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Unidad I: Cinemática de la partícula. Cinemática. Es la rama de la mecánica que trata de la descripción del movimiento sin tomar en cuenta las causas que pudieron haberlo originado. Partícula o punto material. Se denomina partícula a un objeto cuya masa puede considerarse que está concentrada en un punto. Así, por ejemplo, si estudiamos el movimiento de un auto con respecto a la tierra no hace falta tomar en cuenta todo el auto, sino que será suficiente referir el movimiento de un punto cualquiera de él como representativo del auto completo.

Movimiento rectilíneo de partículas. Para describir el movimiento rectilíneo se utiliza una coordenada, que llamaremos x.

Desplazamiento y distancia recorrida. En la Figura 1, se muestra una partícula A, la cual ha pasado de la posición inicial dada por x1, a una posición posterior dada por x2 en un intervalo de tiempo ∆t. El desplazamiento de la partícula es el vector que va desde la posición inicial a la posición final (representado por la flecha en la figura), y su magnitud es: ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

𝐸𝑐. (1)

Figura 1. Desplazamiento. La distancia recorrida es simplemente la longitud de la trayectoria seguida por la partícula. En el caso de movimiento rectilíneo en un solo sentido, la magnitud del desplazamiento coincide con la distancia recorrida; esto es: 𝑠 = |𝑥2 − 𝑥1 |

Velocidad media y rapidez media. La velocidad media se define como la variación de la posición en un intervalo de tiempo; es decir, el desplazamiento realizado por la partícula en un intervalo de tiempo. 𝑉𝑚 =

∆𝑥 ∆𝑡

𝐸𝑐. (2)

2 Se usó el subíndice “m” para indicar que se trata de la velocidad media. La rapidez media se define como la distancia recorrida en la unidad de tiempo:

Velocidad instantánea y rapidez instantánea. La velocidad instantánea; es decir, en un instante de tiempo, se obtiene tomando el límite de la ecuación anterior cuando ∆t tienda a cero:

∆𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑙í𝑚∆𝑡 →0 ( ) = ∆𝑡 𝑑𝑡

𝐸𝑐. (3)

Así pues, la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo de la función de posición de la partícula. La rapidez instantánea es simplemente la magnitud de la velocidad instantánea.

Aceleración media. La variación de la velocidad con respecto al tiempo se denomina aceleración. La aceleración media es la razón de cambio de la velocidad instantánea en un cierto intervalo de tiempo. 𝑎𝑚 =

∆𝑣 ∆𝑡

𝐸𝑐. (4)

Donde: ∆𝑣 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑣𝑖 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜.

Aceleración instantánea. Haciendo ∆𝑡 → 0 en la expresión anterior y tomando el límite, se obtiene la aceleración instantánea. 𝑎 = 𝑙í𝑚∆𝑡→0 (

∆𝑣 𝑑𝑣 )= ∆𝑡 𝑑𝑡

𝐸𝑐. (5)

Por consiguiente, la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

Ejemplo 1. Un automóvil viaja a una velocidad de 160 km/hr, en un lugar donde la máxima rapidez permitida es de 80 km/hr. Cuando el conductor advierte que un policía está listo para

3 medir su velocidad, tratando de evitar la multa, aplica los frenos de tal modo que reduce su velocidad hasta 75 km/hr en un lapso de tiempo de 10 segundos. ¿Cuál fue la aceleración promedio durante este intervalo de tiempo? ¿Cuál es la rapidez media?

Solución. Primero se convierte a unidades consistentes: 160 km/h = 44.44 m/s 75 km/h = 20.83 m/s La aceleración media se encuentra, aplicando la Ec.(4): am = (20.83 – 44.44)/10 = – 2.36 m/s2. La rapidez media corresponde a la media de las dos rapideces (suponiendo que la aceleración es constante): Rm = (160 + 75)/2 = 117.5 km/h = 32.64 m/s. Comentario: la treta, de frenar para tratar de llegar donde está el policía a una rapidez aceptable, no funciona. La razón es que el policía mide la rapidez instantánea que trae el vehículo. En este caso, aún la rapidez media es mayor que la permitida, de modo que será multado.

Ejemplo 2. Considere que una partícula se mueve en línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación x = 6t2 – t3 donde “t” se expresa en segundos y “x” en metros. A) Determine las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de la partícula. B) Represente gráficamente la posición, velocidad y aceleración de la partícula como función del tiempo. C) Con base en las gráficas describa lo que ocurre con “x”, “v” y “a” desde el instante t = 0 hasta t = 6 s. Solución: A) Ya que se conoce la función de posición, obtenemos las ecuaciones de velocidad y aceleración aplicando las ecuaciones (3) y (5): 𝑑𝑥 𝑣= = 12𝑡 − 3𝑡 2 𝑑𝑡 𝑎=

𝑑𝑣 = 12 − 6𝑡 𝑑𝑡

B) Para graficar las funciones preparamos una tabla de valores.

