Tema 2: La economía de Robinson Crusoe

Tema 2: La econom´ıa de Robinson Crusoe Macroeconom´ıa 2014 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia En esta nota analizaremos el caso de un h

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Tema 2: La econom´ıa de Robinson Crusoe Macroeconom´ıa 2014 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia

En esta nota analizaremos el caso de un hogar/productor, a quien llamaremos Robinson Crusoe, que decide cuanto trabajar y cuanto consumir en un determinado per´ıodo. Podemos pensar a esta econom´ıa como las decisiones que debe tomar Robinson Crusoe viviendo solo en una isla donde debe trabajar para producir bienes de consumo. • Robinson Crusoe elige cuanto trabajar y cuanto consumir. • No hay mercados ni comercio: Robinson Crusoe es due˜ no de una parcela de tierra y produce para s´ı mismo. • La econom´ıa de Robinson Crusoe es una abstracci´on que usamos como punto de partida para entender a la econom´ıa como el resultado de la agregaci´on de las decisiones individuales de una gran cantidad de consumidores y productores. • Este modelo contiene la esencia de los problemas de decisi´on que aparecen en econom´ıas m´ as complejas, con muchos agentes y mercados. • Conceptos fundamentales del modelo de equilibrio de mercados: efectos sustituci´ on y riqueza (o ingreso) ante cambios en las oportunidades a las que se enfrentan los agentes econ´omicos. Definici´ on de una econom´ıa: Una econom´ıa est´a definida por • Las preferencias y objetivos de los agentes econ´omicos • Las restricciones que enfrentan los agentes en la toma de decisiones: – restricciones presupuestarias – restricciones tecnol´ ogicas – dotaciones iniciales • Condiciones de consistencia agregada: Oferta=Demanda en cada mercado. 1

Figure 1: Funci´ on de producci´on de Robinson Crusoe

1

Tecnolog´ıa

Robinson Crusoe puede producir bienes de consumo usando esfuerzo laboral (trabajo) de acuerdo a la siguiente funci´ on de producci´ on y = f (l)

(1)

donde y son los bienes producidos, l es trabajo y f (·) es la funci´on de producci´on que transforma trabajo en bienes de consumo. Supondremos adem´as que: • hay un solo bien de consumo en la econom´ıa, • no hay posibilidades de almacenar bienes entre per´ıodos. Analizaremos posibilidades de almacenamiento m´ as adelante en el curso. La funci´on de producci´ on, graficada en la Figura 1, satisface las siguientes condiciones: dy = f 0 (l) > 0 ⇒ Productividad marginal del trabajo positiva (f es creciente) dl d2 y = f 00 (l) < 0 ⇒ Ley de rendimientos decrecientes (f es c´oncava) dl2 f (0) = 0 ⇒ Sin trabajo no hay producci´on

1.1

Avance tecnol´ ogico y aumentos de productividad

Decimos que hay un avance tecnol´ ogico cuando Robinson Crusoe es capaz de producir m´as bienes ofreciendo la misma cantidad de trabajo. En t´erminos matem´aticos, un avance tecnol´ogico es un cambio en la funci´ on de producci´ on de f (l) a fˆ (l) tal que fˆ (l) > f (l) para todo l. ¿Qu´e ocurre con

2

Figure 2: Avance tecnol´ogico la productividad marginal del trabajo cuando hay un avance tecnol´ogico? En teor´ıa, puede subir o bajar. Sin embargo, estudios emp´ıricos muestran que un avance tecnol´ogico viene acompa˜ nado tambi´en con un aumento de la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. En la Figura 2 mostramos el caso de un avance tecnol´ogico que sube la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. De hecho, usualmente escribimos y = Af (l) y modelamos incrementos de la productividad con subas en el par´ametro A. De este modo, una suba de A tambi´en implica una suba en la productividad marginal del trabajo. Para ver esto, notemos que PML =

dy = Af 0 (l) dl

es creciente en A para cada nivel de trabajo l. Ejercicio: dibuje una funci´ on de producci´on donde un avance tecnol´ogico est´e asociado con una disminuci´ on en la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l. Ejemplo: funci´ on de producci´ on Cobb-Douglas Supongamos la siguiente funci´ on de producci´on Cobb-Douglas y = Alα

