Department of Systems Engineering and Automatics

Regulación Automática TEMA 2: Descripción Analítica de los Sistemas Celso Fernández Silva. 2001 - 2007

http://www.aisa.uvigo.es/docencia/

Concepto de función de transferencia. Circuito RLC (I)

R

L

Entrada

u (t )

u R (t )

u R (t ) = R ⋅ iR (t )

ISA - Vigo 2007

u L (t )

Salida

i (t )

uC (t )

di (t ) u L (t ) = L ⋅ L dt

Descripción analítica de los sistemas

C

1 uC (t ) = ∫ iC (t ) ⋅ dt C

2

Concepto de función de transferencia. Circuito RLC (II)

R u (t )

u R (t )

L

u L (t )

i (t )

uC (t )

C

diL 1 di 1 u (t ) = R ⋅ iR (t ) + L ⋅ + ∫ iC (t ) ⋅ dt = R ⋅ i (t ) + L ⋅ + ∫ i (t ) ⋅ dt dt C dt C ¿Relación Entrada/Salida? ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

3

Concepto de función de transferencia. ∞ Transformada de Laplace F ( s ) = L{ f (t )} = ∫ f (t ) ⋅ e − s⋅t ⋅ dt 0

Linealidad Derivación en t Integración en t Desplazamiento en t Derivación en s

L{a ⋅ f (t ) + b ⋅ g (t )} = a ⋅ F (s) + b ⋅ G(s) n  d n f (t )  n i −1 n −i L = s ⋅ F ( s ) − f ( t ) ⋅ s  ∑ 0 n dt i =1   F (s) L ∫ f (t ) ⋅ dt = + ∫ f (t ) ⋅ dt s 0 s L{ f (t − T ) ⋅ u0 (t − T )} = e − sT ⋅ F ( s )

[

{

}

[

]

]

 dF ( s)  L −1   = −t ⋅ f (t )  ds  t

Convolución

Z( s) = X ( s) ⋅ Y ( s) ⇔ z( t ) = ∫ x(T ) ⋅ y( t − T ) ⋅ dT

Th. del valor inicial

lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )

Th. del valor final

lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )

ISA - Vigo 2007

0

t →0

t →∞

s→∞

s→ 0

Descripción analítica de los sistemas

, si ∃ 4

Concepto de función de transferencia. Circuito RLC (III) L

R

i (t )

Condiciones iniciales nulas u (t )

C

u (t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅

di 1 + ∫ i (t ) ⋅ dt dt C

L{i (t )} = I ( s )  d n i(t)  L  n  = s n ⋅ I (s )  dt  I (s) L ∫ i(t) ⋅ dt = s L{u (t )} = U ( s )

{

ISA - Vigo 2007

}

U ( s) = R ⋅ I ( s) + L ⋅ s ⋅ I ( s) +

1 ⋅ I (s) C⋅s

I ( s) 1 = U (s) R + L ⋅ s + 1 C⋅s

Descripción analítica de los sistemas

5

Concepto de función de transferencia. Elementos RLC individuales (I)

u (t )

u (t )

u (t )

i (t )

i (t )

i (t )

R

C

L

u (t ) = R ⋅ i (t )

1 u (t ) = ∫ i (t ) ⋅ dt C

U (s) = R ⋅ I (s)

1 U ( s) = ⋅ I ( s) C⋅s

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

u (t ) = L ⋅

di (t ) dt

U (s) = L ⋅ s ⋅ I ( s)

6

Concepto de función de transferencia. Elementos RLC individuales (II)

u (t )

u (t )

i (t )

i (t )

i (t )

R

C

L

U ( s) = R ⋅ I (s)

U (s)

u (t )

1 R

I (s ) ISA - Vigo 2007

R

I (s )

U (s)

U (s) =

U (s)

I (s )

1 ⋅ I (s) C ⋅s

C⋅s 1 C⋅s

U (s) = L ⋅ s ⋅ I (s)

I (s )

U (s)

U (s)

I (s )

Descripción analítica de los sistemas

1 L⋅s

L⋅s

I (s )

U (s) 7

Concepto de función de transferencia. Elementos RLC individuales (III) R u (t )

u R (t )

L

u L (t )

i (t )

u C (t )

C

U (s)

U L (s )

U C (s ) ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

U R (s )

1 R

I (s )

L⋅s 1 C⋅s

8

Concepto de función de transferencia.

