Potencia de un Punto Si P es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por P interseca a la circunferencia en A y B, el producto de los segmentos PA y PB es constante. Esta propiedad característica de una circunferencia nos lleva a la formulación de la Definición: La Potencia de un Punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia que sean colineales con él. Como vemos, tenemos dos posibles casos para P, éste puede ser interior o exterior a la circunferencia: B A

P

C D •

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

A C P

B D

•

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

En ambos casos, si O y R son el centro y el radio de la circunferencia, respectivamente, tenemos que ambas potencias son iguales a: • •

Si P es exterior: PA ⋅ PB = PO 2 − R 2 . Si P es interior: PA ⋅ PB = R 2 − PO 2 .

A continuación veremos de dónde salen estos hechos. Primero demostraremos la relación cuando P es un punto exterior a la circunferencia. B A

P

C D Notemos que los triángulos PAD y ABD son semejantes, ya que comparten el ángulo en P y los ángulos ABC y ADC son iguales por abrir el mismo arco AC. Entonces: PA PD = ⇒ PA ⋅ PB = PC ⋅ PD . PC PB B A

P

O

R T

Como caso particular, tenemos cuando una de las rectas que pasan por P es tangente a la circunferencia. Considerando la figura de arriba, tenemos lo siguiente: Podríamos considerar un argumento similar a la demostración anterior, sin embargo, podemos suponer que la tangente PT funciona como una secante que toca a la circunferencia dos veces en un mismo punto T. Aplicando potencia de un punto con respecto a P, tenemos: PT ⋅ PT = PA ⋅ PB ⇒ PT 2 = PA ⋅ PB Pero PT 2 = PO 2 − R 2 . Por lo tanto: PA ⋅ PB = PT 2 = PO 2 − R 2 , como teníamos al principio. Consideremos ahora el caso en que P es interior a la circunferencia. Con un argumento similar podemos notar que los triángulos APD y BPC son semejantes. Por lo tanto: PA PC = ⇒ PA ⋅ PB = PC ⋅ PD . PD PB A C M

P

R

O

N

B D

Consideremos un diámetro MN que pase por P; entonces aplicando potencia con respecto a P tenemos que PA ⋅ PB = PM ⋅ PN = ( R + PO )( R − PO ) = R 2 − PO 2 . Con esto terminamos la demostración. Este teorema es de gran importancia en la resolución de problemas, sobre todo en aquellos donde se involucran circunferencias y cuadriláteros cíclicos. ¿Qué pasa cuando P está sobre la circunferencia?

Test para Cuadriláteros Cíclicos •

Sea ABCD un cuadrilátero, tal que sus diagonales se intersectan en P. Entonces ABCD es cíclico si y sólo si PA ⋅ PC = PB ⋅ PD . Demostración. Como PA ⋅ PC = PB ⋅ PD , entonces: D

PA PB , = PD PC

C

y como los ángulos APD y BPC son el mismo, tenemos que los triángulos APD y BPC son semejantes. Por lo tanto: ∠PAD = ∠PBC , o bien ∠CAD = ∠CBD ; esto implica que el cuadrilátero ABCD es cíclico.

P

A

Análogamente, si el cuadrilátero ABCD es cíclico, podemos proceder igual que en las demostraciones anteriores.

B

•

Sea ABCD un cuadrilátero, tal que sus lados opuestos AB y CD se cortan en P. Entonces ABCD es cíclico si y sólo si PA ⋅ PB = PC ⋅ PD . D C

P B A Demostración. PA PD = , y como los triángulos APC y PC PB BPD comparten el ángulo en P, entonces son semejantes. Por lo tanto, los ángulos CDB y CAB son iguales. Esto implica que ABCD es cíclico. Como PA ⋅ PB = PC ⋅ PD , tenemos que

Si A, B, C y D son concíclicos, procedemos como al inicio de la sección.

