Sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.

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DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x1 , x2, ········, xn es un conjunto de m igualdades de la forma:  a 11 x1 + a 12 x 2 + • • • • • • +a 1n x n = b1  a 21 x1 + a 22 x 2 + • • • • • • +a 2n x n = b 2 Donde aij , bi ∈ℜ  • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a m1 x1 + a m2 x 2 + • • • • • • +a mn x n = b m  aij son los coeficientes bi los términos independientes. 2

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver un sistema, es encontrar todas sus soluciones. Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar así:    determinados (una solución)  No homogéneos compatibles(tienen solución)   indeterminados(infinitas soluciones)   Sistemas  incompatibles (no tienen solución )   determinados Homogéneos → compatibles (tienen solución)    indeterminados

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SISTEMAS EQUIVALENTES

Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Las siguientes transformaciones nos permiten obtener sistemas equivalentes: a) Si en un sistema se multiplica una ecuación por un número no nulo, resulta un sistema equivalente al primero. b) Si en un sistema se intercambian ecuaciones se obtiene un sistema equivalente al anterior. c) Si en un sistema de ecuaciones se suprime o añade una ecuación que sea combinación lineal de las demás, se obtiene un sistema equivalente al dado. d) Si a una ecuación se le añade una combinación lineal de las otras, se obtiene un sistema equivalente.

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Sistemas de ecuaciones lineales

EJEMPLO: Resuelve por reducción el sistema: 2 x + 3 y = 4  2 x + 3y = 4 2ªec+1ªec (-2)   c  x−y=9 − 2 x + 2 y = −18

2 x + 3 y = 4   5 y = −14

y = -14/5 x = 31/5 Si al sistema anterior le añadimos o suprimimos una ecuación que es suma de las otras dos (C.L. de ellas) el sistema es equivalente  2 x + 3y = 4 2 x + 3 y = 4   x − y = 9 Son equivalentes   x−y=9 3x + 2 y = 13 

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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

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Compatible determinado. Dos rectas que se cortan en un punto.

-

x + y = 3  x − y = 1 Compatible indeterminado. Dos rectas coincidentes.

-

5 -

 x+y=3  2 x + 2 y = 6 Incompatible. Dos rectas paralelas. x + y = 3  x + y = 6

SISTEMA DE TRES ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS. Compatible determinado. Tres rectas que se cortan en un punto.

 x+y=3   x − y =1  − 2 x + y = −3  -

Compatible indeterminado. Tres rectas coincidentes.

 x+y=3  2 x + 2 y = 6  3x + 3y = 9  2

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-

Incompatible: o Tres rectas paralelas. x + y = 3  x + y = 5 x + y = 8  o Dos rectas coincidentes y una paralela.  x+y=3  2 x + 2 y = 6  x+y=5  o Tres rectas que se cortan dos a dos.  2 x + 3y = 9   3x − 5y = 4 5x − 2 y = −6 

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SISTEMAS ESCALONADOS.

Los sistemas escalonados son muy fáciles de resolver. Ejemplos:  x − 3y + 2 z = 7 2 x + 3y = 14  a)  b)  5 y − z = 6  5 y = 10  3z = 12 

Transformar un sistema en otro escalonado: EJEMPLO (1) x + 3y + 2z = 1   (2) 2x − y − 2z = −2   (3) − x + 2y + z = −2  x + 2z + 3y = 1  − 6 z − 7 y = −4   3z + 5y = −1 

y=

x + 3y + 2z = 1  −7y − 6z = −4  ⇒  5y + 3z = −1 

-2(1)+(2) (1)+(3)

−6 = −2 , 3

x + 2z + 3y = 1   (2) 3z + 5y = −1   (3) − 6z − 7y = −4 

9 = 3; 3 Sistema compatible y determinado. 3z − 10 = −1 → z =

x + 2z + 3y = 1   3z + 5y = −1 2(2) + (3) 3y = −6

x = 6− 6+1 → x = 1

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MÉTODO DE GAUSS.

