SOLUCIONARIO

SGUICES029MT22-A16V1

Teorema de Thales y división de segmentos

1

TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA TEOREMA DE THALES Y DIVISIÓN DE SEGMENTOS Ítem Alternativa

Habilidad

1

A

2

C

Aplicación Comprensión

3

C

Aplicación

4

D

Aplicación

5

B

Aplicación

6

B

Aplicación

7

C

Aplicación

8

D

Aplicación

9

B

Aplicación

10

C

Aplicación

11

A

Aplicación

12

D

Aplicación

13

E

Aplicación

14

A

15

C

ASE Aplicación

16

B

ASE

17

C

Aplicación

18

A

ASE

19

D

Aplicación

20

A

ASE

21

E

Aplicación

22

A

23

D

ASE Aplicación

24

A

ASE

25

C

ASE

2

1. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

El punto R divide interiormente al trazo PQ en la razón 4 : 7. Luego

PR 4  RQ 7

(Reemplazando PR = 28)

28 4  RQ 7

(Despejando)

28  7  RQ 4

49 = RQ Por lo tanto, el segmento PQ mide (PR + RQ) = 28 + 49 = 77 cm.

2. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Comprensión

Como la razón es 1 : 3, es posible plantear la medida de los segmentos en base a una constante de proporcionalidad k (con k un valor real positivo), con lo que el segmento menor mide k y el mayor mide 3k. Si el segmento mayor se reduce a la mitad, entonces medirá 3 2k 2 entre los segmentos viene dada por k : k   2 3k 3

Por lo tanto, la nueva razón entre los segmentos es 2 : 3.

3

3 k , luego, la nueva razón 2

3. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Si D divide al trazo AB en la razón 3 : 5 entonces AD 3  DB 5 AD 3  40 5 AD 

(Reemplazando DB = 40)

120 5

AD  24

Luego, el trazo AB = (AD + DB) = 24 + 40 = 64 cm.

4. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como la razón de los segmentos es 2 : 3 : 4, es posible plantear la medida de cada uno en base a una constante de proporcionalidad k (con k un valor real positivo), con lo que pasarían a medir 2k, 3k y 4k. Como el segmento menor mide 18 cm, y corresponde a 2k, se tiene que k = 9. La medida de AB, planteada en términos de k, es 9k, lo que es igual a 81. Por lo tanto, la medida del segmento AB es 81 cm.

4

5. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de Proporción Aplicación

Si R divide al trazo PQ interiormente en la razón 6 : 11, entonces

PR 6  RQ 11 PR 6  55 11 PR 

(Reemplazando RQ = 55)

55  6 11

PR = 30 Luego, PQ = (PR + RQ) = 30 + 55 = 85 cm.

6. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Completando los ángulos de la figura se puede concluir que CD es bisectriz del triángulo ABC. Luego, aplicando el teorema de la bisectriz resulta C

AC a  m n am AC  n

30° 30°

40º A

m

a 80º

D

n

Por lo tanto, la medida del segmento AC puede expresarse como

5

B

am n

7. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como BD es bisectriz, se puede aplicar el teorema de la bisectriz. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene ____

____

BA

BC

____



AD

C

____

CD 10 – x

6 5  x 10  x

5

D x

5x = 6(10 – x)

(Distribuyendo) A

5x = 60 – 6x

B

6

(Despejando)

11x = 60 x=

60 11

Luego, el segmento AD mide

60 cm. 11

8. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de Proporción Aplicación

Como PS es bisectriz, se aplica el teorema de la bisectriz. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene R

PR PQ  RS QS

x 3

m+1

m 1 m 1 (Despejando x)  x 3 x m  13  x  xm  1

S 3–x

P

6

m–1

Q

3m  mx  3  x  mx  x 2mx  3m  3 3m  1 x 2m

Por lo tanto, el segmento RS es igual a

3m  1 . 2m

9. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como L1 // L2 // L3, entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene AB BC



DE EF

A

L1 AB 5  8 15 40 8 AB    2,6666... 15 3

L3

5

B

L2 C

D

8

15

E F

Por lo tanto, el valor del segmento AB es 2, 6 .

10. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como ABCD es un trapecio, implica que los segmentos DC y AB son paralelos, por lo que es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene

7

DE DC  AE AC

E

7 4  7  x 20

7 4

D

4(7 + x) = 140

C

x

28 + 4x = 140 A

4x = 112

B

20

x = 28 Por lo tanto, el valor de AD es 28.

11. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como L1 // L2, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene

CD CO  AB BO

L1

A

CD 6  4 2

4

B

O 2

24 CD   12 2

L2

Por lo tanto, el valor del segmento CD es 12 cm.

