TRABAJO FIN DE GRADO Título

Juegos de ingenio: Aplicación a la competencia matemática Autor/es

Adrián del Álamo Palacios Director/es

José Ignacio Extremiana Aldana Facultad

Facultad de Letras y de la Educación Titulación

Grado en Educación Primaria Departamento

Curso Académico

2013-2014

Juegos de ingenio: Aplicación a la competencia matemática, trabajo fin de grado de Adrián del Álamo Palacios, dirigido por José Ignacio Extremiana Aldana (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

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El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014 publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected]

Trabajo de Fin de Grado

JUEGOS DE INGENIO: APLICACIÓN A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA Autor:

Adrián del Álamo Palacios Tutor/es:

Fdo.José Ignacio Extremiana Aldana Titulación:

Grado en Educación Primaria [206G]

Facultad de Letras y de la Educación

AÑO ACADÉMICO: 2013/2014

ÍNDICE INTRODUCCIÓN

Pág.3

DESARROLLO

Pág.8

Dominó Propuesta de actividades Tetris

Pág.9 Pág.11 Pág.16

Propuesta de actividades Puzle

Pág.17 Pág.24

Propuesta de actividades Tangram Propuesta de actividades Sucesiones Propuesta de actividades

Pág.25 Pág.31 Pág.33 Pág.38 Pág.39

EVALUACIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Pág.50

OTROS JUEGOS

Pág.52

Sudoku

Pág.52

Kenken

Pág.53

Sujito y suko

Pág.53

CONCLUSIONES

Pág.56

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Pág.57

Adrián del Álamo Palacios Juegos de ingenio: Aplicación a la competencia matemática

RESUMEN La didáctica de las matemáticas ha tenido muchas visiones hasta ser lo que ahora conocemos, pero todavía los estudiantes siguen desmotivados con las matemáticas. Buscar nuevas formas para motivar a los estudiantes es trabajo de los nuevos maestros y una de esas formas es introducir juegos en el aula. En este trabajo propongo una serie de actividades con juegos de ingenio para trabajar en el aula y motivar a los alumnos.

ABSTRACT The didactics of the mathematics has had many visions up to being what we know now, but the students still continue demoralized with the mathematics. To look for new forms to motivate the students is a work of the new teachers and one of those forms is to introduce games in the classroom. In this project I propose some activities with games of ingenuity to use in the classroom and to motivate the pupils.

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INTRODUCCIÓN

La didáctica es la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje de una materia [Freudenthal, 1991].

La didáctica de las matemáticas tiene una corta historia, pero a pesar de ello ha sufrido bastantes cambios. Hasta mediados del siglo XX, los maestros se basaban en los libros de Euclides. Es después de esto cuando, en los años 50 y 60 apareció un movimiento renovador denominado “matemáticas modernas” llevado a cabo por el grupo “Bourbaki”. Este movimiento estaba forjado sobre el grito de Dieudonné “abajo Euclides” y es entonces cuando se empieza a hablar de la didáctica de las matemáticas. Esta se basaba en un método de conceptos axiomático, en la teoría de conjuntos y en un cambio en la Educación Matemática que rechazaba los contenidos que se enseñaban hasta ese momento. Con el tiempo la sociedad observó que las “matemáticas modernas” habían sido un fracaso: los maestros no enseñaban bien y los alumnos no aprendían lo suficiente, ya que se daba de lado la geometría. Esto favoreció la aparición de nuevas teorías, como el retorno a lo básico o la enseñanza basada en la resolución de problemas. Con la práctica se vio que el retorno a lo básico no era la solución para el fracaso anterior, lo que hizo que Hans Freudenthal y George Polya, entre otros, se replantearan la didáctica de las matemáticas [García, 2013]. George Polya (1887-1985) nació en Budapest y, huyendo de Hitler, se instaló en Palo Alto, California. En su vida, Polya recibió numerosos premios por su labor, llegando a ser considerado el padre la heurística [Bellot, 2003]. Nos dice Juan Antonio García [García, 2013] que la heurística es el estudio de métodos de descubrimiento y de invención. Polya inauguró la heurística moderna, tratando de comprender los procesos mentales que se ponían en juego durante la resolución de problemas. Polya trataba de comprender la resolución de problemas desde el punto de

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vista de un resolutor ideal. Para este autor, la resolución de problemas consiste en cuatro fases: · Comprender el problema: donde veremos qué datos tenemos y cuál es la incógnita que se nos presenta. · Concebir un plan: ver si tenemos que utilizar todos los datos, buscar problemas que conozcamos y que sean parecidos… · Ejecutar un plan: llevaremos a cabo el plan y veremos si lo hemos hecho bien. · Examinar la solución obtenida: donde razonaremos si el resultado obtenido es o no correcto. A partir del trabajo de Polya han ido apareciendo otras obras como la de Miguel de Guzmán. Miguel de Guzmán (1936-2004) fue un escritor y matemático español que perteneció a la orden de los jesuitas. Dedicó toda su vida a la Educación matemática y en 1991 fue nombrado presidente de la ICMI, siendo el primer español en desempeñar ese cargo [Rubio Segovia]. El modelo de Guzmán propone cuatro fases prácticamente idénticas a las de Polya, pero a diferencia de este, se añade la reflexión sobre los pensamientos y la extracción conclusiones para futuros problemas [García, 2013]. Los problemas surgidos con la “matemática moderna” eran evidentes: los alumnos no aprendían ni bien, ni lo suficiente, y además se estaban perdiendo conocimientos sobre geometría. Por esto Hans Freudenthal, que era un claro opositor de la “matemática moderna”, propuso unos cambios en la forma de enseñar las matemáticas. Hans Freudenthal nació en Brandeburgo en 1905. Fue didacta, matemático y un opositor directo de la “matemática moderna”. Recibió numerosos premios y honores, como ser miembro honorario de la Academia Internacional de Historia de la Ciencia. Murió en 1990 en Utrecht [WebAcademia].

