SELECCIÓN DE EQUIPOS CON M ŬLTIPLES CRITERIOS SIN EMPLEAR PONDERACIONES: UNA COMPARACIÓN DEL DEA Y EL ELECTRE IV Fernández Castro, A.M. y Fernández Castro, A.S. Universidad de La Coruria

RESUMEN El objetivo de este trabajo es comparar la aplicaci ŭn a la selección de equipos basada en m ŭltiples criterios de dos técnicas que no exigen la asignación de ponderaciones a éstos. La primera de ellas, el DEA, fue aplicada en varias de sus variantes a la selecci ŭ n de equipos, concretamente de equipos informáticos, en Fernández (1994) y Fernández y Smith (1996), donde se comparan los resultados con el juicio de expertos. Estos resultados se contraponen en el presente trabajo a los obtenidos aplicando al mismo problema una técnica de naturaleza muy distinta, como es el ELECTRE IV. Se concluye que ambos métodos proporcionan rankings semejantes en términos generales, pero que el ELECTRE IV presenta ventajas en lo relativo a la capacidad de discriminación y a la posibilidad de establecer relaciones de incomparabilidad.

INTRODUCCION El objetivo de este trabajo es comparar la aplicación a la selección de equipos basada en mŭ ltiples criterios de dos técnicas que tienen la peculiaridad de que no exigen la asignación de ponderaciones a esos criterios, por lo que resultan especialmente ŭtiles cuando existe incertidumbre y/o desacuerdo entre las distintas partes implicadas en la decisión en relación a tales pesos. La primera de las técnicas, el "Data Envelopment Analysis" (DEA), fue aplicada en varias de sus variantes a la selección de equipos, concretamente a la selección de un ordenador portátil, en Fernández (1994) y Fernández y Smith (1996), donde, entre otros análisis, se comparan los resultados con el juicio de expertos. Estos resultados se contraponen en el presente trabajo a los obtenidos aplicando al mismo problema una técnica de naturaleza muy distinta, como es la versión IV del método ELECT1RE (Elimination Et Choix Traduisant la Realité, es decir, "Eliminación y Elección Traduciendo la Realidad"), que se encuadra dentro de la Escuela Francesa de ayuda a la decisión con mŭ ltiples criterios (véanse, por ejemplo, Roy, 1991, y Roy y Bouyssou, 1993). Los dos próximos epígrafes se dedican al análisis de la fundamentación y aplicación al caso que nos ocupa del DEA y del ELECTRE IV, respectivamente. Seguidamente se analizan los resultados obtenidos con esta ŭ ltima técnica, comparándolos con las conclusiones de las investigaciones previas en las que se hacía uso de la primera. Finalmente, se resumen las conclusiones obtenidas. En ellas se destaca la semejanza de los rankings en ténninos generales, así como la ventaja del ELECTRE IV en lo relativo a la capacidad de discriminación y a la posibilidad de establecer relaciones de incomparabilidad.

APLICACION DEL DEA A LA SELECCION DE EQUIPOS El DEA pretende evaluar la eficiencia técnica de una unidad productiva comparándola con una frontera eficiente que se construye a partir de las mejores observaciones existentes, utilizando modelos de programación lineal, sin necesidad de especificar una forma funcional para la frontera. Los modelos de programación lineal (ha de resolverse uno para cada unidad evaluada), ofrece una medida unidimensional de la eficiencia aun en presencia de m ŭltiples inputs y outputs. El primer modelo DEA se denomina modelo CCR en honor a sus autores, Charnes, Cooper y Rhodes (1978). Su versión primaria, denominada versión fraccional, está expresada en términos de programación hiperbólica o fraccional, aunque es fácilmente linealizable, y en ella se comparan los ratios de productividad (output/input o input/output) de las distintas unidades, agregando los inputs y los outputs segŭ n las ponderaciones más favorables a la unidad analizada. El dual de esta linealización es la versión envolvente, en la que se observa con más claridad cómo el indice de eficiencia nos informa con qué porcentaje de los inputs actuales sería posible mantener al menos la producción de cada output, o bien qué porcentaje de los outputs máximos alcanzables con los recursos consumidos se está obteniendo, por lo que

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tomará valor unitario si la unidad es eficiente y se reducirá a medida que es más ineficiente. Además, esta versión proporciona información acerca de qué unidades eficientes son comparables a una unidad ineficiente. La formulación de estas versiones, en sus variedades de maximización del ratio de productividad y de los outputs (podrían formularse, respectivamente, como minimización del ratio inputioutput y de inputs) es la siguiente: VERSION ENVOLVENTE

VERSIÓN FRACCIONAL s E u r y,,,,,

1 max — = zo + e •1S, + Sil ho sujeto a:

r ni=1 max h— o

E vixio

n

i-i

E y ri ki

sujeto a: m

S r = ho y ro

;

r=1,...,s,

n

E ur yij r. 1

-

i= I  i; i =

i

E x..k. + ,J J i= I

,...,n,

S.=x •i0 •, i=1 , • • , m , i

ki  0; j= 1,.. .,n.