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t (s) x (m) v (m/s) a (m/s2) 0 0 0 12 1 5 9 6 2 16 12 0 3 27 9 -6 4 32 0 -12 5 25 -15 -18 6 0 -36 -24

Fuente: (Beer & Johnston, 2007) C) De la gráfica de posición observamos que: la partícula partió del origen y se movió hacia la derecha hasta alcanzar la posición x = 32 m (que fue el máximo desplazamiento hacia la derecha), en t = 4 s. A partir de allí, cambió de dirección y se movió hacia la izquierda hasta pasar por el origen en t = 6 s.

5 De la gráfica de velocidad deducimos que: la partícula partió del reposo en t = 0, fue aumentando su velocidad hasta alcanzar un valor máximo de 12 m/s en t = 2 s, luego disminuyó su velocidad hasta quedar instantáneamente en reposo en t = 4 s, de allí se movió hacia la izquierda (velocidad negativa) de modo que su rapidez fue aumentando desde 0 hasta 36 m/s en el intervalo de t = 4 a t = 6 s. Obsérvese que en el momento que la posición alcanza un valor máximo, en t = 4 s, la velocidad es cero. La gráfica de la aceleración nos permite ver que: la partícula partió con una aceleración positiva que disminuyó constantemente, hasta el instante t = 2 s; luego continuó con aceleración negativa aumentando su magnitud a la misma razón. Obsérvese que en el instante que la velocidad es máxima, en t = 2 s, la aceleración es nula.

Actividad 1.1: Resuelva los “Problemas Propuestos 1.1”.

Problemas Propuestos 1.1. Fuentes: problemas1, 2 y 3 (Beer & Johnston, 2007), problema 4 (Hibbeler, 2004). 1. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es 9.81 m/s2 hacia abajo, determine a) la velocidad “v” y la elevación “y” de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo “t”, b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de “t”, c) el tiempo en que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente, d) dibuje las curvas “v-t” y “y-t”. 2. El movimiento de una partícula está definida por la relación x = t2 – (t – 3)3, donde “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a) el momento en que la aceleración es cero, b) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. 3. La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. Cuando t = 0, la velocidad de la partícula es v = 400 mm/s. Si se sabe que v = 370 mm/s, y que x = 500 mm cuando t = 1 s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7 s. 4. Dos partículas A y B parten del reposo en el origen y se mueven a lo largo de una línea recta de tal manera que 𝑎𝐴 = (6𝑡 − 3) pies/s2 y 𝑎𝐵 = (12𝑡 2 − 8) pies/s2, donde t está en segundos. Determine la distancia entre ellas cuando t = 4 s y la distancia total que cada una ha viajado en t = 4 s.

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Movimiento rectilíneo uniforme. Se llama movimiento rectilíneo uniforme (MRU), al movimiento cuya velocidad es constante. Tomando en cuenta el carácter vectorial de la velocidad, esto significa que el objeto se mueve en línea recta y con rapidez constante. Separando las variables en la Ec. (3) y transponiendo los términos, obtenemos: 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 Si en el instante t = 0, x = x0, la ecuación anterior se integra entre esos límites 𝑥

𝑡

∫ 𝑑𝑥 = 𝑣 ∫ 𝑑𝑡 𝑥0

(𝑣 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

0

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡

Obteniéndose que:

𝐸𝑐. 6

La Ec. 6, permite determinar la posición de una partícula en cualquier instante, si se conoce su posición inicial y su velocidad. Recuérdese que la ecuación 6, sólo es válida para velocidad constante. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Si una partícula se mueve de modo que su aceleración es constante, se dice que su movimiento es uniformemente acelerado (MRUA). De la Ec. (5), obtenemos: 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 Si en el instante t = 0, 𝑣 = 𝑣0 se integra la expresión anterior: 𝑣

𝑡

∫ 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡 𝑣0

(𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

0

De modo que se obtiene: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝐸𝑐. 7

La Ec. 7 sirve para determinar la velocidad de un objeto, que se mueve con aceleración constante, si se conoce su velocidad inicial y su aceleración. Si se remplaza la Ec. 7 en la Ec. 3 y se integra, se obtiene la relación para la posición en un MRUA: 𝑎𝑡 2 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝐸𝑐. 8 2

7

Eliminando el tiempo entre las ecuaciones 7 y 8, se obtiene otra relación útil en el análisis del MRUA: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) 𝐸𝑐. 9

Recuérdese que las ecuaciones 7, 8 y 9 son válidas únicamente si la aceleración es constante.