(2)

donde A > 0 y 0 < α < 1. La productividad marginal del trabajo es dy = αAlα−1 > 0 para todo l. dl Notemos adem´ as que podemos escribir dy Alα y =α =α . dl l l 3

(3)

Esto muestra que con una funci´ on de producci´on Cobb-Douglas la productividad marginal es proporcional (con factor de proporcionalidadα) a la productividad media y/l. La funci´ on de producci´ on Cobb-Douglas es c´oncava: d2 y = α (α − 1) Alα−2 = −α (1 − α) Alα−2 < 0 para todo l > 0. dl2 La funci´on de producci´ on Cobb-Douglas satisface f (0) = 0, f (0) = A0α = 0. La funci´on de producci´ on Cobb-Douglas tiene otras dos propiedades interesantes. La primera es que la productividad marginal del trabajo converge a infinito cuando el trabajo converge a cero: αA = +∞. l→0 l1−α

lim αAlα−1 = lim

l→0

La segunda es que la productividad marginal del trabajo converge a cero cuando el trabajo tiende a infinito: lim αAlα−1 = lim

l→+∞

2

αA

l→+∞ l1−α

= 0.

Preferencias por consumo y ocio/trabajo

Robinson Crusoe tiene la siguiente funci´on de utilidad u (c, h)

(4)

donde c es consumo de bienes y h es consumo de ocio. Supondremos adem´as que Robinson Crusoe tiene una dotaci´ on de tiempo T que puede dedicar a trabajar o a consumir ocio l + h = T.

(5)

Usualmente normalizamos el tiempo disponible a T = 1. Supondremos que consumir bienes y ocio genera utilidad: ∂u (c, h) ∂u (c, h) = uc (c, h) > 0; = uh (c, h) > 0 ∂c ∂h

(6)

y adem´as supondremos que la funci´ on de utilidad es c´oncava: ∂ 2 u (c, h) ∂ 2 u (c, h) = u (c, h) < 0; = uhh (c, h) < 0 cc ∂c2 ∂h2

(7)

ucc (c, h) uhh (c, h) − uch (c, h)2 > 0.

(8)

4

Curvas de indiferencia entre consumo y ocio Las curvas de indiferencias de un consumidor son los pares de consumo y ocio (c, h) que derivan cierto nivel de utilidad: ¯ = u (c, h) U

(9)

Podemos pensar a una curva de indiferencia como el gr´afico del consumo c como una funci´on del ocio ¯ . Naturalmente, como la utilidad es mayor cuando aumenta el consumo h para el nivel de utilidad U de bienes o de ocio, el nivel de utilidad es mayor si nos movemos hacia curvas de indiferencias que quedan hacia el nordeste. El panel A de la Figura 3 muestra el mapa de curvas de indiferencia ¯2 > U ¯1 . Las curvas de indiferencias son decrecientes entre consumo y ocio con niveles de utilidad U y convexas. Son decrecientes porque satisfacen el principio de que “m´as es mejor”. Esto es, si subo la cantidad de uno de los bienes, voy a tener que bajar la del otro para dejarlo indiferente, de otro modo la utilidad subir´ıa. La convexidad de la curva de indiferencia refleja la ley de las utilidades marginales decrecientes: sobre la curva de indiferencia, la tasa a la cual estoy dispuesto a renunciar al consumo de bienes c para aumentar el consumo de ocio h marginalmente decrece en la medida que el nivel de consumo es menor. Veamos las propiedades anteriores anal´ıticamente. Para ver que la curva de indiferencia es ¯ . De este decreciente, pensamos a c como una funci´on de h, c (h) , dado un nivel de utilidad U modo, la curva de indiferencia (9) satisface ¯ = u (c (h) , h) . U Derivando ambos lados de la ecuaci´ on con respecto al ocio h y usando la regla de la cadena obtenemos d ¯ d U= u (c (h) , h) dh dh dc + uh (c, h) . 0 = uc (c, h) dh ¯ , se cumple que Resolviendo para dc/dh encontramos que, en los puntos (c, h) donde u (c, h) = U uh (c, h) dc =− < 0. dh uc (c, h)