EJEMPLO 1 y z  x  1 3 2 1     2 −1 − 2 − 2 →  − 1 2 − 1 − 2    1 2 3 1    0 3 5 −1  0 0 3 − 6   3y = - 6→ y = - 2 ;

  1 3 2 1     0 − 7 − 6 − 4 →  0 5 3 − 1    x + 2z + 3y = 1  → 3z + 5y = −1  3y = −6 

y z x  1 2 3 1    5 −1 0 3  0 − 6 − 7 − 4   

3z - 10 = -1→3z = 9→ z = 3

x +6-6 =1→ x = 1

Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma: ℜ ∇ ∇ ∇    ∇ representa números cualesquiera  0 ℜ ∇ ∇ ℜ representa números distintos de cero    0 0 ℜ ∇

•Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas •De forma escalonada vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. •Sistema Compatible Determinado S.C.D.≡ ≡ Una solución. Interpretación geométrica: como cada ecuación representa un plano en el espacio, estos tres planos se cortarán en un punto.

EJEMPLO 2 x + 2y − 5z = 4  1 2 −5 4     − 2x + y = −3  ⇒  − 2 1 0 − 3 → 3x − 2y + z = 4  3 − 2 1 4   1 2 −5 4    0 − 3 − 2 1  3 −2 1 4   

→

1 2 −5 4     0 5 − 10 5   0 − 8 16 − 8   

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→

1 2 − 5 4    0 1 − 2 1   0 − 1 2 − 1  

→

1 2 − 5 4   0 1 − 2 1 0 0 0 0  

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Sistemas de ecuaciones lineales

x + 2y − 5z = 4  y =1+2λ →z=λ y − 2z = 1  x = 4 − 2 y + 5z = 4 − 2 − 4λ + 5λ = 2 + λ

( 2 + λ ,1 + 2λ , λ ) Solución: Sistema Compatible Indeterminado S.C.I ≡ infinitas soluciones Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma ℜ ∇ ∇ ∇     0 ℜ ∇ ∇    

•Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. •Las incógnitas que están de más toman valores arbitrarios ( λ ) •El sistema tiene infinitas soluciones. SIST. COMPATIBLE INDETERMINADO. Interpretación geométrica: Los tres planos se cortan en una recta

EJEMPLO 3 x + 5y − z = 5   2x + 3y − 4z = 1 ⇒ x − 2y − 3z = 2  .

 1 5 −1 5     0 − 7 − 2 − 9 0 0 0 6   

1 5 −1  2 3 − 4 1 − 2 − 3 

→

5  1 2 

→

 1 5 −1 5     0 − 7 − 2 − 9  0 − 7 − 2 − 3  

x + 5y − z = 5   −7y − 2z = −9  0 ≠ 6 ⇒ no hay solución.  0=6 

Sistema incompatible. Interpretación geométrica: Los planos se cortan dos a dos

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Sistemas de ecuaciones lineales

Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma: − − − − − − − −  − − − − − − − −  Esto significa que hay una ecuación:   − − − − − − − −  0x1+0x2+...+0xu=K; 0 ≠ K, siendo K∈ℜ    0 0 0 − − − 0 ℜ Es una igualdad imposible. •El sistema no tiene solución ⇒ SISTEMA INCOMPATIBLE Ejercicios propuestos.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Ejercicios de selectividad.

EJERCICIOS.1.- Resuelve los siguientes sistemas por Gauss e interpreta geométricamente el resultado:  x − y + 3z = −4  a)  x + y + z = 2  x + 2y − z = 6 

2x − 5y + 3z = 4  b)  x − 2 y + z = 3  5x + y + 7z = 11   x − 3y + 7 z = 10  c)  5x − y + z = 8 x + 4 y − 10z = −11   x − 3y − 2z = 7  d)  2x − y + 15z = 3 x − 8 y − 21z = 11 

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Sistemas de ecuaciones lineales

3x + 2 y = 6  e)  x + y = 1 3x + 2 y = 0   x + 2y + z = 3 f)  2 x − y + z = −1

 − x + 2y − z = 1  g) 2x − 4 y + 2z = 3  x+y+z = 2 

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