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La premisa de Freudenthal era la “matemática como actividad humana”, por eso el punto de partida de su teoría se centra en la práctica de enseñanza y no sólo en la transmisión de conocimientos. La visión de Freudenthal es que no todos los alumnos serán matemáticos, por lo que las matemáticas que debemos enseñarles han de ser las que vayan a utilizar en la vida diaria. Para este matemático y didacta es fundamental matematizar objetos, temas o situaciones de la vida diaria. Así, la enseñanza de las matemáticas debe guiarse a matematizar la realidad del día a día de cada alumno. También Freudenthal habla del trabajo en equipo. Dice que tanto los alumnos más trabajadores, como los que lo son menos pueden mejorar si trabajan en grupos heterogéneos [Gravemeijer y Terwel, 2000]. Actualmente los problemas con la enseñanza de las matemáticas son muchos. Según mi experiencia en cursos intermedios, muchos alumnos se aburren en las clases de matemáticas, no las entienden bien, se desmotivan hacia su uso y las ven como algo inútil. Es posible que bastantes de ellos vengan arrastrados por los fracasos del pasado, pero también es cierto que algunos maestros de hoy en día no tratan de solucionarlos, pues siguen basándose en el libro y en el mero discurso, haciendo que los alumnos memoricen sin aprender nada. Esta monotonía, unida a la desmotivación del alumnado hacia las matemáticas, hace que todos los problemas se acrecienten. Está comprobado que los recursos externos al libro nos pueden ayudar a asentar los contenidos en el alumno, así como a favorecer la motivación. Unos de estos recursos son los juegos de ingenio, llamados comúnmente pasatiempos o rompecabezas. A lo largo de los siglos, muchos pueblos han utilizado el intelecto para jugar. Es probable que los primeros pasatiempos aparecieran con el lenguaje humano, pero la primera utilización física de rompecabezas son los laberintos de las pirámides de Egipto que datan del siglo XIX a.C. [Morán Blázquez] Actualmente, los juegos de ingenio se pueden encontrar tanto en la prensa, como en libros específicos de pasatiempos, si nos decantamos por el formato digital, las páginas y blogs dedicados a este tipo de juegos son muchísimos. Por un lado, nuevos grupos matemáticos como Azarquiel, están proponiendo la introducción de juegos de ingenio en la didáctica de las matemáticas, así como actividades con estos. Por otro lado, podemos encontrar también artículos en

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revistas, como la revista Épsilon, que tratan sobre los juegos de ingenio en la prensa. Uno de esos artículos es el de Antonio Fernández-Aliseda, Juan Antonio Hans y José Muñoz. Otros autores como Ana María Azcárate, están impartiendo diferentes cursos, a través de España, que tratan los juegos de ingenio en el aula de matemáticas. Voy a trabajar con juegos de ingenio porque, además del uso que todos conocemos como pasatiempo, tienen un valor didáctico importante si los utilizamos bien. Llevarlos al aula como un material más, permitiendo que los alumnos los incorporen a su vida, puede hacer que los alumnos se vean motivados y reforzados positivamente al ver que lo que aprenden está reflejado en la vida real. De todas las teorías didácticas que he visto -como el retorno a lo básico o el estilo mecanicista-, en mi opinión las más acertadas son: la resolución de problemas y la visión didáctica de Freudenthal. Considero que la individualización de la matemática que nos ofrece Freudenthal es una muy buena manera de enseñar. Esta, junto con la resolución de problemas, y aplicadas de manera individualizada, puede ayudarnos a paliar los problemas que tienen los alumnos, como la comprensión de algunos conceptos matemáticos. Acercaré las actividades que voy a proponer a la realidad del alumnado, con el fin de motivarles y de que ellos sean los que creen sus propias estrategias de resolución. A través de algunas competencias básicas, contenidos y objetivos voy a analizar la utilidad en el aula de matemáticas de cinco juegos de ingenio, pero antes explicaré qué son las competencias, los contenidos y los objetivos. Por un lado, una competencia básica es el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes que los alumnos deben haber conseguido cuando haya acabado su enseñanza básica. Por otro lado, un contenido es un conjunto de conocimientos científicos, habilidades, destrezas, actitudes y valores que los alumnos deben aprender para un desarrollo pleno. Por último, un objetivo es un resultado que los alumnos tienen que alcanzar, al finalizar un proceso de enseñanza-aprendizaje destinado para ese fin. En este trabajo mostraré el uso como material didáctico de refuerzo que tienen los juegos de ingenio y para ello voy a proponer una serie de actividades para trabajar. Cada juego tendrá diferentes ejercicios, por lo que con cada uno voy a trabajar contenidos diferentes, por ello el juego no se presentará a los alumnos en un determinado momento

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y luego desaparecerá, si no que lo utilizaremos a lo largo del curso. Muchas actividades estarán acompañadas de ilustraciones que en su mayoría están hechas por mí. Las competencias, los objetivos y los contenidos los voy a extraer de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, del Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria y del Decreto 4/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja. Los contenidos los voy a elegir de los cuatro bloques de contenidos destinados al segundo ciclo de Educación primaria, por lo que las actividades que proponga quedarán enmarcadas dentro de este ciclo.

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DESARROLLO La estructura de cada juego será la siguiente: expondré de forma breve la historia de los juegos de ingenio con los que voy a trabajar, así como la forma clásica de jugar con ellos. En cada juego comentaré qué competencias se trabajan o se pueden trabajar con él. Además cada actividad tendrá unos objetivos y contenidos específicos. Los analizaré para ver la aplicación matemática y propondré una serie de actividades según las teorías de la resolución de problemas y de Freudenthal combinadas. Los pasatiempos que he escogido son el dominó, el tetris, los puzles, el tangram y las sucesiones, ya que considero que todos tienen su utilidad a pesar de su antigüedad. Con el conjunto de las actividades que voy a plantear, me propongo conseguir los siguientes objetivos generales [R.D., 1513/2006 y Decreto, 4/2011]: · Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana. · Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y el esfuerzo e interés por su aprendizaje. · Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso. · Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados. · Utilizar el castellano correcto, con el vocabulario específico de las matemáticas, en la exposición y resolución de problemas.

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DOMINÓ Origen El dominó es un juego de ingenio de procedencia china. Los primeros datos que se tienen de él son del año 1120 a.C. A pesar de su larga existencia, su entrada en Europa se data en el s. XVIII en Italia o Grecia, según indican diferentes autores [Juegos de domino]. Organización del juego El dominó original consta de 28 fichas rectangulares, aunque se han creado dominós con más fichas e incluso algunos con fichas triangulares, que reciben el nombre triminó. Estas fichas originales están divididas en dos cuadrados y dentro de cada cuadrado hay un determinado número de puntos que van de cero a seis. Las fichas del dominó no son 28 por azar. Son 28 por que esas son las combinaciones posibles, sin repetición, que se pueden realizar con los números del 0 al 6. Así, si aumentamos un número los puntos, las combinaciones son 36. Las combinaciones, que se basan en los conocidos como números triangulares descubiertos por los pitagóricos, se aclaran en la siguiente escalera: Dominó original con 28 fichas: 0-0 1-1 1-0 2-2 2-1 2-0 3-3 3-2 3-1 3-0 4-4 4-3 4-2 4-1 4-0 5-5 5-4 5-3 5-2 5-1 5-0 6-6 6-5 6-4 6-3 6-2 6-1 6-0 Si sumamos un punto más tendríamos 36 combinaciones: 7-7 7-6 7-5 7-4 7-3 7-2 7-1 7-0 Si sumamos un punto más tendríamos 45 combinaciones: 8-8 8-7 8-6 8-5 8-4 8-3 8-2 8-1 8-0