E v.x.. , i= I

Ur 

Vi ,

e.

donde y, denota la cantidad del output r producida por la unidad j, x„ representa la cantidad del input i consumida por la unidad j, u , v i y son variables cuyos valores han de resultar del análisis, al igual que el valor de ho , que expresa el grado de eficiencia de la unidad analizada, que se identifica con el subíndice cero. En la Ilustración 1 se representa el modelo anterior en los casos simplificados en que existe un input y un output y en el que existen dos outputs y un input. En ella los puntos representan unidades productivas reales, mientras que los círculos representan unidades ficticias o virtuales frente a las que se comparan las primeras. FIGURA 1



Input

Output



Output 1 Input

Input

Nótese, en la figura de la derecha, que la posible mejora se eval ŭa radialmente, respetandd las proporciones relativas entre los distintos inputs y entre los distintos outputs de una unidad: se mide la máxima mejora que se podría alcanzar simultáneamente en todos los inputs o, alternativamente, en todos los outputs. De hecho, la posible mejora más allá de la radial, como la que podría conseguir respecto al segundo output la unidad más cercana al origen en esa figura, sólo tiene una repercusión infinitesimal sobre el índice de eficiencia. El modelo CCR fue modificado posteriormente para poner límites a la extrapolación de los resultados de una unidad para evaluar otras de tamaño muy diferente. El modelo BCC, propuesto en

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Banker, Charnes y Cooper (1984), que se representa también en la Ilustración anterior, limita la creación de unidades de referencia a las combinaciones lineales convexas de unidades eficientes, esto es, se añade a la versión envolvente la restricción de que la suma de los sea igual a la unidad. La frontera eficiente será en este caso, en el ejemplo de un input y un output, una línea quebrada, pues, en general, existirán varias unidades eficientes, de diferentes tamaños. La ineficiencia global o distancia a la frontera CCR se puede en este caso dividir entre ineficiencia técnica pura o distancia a la frontera BCC, esto es, ineficiencia dada la escala de operación, e ineficiencia de escala, debida a la operación a una escala ineficiente. A partir de estos modelos básicos, el DEA admite multitud de variantes para acomodarse a las circunstancias específicas de cada estudio. Así, se puede intentar desempatar entre las unidades eficientes de diversas maneras, entre ellas calculando las "eficiencias cruzadas" de las unidades, esto es, los índices de eficiencia que les corresponderían aplicándoles a las variables el conjunto de pesos que son óptimos para las otras unidades, y promediando los resultados. De esta forma se consigue diferenciar qué unidades son "especialistas" en alguna dimensiones concretas y cuáles obtienen un buen comportamiento global. Por ŭltimo, en la Ilustración 1 se ha incorporado también la variante denominada "Free Disposability Hull" o FDH, recogida en Tulkens (1993), en la que se analiza la dominación o superioridad de Pareto de unas unidades sobre otras. Esto se consigue eliminando la posibilidad de crear combinaciones lineales de unidades, esto es, restringiendo la comparación a las unidades observadas. La posibilidad de aplicar el DEA a la comparación de productos ya fue destacada por Doyle y Green (1991). Destaca en especial la posibilidad de analizar m ŭltiples características de los bienes comparados y de llegar a establecer una preferencia sin tener que asignarle una ponderación a cada una de ellas. En Ferriández (1994) y Fernández y Smith (1996) se analiza la aplicación de los modelos que anteriormente se han expuesto a la selección de equipos, concretamente a la selección de un ordenador portátil, a partir de cuatro características fácilmente medibles, tres outputs (las características del equipo), y un input (el precio). En el primero de los trabajos se comprueba que los resultados del modelo CCR y del cálculo de las eficiencias cruzadas son muy semejantes a la selección efectuada por unos expertos (que establecían dos clasificaciones, una de los tres "mejores" y otra de los tres mejores de "alto rendimiento", esto es, de 33 Mhz. o más). En el segundo, en el que se establecía la conexión entre esta aplicación del DEA y la Teoría de las Características de Lancaster, se amplían los cálculos al modelo BCC y a un modelo mixto CCR-FDH, en el que se aplica el modelo FDH a los ratios característica/precio (outputs) con un input unitario ficticio. Los datos y los resultados de estos análisis se resumen en la siguiente tabla: TABLA 1

