Si no puedes con el enemigo. . . o c´omo aprovechar a las calculadoras

Ense˜ nanza

Arturo Gamietea Dom´ınguez∗ y Juan Salvador Cisneros∗∗ ∗

CCMC UNAM ∗∗ CBTIS 41

recibido: diciembre de 2004 aceptado: julio de 2006 1. Antecedentes

Despu´es de varias d´ecadas de haber hecho su aparici´on, la calculadora de bolsillo ha evolucionado de forma impresionante por varios aspectos: su tama˜ no se ha reducido, su consumo de energ´ıa se ha ido decrementando y su capacidad de c´alculo y de procesamiento de informaci´on ha crecido muy sustancialmente, entre otros. En particular nos referiremos a las calculadoras de bolsillo llamadas cient´ıficas, porque ´estas, generalmente tienen una funci´on con la que se puede promover ¡el c´alculo num´erico mental! El c´alculo num´erico mental es una herramienta poderosa para desarrollar algunas de las habilidades de razonamiento con que nacen todos los seres humanos. A su vez, estas habilidades puestas al servicio de otras actividades, pueden ayudar al desarrollo integral de las personas Cort´es (2001). Sin querer hacer ning´ un comercial, y s´ı como el resultado de una exploraci´on informal, se vio que la mayor´ıa de alumnos de varias escuelas ten´ıan como calculadora m´aquinas marca CASIO, por ello el presente trabajo est´a considerando esta l´ınea de calculadoras.∗ Todas las calculadoras cient´ıficas marca CASIO tienen una funci´on que est´a como segunda funci´on del punto decimal. Efectivamente, sobre la tecla del punto decimal aparece en amarillo la leyenda Ran#. ∗ Sin

embargo, hay otras marcas de calculadoras que tambi´ en tienen esta misma funci´ on, la invitaci´ on es a que la encuentren y nos sigan en estos experimentos. 5

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2. Objetivos

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Dar a conocer la funci´on Ran# de las calculadoras de bolsillo. Generar una serie de experimentos que propicien en los alumnos el desarrollo de sus habilidades de razonamiento. Hacer con la calculadora un campo experimental para algunos t´opicos de las matem´aticas. Utilizar la calculadora como un aliado para que se promueva el c´alculo num´erico mental.

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´n 3. Justificacio

La importancia del presente trabajo radica en que se proponen estrategias para la utilizaci´on de las calculadoras cient´ıficas para que no sean utilizadas solamente como sumadoras. As´ımismo, que los alumnos de cualquier edad logren ser sistem´aticos en sus b´ usquedas, aprendan a entregar informes, elaboren conjeturas y se diviertan obteniendo resultados que pueden ser asombrosos y que de seguro ser´an cautivantes para quien con una actitud positiva aborde los ejercicios y sea capaz de disfrutar sus logros. Servir´a para que se incremente o recupere la capacidad de asombro y propiciar´a la seguridad que da la experiencia. 4. Metodolog´ıa

Materiales •

Calculadora que tenga capacidad de la funci´on Ran# o equivalente, generalmente las cient´ıficas. Papel. L´apiz. Muchas ganas de divertirse. Capacidad de asombro.

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Procedimiento Experimento 1. • •

Encienda su calculadora. Aplique varias veces (100 o m´as veces) la funci´on Ran#.∗

algunas m´ aquinas se tendr´ a que oprimir las teclas Shift adem´ as del punto. En otras m´ aquinas aparecer´ a en la pantalla Ran# y bastar´ a oprimir = tantas veces como se desee. ∗ En

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SI NO PUEDES CON EL ENEMIGO

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Observe los resultados (a´ un no escriba). Reflexione sobre lo que ha observado. Ya que aplic´o la funci´on varias veces (por lo menos m´as de 100) empiece a escribir sus observaciones. Vuelva a experimentar para comprobar lo que anot´o en el paso anterior.

Preguntas que se puede hacer:∗ • • • • • • • •

¿Siempre inicia en el mismo n´ umero? Si apag´o la m´aquina y la volvi´ o a encender, ¿Obtuvo la misma sucesi´on? ¿Qu´e tipo de resultados est´a obteniendo? ¿Habr´a un n´ umero m´as grande que todos? ¿Habr´a uno m´as peque˜ no que todos? ¿Alguna vez se repetir´a alg´ un n´ umero? ¿Cu´antos n´ umeros diferentes podr´ıan salir? ¿C´omo garantizar que se repetir´a al menos uno de los n´ umeros que ya salieron?