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¿Cómo se juega? Se juega uniendo los extremos de las fichas, haciendo que coincida el número de puntos de los dos cuadrados que quedarán unidos. Si la ficha que se une es doble, es decir, que en los dos cuadrados tiene el mismo número de puntos, se pondrá en perpendicular, uniendo así los dos cuadrados iguales al extremo de la ficha que unimos. El dominó y las matemáticas Es un juego con una base matemática y podemos trabajar con él en su forma básica tanto con los números de su interior, como con la geometría de sus fichas, en las cuales podemos distinguir tres figuras planas: un rectángulo y dos cuadrados. Si lo vemos en tres dimensiones, nos encontramos con tres paralelepípedos, un grande o dos pequeños. También podemos trabajar las igualdades, pues la dinámica del juego consiste en ir igualando números. Dentro de cada ficha hay números con los que tenemos que jugar, pero no tenemos que operar con ellos, sólo combinarlos de manera que dejemos al contrincante sin opción de poner ficha. Posibilidades que nos brinda Las posibilidades que tenemos para trabajar con él son muy variadas. Por un lado podemos jugar con él en su formato original y nos permitirá trabajar con números, geometría o raíces como veremos más adelante. Por otro lado si cambiamos el contenido de las fichas nos permite trabajar con casi cualquier contenido del currículo, desde igualdades hasta cálculo mental. Relación del dominó con las Competencias básicas. Este juego está relacionado con la competencia matemática ya que se trabaja continuamente con los números, pero además, con él practicamos la competencia lingüística, ya que los alumnos para poder jugar deben hacer un uso adecuado del lenguaje al comunicarse entre ellos. También se trabaja con este juego la competencia de aprender a aprender, pues los alumnos con el uso del juego idean sus propias estrategias y las ponen a prueba. Además al ser un juego, y por ello existe la posibilidad de ganar o perder, tienen que saber controlar sus emociones. Deben elegir qué fichas colocar y asumir los riesgos de su estrategia, por lo que también ponen en práctica la competencia de autonomía e iniciativa propia.

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Propuesta de actividades 1. Construiremos nuestro propio dominó. Sustituiremos los puntos de las fichas por diferentes operaciones y resultados. Cada ficha tendrá sus dos cuadrados originales. En algunas habrá una operación y un resultado, y en otras solo operaciones o solo resultados, de ese modo los alumnos tendrán que unir operaciones con resultados. En algunas operaciones pondremos el mismo resultado que en otras para generar así diferentes partidas. Con las combinaciones obtendremos un total de 36 fichas, ya que contaremos con cuatro operaciones y cuatro resultados. A continuación una tabla con las combinaciones que utilizaremos:

100

25x4

30

30

25

17+8

100

50-20

30

7

25

25

100

14:2

30

25

25x4

25x4

100

17+8

7

25x4

25x4

50-20

100

100

7

50-20

25x4

14:2

100

30

7

14:2

25x4

17+8

100

7

7

17+8

50-20

50-20

100

25

7

7

50-20

14:2

30

25x4

7

25

50-20

17+8

30

50-20

25

25x4

14:2

14:2

30

14:2

25

50-20

14:2

17+8

30

17+8

25

14:2

17+8

17+8

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Con este mismo modelo de operaciones podemos hacer algunas variantes como por ejemplo: Rellenaremos los cuadrados sólo con operaciones. En esta actividad los alumnos tendrán que unir operaciones equivalentes. Esta actividad la podemos realizar en cualquier momento del temario tanto en el tercero como en el cuarto curso, ya que trabajamos el cálculo mental.

Objetivos · Practicar el cálculo mental. · Utilizar y comprender las equivalencias. Contenidos · Utilización de estrategias personales de cálculo mental. · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. Metodología En esta actividad cambiaremos la disposición de aula ya que los alumnos unirán sus mesas para colocarse en grupos libres de máximo cuatro miembros. Los grupos han de ser heterogéneos, en caso de que alguno no lo fuera, el profesor cambiará a algún alumno del grupo. El profesor será quien controle el tiempo de juego y cada 5/10 minutos los alumnos rotarán para cambiarse de grupo.

2. En la segunda actividad vamos a sustituir los puntos del dominó por relojes analógicos y digitales. En uno de los cuadrados de la ficha pondremos un reloj digital marcando una hora y en otro uno analógico marcando otra hora. Los alumnos deberán unir la hora del reloj digital, con su equivalente analógico. Pondremos horas en punto, cuartos y medias. En esta actividad también

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realizaremos nuestro propio dominó, que contará con 36 fichas ya que combinaremos cuatro horas analógicas y sus cuatro equivalentes digitales. Esta actividad la vamos a llevar a cabo cuando el tema esté relacionado con la medida del tiempo tanto en el tercero como en el cuarto curso.

Objetivos · Utilizar y comprender las equivalencias. · Comprender y leer correctamente las horas digitales y analógicas, así como realizar cambios de una a otra. Contenidos · Confianza en las propias posibilidades y por compartir con los demás los procesos que utilizan la medida para obtener y expresar informaciones. · Unidades de medida del tiempo: lectura en el reloj analógico y digital. Metodología En esta actividad también cambiaremos la disposición aula ya que al igual que en la actividad anterior, los alumnos se colocarán en grupos de máximo cuatro miembros de forma libre y unirán sus mesas. Los grupos serán heterogéneos, pero en caso de que alguno no lo fuera, el profesor cambiará a algún alumno. El profesor también controlará el tiempo y cada 5/10 minutos los miembros del grupo rotarán, para que los equipos no sean siempre los mismos.

3. En la tercera actividad podemos realizar también nuestro propio dominó, ya que tenemos que aumentar el número de puntos de los cuadrados. Podemos aumentarlo hasta el número que queramos. Si no podemos hacer el nuestro propio, como ya he dicho antes, hay dominós en el mercado que tienen más puntos en los cuadrados y que tienen por tanto más fichas.