Ejemplo 3. Un automóvil recorre 240 m en 30 segundos sometido a una aceleración constante de 0.2 m/s2. Calcular: (a) su velocidad inicial, (b) su velocidad final, (c) el espacio recorrido durante los primeros 10 segundos. Solución. (a) Sustituimos valores en la ecuación 8: 240 = 0 + 𝑣0 (30) + Resolviendo:

(0.2) ∗ (30)2 2

𝑣0 = 5 𝑚/𝑠

(b) De la ecuación 7:

𝑣 = 5 + (0.2)(30) = 11 𝑚/𝑠

(c) Aplicando de nuevo la Ec. 8: 𝑥 = 0 + (5)(10) +

(0.2)(102 ) = 60 𝑚 2

Comentario. La coordenada de posición inicial 𝑥0 se tomó como cero. En general, se hará así a menos que el problema especifique su valor.

Ejemplo 4. Una piedra se deja caer desde el reposo por un pozo. Si la distancia desde la boca del pozo hasta la superficie del agua es 80 pies, ¿con qué rapidez toca el agua la piedra? Solución. El movimiento de caída libre, se considera que es MRUA, con una aceleración igual a la producida por la fuerza gravitacional, es decir, a = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 (la cual siempre apunta hacia el centro de la Tierra). Utilizando la Ec. 9, sustituimos los valores: 𝑣0 = 0 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜 (𝑦 − 𝑦0 ) = 80 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 Con lo cual: 𝑣 2 = 0 + 2(32.2) ∗ (80) = 5152 ⇒ 𝑣 = 71.8 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠

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Comentario. Se sustituyeron los valores sin tomar en cuenta el signo de las cantidades involucradas, pues sólo quiere encontrarse la rapidez. Si se quiere expresar la velocidad, la respuesta sería: la velocidad con que la piedra toca el agua es de 71.8 pies/s hacia abajo (o negativa). También, obsérvese que se usó (𝑦 − 𝑦0 ) en lugar de (𝑥 − 𝑥0 ), eso porque el movimiento es en la dirección vertical.

Ejemplo 5. Desde un montacargas que sube con una velocidad de 5 m/s se deja caer una piedra que llega al suelo en 3 s, (a) ¿A qué altura estaba el montacargas cuando se dejó caer la piedra? (b) ¿Con qué velocidad chocó la piedra contra el suelo? Solución. Cuando la piedra sale del montacargas, su velocidad inicial es la misma que éste. 𝑚 Entonces 𝑣0 = 5 𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. . Si tomamos el suelo como referencia, la altura desde que se deja caer la piedra será la coordenada inicial 𝑦0 ; por otra parte, la coordenada final será 𝑦 = 0 (a) Remplazando valores en la Ec. 8:

De donde, despejando:

(−9.81)(32 ) 0 = 𝑦0 + (5)(3) + 2 𝑦0 = 29.14 𝑚

(b) De la Ec. 7:

𝑣 = 5 + (−9.81)(3) = −24.43 𝑚/𝑠

Comentario. Se ha empleado el signo menos para la aceleración gravitacional porque se ha considerado que el sentido positivo es “hacia arriba” y la aceleración debida a la gravedad siempre apunta “hacia abajo”. El signo menos en la velocidad final, se debe precisamente a que la piedra va hacia abajo cuando choca contra el suelo.

Actividad 1.2: Resuelva los “Problemas Propuestos 1.2”

Problemas Propuestos 1.2 1. Al lado de autopistas montañosas se construyen rampas de seguridad para permitir que los vehículos con frenos defectuosos frenen de manera segura. Un camión entra a una rampa de 750 pies a una alta velocidad 𝑣0 y recorre 540 pies en 6 segundos con desaceleración constante antes de que su rapidez se 𝑣 reduzca a 20 . Suponiendo la misma desaceleración constante, determine: a) el tiempo adicional requerido para que el camión se detenga, b) la distancia adicional recorrida por el camión. (Resp. a) 6 s, b) 180 pies)

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2. El componente de una máquina se recubre con pintura en aerosol mientras se monta sobre una tarima que se desplaza a 12 pies en 20 s. La tarima tiene velocidad inicial de 3 pul/s y puede acelerarse a una razón máxima de 2 pul/s2. Si el proceso de pintura requiere de 15 s para terminarse y se lleva a cabo cuando la tarima se mueve a velocidad constante, determine el valor más pequeño posible de la velocidad máxima de la tarima. 3. Un automóvil va a ser levantado mediante un elevador al cuarto piso de un estacionamiento que está a 48 pies sobre el nivel de la calle. Si el elevador puede acelerar a 0.6 pies/s2, desacelerar a 0.3 pies/s2, y alcanzar una rapidez máxima de 8 pies/s, determine el tiempo más corto en que puede efectuarse el levantamiento, partiendo del reposo y terminando también en reposo.