1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras están elevadas a exponente 1 y tiene dos incógnitas porque hay dos letras, dos variables. En general, las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son las que se pueden escribir de la forma ax + by = c donde a, b y c son valores conocidos. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada solución es un par de valores -el primero de ellos corresponde a x y el segundo a y - que hacen que la igualdad sea cierta. Se suelen escribir entre paréntesis (x,y) o en forma de tabla. Para resolver una ecuación con dos incógnitas se despeja una de las dos incógnitas (la que resulte más cómoda) y a partir de la expresión que resulta se obtienen las soluciones. Para ello, damos el valor que queramos a la incógnita no despejada y haciendo los cálculos oportunos según la expresión que hemos obtenido al despejar, obtenemos el valor de la otra. Procediendo del mismo modo, podremos hallar tantas soluciones como queramos. Ejemplo: Resolver la ecuación 2x + 3y = 7 1º - Despejar y
3y = 7 – 2x y =
7 − 2x 3
2º- Hallar soluciones: . para x= 0
y = (7 – 2.0) / 3
solución
(0, 7/3)
. para x=1
y = (7 – 2.1) / 3 = 5/3
solución
(1 , 5/3)
. para x=2
y = (7 – 2.2) / 3 = 1
solución
(2 , 1)
. para x=3
Y =(7 – 2.3) / 3 = 1/3
solución
(3 , 1/3)
. etc También podemos poner las soluciones en forma de tabla:
x y
0 1 7/3 5/3
-1-
2 1
3 1/3
… …
2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN CON DOS INCÓGNITAS. Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se pueden representar gráficamente sobre unos ejes de coordenadas. La representación gráfica es una recta que obtendremos a partir de las soluciones puestas en una tabla. Cada par de valores corresponde a un punto.
Ejemplo: Representar gráficamente
3x + y = 5
1º - Obtener la tabla de valores. Para ello despejaremos y, daremos valores a obtendremos los correspondientes de y.
y = 5 – 3x
x y
-1 8
0 5
1 2
2 -1
2º - Representar los puntos en unos ejes de coordenadas y trazar la recta
-2-
x y
3.- SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Dos ecuaciones lineales forman lo que llamamos un sistema de dos ecuaciones. Un sistema puede tener: - una solución, que sería una pareja de valores que aparecería en las tablas de ambas ecuaciones. Esa solución sería las coordenadas del punto de corte de las dos rectas. - ninguna solución, no hay ninguna pareja de valores que aparezca en las dos tablas. Se trata de dos rectas paralelas. - infinitas soluciones, las parejas de valores de ambas tablas son idénticas. Las rectas están una sobre otra, o mejor, se trata de la misma recta. Una solución:
Ninguna solución. Las rectas son paralelas
-3-
x= 4
y=5
Infinitas soluciones. Las dos ecuaciones se representan con la misma recta.
4.- MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES A-MÉTODO DE IGUALACIÓN 1º- Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. 2º- Se igualan las expresiones obtenidas. 3º- Se resuelve la ecuación de primer grado obtenida con lo que habremos hallado el valor de una de las incógnitas. 4º- Se sustituye en cualquiera de las dos expresiones obtenidas al despejar, hacemos los cálculos y obtendremos el valor de la otra. Ejemplo
3x − 2y = 10 x + 3y = 7
1º- Despejamos x en las dos ecuaciones: 3x − 2y = 10 10 + 2y x= x + 3y = 7 3
x = 7 − 3y
2º- Igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación que resulta: 10 + 2y = 7 − 3y 3 10 + 2y = 21 - 9y 2y + 9y = 21 - 10 11y = 11 11 11 y =1 y=
-4-
3º - Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones obtenidas al despejar y hacemos los cálculos: x = 7 – 3.1 = 7 – 3 = 4
Solución del sistema: x = 4 y = 1
B-MÉTODO DE REDUCCIÓN 1º- Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para que al sumarlas desaparezca una de las incógnitas. 2º- Se suman las ecuaciones y se resuelve la ecuación que resulta. Habremos obtenido el valor de una de las incógnitas. 3º- Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones la incógnita hallada por su valor. Se resuelve la ecuación que resulta y habremos encontrado el valor de la otra incógnita. 3x − 2y = 10 x + 3y = 7
Ejemplo
Multiplicando la segunda ecuación por -3 desaparecerán las x al sumar las ecuaciones
− 2y =
10 - 3x − 9y = − 21
3x
/
- 11y = - 11
x + 3.1 = 7
y =
− 11 − 11
y = 1
x + 3 = 7
Solución del sistema: x = 4 y = 1
-5-
x= 7-3
x = 4
EJERCICIOS TEMA 1.- Representa gráficamente Y = 2x - 1
2.- Representa gráficamente y = -2x + 1
3.- Representa gráficamente -3x + y = -1
-6-
5.- Resuelve por igualación x + 2y = 5 3x – 2y = 7
5x – y = 10 4x + 3y = 8
x + 2y = -5 x – 3y = 5
3x + 2y = 11 5x + 2y = 21
-7-
6.- Resuelve por reducción x + 2y = 5 3x – 2y = 7
5x – y = 10 4x + 3y = 8
x + 2y = -5 x – 3y = 5
3x + 2y = 11 5x + 2y = 21
-8-
7.- Resuelve por el método que prefieras 3x + y = 7 5x + 2y = 11
x + 3y = 7 4x – 3y = 13
7x – 5y = 10 2x – 3y = -5
6x – 2y = 0 3x – 5y = 12
-9-
8.- La suma de dos números es 87 y su diferencia 25. ¿Qué números son?
9.- Entre Pedro y yo tenemos 12 €. Si yo le diera 1,7 € entonces él tendría el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno?
10.- Un trabajador gana 60 € en un turno de día y 80 € en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha cobrado 1600 €?
11.- Se mezcla café de 14 €/kg con café de 9 €/kg y se obtienen 15 kg de mezcla a 11 €/kg. ¿Qué cantidad se mezcló de cada clase?