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Para trabajar con las fracciones del centro del círculo y con las fichas, lo que haremos será colocar en vertical las piezas de forma que un número quedará sobre el otro y así construiremos las fracciones. Por ejemplo: 1/2, 4/8 ó 2/3, 4/6

Formaremos un círculo en el suelo sentándonos con los alumnos. En el centro pondremos un papel con las fracciones escritas. Repartiremos las fichas y los alumnos las colocarán junto a la fracción equivalente. Esta actividad la podemos realizar cuando en el tema trabajemos las fracciones durante el cuarto curso.

Objetivos · Utilizar y comprender las fracciones. · Utilizar y comprender las equivalencias. Contenidos · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. · Comparación entre

fracciones

encillas:

mediante

ordenación

y

representación gráfica. Metodología Cambiaremos la disposición del aula. Apartaremos todas las mesas y sillas para dejar la clase despejada. Nos sentaremos junto con los alumnos en el suelo formando un círculo. El profesor colocará en el

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centro del círculo una cartulina con fracciones escritas y repartirá las fichas del dominó, de manera aleatoria, por el suelo y boca abajo. Los alumnos cogerán dos fichas cada uno. En la cartulina escribiremos diferentes fracciones para que todas las fichas del dominó tengan, al menos, una fracción equivalente en la cartulina. La actividad consistirá en colocar las fichas equivalentes a la fracción de la cartulina. Comenzará la ronda un alumno que elija el profesor. Los alumnos colocarán una ficha por cada turno junto a la cartulina. El juego acabará cuando los alumnos hayan colocado sus fichas. Al acabar se puede dar la vuelta a las fichas y los alumnos volverían a coger, aleatoriamente, otras dos fichas para jugar.

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TETRIS Origen Es uno de los videojuegos más populares de la historia. Fue inventado por Alekséi Pázhitnov en 1984. El nombre de tetris proviene de la palabra griega tetra (cuatro), ya que sus siete figuras están formadas por cuatro cuadrados unidos. Podemos encontrar este videojuego en prácticamente todas las consolas y en formato 3D. Es tan famoso que se ha llegado a jugar en fachadas de edificios y salas de cine [Pixfans]. ¿Cómo se juega al tetris? El tetris, compuesto por siete figuras geométricas, consiste en ir encajando las figuras unas con otras sin dejar huecos, de forma que al completar una fila horizontal esta desaparece y proporciona un número determinado de puntos. Las figuras aparecen de una en una y siempre después de haber colocado la anterior. Una vez se llega a la parte superior de la pantalla se acaba la partida.

Posibilidades que nos brinda Es un juego con el que podemos trabajar tanto áreas (superficies) en ciclos superiores como las formas o los colores en ciclos inferiores. Ya que yo me he centrado en el segundo ciclo de Educación primaria diré que con este juego podemos trabajar problemas con sumas, restas, divisiones y multiplicaciones utilizando el contador de puntos. Problemas como: Si por cada fila que quitamos nos dan 15 puntos, ¿cuántas filas horizontales tendré que quitar para conseguir 535 puntos? También podemos trabajar fracciones o magnitudes como capacidad o masa, tomando como referencia las piezas originales.

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Relación del tetris con las Competencias básicas Con este pasatiempo trabajamos la competencia matemática, pues debemos jugar encajando formas geométricas, además podemos ejercitar el cálculo mental cuando se suman los puntos en el contador. Por otro lado trabajamos la competencia de tratamiento de la información y competencia digital, pues al ser un videojuego tiene un soporte digital. También se utilizan las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal, puesto que además de poner en práctica las propias habilidades enriqueceremos nuestra autoestima y nos propondremos objetivos que podremos cumplir o no. Así vamos a aprender de los propios errores, crearemos unas estrategias y las llevaremos a cabo afrontando los riesgos.

Propuesta de actividades 1. En esta actividad vamos a dar a cada grupo de alumnos cuatro cuadrados. Estos deberán unirlos para buscar todas las formas posibles que se pueden hacer. Además de buscar las formas, también las dibujarán en sus cuadernos. Al final de la actividad, los alumnos del primer grupo que encuentre las siete formas, explicarán a sus compañeros cómo lo han hecho. Esta actividad la podemos realizar tanto en el tercero como en el cuarto curso, cuando el tema que estemos trabajando en el aula sea de geometría ya que trabajamos manipulando figuras geométricas.

Objetivos · Utilizar el ingenio en la construcción con figuras planas. · Utilizar el lenguaje matemático en exposiciones y definiciones matemáticas

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Contenidos · Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar las construcciones geométricas y los objetos y relaciones espaciales. · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Interés por la elaboración y la presentación cuidadosa de las formas geométricas Metodología El profesor llevará al aula, ya recortados, unos cuadrados de cartulina. Organizará a los alumnos en grupos de dos o tres componentes que unirán sus mesas, por lo que cambiaremos la composición del aula. Los grupos han de ser heterogéneos. El profesor entregará a cada grupo cuatro cuadrados y controlará en tiempo de manipulación. El tiempo de la actividad durará hasta que al menos un grupo haya conseguido las siete formas posibles. En caso de que no lo consiguieran el profesor las dibujará en la pizarra. El grupo que construya las siete piezas expondrá de manera oral a sus compañeros cómo los han hecho.

2. En la segunda actividad vamos a llevar a los alumnos al aula de ordenadores donde les dejaremos que jueguen de manera libre con el tetris. Si no disponemos del juego en formato físico (cd), podemos jugar online, ya que hay numerosas páginas que nos ofrecen este juego, como: http://www.freetetris.org/game.php Esta actividad la podemos realizar cuando el tema que trabajemos esté relacionado o se traten conceptos de geometría tanto en el tercero como en el cuarto curso. Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio.

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· Utilizar las matemáticas en el juego. Contenido · Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar las construcciones geométricas y los objetos y relaciones espaciales. Metodología El profesor llevará a los alumnos al aula de informática. Allí los organizará en grupos heterogéneos de dos o más miembros – lo conveniente serían dos alumnos por ordenador-. En caso de que se vaya a jugar online, el profesor dictará la dirección de la página web y los alumnos la introducirán en el ordenador. En caso de usar otro formato, el profesor habrá instalado con anterioridad el programa en los ordenadores. El profesor será quien estime la duración máxima de la actividad.

3. El profesor en la pizarra dibujará las piezas del tetris sin las líneas internas. Los alumnos en una hoja deberán dibujarlas y pintarlas. Una vez las hayan dibujado marcarán y contarán todos los vértices de las figuras. Tras esto, realizarán lo mismo con los lados de las demás figuras. Después de esto dibujarán en su cuaderno una tabla que nosotros previamente habremos dibujado en la pizarra. Los datos que vayan recopilando los pondrán en dicha tabla.

