFICACIONES 1. Reproducir, Reproducir, aa escala escala natural, natural,la laTETERA TETERA del del modelo modeloque quemuestra muestrasu suvista vista FRONTAL. FRONTAL.

2. Construir, Construir, dejando dejando patentes patenteslos lostrazados trazadosauxiliares auxiliarescorrespondientes, correspondientes, unun PARALELOPARALEGRAMO, LOGRAMO, dados dados sus sus lados lados a y b, a yy b, la DIFERENCIA y la DIFERENCIA de susde ÁNGULOS. sus ÁNGULOS.

ROMBOIDE

a = 50 mm. b = 60 mm.

DATOS:

14

α - β = 30°

45°

30° 60°

a

D

C

1

14

30 TETERA

b

b

α = 105°

β = 75°

A

B

a

DESARROLLO Se verifica que:

α + β = 180° α - β = 30° 2α

= 210°

105° + β = 180°

e :1/1

84

α = 105° β = 75°

1

GÉNESIS Y GEOMETRÍA DE FORMAS POLIGONALES 1. Las figuras representan la perspectiva y el esquema de una SILLA 2. Una relación métrica entre PENTÁGONO y DECÁGONO REGULARES ARTICULADA en los puntos A, B y O, compuesta por listoncillos de madera. Abierta y apoyada en el suelo, el ASIENTO (AB) con una profundidad de 40 cm. queda en posición horizontal y la DISTANCIA (CD) entre las bases de las patas es de 50 cm. Asimismo, las PATAS AC y BD poseen una magnitud de 70 cm. y 80 cm. respectivamente.

origina la composición del esquema adjunto. Traza la figura descrita, sabiendo que el LADO de ambos polígonos es 25 mm.

SILLA ARTICULADA

Dibujar, sobre la misma figura, los OCTÓGONOS REGULARES que verifican, respectivamente: - Que los vértices del cuadrado sean también vértices del OCTÓGONO. - Que todos sus VÉRTICES estén situados en los lados del cuadrado.

AB = 40 cm. ; CD = 50 cm.

DATOS:

nombre y apellidos

3. Dado un cuadrado de centro O y lado 40 2 mm., se pide:

Dibuja, a escala 1 / 10, el ESQUEMA DE LA SILLA, indicando la POSICIÓN del punto O donde deben articularse las patas.

1

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

nº

curso/grupo

fecha

2

AC = 70 cm. ; BD = 80 cm.

A

B A

O

PERSPECTIVA

ESQUEMA DE ANÁLISIS

C

D

B

ESQUEMA

A

3

O

D

C 50

e: 1/10

B

2 3

25

1

GÉNESIS Y GEOMETRÍA DE FORMAS POLIGONALES 1. Las figuras representan la perspectiva y el esquema de una SILLA 2. Una relación métrica entre PENTÁGONO y DECÁGONO REGULARES ARTICULADA en los puntos A, B y O, compuesta por listoncillos de madera. Abierta y apoyada en el suelo, el ASIENTO (AB) con una profundidad de 40 cm. queda en posición horizontal y la DISTANCIA (CD) entre las bases de las patas es de 50 cm. Asimismo, las PATAS AC y BD poseen una magnitud de 70 cm. y 80 cm. respectivamente.

origina la composición del esquema adjunto. Traza la figura descrita, sabiendo que el LADO de ambos polígonos es 25 mm.

SILLA ARTICULADA

Dibujar, sobre la misma figura, los OCTÓGONOS REGULARES que verifican, respectivamente: - Que los vértices del cuadrado sean también vértices del OCTÓGONO. - Que todos sus VÉRTICES estén situados en los lados del cuadrado.

25

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

2

AB = 40 cm. ; CD = 50 cm.

DATOS:

3

3. Dado un cuadrado de centro O y lado 40 2 mm., se pide:

Dibuja, a escala 1 / 10, el ESQUEMA DE LA SILLA, indicando la POSICIÓN del punto O donde deben articularse las patas.

1

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

2

AC = 70 cm. ; BD = 80 cm.

A

B

D A

O

ESQUEMA DE ANÁLISIS

C

D

B

C

E

PERSPECTIVA

ESQUEMA

AA

40

B

A

3

BB

G 40 2

70

C D

O

40

80

45°

F

O O

H C

D 50

D

DESARROLLO DE LA CONSTRUCCIÓN

40

COMENTARIO

E 40

C

e: 1/10

- El cuadrilátero ABDC50 es un trapecio escaleno del que se conocen sus dos diagonales (AC y BD) y la magnitud de los lados paralelos ( AB y CD ). - Se comienza por construir el ¬ BDE de lados dados. - Por B se traza una paralela al plano del suelo (CD) y se lleva la dimensión AB, o bien la e: 1/10 paralela a BE, por C (AC). Los vértices A, B, C y D determinan el cuadrilátero. - El punto O (articulación de las patas), se encuentra en la intersección de las diagonales.

B A

E

- La circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD (de lado 40 2 mm.) también lo es del octógono solución, cuyos vértices alternos son los del cuadrado. Éstos quedan situados en la intersección con los otros dos ejes de simetría del cuadrado. - El giro de 45°, respecto al centro O, sitúa al cuadrado base ABCD en la posición EFGH. La intersección de ambos determina el octógono pedido (circunscrito a la circunferencia de diámetro el lado del cuadrado).