(10)

Esto prueba que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa. El t´ermino uh /uc se denomina la “tasa marginal de sustituci´ on” entre ocio y consumo y refleja la valuaci´on subjetiva del ocio en t´erminos de unidades de consumo: cuantas unidades de bienes de consumo estoy dispuesto a renunciar para que me den una unidad m´as de ocio. Probar que las curvas de indiferencia son convexas requiere m´as trabajo. Dejamos la demostraci´on formal para el Anexo al final de la nota.

5

Figure 3: Preferencias sobre consumo-ocio y consumo-trabajo

Preferencias sobre consumo y trabajo En el libro de Barro ver´ an que las curvas de indiferencia est´an graficadas en t´erminos de consumo y trabajo (un “mal” en el sentido de que trabajar genera desutilidad) en vez de consumo y ocio. Matem´aticamente lo que est´ a haciendo Barro es reemplazar la restricci´on de tiempo (5), h + l = 1, en la funci´on de utilidad en lugar del ocio (normalizamos T = 1), u (c, 1 − l) , y dibujar las curvas de indiferencia en los ejes (c, l) en lugar de los ejes (c, h). El panel derecho de la Figura 3 muestra las curvas de indiferencia entre consumo y trabajo. Ejercicio: explique intuitivamente por qu´e las curvas de indiferencias en los ejes (c, l) tienen pendiente positiva, son convexas, y los niveles de utilidad crecen en la medida que nos movemos hacia el noroeste. Ejemplo: funci´ on de utilidad Cobb-Douglas Consideremos la siguiente funci´ on de utilidad Cobb-Douglas: 1

1

u (c, h) = c 2 h 2 Entonces

1 1 1 uc = c− 2 h 2 > 0, 2 1 1 1 uh = c 2 h− 2 > 0, 2 1 3 1 ucc = − c− 2 h 2 < 0 4

6

1 1 3 uhh = − c 2 h− 2 < 0 4 1 1 1 uch = c− 2 h− 2 > 0. 4 Estas derivadas satisfacen las condiciones (6), (7) y (8) por lo que las curvas de indiferencia tiene pendiente negativa y son convexas. En este caso incluso podemos encontrar las curvas de indiferencia de manera anal´ıtica: ¯ = c 21 h 12 U Resuelvo para c como funci´ on de h :

¯ U

1

c2 =

1

h2 o bien c=

¯2 U . h

(11)

Veamos las propiedades de las curvas de indiferencia. Primero, vemos que son decrecientes ¯2 U dc = − 2 < 0. dh h Derivamos una vez m´ as para mostrar que son c´oncavas, ¯2 d2 c U = 2 > 0. dh2 h3 En t´erminos de consumo y trabajo, podemos reemplazar h = 1 − l en (11) y obtenemos, c=

¯2 U . 1−l

Veremos que la pendiente es positiva y que es convexa. Derivando con respecto a l, ¯2 dc U = > 0. dl (1 − l)2 Para ver convexidad, derivamos una vez m´as: ¯2 d2 c ¯ 2 (1 − l)−3 × (−1) = 2 U = (−2) U > 0. dl2 (1 − l)3

3

Elecci´ on de consumo y trabajo

Robinson Crusoe maximiza su utilidad eligiendo el consumo, ocio y trabajo sujeto a las restricciones de tecnolog´ıa y de tiempo El problema general de Robinson Crusoe es el siguiente Problema 1: max u (c, h) c,h,l

