´ Convergencia de una sucesion

Sumatoria Finita

Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingenier´ıa

Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca

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C ONTENIDO ´ Convergencia de una sucesion ´ Introduccion Convergencia Divergencia Propiedades C´alculo de L´ımites Teorema de Sandwich Sumatoria Finita ´ Introduccion Propiedades

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I NTRODUCCION

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´ Definicion La sucesi´on {an } se dice convergente con l´ımite l si para cada  > 0 dado, ∃ N = N() ∈ N tal que n > N ⇒ |an − L| <  Observacion: ´ − < an − l <  o sea l −  < an < l + 

A partir de un cierto N todos los an est´an en el intervalo hl − , l + i. La arbitrariedad de  tenemos que los an se van juntando entorno de l. Notacion: ´ l´ım an = l o´ {an } −→ l. n→∞

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E JEMPLOS 1 n

 

1.



2.

1 = 1, , . . . , 2

n n+1





−→ 0



−→ 1

Nota: ´ {an } posee l´ımite l y e´ ste es un numero ´ Si una sucesion real, se ´ es convergente, caso contrario se dir´a que dice que la sucesion ´ es divergente. la sucesion ´ Convergencia de una sucesion

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S UCESIONES D IVERGENTES Si bien es cierto que las sucesiones {n}, {(−1)n } son ambas divergentes. Sin embargo estas dos sucesiones tienen un ´ {n} se tiene la comportamiento diferente. Para la sucesion ´ divergencia por no ser acotada, mientras que la sucesion n ´ oscilante. {(−1) } es divergente por ser una sucesion ´ divergente es siempre uno de los tipos Toda sucesion I

´ divergente para +∞. Sucesion

I

´ divergente para −∞. Sucesion

I

´ oscilante. Sucesion

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P ROPIEDADES DE L´I MITES DE S UCESIONES Teorema Sean {an } ,{bn }: sucesiones de numeros ´ reales; A y B: numeros ´ reales. Si l´ım {an } = A y l´ım {bn } = B entonces: n→∞

n→∞

1. Suma: l´ım {an + bn } = A + B n→∞

2. Diferencia: l´ım {an − bn } = A − B n→∞

3. Producto: l´ım {an .bn } = A.B n→∞

4. Multiplicaci´on por constante: l´ım {k.an } = k.A n→∞



5. Cociente: l´ım

n→∞

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an bn



=

A B

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´ C ALCULO DE L´I MITES El numero ´ e ´ de numeros ´ La sucesion reales dada por 

{xn } =

1 1+ n

n 

´ es monotona creciente y acotada por lo que {xn } es una ´ convergente. Se define el numero ´ sucesion e (en honor de ´ {xn }, es decir, Euler) como el l´ımite de sucesion 1 1+ n



e = l´ım

n→∞

n

= 2,718281 . . .

Si {xn } −→ +∞ siendo xn 6= 0, ∀ n ∈ N, tambi´en se cumple 

l´ım

n→∞ ´ Convergencia de una sucesion

1 1+ xn

xn

=e

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E JEMPLO Existen muchas sucesiones cuyo l´ımite se calcula utilizando el ´ numero est´an las siguientes: (e,entre otras )  1 n+α ´ {an } = 1+ , siendo α un numero real, es tal que n "

1 1+ n

l´ım an = l´ım

n→∞

n→∞



=



l´ım

n→∞

n+α #



= l´ım

n→∞

1 1+ n

n  

1 1+ n

1 1+ n



l´ım

n→∞

n 

1 1+ n

α 

α 

= e.1 = e

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Observacion: ´ Los l´ımites de la forma [1∞ ] provenientes de sucesiones del tipo {abnn }, siendo l´ım an = 1 y l´ım bn = +∞, se resuelven n→∞ n→∞ ´ {cn } tal que an = 1 + cn con considerando la sucesion l´ım cn = 0, resultando n→∞