MODELO CCR

VARIABLES

Julm ALTERNATIVA

DE LOS EXPERTOS

OTROS MODELOS: iNDICES DE EFICIENCIA

PRECIO 3 (10 PrA)

MHZ

BATERIA CALIDAD (Hs.) PANTALLA

EFICIENCIA

EFICIENCIAS CRUZADAS

BCC

CCR-FDH

AI

3°M

500

25

4,47

3

1

0,92

1

1

A2

3°AR

747

66

1,5

3

0,74

0,65

1

74,2

A3

l'AR

554

66

2,87

3

1

0,99

i

1

468

25

2,97

2

0,79

0,72

1

1

607

25

3,82

4

0,95

0,81

1

1

A6

662

33

3,27

3

0,71

0,67

0,88

0,92

A7

484

33

1,92

2

0,7

0,67

i

0,77

A8

797

25

2,33

3

0,51

0,46

0,75

0,54

A9

554

33

3,4

2

0,8

0,7

0,84

1

A10

673

25

2,28

3

0,6

0,55

0,75

0,63

AI1

611

66

2,65

3

0,91

0,88

1

0,91

Al2

782

66

1,32

2

0,71

0,54

i

70,9

A4 A5

2°M

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MODELO CCR

VARIABLES

Juicio ALTERNATTVA

DE LOS EXPERTOS

OTROS MODELOS: ÍNDICES DE EFICIENCIA

BATERIA CALIDAD EFICIENCIA (Hs.) PANTALLA

PRECIO 3 (10 PrA)

MHZ

A13

698

50

4

2

0,83

A14

613

66

2,63

3

EFICIENCIAS CRUZADAS

BCC

CCR-FDH

0,68

1

1

0,9

0,88

1

0,91

A15

1°M

534

33

2,87

4

1

0,9

1

1

A16

2°AR

655

50

2,6

4

0,91

0,82

1

1

A 17

665

33

3,87

2

0,73

0,61

0,91

0,93

A18

873

25

3,23

3

0,51

0,47

0,83

0,57

EL MÉTODO ELECTRE IV COMO ALTERNATIVA PARA LA SELECCIÓN DE EQUIPOS El "enfoque de sobreclasificación" es una aproximación a la ayuda a la decisión con criterios mŭltiples que se encuadra dentro de la denominada Escuela Francesa, iniciada con el desarrollo en Roy (1968) del método ELECTRE, y cuyo desarrollo ulterior se impulsó principalmente desde el grupo del LAMSADE, instituto de investigación de la Universidad Parts-Dauphine. El término "sobreclasificación" ("surclassement" o "outranking") hace referencia a la superación o ventaja dentro de una clasificación o ranking. Se considera que una alternativa sobreclasifica a otra si es al menos tan buena o tan satisfactoria como ésta, lo que se podrá sostener cuando existan suficientes argumentos a favor de esta afirmación y no existan argumentos de peso en contra. Los métodos de sobreclasificación constan de dos etapas básicas: la construcción del modelo y la explotación del mismo. La primera de ellas consiste en establecer las relaciones de sobreclasificación entre las m alternativas o acciones pertenecientes al conjunto A=(a, b, c,...), basándose en las comparaciones efectuadas para cada par de alternativas entre las valoraciones ( f (a), f (b),...) obtenidas por cada una de ellas en cada uno de los n(j=1,...,n) criterios de evaluación. Es habitual el establecimiento de umbrales de indiferencia, de preferencia y de veto. Los dos primeros permiten introducir una gradación en la relación de superioridad de un criterio sobre otro. El umbral de indiferencia, que denotaremos como q,[ fi (a)], será el nivel por debajo del cual la diferencia entre los valores de dos alternativas para un cierto criterio no se considera significativa. Puede ser una función del valor del criterio para la alternativa a de referencia (por ejemplo, pueden considerarse significativas sólo las diferencias superiores a un determinado porcentaje de dicho valor), o puede ser una constante. Análogamente, el umbral de preferencia, p, [ f,(a)], marca el nivel por encima del que la ventaja que otorga a una alternativa la diferencia sobre el valor de otra perrnite afirmar que, en relación a ese criterio j, la primera es estricta o fuertemente preferida a la segunda. Por su parte, el umbral de veto, vi [ f (a)], establece la máxima diferencia de f (b) sobre f ,(a) compatible con la afirmación de que a sobreclasifica a b (a S b). De este modo se limita la posibilidad de compensación entre los distintos criterios: cuando la desventaja en un aspecto es suficientemente importante, sería inadmisible sostener que la alternativa analizada sobreclasifique a la que la supera, por mucha ventaja que pudiera tener la primera en las otras dimensiones consideradas. Como resultado de las comparaciones parciales de dos alternativas a y b, se puede concluir que, a nivel global, ambas son indiferentes (a 1 b, o, lo que es lo mismo, b I a), que la primera es estrictamente preferida a la segunda (a P b), o que la segunda es estrictamente preferida a la primera (b P a). Además, la duda entre estas situaciones puede dar lugar a otras relaciones, entre las que cabe destacar la de "incomparabilidad", característica de este tipo de modelos. Esta información la proporciona la segunda etapa de los métodos de sobreclasificación, la "explotación" del modelo. Se distinguen tres tipos de problemas básicos: la elección de una alternativa o un subconjunto de ellas, la jerarquización de las alternativas o establecimiento de un ranking, y la segmentación o asignación de las alternativas a categorías predefinidas. El método que nos interesa se encuadra dentro del segundo grupo.