7

sujeto a c = f (l) l + h = 1. Hay varias formas equivalentes de resolver este problema. Podemos usar la segunda restricci´ on, resolver para el trabajo l y reemplazar el resultado en la primera restricci´on. De este modo, el problema de Robinson Crusoe se convierte en Problema 2: max u (c, h) c,h

sujeto a c = f (1 − h) . La soluci´on a este problema est´ a graficado en el panel A de la Figura 4. Finalmente, podemos introducir la restricci´on en la funci´on de utilidad y resolver el siguiente problema simplificado: Problema 3: max u (f (1 − h) , h) . h

La condici´on de primer orden es uc (c, h) f 0 (1 − h) × (−1) + uh (c, h) = 0 o bien

uh (c, h) = f 0 (1 − h) uc (c, h)

(12)

que nos dice que la tasa marginal de sustituci´on entre ocio y consumo (MRS) debe ser igual a la productividad marginal del trabajo. Para interpretar intuitivamente esta ecuaci´on, la reescribamos del siguiente modo uh (c, h) = f 0 (1 − h) uc (c, h) Supongamos que Robinson Crusoe decide aumentar en el margen su oferta de trabajo. El costo en t´erminos de utilidad de ese aumento marginal del trabajo es uh (c, h) . Por otro lado, al trabajar un poco m´as, Robinson produce f 0 (1 − h) m´as unidades de bienes. El valor marginal en t´erminos de utilidad de consumir un poco m´ as de bienes es uc (c, h) . Por lo tanto, el beneficio marginal medido en t´erminos de utilidad de incrementar el trabajo ligeramente es f 0 (1 − h) uc (c, h). En el ´optimo, el costo marginal de trabajar m´ as, capturado por el t´ermino uh (c, h), debe ser igual al beneficio marginal de ese trabajo adicional, capturado por el t´ermino f 0 (1 − h) uc (c, h). 8

Figure 4: Elecci´ on ´optima entre consumo y ocio/trabajo

Elecci´ on entre consumo y trabajo Tambi´en podemos plantear el problema de Robinson Crusoe como en el libro de Barro. En vez de pasar del Problema 1 al Problema 2, ahora usamos la restricci´on 1 = h + l para resolver por el ocio h y reemplazamos la soluci´ on en la funci´on objetivo. De este modo, el problema se reduce a max u (c, 1 − l) sujeto a c = f (l) . c,l

La soluci´on a este problema est´ a graficado en el panel B de la Figura 4. Como en el caso del ocio, podemos reemplazar c en la funci´on objetivo y maximizar max u (f (l) , 1 − l) . l

La condici´on de primer orden es uc (f (l) , 1 − l) f 0 (l) + uh (f (l) , 1 − l) × (−1) = 0. Reorganizando t´erminos llegamos a uh (f (l) , 1 − l) = f 0 (l) uc (f (l) , 1 − l)

(13)

que es la misma condici´ on que (12) pero en t´erminos de trabajo. Ejemplo: Consideremos un ejemplo con funci´on de utilidad y funci´on de producci´on CobbDouglas. En particular, supongamos que u (c, h) = cφ h1−φ y 9

f (l) = Alα , donde 0 < φ < 1 y 0 < α < 1. La tasa marginal de sustituci´ on entre ocio y consumo es uh (c, 1 − l) = uc (c, 1 − l)



1−φ φ



c . 1−l

La productividad marginal del trabajo es f (l) = αAlα−1 . Usando la condici´ on (13) encontramos 

1−φ φ



c = αAlα−1 . 1−l

Pero en equilibrio la condicion de factibilidad requiere que c = Alα . Reemplazando en la condici´ on de arriba encontramos 

1−φ φ



Alα = αAlα−1 . 1−l

o bien 

Resolvemos

1−φ φ



1 1−l = α l 1 = −1 l

1 1 − φ + φα = l φα

o l∗ =

φα . 1 − φ + φα

Noten que 0 < l∗ < 1. De la funci´ on de producci´on tenemos ∗



α



c = y = Al = A

φα 1 − φ + φα

α .