Con todas las respuestas, al menos esbozadas, la pregunta obligada es ¿para qu´e me sirve esto? La respuesta la encontrar´ a m´as abajo o echando a volar su imaginaci´on. Experimento 2. Si usted es padre de familia, profesor o alguna vez le han encargado que ayude a un ni˜ no tom´andole las tablas de multiplicar, inmediatamente se dar´a cuenta de lo maravilloso que es esta funci´on. Lo m´as dif´ıcil de ense˜ narle las tablas a un ni˜ no es participar con ´el en el aprendizaje de dichas tablas. Es frustrante cuando el ni˜ no le dice: ya me preguntaste tres veces 5 × 8 y no me has preguntado 5 × 3. • • • •

Aplique la funci´on Ran#. P´ıdale a su pupilo (usted mismo puede ser su propio alumno) que multiplique una de las tablas por cada uno de los tres d´ıgitos que obtuvo en la pantalla. Repita el punto anterior tantas veces como su alumno lo soporte. Experimente con otra tabla de multiplicar.

∗ No

intente resolver las preguntas sin haber hecho el experimento. Si no hace el experimento no vale la pena el trabajo. 7

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Experimento 3. Otro ejercicio muy interesante y que rinde muy buenos dividendos es: • • • •

Aplique la funci´on Ran#. Sume los d´ıgitos que aparecen en la pantalla. Puede llevar un registro del tiempo que tarda en elaborar un cierto n´ umero de sumas. Despu´es podr´a comparar su desempe˜ no.

Este experimento le ayudar´ a a sobrellevar las esperas. Podr´a entretener a sus compa˜ neros de viaje. Experimento 4. Este ejercicio con un poco de pr´actica adquirir´a habilidad, facilidad y gusto. • • • •

Aplique la funci´on Ran#. Multiplique el primer d´ıgito por cada uno de los dos d´ıgitos restantes. Puede llevar un registro del tiempo que tarda en hacer un cierto n´ umero de multiplicaciones. Con los datos que obtiene en el registro podr´a estudiar su desempe˜ no.

Experimento 5. Este ejercicio es un poco m´as complicado, pero tambi´en con un poco de pr´actica adquirir´a habilidad, facilidad y gusto. • • • •

Aplique la funci´on Ran#. Multiplique el primer d´ıgito por el n´ umero formado por los dos restantes. Puede llevar un registro del tiempo que tarda en hacer un cierto n´ umero de multiplicaciones. Con los datos que obtiene en el registro podr´a estudiar su desempe˜ no.

Experimento 6.

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Este experimento es m´as elaborado, pero seguro que ha nacido de otro de los que ya se han llevado a cabo. Recuerde el sumar los tres d´ıgitos que aparecen al aplicar la funci´on Ran#. 8

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SI NO PUEDES CON EL ENEMIGO

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Despu´es de haber hecho muchas, pero muchas sumas, la pregunta que surge es ¿El n´ umero de resultados posibles de las sumas es un conjunto que se puede conocer? Al reflexionar un poco se puede llegar a los extremos, ¡claro! la mayor de las sumas es 27, es decir, sumar 9 + 9 + 9. El otro extremo es 0 + 0 + 0. ¿Qu´e hay en medio de estos extremos? ¿De cu´antas maneras se puede encontrar la suma de 1? ¿De cu´antas maneras se puede encontrar la suma de. . . ? Hay varias maneras de hacer el trabajo. Se le sugerir´a una, pero no por ello querr´a decir que es el u ´nico camino, usted podr´a encontrar un modo inclusive m´as f´acil. . . todo es cuesti´on de intentar. Puede apoyarse en alguna hoja de c´alculo electr´onica. • • •

Escriba los n´ umeros en orden desde el 000 hasta el 999. En frente a ellos ponga la suma correspondiente. Ahora forme el histograma de los resultados posibles.

