Programa: UNIDAD 4: PROGRAMACION MICROECONOMICA.

LINEAL

COMO

INSTRUMENTO

DE

MODELACION

Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuaciones de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de holgura. Minimización y maximización. Planteo de problemas. Problema primas y dual. Variables artificiales. El método Simplex. Su interpretación económica. Precios sombra. Planteo y apliación de teoremas. Análisis de sensibilidad. Extensiones: programación entera y no lineal. Bibliografía: UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN MICROECONOMICA.

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COMO

INSTRUMENTO

DE

MODELACION

Baumol, W. Teoría económica y análisis de operacioens. Cap. 5 Programación lineal Henderson, J. y Quandt, R: Teoría microeconómica. Cap. 5 punto 5-6 Funciones de producción lineales y 5-7 Programación lineal. Tow, Fernando V. Progrmación lineal como instrumento de modelación microeconómica. Todas las secciones. Bibliografía complementaria. Dorfman, R., Samuelson, P., Solow, R, Programción lineal y análisis económico. Cap. 5 El problema del transporte; punto 5-1 Un caso sencillo y 5-4 Los valores implicitos: el dual. Ejercicios resueltos: Dieguez H. y Porto, Problemas de microeconomía. Problema 13 Maximización del producto. Problema 14 Minimización del costo. Problema 16 Plan de producción. Problema 17 Plan de producción (II). Problema 18 Plan de producción (III)

UNIDAD 4: PROGRAMACION LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA.

Parte 1 / 3 METODO GRAFICO AUTOR: FERNANDEZ POL, Jorge E.: “Conceptos matemáticos útiles en microeconomía” Ejemplo 4: Un propietario de un campo de 10 hectáreas considera que los precios mínimos de la cosecha gruesa anunciados por el Ministro de Agricultura y Ganadería son muy remunerativos y ha decidido sembrar maíz tipo duro colorado y sorgo granífero (los precios anunciados del maíz y del sorgo son $60 y $45 por quintal, respectivamente). Dispone solo de 18 meses-hombre. La producción de un quintal de maíz requiere $10.- de fertilizantes, dos hectáreas y tres meses-hombre, mientras la producción de un quintal de sorgo en la

1

hipótesis de que el oferente pretende maximizar beneficios, se comporta como adaptador de cantidades. Se desea determinar el volumen óptimo de producción de maíz y de sorgo en la hipótesis de que el oferente pretende maximizar beneficios y se comporta como adaptador de cantidades. MAIZ 2 3

INSUMOS Hectáreas Meses-hombre Precio venta

SORGO 1 3

60

Referencias:

x= maíz y= sorgo

Ingreso: Costo: Beneficio:

R=60x+45y C=10x+5y B=50x+40y

RESTRICCIONES 2x+y=0 Costos en pesos del producto 1 es de $ 50 y del producto 2 es de $ 25. Funcion objetivo: C = 50x + 25y RESOLUCION:

Insumo A Insumo B

Producto 1 Producto 2 Requerimientos 2 3 6 2 1 4

5

4 2x + y > 4 3 Región Factible 2 (3/2,1) 1 2x + 3 > 6 0

1

2

3

4

Funcion Objetivo (Minimizar el Costo) C = 50x + 25y

6

25y = C – 50x y = C – 50x 25 25 Analisis del Punto optimo: 2x + 3y = 6 2x + 1y = 4 3y – 6 = y – 4 3y – y = -4 + 6 2y = 2 y=1 Remplazamos en alguna funcion: 2x + 3(1) = 6 2x = 6 – 3 x = 3/2 Punto extremo optimo: ( 3/2, 1 ) Calculo del costo minimo: C = 50(3/2) + 25(1) C = $ 100

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Representar gráficamente el siguiente problema: Maximizar:

π = 2x1 + 5x2 x1 ≤ 4 X2 ≤ 3 X1 + 2x2 ≤ 8

Sujeto a

Y

x1 ; x2 ≥ 0

F. O. Maximizar π = 2x1 + 5x2

→

x2 = π / 5 – 2 / 5x1

X1 = 4 X1 + 2x2 = 8

→

x1 = 8 – 2x2 4 = 8 – 2x2 4 – 8 = -2x2 x2 = 2

máximo beneficio: 2 (4) + 5 (2) = 18

NO es la solución óptima.

X2 = 3 X1 +2x2 = 8

→

x2 = 8/2 – 1/2x1 3 = 8/2 –1/2x1 (3-4)(2) = -x1 -2 = -x1 x1 = 2

8

Máximo Beneficio : 2 (2) + 5 (3) = 19

Es la solución óptima.-

(Ejercicio tomado de: Alpha Chiang “Métodos fundamentales de economía matemática.)