Ejes Radicales El Eje Radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias son iguales. Este lugar geométrico es una recta perpendicular a la línea de los centros. P’ P

A’

C’

A

B’

C

O

O’

B

D’

D

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD y P ' A '⋅ P ' B ' = P 'C '⋅ P ' D '

Demostración. Consideremos primero dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O’, y cuyos radios son r y r’, respectivamente. Por P, un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencias, dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO’. P

O

M

O’

Entonces PO 2 − r 2 = PO '2 − r '2 . Restando MP 2 a ambos lados obtenemos: ( PO 2 − MP 2 ) − r 2 = ( PO '2 − MP 2 ) − r '2 OM 2 − r 2 = O ' M 2 − r '2 y puesto que OM + MO’ = OO’, tenemos que: OM 2 − O ' M 2 = (OM + MO ')(OM − MO ') = OO '(OM − O ' M ) = r 2 − r '2 ⇒ OM − O ' M =

r 2 − r '2 . OO '

Por lo tanto, sólo hay un punto M que satisface dicha relación.

P

O

N M

O’

Si N es un punto cualquiera semejante, tenemos que OM - MO’= ON - NO’; esto es: (ON + NM) – MO’ = ON – (NM + MO’); y entonces MN = 0, es decir, M coincide con N. Por lo tanto, si un punto tiene potencias iguales con respecto a las dos circunferencias de centros O y O’, está en una perpendicular a la línea de sus centros. Inversamente, se puede demostrar, invirtiendo los primeros pasos de la discusión anterior que, si P está en la perpendicular a OO’ por M, sus potencias con respecto a estas circunferencias son iguales. Si los centros de dos circunferencias de radios desiguales se aproximan, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO’ y la línea MP tiende a la línea al infinito. Así que el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito. El eje radical de dos circunferencias iguales

concéntricas, se dejará indefinido, y cualquier enunciado acerca del eje radical no es aplicable a tales circunferencias.

Cómo localizar el Eje Radical de dos Circunferencias •

Si dos circunferencias no se cortan, una forma de encontrar su eje radical es trazar dos circunferencias secantes a ambas y unir los puntos de intersección de las cuerdas comunes. O trazar directamente una perpendicular a la línea de los centros.

•

Si dos circunferencias son secantes, su eje radical es la recta que pasa por sus puntos de intersección.

•

Si dos circunferencias son tangentes, su eje radical es la tangente por el punto común.

Teorema Los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares son concurrentes. Demostración.

C1

C3

P

C2

Consideremos primero tres circunferencias C1, C2 y C3 cuyos centros no son colineales, y sea P la intersección del eje radical de C1 y C2 con el de C2 y C3. Entonces P tendrá potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de C1 y C3 también pasará por P. Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos, o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden. En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.

El punto de concurrencia de los tres ejes radicales de tres circunferencias tomadas en pares, es llamado su Centro Radical.

Algunas propiedades del Eje Radical •

Como los puntos del eje radical tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias, para cualquier punto P del eje radical, si desde este punto trazamos las tangentes a las dos circunferencias, las longitudes de los segmentos tangentes serán las mismas. Esto posibilitará la resolución de algunos problemas de tangencias.

•

Como consecuencia de lo anterior, el eje radical de dos circunferencias, será el lugar geométrico de los centros de las circunferencias ortogonales a dichas circunferencias.

Nota: Dos circunferencias son ortogonales si, al cortarse, sus radios trazados a los puntos en común son perpendiculares.

O

O’ T’

PT = PT’

T

P

Propiedades del Centro Radical •

Como es la intersección de tres ejes radicales, las longitudes de los seis segmentos tangentes a las tres circunferencias serán iguales.

•

Será centro de una circunferencia ortogonal a las tres.

O1

O2

P

O3

Distancia entre el Circuncentro y el Incentro de un Triángulo (Teorema de Euler) La distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo está dada por: d = R 2 − 2 Rr , donde R y r son el circunradio e inradio del triángulo, respectivamente. Demostración. Consideremos un triángulo ABC con circuncentro O e incentro I. Sean R y r el circunradio e inradio, respectivamente. Sean P y Q las intersecciones de CI y AI con el circuncírculo, respectivamente.