Notar que la elecci´ on ´ optima de trabajo l∗ no depende del nivel de productividad A.

10

4

Est´ atica comparativa

Consideremos una funci´ on de producci´on de la forma y = Af (l) . En esta secci´ on analizaremos el efecto de una suba en la productividad de la econom´ıa reflejada en un aumento en el par´ ametro A de A0 a A1 > A0 . Notar que este aumento tecnol´ogico implica una mayor producci´ on para cada nivel de trabajo (y crece para cada l) y un aumento en la productividad marginal del trabajo para cada l. La Figura 5 muestra el impacto sobre el equilibrio del aumento de la productividad. El equilibrio original se encuentra en el punto c∗0 y l0∗ , donde la curva de indiferencia ¯0 es tangente a la frontera de posibilidades de producci´on (esto es, la funci´on de producci´ U on) representada por A0 f (l) (l´ınea roja). Despu´es del aumento de la productividad, la nueva funci´ on de producci´on viene dada por A1 f (l) (l´ınea verde). Como aprendieron en microeconom´ıa, podemos separar el efecto total en la suma de los efectos sustituci´on y riqueza (o ingreso). Usaremos la versi´on del efecto sustituci´ on de Hicks, que consiste en desplazar paralelamente la nueva funci´ on de producci´on de tal manera que sea tangente a la curva de indiferencia del equilibrio original. En la ¯0 es tangente en Figura 5 este punto de tangencia ocurre donde la curva de indiferencia original U el punto (˜ c, ˜l) con la curva entrecortada verde, llamada A1 f (l) − K. El t´ermino −K significa que estamos desplazando la funci´ on de producci´on A1 f (l) paralelamente hacia abajo en la cantidad K. El efecto sustituci´ on implica un incremento del trabajo y del consumo. La intuici´on de este resultado es la siguiente: al aumentar la productividad marginal del trabajo para cada l, el costo de oportunidad de consumir una unidad adicional de ocio en t´erminos de bienes de consumo se incrementa. En otras palabras, sube el precio relativo del ocio en t´ermino de bienes de consumo. El efecto sustituci´ on implica aumentar el consumo del bi´en relativamente m´as barato (el bien de consumo c) y bajar el consumo del bien relativamente m´as caro (el ocio o, lo que es lo mismo, aumentar el trabajo). Abajo discutiremos como encontrar matem´aticamente el punto (˜ c, ˜l). El efecto riqueza se obtiene considerando el cambio desde el punto (˜ c, ˜l) hacia el punto de elecci´on ´optima bajo la nueva funci´ on de producci´on, representada por el par de consumo y trabajo c∗1 y l1∗ . Como el consumo y el ocio son ambos bienes normales, el efecto riqueza puro implica que tanto el consumo como el ocio deben aumentar, por lo que el trabajo debe caer. La ca´ıda del trabajo est´a reflejada en la diferencia entre ˜l y l1∗ . De este modo, si bien el consumo de bienes sube necesariamente (ya que los efectos sustituci´on y riqueza se refuerzan) el trabajo puede subir o bajar, dependiendo cual efecto es mayor: si el impacto expansivo del efecto sustituci´on o el impacto contractivo del efecto riqueza. La Figura 5 muestra un caso donde el efecto riqueza es m´as fuerte que el efecto sustituci´ on, generando una ca´ıda en el trabajo luego del aumento de la productividad. En resumen: • Efecto sustituci´ on: sube el consumo y sube el trabajo (cae el ocio) • Efecto riqueza: sube el consumo y cae el trabajo (sube el ocio) 11

