Problemas sobre números complejos

-1-

1.- Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles imaginarios puros: 5-3i

1 5 + i 2 4

-5i

7

3i

0

-1-i

-7

4i

2.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: (a) z 2 + 4 = 0 (b) z 2 + 6 z + 10 = 0

(c) 3 z 2 + 27 = 0 (d) 3 z 2 − 27 = 0

3.- Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: (a) 3-5i (b) 5+2i

(c) -1-2i (d) -2+3i

(e) 5 (f) 0

(g) 2i (h) -5i

4.- (a) Calcula las potencias sucesivas de i, desde i 0 hasta i10 (b) Calcula i 20 , i 21 , i 22 y i 23 (c) Averigua un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural

5.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: 2 + 4i (a) (6 − 5i ) + (2 − i ) − 2(− 5 + 6i ) = (f) = 1 (b) (2 − 3i ) − (5 + 4i ) + (6 − 4i ) = 2

4 − 2i 1 − 4i (g) = 3+i

(c) (3 + 2i )(4 − 2i ) =

(h)

4 + 4i = − 3 + 5i 5+i (i) = −2−i 1 + 5i (j) = 3 + 4i

(d) (− 2 − 3i )(− 5 + 6i ) = (e) (− i + 1)(3 − 2i )(1 + 3i ) =

4 − 2i = i 2   (l) 6 − 3 5 + i  5   2 (− 3i ) (1 − 2i ) (m) 2 + 2i 2 27 i (2 − 3i ) (n) 5+i (5 − i )(5 + i ) (o) −i (k)

6.- Obtén polinomios cuyas raíces sean: (a) 2 + 3 i y 2 − 3 i (b) -3i y 3i (c) 1+2i y 3-4i Escribe, en cada caso, la ecuación cuyas soluciones son las indicadas. (Observa que solo cuando las dos soluciones son conjugadas, la ecuación tiene coeficientes reales)

7.- Calcula: (a) (3 + 2i )(2 − i ) − (1 − i )(2 − 3i ) = (b) 3 + 2i (− 1 + i ) − (4 − i ) 5i = (c) (4 + 3i )(4 − 3i ) − (4 − 3i ) = 2

− 2 + 3i = (4 + 2i )(− 1 + i ) 5 + 2i (e) (1 − i ) = 3 − 2i 1 + i − 3 − 2i (f) + = 2−i 1 + 3i (d)

Problemas sobre números complejos

-2-

8.- Dados los números complejos z=1-3i, w=-3+2i, t=-2i, calcula: (a) zwt= (b) zt − w(t + z ) =

w t= z 2 z − 3t (d) = w

3 z + it w= 3 z 2 − wt 2 (f) = 2

(b) i 126

(c) i −7

(c)

(e)

9.- Calcula: (a) i 37

10.- Dado el número complejo (a) 1 + z + z 2 = 0

z=

(d) i 64

−1 3 + i , prueba que: 2 2 1 (b) = z 2 z

11.- Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2+mi) + (n+5i) = 7-2i. 12.- Determina k para que el cociente

k +i sea igual a 2-i. 1+ i

13.- Calcula a y b de modo que se verifique (a + bi )2

= 3 + 4i .

14.- Dados los números complejos 2-ai y 3-bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8+4i. 15.- Calcula el valor de a y b para que se verifique a − 3i = 2 + bi 5 − 3i

16.- Halla el valor de b para que el producto (3-6i)(4+bi) sea: (a) Imaginario puro.

(b) Real.

17.- Determina a para que (a − 2i )2 sea un número imaginario puro. 18.- Calcula x para que el resultado del producto (x+2+ix)(x-i) sea un número real. 19.- ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 − xi) 2 sea: (a) Real?

(b) Imaginario puro?

20.- Halla el valor que debe tener x para que el cociente 1 + 3xi 3 − 4i

(a) Imaginario puro.

sea:

(b) Real.

21.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente

x − 4i ? x+i

22.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: (a) 1+i y 1-i

(b) 5i y -5i

(c) -2-3i y -2+3i

(e) i −216

Problemas sobre números complejos

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23.- Escribe en forma polar los siguientes números complejos: (a) z = −2 + 2 3 i

(d) z = −2

(g) z = −1 + i

(j) z = 7

(b) z = 2 − 2 3 i

(e) z = 1 + 3 i

(h) z = −8i

(k) z = 5 − 12i

(c) z = i

(f) z = − 3 − i

(i) z = 3 2 − 3 2 i

(l) z = 3i

24.- Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: (a)

5π

6

(d)

rd

6 (c) 2

(b)

17

(g)

0º

3 (f) 8

(e)

225 º

135 º

(h)

495 º

3

(j)

240 º

( 2)

(i)

1π (l) 7

1

150 º

2

rd

330 º

25.- Escribe en forma binómica y en forma polar el siguiente número complejo: 26.- Sean los números complejos

100 º

(k)

180 º

270 º

4

z = 8 (cos 30º +i sen30º ) .

z1 = 460 º y z 2 = 3210 º .