Definición de Función de Transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. No está definida para sistemas no lineales. Función Descriptiva: Concepto análogo para sistemas no lineales. Cuestiones adicionales Transformadas de funciones típicas (I) Transformadas de funciones típicas (I) Propiedades de la transformada de Laplace

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Descripción analítica de los sistemas

9

Diagramas de bloques. Simplificación.

Introducción Reducción de un diagrama de bloques Función de transferencia del bucle de regulación Operaciones con sumadores Operaciones con puntos de bifurcación

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

10

Diagramas de bloques. Simplificación. Ejemplo de reducción de diagramas de bloques

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

11

Diagramas de bloques. Simplificación. Flujograma

-H2 1

1

G2

G1

G3

1 1

H1 -1 ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

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Regla de Mason simplificada.

Condiciones de aplicación

- Bucles NO disjuntos - Trayectos directos NO disjuntos con los bucles

La función de transferencia de un sistema realimentado se puede obtener sumando las funciones de transferencia de los trayectos directa y dividiéndola por 1 menos la suma de las funciones de transferencia de los bucles. funciones de transferencia trayectos directos Y ( s) ∑ = X ( s ) 1 − ∑ funciones de transferencia bucles ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

13

Diagramas de bloques.

Flujogramas y fórmula de Mason Prob. 2.3: Función de transferencia de un sistema modelado por un conjunto de ecuaciones Consejos para la construcción de diagramas de bloques Principio de superposición Descripción de un bucle de realimentación Linealización de sistemas no lineales Problema: Linealización y Control de un depósito

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

14

Diagramas de bloques. Ecuaciones diferenciales d 2 y (t ) dy (t ) + 6 ⋅ + 5⋅ y = 0 2 dt dt 2

3

 d y   dy   3  −   + y = 0  dx   dx  3

2

d 2 x  dx  +   + 3⋅ x = 0 2 dt  dt 

2º orden 1er

grado

Lineal

3er orden 3er

grado

No Lineal

2º orden 2º grado

No Lineal

Orden: El de la derivada de mayor orden. Grado: El mayor exponente al que está elevado una variable o una derivada. [ 1er grado Lineal ] ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

15

r

b

Controlar la altura del depósito h(t)

A v

20v q1

Sección = 1m2

1m

θ h

q2

1m

Determinar: • Ecuaciones físicas del sistema de control. • Diagrama de bloques en el punto de funcionamiento dado por h0= 0,5 m y q10= 5 l/s.

• El sensor es un flotador de peso y dimensiones despreciables unido a una varilla de peso despreciable cuyo extremo es el cursor de un potenciometro de ¼ de circunferencia. • La tensión del extremo de la varilla b se compara con otra de referencia r y la diferencia se amplifica con una ganancia A = 20. Esta tensión regula la válvula de entrada cuya ecuación es q1= Kv·(50-v) con Kv= 0,5 l/s·v. ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

16

Funciones de transferencia de sistemas físicos.

Funciones de transferencia de sistemas eléctricos Funciones de transferencia de sistemas mecánicos de traslación Funciones de transferencia de sistemas mecánicos de rotación Funciones de transferencia de sistemas electromecánicos Problema: Linealización y Control de un péndulo motorizado

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

17

Funciones de transferencia de sistemas físicos. Sistemas mecánicos de traslación

y (t ) f (t )

Y (s)

M

ISA - Vigo 2007

B

K

1 M ⋅ s2

M ⋅s

f (t )

f (t )

d 2 y (t ) f (t ) = M ⋅ dt 2

F (s )

y (t )

y (t )

2

f (t ) = K ⋅ y (t )

Y (s)

F (s )

F (s )

Y (s)

1 K

K

f (t ) = B ⋅

Y (s)

F (s )

F (s )

Y (s)

Descripción analítica de los sistemas

dy (t ) dt

1 B⋅s

B⋅s

Y (s)

F (s ) 18

Ejemplo de sistema mecánico de traslación

B

K

y (t )