1

l´ım abnn = l´ım (1 + cn )bn = l´ım (1 + cn ) cn

n→∞

n→∞

n→∞



1

= l´ım (1 + cn ) cn n→∞

´ Convergencia de una sucesion

cn bn

 l´ım cn .bn n→∞

l´ım (an − 1).bn = en→∞

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Ejemplo Calcular l´ım

n→∞

2n2 + 3 2n2 + 1

!3n2

Solucion: ´

l´ım

n→∞

2n2 + 3 2n2 + 1

!3n2

= en→∞ l´ım (

= en→∞

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l´ım (

2n2 + 3 − 1)3n2 2n2 + 1

6n2 ) 2n2 + 1 = e3

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Teorema (Encaje o del Sandwich) Si {an } y {bn } tienen por l´ımite l y existe n0 ∈ N tal que an ≤ cn ≤ bn ,

∀n ∈ N, n ≥ n0

entonces la sucesi´on {cn } tambi´en es convergente y su l´ımite es l.

Teorema Si l´ım |an | = 0 entonces l´ım an = 0 n→∞

´ Convergencia de una sucesion

n→∞

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Ejemplo Calcular



l´ım

n→∞

Solucion: ´ Se tiene:

cos n n



=0

cos n ≤ 1 0≤ n n 

(0) −→ 0;

1 −→ 0 n

y



Luego por el Teorema de Sandwich cos n n −→ 0

entonces

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cos n n



−→ 0

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Teorema Si la sucesi´on {an } es convergente entonces {an } es una sucesi´on acotada El reciproco de este teorema no es, necesariamente, verdadero es decir, el acotamiento no implica la convergencia.

´ Teorema (De las sucesiones monotonas) 1. Toda sucesi´on mon´otona creciente acotada superiormente es convergente 2. Toda sucesi´on decreciente y acotada inferiormente es convergente.

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P ROPIEDADES

1. Si {a2n } es convergente, entonces no necesariamente {an } es convergente. 2. Si {an } y {bn } son divergentes, entonces no necesariamente {an + bn } es divergente. 3. Si {an } y {bn } son divergentes, entonces {an .bn } es divergente. 4. {an } es divergente, entonces {a2n } no es necesariamente divergente.

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S UMATORIAS ´ de numeros ´ Sucesion reales tales que sus t´erminos est´an dados ´ mediante una formula en t´erminos de su ´ındice y que toma valores enteros consecutivos. Lo denotaremos ai (ai se ´ denomina el t´ermino general de la sucesion).

Ejemplo 2, 6, 12, 20, 30, . . . 4, 7, 10, 13, 16, . . .

ai = i(i + 1) ai = 3i + 1

´ Denotamos la suma de todos los t´erminos de una sucesion desde el que corresponde al ´ındice p hasta el que corresponde al ´ındice q mediante : q X

ai = ap + ap+1 + ap+2 + . . . + aq

i=p Sumatoria Finita

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E JEMPLO I

n X

i = 1 + 2 + ... + n

i=1 n X

i=

i=1 I

n X

n(n + 1) 2

i2 = 12 + 22 + . . . + n2

i=1 n X i=1 I

8 X

i2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

i(i − 2) = 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + 48 = 133

3

I

n X

(i2 + 1) = 2 + 5 + 10 + 17 + . . . + (n2 + 1)

i=1 Sumatoria Finita

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P ROPIEDADES 1. Sea c una constante cualquiera, entonces q X i=p

c = |c + c + c{z+ . . . + }c = (q − p + 1)c q−p+1 veces

2. Sea c una constante cualquiera, entonces q X

cai = c

i=p

3.

q X i=p

Sumatoria Finita

q X

ai

i=p

    q q X X (ai + bi ) =  ai  +  bi  i=p

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i=p

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4.

q X i=p

q−c X

ai =

ai+c

i=p−c

´ 5. Telescopica n X

(ai+1 − ai ) = an+1 − a1

i=1

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E JEMPLO Ejemplo Hallar la siguiente sumatoria 20 X k=1

1 −1

4k2

1 1 1 = = 2 4k − 1 (2k + 1)(2k − 1) 2 Sea: ak =



1 1 − 2k − 1 2k + 1



1 2k − 1

Luego ak+1 = Sumatoria Finita

1 1 = 2(k + 1) − 1 2k + 1

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20 1X 1 1 =− − 2 k=1 2k + 1 2k − 1





=−

20 1X (a − ak ) 2 k=1 k+1

1 1 1 1− = (a1 − a21 ) = 2 2 41 

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