(a) Expresa z1 y z 2 en forma binómico.

z2 , y pasa los resultados a forma polar. z1 z (c) Compara los módulos y los argumentos de z1· z 2 y 2 con los de z1 y z 2 . ¿Qué observas? z1 (b) Halla z1· z 2 y

27.- Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:

1 ·5 (b) 6 : 3

(a)

150 º

45 º

30 º 15 º

28.- Dados los complejos (a) z·t

29.- Dados los complejos (a) z1· z2 (b) z2·z3 (c) z1·z3

2 ·1 ·3 (d) 5 π :1 (c)

10 º

2 rd 3

40 º

70 º

60 º

(

(e) 1 − 3 i

)

5

(f) (3 + 2i ) + ( −3 + 2i )

z = 545 º , w = 215 º , t = 4i , obtén en forma polar: (b)

z w2

(c)

z3 w·t 2

(d)

z·w3 t

z1 = −2i , z2 = 4120 º , z3 = 3315 º , calcula: z (d) 2 z1 z (e) 3 z1 z ·z (f) 1 3 z2

3

(g) z

(h) z23

(k) z1 + z2

(i) z34

(l) z2 − z3

30.- Expresa en forma polar z, su opuesto y su conjugado en cada uno de estos casos: (a) z = 1 − 3 i

(b) z = −2 − 2i

4

z ·z (j) 1 53 z2

2 1

(c) z = −2 3 + 2i

Problemas sobre números complejos

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31.- Resuelve la ecuación z3+27=0. Representa sus soluciones. 32.- Calcula: − 2 + 2i 1+ 3i

(a)

5

−i

(d)

(b)

4

−8 + 8 3i

(e) (− 1 − i )

− 25

(f)

(c)

5

4

1− 3i

(

(g) − 2 3 + 2i

 1− i  (h)    3 +i (i)

4

)

6

(

(j) − 1 − 3i

3

− 2 + 2 3i

(k)

)( 6

3 −i

)

8 (1 − i )5

49

(l)

33.- Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones: (a)

3

−9

(c)

3

2 − 2i

(e)

(b)

3

− 27

(d)

3

1− i 1+ i

(f)

5

32 i

(g)

− 25

3

4 − 4 3i (h)

4

− 16

34.- Resuelve las ecuaciones: (a) z5+32=0 (b) z2+z+4=0

(c) iz3-27=0 (d) z3+8i=0

(e) iz4+4=0 (f) z4-8z=0

35.- Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: (a)

5

i

(b)

6

−1

(c)

4

2 3 + 2i

36.- Calcula m para que el número complejo 3-mi tenga el mismo módulo que 2

5 + 5i .

37.- Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos

π 3

, y la suma de sus

módulos 8.

38.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente

x − 4i ? x+i

39.- Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir x+2i entre 4-3i esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

40.- Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar 3 − 2 − 2i

y calcula el lado del triángulo que

se forma al unir esos tres puntos.

41.- ¿Pueden ser las raíces de un número complejo z, los números 228º , 2100 º , 2172 º , 2244 º y 2316 º ? En caso afirmativo, halla z.

42.- El número complejo 340 º

es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo

cuyas raíces quintas son esos vértices.

Problemas sobre números complejos

-5-

43.- Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1+i. Halla z y las otras raíces cúbicas. 44.- Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos (si consideramos que están inscritos en una circunferencia de radio 2 y centro en el origen de coordenadas)

45.- Halla los vértices (en forma polar) de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0,-2)

46.- Calcula el valor de

i 7 − i −7 , y representa los afijos de sus raíces cúbicas. 2i

47.- Halla x para que el módulo del número complejo

x + 2i sea 2. 1− i

48.- Halla el perímetro del cuadrado formado por los afijos de los números complejos que se obtienen al calcular

4

81 .

49.- Calcula: 3

 3+i     −1+ i   

2

50.- Determina a y b para que el cociente

a + 2i sea igual a 3 + bi

( 2)

315 º