Capítulo 8

POLÍGONOS

8.2.1 – 8.2.2

Después de estudiar los triángulos y los cuadriláteros, los alumnos ahora amplían su estudio a todos los polígonos, con particular atención a los polígonos regulares, que son equiláteros y equiangulares. Empleando el hecho de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de 180°, los alumnos aprenden un método para determinar la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono. Luego, exploran la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono. Por último, usan la información acerca de los ángulos de los polígonos junto con sus herramientas de triángulos para calcular las medidas de los ángulos y las áreas de polígonos regulares. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.2.2 y 8.4.1.

Ejemplo 1

4x + 7º 3x + 1º

La figura de la derecha es un hexágono. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un hexágono? Explica cómo lo sabes. Luego, escribe una ecuación y resuelve x. Una forma de calcular la suma de los ángulos interiores del hexágono es dividir el polígono en triángulos. Una forma de dividir el hexágono en triángulos es dibujar todas las diagonales desde un único vértice, como se muestra a la derecha. Al hacerlo, se forman cuatro triángulos, cada uno con medidas de ángulos que suman 180°.

x + 1º

2x

3x – 5º 5x – 4º

9

11

8 6

12

10 7 4 1

5 3 2

m∠1+ m∠2 + m∠3 + m∠5 + m∠6 + m∠8 + m∠9 + m∠11+ m∠12    + m∠4    + m∠7    + m∠10    180°

180°

180°

180°

= 4(180°) = 720° Nota: es posible que los alumnos adviertan que el número de triángulos dibujados desde un único vértice siempre es dos menos que el número de lados. Este ejemplo ilustra por qué la suma de los ángulos interiores de un polígono puede calcularse usando la fórmula de la suma de los ángulos interiores = 180º(n – 2), donde n es el número de lados del polígono. Ahora, usando la suma de los ángulos, escribe una ecuación y resuelve x. (3x + 1º) + (4x + 7º) + (x + 1º) + (3x – 5º) + (5x – 4º) + (2x) = 720º 18x = 720º x = 40º 90

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Ejemplo 2 Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es de 2340°, ¿cuántos lados tiene el polígono? Usa la fórmula “suma de los ángulos interiores = 180º (n – 2)” para escribir una ecuación y resolver n. La solución se muestra a la derecha.

180º(n – 2) = 2340º 180ºn – 360º = 2340º 180ºn = 2700º n = 15

Como n = 15, el polígono tiene 15 lados. Es importante notar que si la respuesta no es un número entero, se cometió un error o no existe un polígono cuyos ángulos interiores sumen la medida dada. Como la respuesta es el número de lados, la respuesta solo puede ser un número entero. Los polígonos no pueden tener “7.2” lados.

Ejemplo 3 ¿Cuál es la medida de un ángulo exterior de un decágono regular? Un decágono es un polígono con 10 lados. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier polígono, uno en cada vértice, siempre es de 360°, independientemente de cuántos lados tenga el polígono. En este caso, los 10 ángulos exteriores son congruentes, dado que el decágono es regular. Por lo tanto, cada ángulo mide 360° 10 = 36° .

Ejemplo 4 Un dodecágono regular (polígono de 12 lados) tiene una longitud de lado de 8 cm. ¿Cuál es su área? Imagina dividir el dodecágono en 12 triángulos congruentes, que salen desde el centro, como se muestra a la derecha. Si calculamos el área de uno de los triángulos, luego podemos multiplicarla por 12 para obtener el área de toda la figura. 8

Uno de los triángulos está ampliado a la derecha. El triángulo es isósceles, entonces, si se dibuja un segmento desde el ángulo del vértice que sea perpendicular a la base, se obtiene la altura. Como el triángulo es isósceles, la altura biseca la base. Calcula la suma de todos los ángulos interiores del dodecágono usando la siguiente fórmula (180°)(12 – 2) = 1800°. Guía para padres con práctica adicional

h

4

75° 75° 4

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91

Capítulo 8

tan 75° =

Como se trata de un dodecágono regular, todos los ángulos interiores son congruentes, de modo que cada ángulo mide 1800° ÷ 12 = 150°. Los segmentos que salen desde el centro forman triángulos isósceles congruentes, entonces los ángulos de la base de cada triángulo miden 75° (la mitad del ángulo de 150º, como se muestra en el diagrama de la página anterior). Usa la trigonometría para calcular el valor de h como se muestra a la derecha. Es mejor usar un valor no redondeado de h para calcular el área y luego redondear la respuesta adecuadamente al finalizar los cálculos.

h 4

h = 4 tan 75° h ≈ 14.928 cm

A ≈ 12 (8 cm)(14.928 cm) ≈ 59.713 cm 2

Por lo tanto, el área de uno de estos triángulos es:

Multiplica el área de un triángulo por 12 para obtener el área de todo el dodecágono. A ≈ 12(59.713 cm) ≈ 716.55, o alrededor de 717 cm2

Problemas Calcula las medidas de los ángulos de cada problema de abajo. 1.