VERIFICACIONES 1. Sobre una MESA DE BILLAR CIRCULAR de diámetro 80 cm., se sitúa una bola a 25 cm. de su centro. Dibujar, a escala 1/10, la TRAYECTORIA DE LA BOLA para que, sin pasar por el centro O de la mesa, después de CINCO REBOTES en la banda circular, vuelva a pasar por la POSICIÓN INICIAL.

O

e: 1/10

2. Construir uno de los POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS, inscritos en las CIRCUNFERENCIAS dadas, seleccionando entre los que se relacionan: - ENEÁGONOS de pasos (especies): p = 2 ó p = 4. - DECÁGONO de paso (especie):

p = 3.

- DODECÁGONO de paso (especie): p = 5.

86

VERIFICACIONES 1. Sobre una MESA MESA DE DEBILLAR BILLARCIRCULAR CIRCULAR dede diámetro diámetro 8080 cm., cm., se se sitúa sitúa una una bola bola a 25 a 25 cm.cm. de de su su centro. centro. Dibujar, Dibujar, a escala a escala 1/10, 1/10, la TRAYECTORIA la TRAYECTORIA DE LA DEBOLA LA BOLA para que, sin para que, pasar sin pasar por elpor centro el centro O de O la de mesa, la mesa, después después de CINCO de CINCO REBOTES REBOTES en la banda en la banda circular,circular, vuelva vuelva a pasarapor pasar la POSICIÓN por la POSICIÓN INICIAL.INICIAL.

O O

α P

CONSTRUCCIÓN β

La trayectoria de la bola será la que marca un pentágono regular estrellado.

P

Respecto a la normal a la circunferencia, el ángulo de incidencia ( α ) de la bola sobre la banda ha de ser igual al ángulo de reflexión ( β ). Como punto (P) de partida puede considerarse cualquiera de los pertenecientes a la circunferencia concéntrica a la banda circular de la mesa, de radio OP.

e: 1/10

2. Construir uno de los los POLÍGONOS POLÍGONOSREGULARES REGULARES ESTRELLADOS, ESTRELLADOS, inscritos inscritos en las en CIRCUNFERENCIAS las CIRCUNFERENCIAS dadas, dadas seleccionando seleccionando entreentre los que los se que relacionan: se relacionan: - ENEÁGONOS ENEÁGONOS de depasos pasos(especies): (especies): pp= =2 2 ó ó p p= =4.4. - DECÁGONO DECÁGONO de depaso paso(especie): (especie):

pp= =3.3.

- DODECÁGONO DODECÁGONO de depaso paso(especie): (especie): pp= =5.5.

ENEÁGONO p = 2

86

ENEÁGONO p = 4

DECÁGONO p = 3

DODECÁGONO p = 5

1

LACERÍA ESTILO ÁRABE El motivo decorativo que se acompaña es una representación parcial de una LACERÍA de ESTILO ÁRABE. Su geometría nace del ROSETÓN central con simetría radial (6 ejes), constituída por dos HEXÁGONOS REGULARES, homotéticos y concéntricos. El mayor contiene a los centros de las circunferencias tangentes entre sí y entrelazadas que conforman un nuevo HEXÁGONO DE LADOS CURVOS, muy propio de la decoración arquitectónica árabe. El HEXÁGONO CONCÉNTRICO y semejante al mayor es la parte común de dos triángulos equiláteros idénticos enfrentados, que dibujan una ESTRELLA HEXAGONAL. La prolongación de los encintados triangulares dan continuidad a una lacería de gran belleza y fácil análisis compositivo, que se conjugan en las esquinas con otros hexágonos estrellados y entrelazados más pequeños. La ANCHURA del cinteado es CONSTANTE e igual a la distancia entre lados semejantes de los hexágonos convexos, base central del dibujo. Se trata de que reproduzcas, con toda precisión y a ESCALA NATURAL, el dibujo de CINTEADOS que conforman el ROSETÓN CENTRAL, delimitado por el HEXÁGONO REGULAR CURVILÍNEO. DATOS: lado del hexágono mayor 45 mm. y anchura de la cinta 5 mm.

45

5

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

2 3

26

1

LACERÍA ESTILO ÁRABE El motivo decorativo que se acompaña es una representación parcial de una LACERÍA de ESTILO ÁRABE. Su geometría nace del ROSETÓN central con simetría radial (6 ejes), constituída por dos HEXÁGONOS REGULARES, homotéticos y concéntricos. El mayor contiene a los centros de las circunferencias tangentes entre sí y entrelazadas que conforman un nuevo HEXÁGONO DE LADOS CURVOS, muy propio de la decoración arquitectónica árabe. El HEXÁGONO CONCÉNTRICO y semejante al mayor es la parte común de dos triángulos equiláteros idénticos enfrentados, que dibujan una ESTRELLA HEXAGONAL. La prolongación de los encintados triangulares dan continuidad a una lacería de gran belleza y fácil análisis compositivo, que se conjugan en las esquinas con otros hexágonos estrellados y entrelazados más pequeños. La ANCHURA del cinteado es CONSTANTE e igual a la distancia entre lados semejantes de los hexágonos convexos, base central del dibujo. Se trata de que reproduzcas, con toda precisión y a ESCALA NATURAL, el dibujo de CINTEADOS que conforman el ROSETÓN CENTRAL, delimitado por el HEXÁGONO REGULAR CURVILÍNEO. DATOS: lado del hexágono mayor 45 mm. y anchura de la cinta 5 mm.

45

5

GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

2 3

26