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Al acabar el profesor elegirá a siete alumnos, uno por figura, para que comenten los lados y vértices de cada figura de forma oral y para toda la clase. Además estos escribirán en la tabla de la pizarra los datos que ellos han recopilado de la figura que les haya tocado. Esta actividad la podemos realizar cuando en el tema que trabajemos se introduzca a los alumnos al uso de tablas de datos durante el tercer curso.

Objetivos · Iniciar a los alumnos en el uso de tablas para representar datos. · Identificar las diferentes partes del polígono: lado y vértice. Contenidos · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Tablas de datos: iniciación al uno de estrategias eficaces de recuento de datos. · Disposición a la elaboración y presentación de gráficos y tablas de forma ordenada y clara. Metodología Esta actividad se realizará de manera individual y no cambiaremos la disposición del aula. Los alumnos en sus cuadernos dibujarán y pintarán las figuras y después contarán los lados y vértices de éstas. Tras esto dibujarán la tabla y colocarán los datos en ella. Al acabar el profesor elegirá a siete alumnos para que, de manera oral y para el resto de sus compañeros, expongan las soluciones.

4. Otra actividad que propongo es la siguiente. En ella vamos a trabajar las fracciones. Antes de empezar la actividad se repasarán los contenidos

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relacionados con las fracciones y se les preguntará para qué sirven. Se hablará un rato con ellos de las fracciones al repartir o partir cosas para que vean que las usan en su vida diaria. Tras esto daremos a los alumnos una hoja con las figuras ya dibujadas, pero en blanco, sin colorear. Sobre cada figura se les indicará que fracción de la figura deberán pintar. Al terminar recortarán las figuras de la hoja y las pegarán en sus cuadernos individuales.

Esta actividad la podemos realizar durante el cuarto curso, cuando en el tema que estemos se trabajen las fracciones.

Objetivos · Utilizar el lenguaje matemático en exposiciones y definiciones matemáticas. · Utilizar y comprender las fracciones y sus equivalencias. Contenido · Comparación entre fracciones sencillas: mediante ordenación y representación gráfica. Metodología La primera parte de esta actividad se realizará de manera grupal y la segunda parte de manera individual. El profesor en la primera parte de la

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actividad, lanzará preguntas sobre fracciones a los alumnos y estos contestarán de forma oral. Se repasará con ellos el tema de las fracciones, su definición y sus usos en la vida cotidiana. Cuando se haya terminado la primera parte de la actividad, el profesor entregará a cada alumno una hoja con las figuras que debe pintar. Cuando las hayan pintado, las recortarán y pegarán en sus cuadernos individuales.

5. La siguiente actividad consiste en adivinar qué pieza del tetris se está describiendo. El profesor dibujará y recortará las figuras del tetris en cartulinas de colores. Un alumno voluntario tendrá una de las piezas que deberá describir con el vocabulario preciso. Al alumno lo situaremos delante de la pizarra pero de espaldas a sus compañeros para que estos no vean qué pieza está describiendo. Los demás compañeros intentarán adivinar de qué pieza se trata a través de la descripción que haga su compañero. Esta actividad la podemos llevar a cabo cuando se esté trabajando las partes de los polígonos, durante el tercer curso.

Objetivos · Utilizar el lenguaje matemático en exposiciones y definiciones matemáticas. · Identificar las diferentes partes del polígono: lado y vértice. Contenidos · Clasificación de polígonos con distinto número de lados. · Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico.

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Metodología Para esta actividad no hace falta cambiar la distribución del aula ya que el alumno que describe se situará junto a la pizarra dando la espalda a sus compañeros La actividad se realizará de manera grupal con toda la clase. Cuando un alumno sepa de qué figura se trata levantará la mano y dirá cuál es. Si acierta, será él quien salga a la pizarra y describa la siguiente pieza.

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PUZLE Origen El puzle es un rompecabezas que consiste en unir todas sus piezas para formar una figura. Fue creado por John Spilsbury en 1760. Su creación fue casi por accidente, pues nació cuando Spilsbury dibujó un mapa y después lo cortó por las fronteras para reconstruirlo después. Esta fórmula se utilizó en educación para enseñar geografía hasta el s.XIX. Ya en el s.XX, el puzle paso a tener un fin más artístico y de entretenimiento para la alta sociedad. Actualmente los puzles se fabrican en serie y pueden tener desde dos piezas hasta miles de ellas [Pan Puzzles]. ¿Cómo se juega? Los puzles están compuestos por piezas desordenadas y en algunos casos recortadas de diferente forma lo que supone que para completarlo debamos ensamblar todas las piezas correctamente. Una vez tengamos todas unidas habremos completado el puzle. El puzle y las matemáticas Ya fabricados, podemos encontrar puzles didácticos de todas las materias. Del área de matemáticas los puzles son más comunes para el primer ciclo de Educación primaria y para la Educación infantil, pues trabajan desde las formas, los números y hasta los colores ayudando así al conocimiento matemático y a la psicomotricidad de los alumnos. Posibilidades que nos brinda El puzle es un juego que nos brinda muchas posibilidades en el aula. Podemos encontrar desde puzles planos hasta puzles en 3D, con más o menos piezas. Para etapas y ciclos escolares bajos hay muchos para trabajar con los colores o las formas. Para cursos y etapas superiores, podemos encontrar puzles planos o en 3D que formen: edificios, figuras u obras de arte y otros con los que podamos trabajar contenidos matemáticos. Para el segundo ciclo, las opciones son numerosas, pero si además hacemos nuestros propios puzles podemos trabajar prácticamente los contenidos que queramos: cálculo mental, geometría o fracciones entre otros.

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Relación del puzle con las Competencias básicas Los puzles matemáticos trabajan la competencia matemática, pero también trabajan la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico, pues estos puzles precisan de un control corporal así como un control y un conocimiento del espacio en el que trabajamos. Aunque en las actividades no voy a trabajar con ellos, con los puzles online también podemos trabajar la competencia digital. También trabajamos la competencia cultural y artística, ya que en muchos casos debemos mirar minuciosamente muchos detalles del puzle. Además al realizarlo podemos disfrutar de lo que el puzle represente, en muchos casos obras de arte o paisajes. Por otro lado también trabajamos la competencia de aprender a aprender y la competencia de autonomía e iniciativa personal, pues para formar un puzle necesitamos unas estrategias, un orden que debemos crearnos. Por otro lado también podemos ir aprendiendo de nuestros propios errores. Además es necesario tener una constancia y una motivación hacia el puzle. También trabajamos el control de las emociones, el autocontrol y la autoestima, ya que la mejoramos al conseguir las metas y objetivos que nos marquemos.