La suma de los ángulos interiores de un heptágono (7-ágono).

2.

La suma de los ángulos interiores de un octágono (8-ágono).

3.

El tamaño de cada ángulo interior de un dodecágono (12-ágono) regular.

4.

El tamaño de cada ángulo interior de un 15-ágono regular.

5.

El tamaño de cada ángulo exterior de un 17-ágono regular.

6.

El tamaño de cada ángulo exterior de un 21-ágono regular.

Resuelve x en cada una de las siguientes figuras. 7.

5x 3x

3x 4x

8.

4x 2x

3x 3x

9. x

1.5x

0.5x 1.5x

x

10.

5x 5x

3x

4x 2x

4x

Completa cada uno de los siguientes problemas. 11.

4 º. ¿Cuántos lados tiene este n-ágono? Cada ángulo exterior de un n-ágono regular mide 16 11

12.

Cada ángulo exterior de un n-ágono regular mide 13 13 º. ¿Cuántos lados tiene este n-ágono?

13.

Cada ángulo interior de un n-ágono regular mide 156°. ¿Cuántos lados tiene este n-ágono?

14.

Cada ángulo interior de un n-ágono regular mide 165.6°. ¿Cuántos lados tiene este n-ágono?

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15.

¿Cuál es el área de un pentágono regular con longitud de lado de 8.0 cm?

16.

Calcula el área de un hexágono regular con longitud de lado de 10 pies.

17.

Calcula el área de un octágono regular con longitud de lado de 12.0 m.

18.

¿Cuál es el área de un decágono regular con longitud de lado de 14.0 plg?

19.

Usando el pentágono de la derecha, escribe una ecuación y resuelve x.

20.

3x + 6º x – 1º

¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 14 lados?

5x + 1º 6x + 3º

21.

¿Cuál es la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de 16 lados?

22.

¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un decágono (10-ágono)?

23.

Cada ángulo exterior de un polígono regular mide 22.5°. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

24.

¿Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 3060°? Si así fuera, ¿cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no.

25.

¿Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 1350°? Si así fuera, ¿cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no.

26.

¿Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 4410°? Si así fuera, ¿cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no.

27.

En la figura de la derecha, ABCDE es un pentágono regular. ¿ EB es || a DF ? Justifica tu respuesta.

28.

¿Cuál es el área de un pentágono regular con una longitud de lado de 10 unidades?

29.

¿Cuál es el área de un 15-ágono regular con una longitud de lado de 5 unidades?

Guía para padres con práctica adicional

4x – 2º

A B

E

72°

D

C

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F

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Capítulo 8

Respuestas 1.

900º

2.

1080º

3.

150º

4.

156º

5.

≈ 21.2º

6.

≈ 17.1º

7.

x = 24º

8.

x = 30º

9.

x ≈ 98.2º

10.

x ≈ 31.3º

11.

22 lados

12.

27 lados

13.

15 lados

14.

25 lados

15.

≈ 110.1 cm2

16.

≈ 259.8 ft2

17.

≈ 695.3 m2

18.

≈ 1508.1 plg2

19.

19x + 7º = 540º; x ≈ 28.1º

20.

2160°

21.

157.5°

22.

360°

23.

16 lados

24.

19 lados

25.

No. El resultado no es un número entero.

26.

No. El resultado no es un número entero.

27.

Sí. Como ABCDE es un pentágono regular, la medida de cada ángulo interior es de 108°. Por lo tanto, m∠DCB = 108°. Como ∠DCB y ∠FCB son suplementarios, m∠FCB = 72°. Entonces, EB es || a DF porque los ángulos alternos internos ∠FCB y ∠EBC son congruentes.

28.

≈ 172.0 unidades2

29.

≈ 441.1 unidades2

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RAZONES DE ÁREAS DE FIGURAS SEMEJANTES

8.3.1 – 8.3.2

En esta sección, los alumnos vuelven a ver el tema de la semejanza para explorar qué sucede con el área de una figura si se la reduce o se la amplía. En el Capítulo 2, los alumnos aprendieron acerca de la razón de semejanza, también denominada “factor de escala”. Si dos figuras semejantes tienen una razón de semejanza de ba , entonces la 2 razón de sus perímetros también es ba , mientras que la razón de sus áreas es a2 . b

Ejemplo 1 Los polígonos P y Q de la derecha son semejantes. 3

a.

6

3

7

P

¿Cuál es la razón de semejanza? 5

Q

4

b.

¿Cuál es el perímetro del polígono P?

c.

Usa tus dos respuestas anteriores para calcular el perímetro del polígono Q.

d.

