SELECTIVIDAD Exámenes de PAU de Matemáticas II de la Comunidad de Madrid. Contenido del fichero: Modelos de examen y pruebas de las convocatorias de junio y septiembre desde el curso 2001-2002 hasta 2012-2013. También se incluye el modelo de examen del curso 2013-2014.

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Versión 1.0

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UNIVERSIDADES

PÚBLICAS

DE LA COMUNIDAD

DE MADRID

PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2002-2003 MATERIA: MATEMÁTICAS 11

Junio

Septr;bre R1

R.2

(""

I

INSTRUCCIONES

GENERALES

Y VALORACIÓN

INS~RUCCIONES: El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir UNA y SOLO UNA de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representacióngráfica. PUNTUACIÓN: La calificaciónmáxima de cada ejercicio se indica en el encabezamientodel mismo. Tiempo: 90 minutos

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos. Calcular los siguientes límites (donde "In" significa Logaritmo Neperiano). .ln(cos(3x)) a) (1 punto) hm l ( (2 )) 3:-+0n cos X Ejercicio 2. Calificación máxima: Dada la función

...;4+Xb) (1 punto) hm 3:-+0

~ 4x

2 puntos. x5 -x8 I(x) = 1 6 -x

a) (1 punto) Encontrar los puntos de discontinuidad de l. Determinar razonadamentesi alg'Ynade las discontinuidades es evitable. b) (1 punto) Estudiar si 1 tiene alguna asÍntota vertical. Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos. Se considera el sistema de ecuaciones: {

(m + 2)x + (m -l)y mx -y x + my

-z + z -z

= 3 =2 =1

Se pide: a) (1 punto) Resolverlopara m = l. b) (2 puntos) Discutirlo para los distintos valores de m. Ejercicio 4. Calificación máxima: Dadas las rectas en el espacio:

3 puntos. -xr -3

_x+1 s--=-=-2

2

u- t z--2 -1 y+2 -1

z-l 2

a) (1,5 puntos) Hallar la distancia entre las dos rectas. b) (1,5 puntos) Determinar las ecuacionesde la perpendicular común a r y s.

¡ !+

¡

~~~-"""'

-

, "!'

OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos. Comprobar, aplicando las propiedadesde los determinantes, la identidad: a2

ab

b2

2a a + b 2b = (a -b)3 1 1 1 Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos. Encontrar un número real), # O, y todas las matrices B de dimensión 2 x 2 (distintas de la matriz nula), tales que

B.(~~)=B.(;~) Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos. a) (1 punto) Dibujar la gráfica de la función g(x) = eX-x. b) (1 punto) Calcular el dominio de definición de f(z) =~ y su comportamiento para x -t 00 Y eX-z z -t -oo. c) (1 punto) Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f(z) en su dominio de definición. Ejercicio 4. Calificación máxima: Dados el plano

3 puntos. 7r == X + 3y -z

= 1,

y la recta _z+2

y-1

z

r=-r;-=~=l' se pide: a) (1,5 puntos) Hallar la ecuación general del plano 7r'que contiene a r y es perpendicular a 7r. b) (1,5 puntos) Escribir las ecuacionesparamétricas de la recta intersecciónde los planos 7r, 7r'.

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UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID  PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)  Curso 2006­2007 

MATERIA: MATEMÁTICAS II  INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN 

El examen presenta dos opciones, A y B.  Se deberá elegir UNA Y SÓLO UNA de ellas y resolver los cuatro ejercicios de que consta.  No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica.  PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.  Tiempo: 90 minutos  ______________________________________________________________________________________  OPCIÓN  A  1. (2 puntos). Hallar los puntos de la recta  r  :

x - 3  1 

=

y - 5  z + 1  1 

=

- 1 

cuya distancia al plano 

p  : 2 x -  y + 2 z + 1 = 0  es igual a 1.  2. (2 puntos). Se consideran las rectas: ì x  -  y  = 3  r : í î x  + y  - z  = 0 

ì x - z  = 4  î2 x - y  = 7 

s : í

Hallar la ecuación continua de la recta que contiene al punto P (2, –1, 2) y cuyo vector director  es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores.  3. (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones lineales ì x + ( k  + 1 ) y + 2 z  = -1  ï íkx + y + z  = k  ï( k  - 1 ) x - 2 y - z  = k  + 1  î se pide:  a ) (2 puntos). Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.  b) (1 punto). Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.  4. (3 puntos). a ) (1,5 puntos). Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la  función:  3 x 2 + x + 3  f ( x ) =  x 2  + 1  b) (1,5 puntos). Determinar una función  F (x)  tal que su derivada sea  f(x)  y además  F (0) = 4.

1 

______________________________________________________________________________________  OPCIÓN  B  1.  (2 puntos). Calcular una matriz cuadrada  X  sabiendo que verifica 

XA2  + BA = A 2  æ 0  0  - 1 ö æ 0  0  - 2 ö ç ÷ ç ÷ siendo A = ç 0  - 1  0  ÷ y B  = ç 0  - 2  0  ÷ .  ç - 1  0  0  ÷ ç - 2  0  0  ÷ è ø è ø

2. (2 puntos). Dado el sistema de ecuaciones ì x + 2 y - 3 z  = 3  í î2 x + 3 y + z  = 5  se pide:  a)  (1 punto). Calcular a  y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma  ax +  y + bz  = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original.  b)  (1 punto). Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las  incógnitas sea igual a 4.  3. (3 puntos). Sean las rectas  ì x - 3 y - 5 = 0  1  - 1  2  î x - 3 z - 8 = 0  a ) (1,5 puntos). Hallar la ecuación del plano p  que contiene a  r   y es paralelo a  s.  b) (1,5 puntos). Calcular la distancia entre el plano p  y la recta  s. 

r:

x 

= 

y - 1  z - 2 

s : í

=

4.  (3 puntos). Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor real de x, de la que se conoce  la siguiente información:  i)  g’(x) > 0 para todo  x Î (-¥, 0 ) È ( 2 , +¥) , mientras que g’(x)  0 para todo  x Î (1 , 3 )  y g’’(x)