Figure 5: Efecto de un aumento en la productividad • Efecto total: sube el consumo y el trabajo puede subir o bajar dependiendo de cual efecto domina En el libro de Barro se observa que, en Estados Unidos, desde el per´ıodo de posguerra hasta 1997 las horas trabajadas son estables. Antes del per´ıodo de posguerra se observ´o una ca´ıda grande en las horas trabajadas. ¿Como podemos racionalizar estas observaciones usando el modelo? • Interpretamos el desarrollo econ´ omico como una suba continua de la productividad • Para niveles bajos de productividad: efecto riqueza le gana al efecto sustituci´on generando una disminuci´ on de las horas trabajadas y un aumento del ocio • Para niveles mayores de riqueza, los efectos sustituci´on y riqueza se cancelan y las horas trabajadas no cambian cuando sube la productividad. Para finalizar esta nota, discutiremos c´omo podemos encontrar anal´ıticamente el punto asociado con el efecto sustituci´ on (˜ c, ˜l). Este punto tiene que ser tal que: ¯0 , por lo que 1. el nivel de utilidad es U ¯0 = u(˜ U c, ˜l),

12

(14)

2. en el punto (˜ c, ˜l), la curva de indiferencia es tangente a la funci´on de producci´on Af (l): uh (˜ c, 1 − ˜l) = A1 f 0 (˜l) uc (˜ c, 1 − ˜l)

(15)

Las ecuaciones (14) y (15) forman un sistema de dos ecuaciones en dos inc´ognitas. La soluci´ on ˜ de este sistema es el par de consumo y trabajo c˜ y l. Una vez que tenemos esos valores, podemos encontrar la constante K notando que c˜ = A1 f (˜l) − K.

Anexo: convexidad de las curvas de indiferencia. Esta secci´on de las notas no ser´ a evaluada. La incluyo para aquellos interesados en la prueba formal de la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo los supuestos de que la funci´on de utilidad es creciente en consumo y ocio, y c´ oncava, podemos probar la convexidad de las curvas de indiferencia como sigue. Escribamos la condici´ on (10) haciendo expl´ıcito que, sobre la curva de indiferencia, c es una funci´ on de h :

dc uh (c (h) , h) =− . dh uc (c (h) , h)

Derivando ambos lados de esta expresi´ on con respecto a h (usando regla de la cadena y la derivada de una raz´on de funciones) tenemos:    dc  dc uhc dh + uhh uc − uh ucc dh + uch d2 c =− dh2 [uc ]2 Reemplazando

dc dh

por la expresi´ on (10) encontramos h d2 c dh2

=−

=− =

h  i i    uhc − uuhc + uhh uc − uh ucc − uuhc + uch

[uc ]2 h i 2 −uhc uuhc uc + uhh uc − −ucc (uuhc) + uh uch [uc ]2

uc uhc uh − uhh (uc )2 − ucc u2h + uc uh uch [uc ]3

.

Por lo que   − uhh u2c + ucc u2h − 2uc uhc uh d2 c = . dh2 [uc ]3 Notemos que si uhc > 0, el t´ermino uhh u2c + ucc u2h − 2uh uc uhc < 0 por lo que d2 c > 0. dh2 13

(16)

Este es el caso relevante desde el punto de vista econ´omico: si subo mucho el consumo de bienes es esperable que tambi´en suba la utilidad marginal de consumir un poco m´as de ocio. Sin embargo tambi´en podemos probar que si uhc < 0, la condici´on de concavidad (8) va a implicar que la curva de indiferencia es convexa. Para finalizar la prueba, el supuesto de que la funci´on de utilidad es c´oncava (esto es, se cumple la condici´ on (8)) implica (uch )2 < ucc uhh . De modo que si uhc < 0 tenemos1 0 < −uch <



ucc uhh .

Por lo tanto, el t´ermino del numerador de la ecuaci´on (16) (sin el signo negativo) satisface √ uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc (−uhc ) < uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc ucc uhh 2 √ √ = − −uhh uc − −ucc uh < 0. Esta desigualdad junto con (16) implican d2 c >0 dh2 independientemente del signo de uch . Por lo tanto, la curva de indiferencia es convexa.

1

√ √ Esto sale de resolver la desigualdad x2 ≤ M : − M ≤ x ≤ M .

14

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