Si el área del polígono P es de 20 unidades cuadradas, ¿cuál es el área del polígono Q?

La razón de semejanza es la razón de las longitudes de dos lados correspondientes. En este caso, usa el lado P que corresponde al lado de Q que está marcado con su longitud. La razón de semejanza es 73 . Para calcular el perímetro de la figura P, suma todas las longitudes de lado: 3 + 6 + 4 + 5 + 3 = 21. Si la razón de semejanza de los dos polígonos es 73 entonces la razón de sus perímetros es también 73 .

Si la razón de semejanza es 2 9 . las áreas es 73 = 49

( )

3 7

, entonces la razón de

perímetro P perímetro Q

=

3 7

21 Q

=

3 7

3Q = 147 perímetro Q = 49 unidades área P área Q

=

( 73 )2

20 Q

=

9 49

9Q = 980 área Q ≈ 108.89 unidades cuadradas

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Capítulo 8

Ejemplo 2 Dos rectángulos son semejantes. Si el área de un rectángulo es de 49 unidades cuadradas, y el área del otro rectángulo es de 256 unidades cuadradas, ¿cuál es la razón de semejanza entre estos dos rectángulos? 2

Como los rectángulos son semejantes, la razón de sus áreas es a2 b y la razón de semejanza es ba . Usando las áreas dadas, la razón de 49 . Entonces, podemos escribir: sus áreas es 256 La razón de semejanza entre los dos rectángulos es

7 16

a2 b2

=

a b

=

49 256 49 256

=

49 256

7 = 16

.

Problemas 1.

Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de 54 , y el perímetro de la figura A es de 18 unidades, ¿cuál es el perímetro de la figura B?

2.

Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de figura A es de 13 unidades cuadradas, ¿cuál es el área de la figura B?

3.

Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de 6, es decir, 6 a 1, y el perímetro de la figura A es de 54 unidades, ¿cuál es el perímetro de la figura B?

4.

Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus perímetros es razón de semejanza?

5.

Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus áreas es de semejanza?

6.

23 Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus perímetros es 11 , ¿ello significa que el perímetro de la figura A es de 23 unidades y el perímetro de la figura B es de 11 unidades? Explica.

32 9

1 8

17 6

, y el área de la

, ¿cuál es su

, ¿cuál es su razón

Respuestas 832 unidades2

1.

14.4 unidades

2.

4.

17 6

5.

6.

No, solo nos informa la razón. La Figura A podría tener un perímetro de 46 unidades mientras que la figura B, un perímetro de 22 unidades.

96

32 9

=

4 2 3

≈

3.

9 unidades

5.66 3

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CÍRCULOS, ARCOS Y SECTORES

8.4.1 – 8.4.3

Al explorar las áreas de polígonos con muchos lados, los alumnos visualizan que a medida que el número de lados de un polígono regular aumenta mucho, el polígono va asemejándose a un círculo. Los alumnos extienden lo que saben acerca de los perímetros y las áreas de los polígonos a los círculos, y hallan las relaciones para la circunferencia (C) y el área (A) de los círculos. C = πd o C = 2πr

r d

A = πr2

En las fórmulas anteriores, “d” es el diámetro, y “r” es el radio del círculo. La constante π es, por definición, la razón circunferencia diámetro , y siempre tiene el mismo valor para todo círculo de cualquier tamaño. Usando estas fórmulas, junto con las razones, los alumnos pueden calcular los perímetros y las áreas de figuras que contienen partes de círculos. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.4.2 y 8.4.3.

Ejemplo 1 El círculo de la derecha tiene un radio de 8 cm. ¿Cuáles son la circunferencia y el área del círculo? Usando las fórmulas:

C = 2πr = 2π(8.0) = 16π ≈ 50.3 cm

8.0

A = πr2 = π(8.0)2 = 64π ≈ 201.1 cm2

Ejemplo 2 Hermione tiene un pequeño espacio en el lote de la esquina que quisiera convertir en un patio, como se muestra en el diagrama de la derecha. Para ello, quiere hacer dos cosas. Primero, quiere poner un borde decorativo en la parte curva. Segundo, luego de colocar el borde, tendrá que comprar hormigón para cubrir el patio. El borde se vende por pie. El hormigón se vende en bolsas. Cada bolsa cubre 2.5 pies cuadrados con la profundidad requerida de cuatro pulgadas.

patio

borde

10 pies 40° 10 pies O

¿Cuánto borde y cuánto hormigón deberá comprar Hermione? Guía para padres con práctica adicional