8

6 C

D

12. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como AB // CD , es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene B

D

AE AB  ED CD

30 E

AE 10  30 15 AE 

15

10

300  20 15

C

A

Por lo tanto, el valor del segmento AE es 20.

13. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como AH // GE , es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene H

AH EG  AF EF

AH 3  10 2 AH 

10  3 30   15 2 2

A

Por lo tanto, el segmento AH mide 15 cm.

9

2

B

2

C

2

D

2

G 3 E

2

F

14. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Como ABCD es un trapecio y E y F son puntos medios de los lados no paralelos, entonces EF es mediana y es paralela a la base AB , luego es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene EG FG  GB AG

D E

6 6 3  12 AG

AG 

C F G

6

6 3  12 6

6 3 12

A

= 36 2

B

Por lo tanto, el segmento AG mide 36 2 cm.

15. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como los ángulos correspondientes son congruentes, se concluye que AB // DE , por lo que es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene C

CD CE  CA CB

m

mn q  m p p

D

A

mq m-n

Por lo tanto, p es igual a

m–n

mq m-n

10

n 70º

70º

p

q E

B

16. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Sea k una constante de proporcionalidad con un valor real positivo. Luego, los segmentos AF, FD y DC, se expresan en términos de k, como se muestra en la figura. Como BC // GF , entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene B

AF AC  GF BC

E G

15 50  8 BC

A

8 3k

50  8 80 BC   15 3

D

2k

F 10k

5k

80 Por lo tanto, la medida del segmento BC es cm. 3

C

17. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como DE // BC , y los segmentos AD y AB pertenecen la misma recta, entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en la figura, se tiene AD DE  AB BC

C E

2x 4  3x  6 12

4m

12 m

24x = 12x + 24 A

2x = 24

2x

x=2 Como AD está representado por 2x, luego su medida es 4 metros.

11

D x+6

B

18. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Como el poste y la casa son perpendiculares al suelo, entonces, considerando sus alturas paralelas, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en el enunciado, se tiene Alto del poste Alto de la casa  Sombra del poste Sombra de la casa

2,5 x  5 9

x = 4,5 Por lo tanto, la altura de la casa es 4,5 metros.

19. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como AC // DE , entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados la figura, se tiene C DB BE  AB BC

18 E

DB 12  40 30

12 A

12  40 DB   16 30

Como AD + DB = 40, se tiene que AD = 24. Por lo tanto, el valor de AD es 24.

12

D 40

B

20. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

PM 1  y PM = 2, entonces MS = 4. Además, por Pitágoras, aplicado al triángulo MST MS 2 se tiene que MT = 5.

Si

Por paralelismo, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados la figura, se tiene

SM SP  MT PR

R

4 6  5 PR

T 5

30 PR   7,5 4

P

2

M

4

3 S

N

Q

Por lo tanto, el valor del segmento PR es 7,5.

21. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como los edificios son perpendiculares al piso, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando por los valores indicados en el enunciado, se tiene x 15  12 10 x = 18 Por lo tanto, la altura del edificio mide 18 metros.

13

22. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Aplicando teorema de Thales se obtiene la siguiente proporción: Altura del árbol Altura del nìño  Sombra del árbol Sombra del niño

x

x 1,08  20 0,72

1,08

x = 30 0,72 Por lo tanto, la altura del árbol es 30 metros. 20 23. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como todas las figuras presentan rectas paralelas, entonces es posible aplicar el teorema de Thales en cada una de ellas. I) 15

x

7

14

II)

x 15   x  30 14 7

x 24

10

x 36   x  30 10 12

12

14

III) x 45

30

x 30 40  x 20 45 3

20

Por lo tanto, el valor de x es 30 solo en I y II.

24. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

(1) AD : DB = 6 : 7. Con esta información, sí es posible determinar la medida del segmento AD, ya que es posible plantear una proporción y a partir de ella determinar el valor de AD. (1) DB es el segmento mayor. Esta información, no es suficiente para determinar la medida del segmento AD. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

25. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

(1) α  β. Con esta información no es posible determinar que  AOC ~  DOB, ya que no tenemos información de los ángulos del triángulo DOB. (2) OB = OD = 2 cm. Con esta información no es posible determinar que  AOC ~  DOB, ya que no se tiene información acerca del triángulo AOC. Con ambos datos, es posible determinar que  AOC ~  DOB, ya que si dos triángulos serían isósceles con vértice en O, y tendrían ángulos basales iguales. Entonces son semejantes. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

15