C

Q

r

I

O

A

B

P Aplicando potencia de un punto con respecto a I obtenemos: CI ⋅ IP = R 2 − OI 2 = R 2 − d 2

Pero sen ICA =

r r ⇒ CI = . Además, notamos que: CI sen ICA

∠IAP =


PB
+ BQ
PA
+ QC
PQ = = = ∠AIP . 2 2 2

Es decir, el triángulo AIP es isósceles, por lo que IP = AP. Ahora, en el triángulo APC aplicamos la Ley de Senos: AP = 2 R ⇒ AP = IP = 2 R sen ICA . sen ICA Entonces, podemos concluir: r   R 2 − d 2 = CI ⋅ IP =   (2 R sen ICA) = 2 Rr . sen ICA  

Por lo que d = R 2 − 2 Rr .

Ejemplos Ejemplo 1. Si dos circunferencias se intersectan, la cuerda en común biseca las tangentes en común a dichas circunferencias. Demostración. Sean P y Q los puntos donde se cortan las circunferencias, sean A, B, C y D los puntos de tangencia, como muestra la figura; y sean M y N los puntos de intersección de la cuerda PQ con AB y CD, respectivamente. A

M B

P

Q D

N

C

Entonces, aplicando potencia de un punto por un lado obtenemos que: MA2 = MP ⋅ MQ = MB2 . Por lo tanto MA = MB. Análogamente obtenemos que NC = ND. Ejemplo 2. Sean C y D dos círculos que se intersectan en dos puntos distintos P y Q. Una recta que pasa por P intersecta a C en A y a D en B (ambos distintos de P). Sean Y el punto medio de AB, X la intersección de QY con C y Z la intersección de QY con D. Prueba que Y también es el punto medio de XZ. Demostración. Aplicando potencia de un punto en C obtenemos XY ⋅ YQ = YP ⋅ YA . Aplicando potencia de un punto en D obtenemos YP ⋅ YB = YZ ⋅ YQ .

(1) (2)

A

X P

Y Z

B

Q

Multiplicando (1) y (2) miembro a miembro obtenemos: XY ⋅ YQ ⋅ YP ⋅ YB = YP ⋅ YA ⋅ YZ ⋅ YQ . Y como YA = YB, tenemos que XY = YZ. Y entonces Y es punto medio de XZ. Ejemplo 3. Sea C un punto en una semicircunferencia de diámetro AB y sea D el punto medio del arco AC. Denotemos por E a la proyección del punto D sobre BC y por F a la intersección de AE con la semicircunferencia. Probar que BF biseca al segmento DE. Demostración. E M D

A

C F

O

B

Sea O el centro de la semicircunferencia y M el punto de intersección de BF con DE. Es claro que OD es perpendicular a AC. Además, como BE es perpendicular a DE y el ángulo ACB es recto, ya que AB es diámetro, entonces se tiene que DE y AC son paralelas. En consecuencia, OD es perpendicular a DE. Es decir, DE es tangente a la semicircunferencia.

Por lo tanto, podemos aplicar potencia de un punto: MD2 = ( MF )( MB) . Además, como el triángulo BME es rectángulo en E y el ángulo AFB es recto, tenemos que EF es altura, por lo cual: ME2 = ( MF )( MB) . Esto implica que MD = ME, por lo cual M es punto medio de DE.