M f (t )

F (s )

Y (s )

ISA - Vigo 2007

1 M ⋅ s2

M ⋅s

2

Y (s )

F (s )

F (s )

Y (s )

1 K

K

Y (s )

F (s )

F (s )

Y (s )

Descripción analítica de los sistemas

1 B⋅s

B⋅s

Y (s )

F (s )

19

Funciones de transferencia de sistemas físicos. Sistemas mecánicos de rotación

P(t )

P(t ) J

θ (s)

1 J ⋅ s2

J ⋅s

ISA - Vigo 2007

P(t )

P (t ) = B ⋅

dθ (t ) dt

K

d 2θ (t ) P (t ) = J ⋅ dt 2

P(s )

B

θ

2

P (t ) = K ⋅ θ (t )

θ (s)

P(s )

P(s )

θ (s)

1 K

K

θ (s)

P(s )

P(s )

θ (s)

Descripción analítica de los sistemas

1 B⋅s

B⋅s

θ (s)

P(s ) 20

θ (t )

Ejemplo de sistema mecánico de rotación

J

K

P(t )

B

P (s)

θ (s) ISA - Vigo 2007

1 J ⋅ s2

J ⋅s

2

θ (s)

P (s)

P (s)

θ (s)

1 K

K

θ (s)

P (s)

P (s)

θ (s)

Descripción analítica de los sistemas

1 B ⋅s

B ⋅s

θ (s)

P (s) 21

Motor de cc controlado por inducido

Li

Ri ui (t )

u Ri (t )

u Li (t )

Pm (t ) = K1 ⋅ ii (t ) ⋅ψ (t )

ψ (t ) = K e ⋅ ie (t )

ii (t ) J, B

um (t )

Pm (t ) = K1 ⋅ K e ⋅ ii (t ) ⋅ ie (t ) Pm (t ) = K p ⋅ ii (t )

d 2θ (t ) dθ (t ) + B⋅ Pm (t ) = J ⋅ 2 dt dt

dθ (t ) dt dii (t ) ui (t ) = Ri ⋅ ii (t ) + Li ⋅ + um dt

ie (t ) = C te

Pm θ , ω

Kp constante de par del motor

K p ⋅ I i (s) = ( J ⋅ s 2 + B ⋅ s) ⋅θ (s)

u m (t ) = K b ⋅ ωm (t ) = K b ⋅

ISA - Vigo 2007

U i ( s ) = ( Ri + Li ⋅ s ) ⋅ I i ( s ) + K b ⋅ s ⋅ θ ( s )

Descripción analítica de los sistemas

22

Motor de cc controlado por campo

Re ue (t )

ISA - Vigo 2007

u Re (t )

ie (t )

ii (t ) = C te J, B

u Le (t ) Le

Descripción analítica de los sistemas

Pm θ , ω

23

Presentación. Bibliografía básica


Ogata, K. “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice Hall Hispanoamericana. 2ª edición 1993. (A-26, A-69, A-193, A-328, A-329, A-330, A-331, A-332)




Puente, E.A. “Regulación Automática" (Tomos I y II), Sección de Publicaciones de la U.P. de Madrid. 1980. (A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422)




Barrientos, A. et al. “Control de Sistemas Contínuos. Problemas resueltos”, McGraw-Hill, Madrid 1996. (A-388, A-389, A-390, A-391, A-392, A-393, A-394)




Ogata, K. “Problemas de Ingeniería de Control utilizando Matlab”. Prentice Hall 1998. (A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422)

ISA - Vigo 2007

Descripción analítica de los sistemas

24

Presentación. Bibliografía complementaria


Franklin, G.F. et al. “Control de sistemas dinámicos con retroalimentación”, Addison-Wesley, 1991. (A-180, A-181, A-182)




Dorf, R.C. y Bishop, R. “Sistemas de control moderno”, 10ª edición, Prentice Hall 2005. (A-426)




Sirgo Blanco, J.A. et al. “Apuntes de Regulación Automática”, http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/. ()




Kuo, B.C. “Sistemas automáticos de control”. Prentice Hall 1991. (A-152)

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Descripción analítica de los sistemas

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