Propuesta de actividades 1. Realizaremos nuestro propio puzle. Dentro de cada pieza colocaremos un número. Fuera del tablero en el que se formará el rompecabezas, en el lado derecho y en la base, habrá unos números, esos serán los resultados. Cuando los alumnos hayan recompuesto el puzle, el total de los números, que se encuentren en la misma línea horizontal, sumarán el número que se encuentre a su derecha. En las demás filas y columnas ocurrirá lo mismo. En las columnas, los números que se encuentren en la misma, sumarán el resultado que haya en la base correspondiente. Como dificultad, añadiremos más piezas de las necesarias, de forma que los alumnos tengan que usar el ingenio para recomponer el puzle, ya que este tiene una única forma de construirse.

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Esta actividad la podemos realizar en cualquier momento del temario tanto en el tercero como en el cuarto curso, ya que con ella vamos a trabajar el cálculo mental.

Objetivos · Practicar el cálculo mental. · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. Contenidos · Utilización de estrategias personales de cálculo mental. · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. Metodología Esta actividad se realizará en grupos heterogéneos de no más de cuatro miembros que nombrará el profesor. El profesor debe hacer tantos puzles diferentes como grupos de alumnos vaya a formar. Además, para que los alumnos puedan trabajar mejor en equipo, cambiaremos la disposición del aula de manera se unirán las mesas según el número de miembros que

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formen los grupos. Al haber distintos tipos de puzles, una vez que un grupo haya completado uno, lo cambiará con otro grupo de compañeros. Así hasta que cada grupo complete al menos dos puzles diferentes.

2. En esta actividad vamos a realizar nuestro propio puzle. Dentro de las piezas vamos colocar un número de céntimos de euro y euros para que los alumnos trabajen con el dinero y con igualdades. En una pieza pondremos una cantidad en céntimos y en la de su derecha la cantidad equivalente en euros. Al unir las piezas del puzle los alumnos trabajan con el dinero. Les daremos las columnas de los céntimos ya colocadas de forma que ellos deberán encontrar la pieza que contenga la equivalencia en euros y ponerla en su sitio para saber cuánto les ha costado la compra. También podemos darles colocadas las columnas de euros y que ellos encuentren y coloquen las piezas que contienen las equivalencias en céntimos. Alrededor del puzle colocaremos alimentos u objetos que estén relacionados con los precios y así favoreceremos a la motivación del alumno. Además añadiremos algunas piezas que no se puedan colocar para aumentar la dificultad del puzle, ya que este sólo tiene una única forma de recomponerse. Esta actividad la podemos realizar cuando el tema que estemos trabajando en el aula se trate el dinero y su uso tanto en el tercero como en el cuarto curso.

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Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. · Practicar con los submúltiplos de la unidad principal: el euro. Contenidos · Utilización de estrategias personales de cálculo mental. · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. · Unidad principal: el euro. Metodología Esta actividad el profesor va a distribuir a los alumnos en grupos de no más de cuatro miembros, por lo que tendrá que realizar tantos puzles como grupos vaya a formar. Cambiaremos la disposición del aula ya que los alumnos unirán sus mesas para poder trabajar mejor. Como habremos hecho diferentes puzles, cuando un grupo complete uno lo intercambiará con otro grupo de compañeros. La actividad acabará cuando cada grupo complete al menos dos puzles diferentes.

3. En la última actividad que propongo para trabajar con puzles vamos a utilizar desarrollos de cuerpos geométricos. Cada grupo recibirá el desarrollo de cuatro cubos y seis imágenes cortadas en cuatro cuadrados. Cada alumno del grupo cogerá un recorte de cada imagen (seis recortes en total) y un desarrollo. Los alumnos deberán pegar las imágenes a las caras del desarrollo, de forma que cada cubo tenga seis imágenes diferentes. Una vez que tengan las imágenes pegadas, recortarán el desarrollo y lo construirán. Con las imágenes que yo propongo, uno de los cubos debería quedar así:

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A medida que vayan terminando, se entregará a cada grupo las mismas seis imágenes que se les había entrega al principio de la actividad, pero esta vez sin recortar. Cuando tengan los seis folios con las imágenes y los cubos terminados, cada grupo tendrá cuatro “piezas” y seis puzles. Para trabajar con los puzles, los alumnos deberán ir colocando los cubos sobre los folios con las imágenes sin recortar. Una vez que hayan colocado bien los cuatro cubos sobre el folio, desde arriba se debería ver la imagen completa. Así es como deberían de quedar los puzles que yo propongo, ya construidos y vistos desde arriba:

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Esta actividad la podemos realizar en cualquier momento del temario, incluso de forma interdisciplinar con otras materias, como educación artística tanto en el tercero como en el cuarto curso. Además una vez que tengamos hechos los cubos podemos introducirles conceptos relacionados con estos como: cara, vértice o arista.

Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. Contenidos · Los cuerpos geométricos: cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas y caras. · Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos y de cuerpos geométricos a partir de un desarrollo. Exploración de figuras geométricas elementales. · Interés por la elaboración y la presentación cuidadosa de las formas geométricas. Metodología En esta actividad vamos a cambiar la disposición del aula, pues los alumnos juntarán sus mesas para trabajar. El profesor llevará al aula las imágenes precortadas, formará grupos de cuatro miembros y entregará el material a los grupos. Una vez hayan acabado la construcción. Los grupos jugarán con sus puzles durante el tiempo que el profesor crea conveniente. Al finalizar la actividad, los puzles se expondrán en el aula durante unas semanas.

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TANGRAM Origen Respecto al origen del tangram hay varias versiones. Una de ellas dice que su origen es chino y otra que su inventor fue un norteamericano. Los primeros escritos que aparecen sobre el tangram datan del siglo XIX y fue entonces cuando se convirtió en un juego muy popular. Los primeros libros que aparecieron sólo recogían unos cientos de imágenes, pero con el tiempo fueron apareciendo más figuras hasta superar las 1600 [Garaizar y Gómez, 2003].

Hay una leyenda que dice que el tangram lo inventó un sirviente cuando se le rompió un mosaico que transportaba. Cuando lo intentó reconstruir no pudo, pero se dio cuenta de que con los pedazos rotos podía hacer muchas otras figuras. Organización del tangram Está formado por siete piezas de madera de diferentes colores y tamaños: cinco triángulos, un cuadrado y un romboide. ¿Cómo se juega? El juego consiste en ir colocando las piezas de manera estratégica para formar figuras o formas con ellas.