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El método ELECTRE IV (Roy y Hugonnard, 1982) pretende responder a la jerarquización de alternativas, con la peculiaridad de que no utiliza información relativa al peso de los criterios. Por ello constituye una clara alternativa al DEA en la aplicación que hemos venido analizando. La esencia del método consiste en definir una secuencia de relaciones de sobreclasificación, basadas en condiciones con un nivel de exigencia decreciente, y, en consecuencia, con una capacidad de discriminación creciente. Existen dos versiones del método, una en la que se definen 2 relaciones de sobreclasificación y otra, en la que nos centraremos, en la que se definen 5. Ante la ausencia de información acerca de los pesos de los criterios, la aceptación de la superioridad de una alternativa sobre otra se basa en el recuento de los criterios para los que se cumplen distintas condiciones. Con el fin de facilitar la exposición de éstas, podemos clasificar los criterios seg ŭn la diferencia entre los valores que en ellos obtengan las alternativas comparadas, para a continuación agruparlos y contabilizar el n ŭmero de criterios en cada grupo:

N° de criterios para los que

f(a) - f(b) < - vi [ fi(a)]

N° de criterios para los que - vi [fi (a)] s fi(a) - f(b) < - pi [ fi(a)] N° de criterios para los que - pi [fi (a)] s fi (a) - f(b) < - qi[fi(a)] N° de criterios para los que

- qi [fi (a)] s fi (a) - fi (b) < 0

N ° de criterios para los que

fi (a) - fi (b) = 0

N° de criterios para los que

0 < fi (a) - fi (b) s qi[fi(a)]

i+

N° de criterios para los que

qi [fi(a)] < fi (a) - fi (b) s pi[fi(a)]

q

N° de criterios para los que

pi [fi (a)] < fi (a) - fi (b) s vi[fi(a)] fi (a) - fi (b) > vi[fi(a)]

de criterios para los que

Gráficamente, la anterior clasificación puede representarse de la siguiente forma: v -

p-

i+

q+

P+

v+

n° de criterios en el intervalo fi (a)-f (b)

-v.

- Pi

Las 5 relaciones de clasificación son: Cuasi-dominación: La alternativa a es, en todos los criterios, preferida a la b o indiferente a ella, y, en cualquier caso, el valorf,(a) supera al def, (b) en más criterios que en los que sucede lo contrario:



+ i+

i) n =

a S' b

<

+ q' + p' + v"

+ q' +

v- = p - =

=0

+

Dominación Canónica: Para ning ŭn criterio es estrictamente preferida b a a, el nŭmero de criterios para los que b es (débilmente) preferida a a es inferior o igual al de aquellos para los que a es fuertemente preferida a b, y el valor de a es superior al de b en la mayoría de los criterios en los que no hay empate: i) v - = p - = 0

a S2 b



ii) q - p + v' iii) v - + p - + q - +

1275

<

+ q" + p' +

Pseudo-Dominación: Para ningŭn criterio b es fuertemente preferida a a, y el nŭmero de criterios para los que b es preferida es inferior o igual al de aquellos para los que a es (fuerte o débilmente) preferida a b:

a S3 b

criterio:



=0 ii) q - q + + p' + v + y

Sub-Dominación: La ŭnica condición es que b no sea fuertemente preferida a a en ningŭn

a S4 b

v- = p - = 0

Veto-Dominación: 0 no existe ning ŭn criterio en que b sea fuertemente preferida a a, o existe uno (siempre que no se alcance el nivel de veto) pero a es fuertemente preferida a b en, al menos, la mitad de los criterios:

Ii) p - = a S5 b

=

=0

V

1

v- = 0 iii) p + + v*

ni 2

Las anteriores relaciones, como bien puede observarse, son cada vez menos exigentes, de manera k k+1 b, pero lo opuesto no rige. que si se cumple aS b (k