Problemas 1. Sea ABCD un trapecio, con AB paralela a CD y tal que el ángulo BAD es recto. Dos circunferencias de diámetros AB y CD se cortan en los puntos P y Q. La recta PQ corta al lado AD en M. Demuestra que M es punto medio de AD. 2. Sea ABC un triángulo tal que ∠C = 90° + 1 2 ∠B . Si Z es un punto sobre AC tal que BZ = BC, demuestra que el circuncírculo del triángulo BCZ es tangente al lado AC en C. 3. Supóngase que AB y CD son dos cuerdas perpendiculares de un círculo, y sea E su punto de intersección. Supóngase que AE = 2, EB = 6 y ED = 3. Encontrar el diámetro del círculo. 4. Considere un triángulo rectángulo ABC con BC = 3, AB = 4 y CA = 5. Biseque el ángulo C y llame O al punto de intersección de ésta bisectriz con el cateto AB. Después trace el círculo con centro O y radio OB. Si PQ es el diámetro que CP 1+ 5 coincide con la bisectriz, muestre que es la razón áurea . PQ 2 5. Si ABC es un triángulo equilátero e inscrito en un círculo, B’, C’ los puntos medios de los lados CA y AB respectivamente y D es la intersección del segmento con el círculo (con D en el arco menor AB), demuestre que B 'C ' 1+ 5 = . 2 C 'D 6. Considere tres círculos que se intersectan dos a dos definiendo los puntos A, B, AF BD CE C, D, E, F como se muestra en la figura. Demuestre que ⋅ ⋅ = 1. FB DC EA

A

E

F D

C

B

7. Sea C una curva cerrada en el plano tal que para cada cuatro puntos A, B, C y D de la curva C, si P denota la intersección de las rectas AB y CD, entonces PA ⋅ PB = PC ⋅ PD . Pruebe que C es una circunferencia. 8. Sean C1, C2 y C3 tres circunferencias de distintos radios y tangentes exteriormente entre sí. Sean A, B y C los puntos de tangencia de C1 con C2, C2 con C3 y C3 con C1 respectivamente. Denotemos por P a la intersección de la recta BC con la recta que une los centros de C1 y C2. Sea T un punto de C3 tal que PT sea tangente a C3. Prueba que PT = PA. 9. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia llamemos P al punto de intersección de las diagonales AC y BD, y sea M el punto medio de CD. La circunferencia que pasa por P y que es tangente a CD en M corta a BD y a AC en los puntos Q y R, respectivamente. Se toma un punto S sobre el segmento BD de tal manera que BS = DQ. Por S se traza una paralela a AB que corta a AC en un punto T. Prueba que AT = RC. 10. Dos circunferencias que se cortan en M y N tienen una tangente común que es tangente a una circunferencia en P y a la otra en Q. Demuestra que los triángulos MNP y MNQ tienen la misma área. 11. Sean A, B, C, D, vértices consecutivos de un heptágono regular, sean AL y AM las tangentes desde A a la circunferencia de centro C y radio CB. Sea N la intersección de AC y BD. Demuestra que los puntos L, M y N son colineales. 12. Sea P un punto en el interior de una circunferencia, tal que existen tres cuerdas que pasan por P de igual longitud. Prueba que P es el centro del círculo.

13. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P tales que su potencia con respecto a una circunferencia dada es constante? 14. ¿Cuál es el lugar geométrico de un punto cuya suma de potencias con respecto a dos circunferencias es constante? Considere dos circunferencias concéntricas así como dos no concéntricas. 15. Para un punto P en el interior de ángulo xOy, encontrar un punto A sobre Ox y un punto B sobre Oy tal que P esté sobre AB y el producto AP ⋅ BP es mínimo. 16. Dado un plano π y dos puntos A y B en diferentes lados de él, construye una esfera que contenga a A y a B y que su intersección con π sea un círculo del menor radio posible. 17. En un triángulo ABC sean O, H y R el circuncentro, ortocentro y circunradio, respectivamente. Demuestra que la longitud del segmento OH está dada por OH 2 = R 2 (1 − 8 cos A cos B cos C ) . 18. Sea ABC un triángulo y sean A’, B’, C’ puntos sobre los lados BC, CA, AB, respectivamente. Denotemos por M el punto de intersección de los circuncírculos de ABA’ y A’B’C’ distinto de A’, y por N el punto de intersección de los circuncírculos de ABB’ y A’B’C’ distinto de B’. De manera similar, uno define los puntos P, Q y R, S, respectivamente. Probar que: (a) Al menos una de las siguientes situaciones ocurre: (i) Las tripletas de rectas (AB, A’M, B’N), (BC, B’P, C’Q), (CA, C’R, A’S) son concurrentes en C’’, A’’, y B’’, respectivamente. (ii) A’M y B’N son paralelas a AB, o B´P y C’Q son paralelas a BC, o C’R y A’S son paralelas a CA. (b) En el caso donde (i) ocurre, los puntos A’’, B’’, C’’ son colineales. 19. Considera los puntos A, B, C, D, no tres de ellos colineales. Las rectas AB y CD se cortan en E, y BC y DA se cortan en F. Prueba que los círculos con diámetros AC, BD y EF pasan por un punto común, o dos de ellos no tienen ningún punto en común. 20. Sean C 1 y C 2 dos círculos concéntricos, con C 2 en el interior de C 1 . Desde un punto A sobre C 1 dibuja la tangente AB a C 2 (B se encuentra sobre C 2 ). Sea C el segundo punto de intersección de AB con C 1 , y sea D el punto medio de AB. Una recta que pasa por A intersecta a C 2 en E y F de tal forma que las

mediatrices de DE y CF se intersecten en un punto M sobre AB. Encuentra la razón AM MC . 21. Sea ABC un triángulo acutángulo. Los puntos M y N son tomados sobre los lados AB y AC, respectivamente. Los círculos con diámetros BN y CM se cortan en los puntos P y Q. Demuestre que P, Q y el ortocentro H son colineales. 22. Sea ABCD un cuadrilátero convexo inscrito en un semicírculo s de diámetro AB. Las rectas AC y BD se cortan en E y las rectas AD y BC en F. La recta EF corta al semicírculo s en G y a la recta AB en H. Prueba que E es el punto medio del segmento GH si y sólo si G es el punto medio del segmento FH. 23. Sea ABC un triángulo y sean D y E puntos sobre los lados AB y AC, respectivamente, tales que DE es paralela a BC. Sea P cualquier otro punto interior al triángulo ADE y sean F y G las intersecciones de DE con las rectas BP y CP, respectivamente. Sea Q el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos PDG y PFE. Demuestra que los puntos A, P y Q se encuentran sobre una misma recta. 24. Sean A, B, C y D cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros AC y BD se cortan en X y en Y. La recta XY corta a BC en Z. Sea P un punto sobre XY distinto de Z. La recta CP corta al círculo con diámetro AC en C y M, y la recta BP corta al círculo con diámetro BD en B y en N. Demuestra que las rectas AM, DN y XY son concurrentes. 25. Considera una semicircunferencia de centro O y diámetro AB. Una recta intersecta a AB en M y a la semicircunferencia en C y D de tal forma que MB < MA y MD < MC. Los circuncírculos de los triángulos AOC y DOB se cortan por segunda vez en K. Muestra que MK y KO son perpendiculares. 26. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = CA. Si B’ y C’ son puntos sobre BC tales que BC = B’C’ y P y Q son las intersecciones del circuncírculo de ABC con AB’ y AC’, respectivamente, demuestra que PQ pasa por el punto medio de BC’. 27. Sean AD, BE, CF las alturas del triángulo ABC. Sea X la intersección de EF con BC, Y la intersección de DE con AB, y Z la intersección de FD con CA. Demostrar que X, Y y Z son colineales. Más aún, si G y O son el gravicentro y circuncentro de ABC, respectivamente, entonces la recta que contiene a X, Y y Z es paralela a OG. 28. En el triángulo ABC los puntos P, Q y R están en BC, CA y AB, respectivamente, y las líneas AP, BQ y CR son concurrentes. Demostrar que el centro radical de

las circunferencias que tienen estas líneas como diámetros es el ortocentro del triángulo ABC.