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Capítulo 8

El borde es una porción de la circunferencia de un círculo con el centro en el punto O y un radio de 10 pies. El hormigón cubrirá una porción del área del círculo. La fracción exacta del círculo usada para el patio puede determinarse mirando la medida del ángulo central. Como el ángulo 40° = 1 del círculo. Si central mide 40°, y un círculo completo tiene 360°, esta porción es 360° 9 hallamos la circunferencia y el área de todo el círculo, podemos tomar 19 de cada una de esas medidas para calcular la cantidad de borde y de hormigón que necesita Hermione. C= = =

( (

)

1 2π r 9 1 2 ⋅ π ⋅10 9 20π ≈ 6.98 9

A = 19 π r 2

)

= 19 ⋅ π ⋅ (10 )

pies

= 1009 π ≈ 34.91 pies cuadrados

2

Hermione deberá comprar 7 pies de borde y 14 bolsas de hormigón (34.91 ÷ 2.5 ≈ 13.96 bolsas) porque el hormigón se vende en bolsas enteras solamente.

Ejemplo 3 El perro de Rubeus, Fluffy, está atado a un costado de su casa, en el punto X, como se muestra en el diagrama de la derecha. Si la soga de Fluffy tiene 18 pies de largo, ¿cuál es el área que Fluffy tiene para correr?

X 20 pies

15 pies

Casa de Rubeus

20 pies

Como Fluffy está atado a un punto con una soga, solo puede ir hasta donde llega la soga. Suponiendo que no hay obstáculos, esta área sería circular. Sin embargo, debido a que Fluffy está bloqueado por la casa, el área será solo una porción de un círculo. Fluffy puede moverse 18 pies hacia la izquierda y la derecha del punto X. Esta área inicial es un semicírculo. Sin embargo, hacia la derecha del punto X, la soga dobla por la esquina de la casa, lo cual agrega algo más de área para Fluffy. Este pedazo más pequeño es un cuarto de círculo con un radio de 3 pies. Semicírculo:

A= =

1 π r2 2 18 2 π 2 324 π 2

= = 162π ≈ 508.94

18 pies

20 pies

Casa de Rubeus

15 pies 20 pies

Un cuarto de círculo: A = 14 π r 2 =

32 π 4 9π 4

= ≈ 7.07

Fluffy tiene un total de 508.94 + 7.07 ≈ 516 pies cuadrados donde correr. 98

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Problemas Calcula el área del sector sombreado de cada círculo de abajo. En todos los casos, el punto O es el centro. 1.

2. 7 O

120º O

45º 4

3.

4.

O 11

O 6 30º

5.

¿Cuál es la longitud de arco del sector sombrado del problema 1?

6.

¿Cuál es la longitud de arco del sector sombrado del problema 2?

7.

¿Cuál es la longitud de arco del sector sombrado del problema 3?

8.

¿Cuál es la longitud de arco del sector sombrado del problema 4? M

9.

La región sombreada de la figura se denomina segmento del círculo. Puede calcularse restando el área de ∆MIL del área del sector MIL. Calcula el área del segmento sombreado del círculo I.

2 I

L

10.

¿Cuál es el área de un jardín circular con un diámetro de 30 pies? Escribe tu respuesta en forma exacta.

11.

Si un círculo está inscrito en un cuadrado cuya diagonal tiene una longitud de 8 pies, ¿cuál es el área del círculo? Escribe tu respuesta en forma exacta.

12.

El área de un sector de 60° de un círculo es 10π m2. Halla el radio del círculo. Escribe tu respuesta en forma exacta.

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Capítulo 8

13.

El área de un sector de un círculo con un radio de 5 mm es 10π mm2. Halla la medida de su ángulo central.

14.

Kennedy y Tess están construyendo una pista de carrera para sus caballos. La pista encierra un terreno que es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Una valla debe rodear este terreno. ¿Cuántos metros de valla necesitarán Kennedy y Tess? Redondea tu respuesta adecuadamente dada la precisión de la medición.

15.

1408 m 302 m

Rubeus ha llevado a su perro Fluffy a una esquina de su granero, porque quiere que tenga más lugar para correr. Si ata a Fluffy en el punto X del granero con una soga de 20 pies, ¿cuál será el área que Fluffy tendrá para explorar? Redondea tu respuesta adecuadamente dada la precisión de la medición.

22 pies

X

granero

15 pies

11 pies

Respuestas 1.

2π ≈ 6.28 unidades2

2.

49 3

π ≈ 51.31 unidades2

3.

363π 4

6.

14 π 3

9.

π – 2 ≈ 1.14 unidades2

10.

225π pies2

12.

2 15 m

13.

144°

14.

2816 + 302π ≈ 3765 metros de valla

15.

200π + 100π +

100

≈ 285.10 unidades2 4. ≈ 16.66 unidades

25π 4

7.

3π ≈ 9.42 unidades2 33π 2

≈ 51.84 unidades

5.

π ≈ 3.14 unidades

8.

π ≈ 3.14 unidades

11.

8π pies2

≈ 962 pies2

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