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Ejercicio 02 (Maximizar Beneficio) Para el estudio del plan de produccion a seguir durante el proximo periodo se dispone de los siguientes datos: Producto 1 Mat.Prima Mano de Obra Gcia. Neta

Producto 2 Disponibilidades 1 200 unidades 1 260 hs. hombre 100 400

1 2

1x + 1y < 200 2x + 1y < 260 x;y 6 2x + 1y > 4 x ; y >0 Costos en pesos del producto 1 es de $ 50 y del producto 2 es de $ 25. Funcion objetivo: C = 50x + 25y RESOLUCION:

Insumo A Insumo B

Producto 1 Producto 2 Requerimientos 2 3 6 2 1 4

5

4 2x + y > 4 3 Región Factible 2 (3/2,1) 1 2x + 3 > 6 0

1

2

3

4

Funcion Objetivo (Minimizar el Costo) C = 50x + 25y

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25y = C – 50x y = C – 50x 25 25 Analisis del Punto optimo: 2x + 3y = 6 2x + 1y = 4 3y – 6 = y – 4 3y – y = -4 + 6 2y = 2 y=1 Remplazamos en alguna funcion: 2x + 3(1) = 6 2x = 6 – 3 x = 3/2 Punto extremo optimo: ( 3/2, 1 ) Calculo del costo minimo: C = 50(3/2) + 25(1) C = $ 100

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Profesor : Eiras Roel, Santiago

Fernández, Fabián Gustavo Nro. 128.267

Ejercicios de Programación Lineal Ejercicio nro.1 Una empresa produce las mercancías X y Y con los insumos A,B,C y D. Cada unidad de X requiere 1A, 1B y 1D. Cada unidad de Y requiere 2A, 1B y 1C. La empresa no puede utilizar mas de 14A, 11B, 5C y 10D . Calcular el beneficio maximo.

Tabla

X

A B C D 10

1 1 0

Beneficio

3$

Y

Stock

2 1 1

14 11 5

1

0 4$

Restricciones: Restriccion Restriccion Restriccion Restriccion

A: B: C: D:

Restricciones de no negatividad

1X + 2Y≤ 14 1X + 1Y ≤ 11 1Y ≤ 5 1X ≤ 10 X,Y

≥ 0

Funcion objetivo: Beneficio Maximo = 3 X + 4 Y

14

B=3X+4Y Despejamos de la funcion objetivo ¨ Y¨ y se obtiene: 4Y=B–3X 4 Y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Y=B–3X 4

Restriccion D Restriccion B Lineas de isobeneficio Restriccion C (8;3) Region factible

Restriccion A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Profesor : Eiras Roel, Santiago

X

Fernández, Fabián Gustavo Nro. 128.267

1 X + 2 Y = 14 1 X + 1 Y = 11 2 Y – 14 = Y – 11 2 Y – Y = 14 – 11 Y=3 Reemplazamos el 3 por la Y X + 2 . 3 = 14 X=8 Tomamos la funcion de maximo beneficio y reemplazamos los valores de X y de Y B=3X+4Y B = 3. 8 + 4. 3

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B = 24 + 12 B = 36 El maximo beneficio es de 36 $

Ejercicio nro.2 Una empresa produce las mercaderias X y Y. Para producir cada unidad de X se requiere 1L, 3K y 1R. Para cada unidad de Y se requieren 0.5L, 3K, 3R. La empresa no puede utilizar mas de 8L, 30K 24R. Su margen de utilidad es de $4 por cada unidad de X y $3 por cada unidad de Y.

Tabla

X

Y

L K R

1 3 1

0,5 3 3

Beneficio

4$

3$

Stock 8 30 24

Restricciones: Restriccion L: Restriccion K: Restriccion R: Restricciones de no negatividad

1X + 0,5Y≤ 3X + 3Y ≤ 1X + 3Y ≤

8 30 24

X,Y ≥

0

Profesor : Eiras Roel, Santiago

Fernández, Fabián Gustavo Nro. 128.267

Funcion objetivo: Beneficio Maximo = 4 X + 3 Y B=4X+3Y Despejamos de la funcion objetivo ¨ Y¨ y se obtiene: 3Y=B–4X

16

3

Y=B–4X 3

Y 16 Restriccion L 10

Lineas de isobeneficio

8 Restriccion R Region factible

(6;4) Restriccion K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

X

1 X + 0,5 Y = 8 3 X + 3 Y = 30 Multiplicamos por 3 3 X + 1,5 Y = 24 3 X + 3 Y = 30 24 – 1,5 Y = 30 - 3Y 1,5 Y = 6 Y=4 Reemplazamos el 4 por la Y 3 X + 3 . 4 = 30

Profesor : Eiras Roel, Santiago

Fernández, Fabián Gustavo Nro. 128.267

3 X + 12 = 30

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X=6 Tomamos la funcion de maximo beneficio y reemplazamos los valores de X y de Y B=4X+3Y B=4.6+3.4 B = 24 + 12 B = 36 El maximo beneficio es de 36 $

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Programación lineal, método Simplex: Típico ejemplo de maximizar los beneficios o producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce mesas y sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las (... con X1 ; X2 >=0 ) siguientes restricciones: X1 = 9 (...y X1; X2 >=0)

Su dual es: Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3 -3Y1 + 5Y2 + Y3