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El tangram y las matemáticas Es un juego que está formado a partir de una base matemática, pues está compuesto por siete figuras geométricas de diferente tamaño con las que debemos hacer las combinaciones.

Posibilidades que nos brinda Este pasatiempo nos permite trabajar las formas y los colores en los primeros cursos de Educación primaria e infantil gracias a sus piezas. Por otro lado, en el segundo ciclo, podemos practicar geometría y mediciones cogiendo como ejemplo también algunas de sus piezas. Además al manipularlo los alumnos ejercitan su creatividad y la confianza en ellos mismos. Ya en etapas superiores, con el tangram podemos trabajar mediciones y comparaciones de áreas y superficies y geometría. Relación del tangram con las Competencias básicas El tangram es un juego con el que, por su propia composición, al utilizarlo practicamos la competencia matemática. También se trabaja con este pasatiempo la competencia cultural y artística ya que el alumno debe poner en práctica su creatividad al formar las figuras y formas. Cuando el alumno se propone realizar una figura, debe buscar estrategias para construirla, ver los errores que haya tenido y aprender de ellos para futuras construcciones. Al conseguir los objetivos de construcción se motivará, pero si no lo consigue, tendrá que aprender a canalizar las emociones y a ver los problemas para solucionarlos. Por todo lo anterior, con el tangram también trabajamos la competencia para aprender a aprender y la autonomía e iniciativa personal.

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Propuesta de actividades 1. Comenzaremos la actividad repasando de manera oral conceptos relacionados con la simetría, preguntaremos a los alumnos qué son dos figuras simétricas y qué ocurre cuando una figura la doblamos por su eje. Después les daremos como ejemplo las piezas del tangram. Los alumnos en su cuaderno dibujarán las piezas y las pintarán. Después colocarán el o los ejes de simetría en cada una de ellas, si es que tienen.

Esta actividad la realizaremos tanto en el tercero como en el cuarto curso, cuando el tema que estemos trabajando se trate la simetría.

Objetivos · Aprender el concepto de simetría. · Reconocer y colocar correctamente el eje de simetría de diferentes figuras. Contenidos · Transformaciones métricas: translaciones y simetrías. · Interés por la elaboración y la presentación cuidadosa de las presentaciones geométricas

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Metodología El profesor colocará las piezas del tangram en un lugar en el que todos los alumnos las vean. No cambiaremos la disposición del aula ya que esta actividad la realizarán de manera individual en su cuaderno. Dibujarán todas las piezas, las colorearán y colocarán el o los ejes de simetría. Al terminar, algunos alumnos elegidos por el profesor comentarán qué figuras tiene eje de simetría y cuáles no.

2. En la segunda actividad, como en la actividad anterior, colocaremos las piezas del tangram en un lugar en el que sean visibles para todos los alumnos. Estos dibujarán en su cuaderno la figura del tangram y a su lado una figura igual y unida por uno de los lados, de forma que el lado que tienen en común sea el eje de simetría. Realizarán la actividad con todas las piezas y después las pintarán como objetos cotidianos. Esta actividad la realizaremos cuando en el tema que tratemos se dé la simetría, tanto en el tercero como en el cuarto curso.

Objetivos · Reconocer figuras simétricas en la vida cotidiana. · Reconocer figuras geométricas en la vida cotidiana. Contenidos · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotidiana. · Transformaciones métricas: translaciones y simetrías.

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Metodología El profesor colocará las figuras del tangram en un lugar visible. Los alumnos de manera individual dibujarán en sus cuadernos las figuras. No cambiaremos la disposición del aula pues los alumnos trabajarán de manera individual, cada uno en su pupitre. Después las pintarán como un objeto de la vida cotidiana que ellos quieran. Al terminar, todos los alumnos expondrán oralmente al resto de sus compañeros qué objetos de la vida cotidiana han escogido para pintar en sus figuras geométricas.

3. Comenzaremos hablando de medidas de longitud, cuál es la unidad, cuáles son los múltiplos y submúltiplos, cómo se medía en la antigüedad y qué problemas había a la hora de medir. Les preguntaremos a los alumnos qué tipo de instrumento utilizarían ellos para medir una serie de objetos, como una mesa, un lapicero o la distancia entre dos ciudades. Después se colocará una caja con piezas del tangram en una mesa del aula. Los alumnos deberán coger una pieza, dibujarla y colorearla en su cuaderno, después medirán los lados con su regla y lo apuntarán en el cuaderno. Al terminar con una pieza, los alumnos dejarán la que ya han utilizado y cogerán una diferente para hacer lo mismo que ha hecho con la anterior. Una vez hayan acabado con todas las piezas, algunos alumnos explicarán al resto de la clase el proceso que han seguido para conseguir las mediciones.

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Este ejercicio lo llevaremos a cabo cuando estemos dando en el temario las unidades de medida y la medición durante el tercer curso.

Objetivo · Medir correctamente utilizando instrumentos convencionales de medida. Contenidos · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Realización de mediciones utilizando instrumentos y unidades de medida convencionales en contextos cotidianos. Metodología El profesor colocará en un recipiente las piezas del tangram. Deberá haber las suficientes como para que haya una para cada alumno. Esta actividad la realizarán de manera individual en su cuaderno por lo que no variaremos la disposición del aula. Cuando un alumno haya acabado con una pieza la dejará de nuevo en el recipiente y cogerán otra diferente, así hasta que todos los alumnos hayan medido las siete piezas del tangram. Cuando todos hayan acabado, algunos alumnos voluntarios explicarán al resto de la clase el proceso que han seguido para realizar correctamente las mediciones.

4. La última actividad va a ser un concurso. En ella los alumnos manipularán las fichas del tangram para conseguir siluetas de animales, personas u objetos de la vida cotidiana, como una casa, un gato o un barco. De este modo los alumnos verán como la geometría está presente en su vida. Esta actividad la realizaremos cuando en el tema tratemos la geometría durante el cuarto curso.

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Objetivo · Reconocer figuras geométricas en la vida cotidiana. Contenidos · Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotidiana. · Interés por la elaboración y la presentación cuidadosa de las presentaciones geométricas. · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar las construcciones geométricas y los objetos y relaciones espaciales. Metodología Esta actividad se realizaría de forma grupal. El profesor dividirá a los alumnos en grupos heterogéneos de no más de cinco miembros. Al trabajar en equipo verán que cada uno tiene ideas diferentes, aunque estén trabajando con el mismo material y que muchas de ellas serán válidas. Cambiaremos la composición del aula, pues los alumnos unirán sus mesas y sillas para trabajar mejor en equipo. El manejo del tangram será libre, por lo que deberemos tener un juego de tangram por cada grupo de alumnos que formemos. Para formas las figuras podrán utilizar desde sólo una pieza, hasta todas a la vez. El profesor contralará el tiempo y al cabo de 5/10 minutos los alumnos expondrán los objetos que hayan formado. El grupo que más objetos haya formado ganará.

