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Secciones cónicas Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola.

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica y la geometría proyectiva entre otras.

Tipos: Se clasifican en cuatro tipos: elipse. Parábola, hipérbola, circunferencia.

Perspectiva de las secciones cónicas.

Las cuatro secciones cónicas en el plano.

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PARÁBOLA Definición Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Ecuaciones de la parábola

Familia de Parábolas tipo

y  a x2 ,

con

a  1, 4, 41 ,

1 10

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Ecuación general de una parábola Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales. La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

a x 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0

si y sólo si b 2  4ac  0 y los coeficientes a y c no pueden ser

simultáneamente nulos. Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma distinto de cero.

a x2  bx  c  0 ,

donde a es

Prueba geométrica de la relación y  a x2 Con la construcción y desarrollo de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y  a x2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los 1 trabajos de Apolonio, y se bosquejará a continuación usando notación moderna. Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C. Por el teorema de potencia de un punto: QV 2  HV  VK Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así: HV  HK  BC Usando nuevamente los paralelismos: PV KA AC VK HK BC Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV 2 resulta en   PA HA BA 2 2  BC  PV   BC  PA   BC  PA   PV Pero el valor de  BC  PA  es una constante pues QV 2  HV  VK          AC   BA   BA  AC   BA AC  no depende de la posición de V, por lo que haciendo a  BA AC , arroja la expresión actual y  a x 2 BC2  PA

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Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c. Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice. La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es h, k  tiene

la forma  y  k   a x  h . Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma y  a x 2  bx  c 2

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos: La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma x  a y 2  by  c .

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p.

Con esta configuración se tiene:  La ecuación de una parábola con vértice en 0,0 y foco en 0, p  es x 2  4 py . De forma alterna: 

La ecuación de una parábola con vértice en 0,0 y foco en 0, p  es y 

x2 . 4p

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Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola. Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería 0,-p y de esta forma: 

La ecuación de una parábola con vértice en 0,0 y foco en 0,-p es x 2  - 4 py

Cuando la parábola es horizontal intercambiando los roles de x, y: 

“hacia la derecha”, se obtiene una ecuación similar

La ecuación de una parábola con vértice en 0,0 y foco en  p,0 es y 2  4 px

Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Ecuaciones cuando el vértice no está en el centro Se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene 2 La ecuación de una parábola con vértice en h,k  y foco en  h, k  p  es: x - h  4 p  y - k  , mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y: La ecuación de una parábola con 2 vértice en h,k  y foco en h  p, k  es  y - k   4 p x - h

Ejercicios

Determine las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para cada una de las siguientes parábolas. Trace su gráfica. 1.

x2 

1 y 4

2.

y

1 2 x 2

4.

x  42   1  y  5

6. - 9 x - 2   6 y 2

8.

y2  6 y  2x  9  0

9.

3

y

1 2 x x4 4

3.

y2  2x

7.

y 1  

10.

x  32 2

3 x - 32 2 1    y  1 2

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Definición de Elipse. Una elipse es el conjunto de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Puntos de una elipse Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: PF1  PF2  2a donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí. Excentricidad de una elipse La excentricidad e de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

c 2 2 e  , con 0  e  1 . Dado que c  a  b , también vale la relación: a

a 2  b2 2 e  1   ba  o el sistema: 2 a

c e  a  c  a 2  b 2

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

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Ecuación general de una elipse

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

a x 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 . Forma estándar de la ecuación de una elipse con focos en  c,0 y c,0

x2 y 2   1, a 2 b2

donde b2  a 2  c 2 Elipse cuyo eje mayor es de longitud 2a, paralela al eje x

Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en h, k  y focos h  c , k

x  h2   y  k 2  1, a

2

b

2



donde b2  a 2  c 2

Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en h, k  y focos h, k  c 

x  h2   y  k 2  1, b

2

a

2

donde b2  a 2  c 2

Ejercicios Determine las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Trace su gráfica.

1.

x2 y 2  1 25 16

2.

4. 4 x 2  9 y 2  36 7.

x  12   y  22 9

4

x2 y 2  1 16 9

3.

5. 25 x 2  9 y 2  225 1

8.

x  22   y  12 4

256

x2 y 2  1 36 4

6. 16 x 2  9 y 2  144 1

9. 4 x 2  24 x  13 y 2  26 y  3

10. 16 x 2  32 x  9 y 2  72 y  16

11. x 2  4 x  9 y 2  5

12. 25 x 2  12 y  y 2  26 y  11

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La hipérbola Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancia a dos puntos fijos llamados focos es una constante

Ecuaciones de la hipérbola Forma estándar de la ecuación de una hipérbola con focos en  c,0 y c,0

x2 y 2   1, a 2 b2

donde b2  a 2  c 2 Hipérbola cuyo eje mayor es de longitud 2a, paralela al eje x

Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en h, k  y focos h  c , k

x  h2   y  k 2  1, a2

b2



donde b2  a 2  c 2

Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en h, k  y focos h, k  c 

 y  k 2  x  h2  1, a

2

b

2

donde b2  a 2  c 2

Las asíntotas de una hipérbola con centro en h, k  son:

b  x  h  cuando el eje transversa l es horizontal a a y  k    x  h  Cuando el eje transversa l es vertical b yk 

Ejercicios Determine las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Trace su gráfica.

1.

x2 y 2  1 25 16

2. -

x2 y 2  1 4 9

3.

x2 y 2  1 81 36

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4. 4 x 2  9 y 2  36 7.

5. - 4 x 2  9 y 2  36

x  12   y  22 9

4

1

8.

6. 25y 2  9 y 2  144

 y  12  x  22 100

4

1

La circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia en h, k  y de radio "r" , determinamos la ecuación general de la forma

x  h2   y  k 2  r 2

Ecuación Canónica de la Circunferencia

h,k   0,0 y

Sea la circunferencia centra den

de radio "r", definimos la ecuación canónica

x2  y 2  r 2 Ecuación General de la Circunferencia Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0

NOTA: Dada la ecuación de la circunferencia 

El centro es:



El radio es:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0

se cumple que:

C   D2 ; E2 

r

D2 E 2   F2 4 4

Referencias Bruño, Geometría curso superior, Bruño, Madrid 1944. Sobel, M. (1998). Precálculo. Original English language Edition Published by Prentice Hall, Inc. Copyright 1995. Printed Mexico Sánchez-Rubio - Ripollés Amela, Manual de matemáticas para preparación olímpica, Ed. Universitat Jaume I 2000. TAYLOR, C. Geometrical Conics, MacMillan , London 1863 Rouche - Camberouse.Traité géométrie élémentaire, Gauthier - Villars, Paris 1899.