¡Claro que hay sorpresas! Es interesante y, despu´es de resolverlo, uno puede pensar, no estaba tan dif´ıcil, era algo que se pod´ıa esperar. Experimento 7. Este experimento es complementario del anterior, le ayudar´ a mucho en sus clases de estad´ıstica, como alumno o como profesor. •

Encuentre los estad´ısticos como la media, la moda, la mediana, la desviaci´on est´andar, la varianza, los cuartiles y todo lo que se le ocurra o se le haya ense˜ nado.∗

Experimento 8. Este experimento nos ayudar´ a a encontrar n´ umeros aleatorios en un intervalo entre 0 y cualquiera otro n´ umero. Suponga que quiere encontrar n´ umeros entre 0 y 75. • • •

∗ Es

Aplique la funci´on Ran#. El resultado multipl´ıquelo por 75. Repita muchas veces este ejercicio hasta que se convenza de que efectivamente s´olo encontrar´ a n´ umeros en ese intervalo.

una buena oportunidad para utilizar la capacidad estad´ıstica de la calculadora, revise su manual.

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Experimento 9. • • • •

Ahora prop´ongase un intervalo entre 0 y cualquiera n´ umero que le guste. Aplique la funci´on Ran#. El resultado multipl´ıquelo por el n´ umero que eligi´o. Repita el experimento varias veces hasta darse cuenta de que efectivamente no obtendr´a valores mayores al n´ umero que eligi´o.

Experimento 10. Ahora generaremos n´ umeros aleatorios entre cualquier intervalo. Suponga que quiere n´ umeros entre 4 y 10. • • • • •

Aplique la funci´on Ran#. Multiplique el resultado por 6 (la diferencia entre el mayor y el menor de los n´ umeros que propuso 10 − 6). S´ umele el menor de los n´ umeros (4, en este caso). Repita este ejercicio cuantas veces sea necesario para que se convenza de que efectivamente obtendr´a un n´ umero entre 4 y 10. En resumen: # obtenido por 6 + 4.

Experimento 11.

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Repita el experimento anterior, pero elija el intervalo a su gusto. A continuaci´ on se dan algunas explicaciones: La funci´on Ran# de las calculadoras genera una serie de n´ umeros aleatorios en el intervalo entre 0 y 1. Por ello aparecen n´ umeros como .345, .821, etc´etera. Ya se han delineado algunas aplicaciones de la funci´on Ran#, sin embargo se puede resumir que sus aplicaciones son dos: simulaci´ on y muestreo. Simulaci´ on porque permite hacer como que se hace, aunque realmente no se haga, por ejemplo: La suma de los d´ıgitos que se obtienen es o un n´ umero par o un impar. Esto puede ser interpretado como si se hubiese lanzado una moneda, ´aguila: par, sol: impar. Los n´ umeros obtenidos entre 4 y 10 bien podr´ıan servir como si se hubieran calificado una serie de ex´amenes. Se podr´ıa utilizar un intervalo de 9.7 a 12, para simular que son los tiempos de una carrera de 100 metros planos. Las interpretaciones a los posibles experimentos est´an limitadas u ´nicamente por su creatividad. 10

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El muestreo puede ser utilizado para elegir de un conjunto dado algunos elementos sin que intervenga el sentimiento o el gusto de quien elige. 5. Conclusiones

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Hasta aqu´ı hemos dado una serie de ejercicios que pueden ser experimentados con una calculadora cient´ıfica. Las calculadoras, empleadas en forma adecuada, ayudar´ an a desarrollar habilidades de razonamiento. Es suficiente que las calculadoras faciliten el trabajo para que justifiquen su presencia; sin embargo, tienen la bondad de permitir llegar m´as lejos en el maravilloso mundo de las matem´aticas. Se ha visto que en lugar de atrofiar a los alumnos, se les estimula aquello que supuestamente atrofian, el c´alculo num´erico mental. Con los experimentos que se propusieron no se agot´o lo que se puede hacer con esta valiosa funci´on. 6. Referencia

[1] Cort´es Flores, Jeanette, Estrategias de c´ alculo mental en estudiantes considerados buenos estimadores de segundo de secundaria en Baja California, Tesis de maestr´ıa, IIDE, uabc, Ensenada, 2001.

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