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SUCESIONES Origen El origen de las sucesiones no se puede datar, ni se puede decir que alguien las inventase. Aunque no se puede hablar de su invención, sí se puede hablar de descubrimientos de series famosas como la que surge de un problema del “Liber Abaci” de Leonardo de Pisa, la serie Fibonacci, o la de Zenón de Elea de la división en infinitas partes. La serie Fibonacci recibe su nombre de su descubridor, Leonardo de Pisa, el cual fue conocido como Fibonacci, que traducido al lenguaje de la época quiere decir “hijo de Bonaccio”. Esta serie se constituía con la siguiente fórmula: an = an-1 + an-2. Esto es que cualquier número de la serie es la suma de sus dos anteriores. Leonardo de Pisa escribió en 1202 un tratado fundamental para las matemáticas que actualmente conocemos, el “Liber Abaci” o “Libro del Ábaco”, en el cual defendía la utilización de la numeración indoarábiga (0, 1, 2, 3…), que es la que utilizamos hoy en día. Además de eso también hay una serie de problemas, y es de uno de ellos del que extraemos la serie de Fibonacci. Leonardo de Pisa nos plantea el siguiente problema: un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de vida en un recinto. Se supone que cada pareja de conejos, a partir del segundo mes de vida, dará origen a otra nueva. ¿Cuántas parejas de conejos tendremos al cabo de un año? [Santander Ferreira]. ¿Cómo se juega? Los juegos de ingenio con series, ya sean matemáticas o de otro tipo, consisten en buscar la regla que estas siguen para su construcción. Una vez hemos descubierto la norma debemos seguir la serie. Las sucesiones y las matemáticas Estos tipos de pasatiempos matemáticos son un buen sistema para trabajar cualquier contenido y de muchas formas diferentes, ya sea con igualdades, con series crecientes o decrecientes, podemos ejercitar el cálculo mental o repasar las figuras geométricas. En los primeros cursos de Educación primaria, las series matemáticas nos sirven para repasar los números, las operaciones simples o la medida temporal. Para el tercer ciclo

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nos puede valer para reforzar contenidos como números con más de seis cifras, números negativos o geometría. Para el segundo ciclo, las posibilidades que nos brindan las series son parecidas a las que se nos presentan para el primer o tercer ciclo, pero a un nivel intermedio. Podemos trabajar las igualdades fraccionarias, diferentes medidas, lecturas y escritura de horas tanto digitales como analógicas o reconocimiento de formas o cuerpos geométricos en diferentes posiciones. Relación de las sucesiones con las Competencias básicas Con las series trabajaremos la competencia matemática así como las competencias de aprender a aprender y la de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán marcarse objetivos para conseguir descifrar las normas de las series. Tendrán que crear unas estrategias, ser constantes y perseverantes y tener gusto por lo que hacen confiando en ellos mismos. Tienen que gestionar sus emociones para no frustrarse ante los problemas y los fracasos y ser creativos para buscar normas que puedan funcionar.

Propuesta de actividades 1. En la primera actividad con sucesiones colocaremos a los alumnos en parejas. Les daremos el comienzo de unas series numéricas. Estos deberán averiguar la norma que siguen, así como escribir al menos los cinco números siguientes. Les daremos las siguientes series numéricas: 2, 4, 6, 8… 5, 15, 25, 35… 100, 95, 90, 85… 90, 81, 72, 63… 6, 12, 18, 24… Al acabar las series, los alumnos explicarán oralmente al resto de la clase cómo han descubierto la norma y cuál es.

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Una vez que se han explicado la norma y la construcción de las cinco series que habían trabajado anteriormente, les proporcionaremos, a cada grupo, el comienzo de la serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8…) y el comiendo de la serie con los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15…). En esta segunda parte de la actividad se seguirá trabajando en parejas. El primer grupo que adivine las normas de las sucesiones les explicará al resto de grupos, que no las hayan averiguado, cuáles son y cómo han conseguido adivinarlas. Esta actividad la realizaremos

cuando en el tema tratemos las sucesiones

durante el tercer curso. Incluso podemos trabajarla de manera interdisciplinar ya que en conocimiento del medio podemos hablar de la historia de las sucesiones.

Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. · Practicar el cálculo mental. Contenido · Utilización de estrategias personales de cálculo mental. Metodología Esta actividad se realizará en parejas heterogéneas, pero escribirán en sus cuadernos individuales. La disposición de la clase cambiará ya que los alumnos unirán sus mesas de dos en dos para trabajar mejor. El profesor decidirá qué alumnos forman las parejas. Primero se les darán las cinco series con las que trabajarán. Una vez que todos los grupos hayan acabado la primera parte de la actividad, cinco parejas de alumnos nombradas por el profesor explicarán a sus compañeros cómo han realizado la actividad.

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Después se les entregará a las parejas de alumnos el comienzo de la serie de Fibonacci. Los alumnos seguirán trabajando en parejas. Se les dejará un tiempo para que encuentren la norma de la serie de Fibonacci. Si al cabo de unos 5/10 minutos los alumnos no han encontrado la norma, el profesor será el que se la proporcione, explicándoles también cómo se desarrolla la serie.

2. En esta actividad daremos a los alumnos el comienzo de una serie. Esta estará formada por cinco polígonos coloreados: triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo y pentágono. El profesor repasará las definiciones de los polígonos que aparecen en la actividad y cuáles son sus características. Después les daremos el comienzo de la serie formado por la primera secuencia y parte de la siguiente.

Los alumnos deberán seguir la serie tras encontrar la norma completando dos secuencias completas más. Al terminar algunos alumnos explicarán a sus compañeros cómo ha encontrado la norma y cuál es. Esta actividad la realizaremos durante el tercer curso, cuando en el tema que tratemos se dé la geometría.

Objetivos · Reconocer y dibujar polígonos. · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego.

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Contenidos · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. · Interés por la elaboración y la presentación cuidadosa de las presentaciones geométricas. Metodología El ejercicio lo realizarán individualmente y en sus cuadernos por lo que no variaremos la disposición del aula. El profesor dibujará la primera secuencia y parte de la segunda en la pizarra. Los alumnos las copiarán en su cuaderno individual y buscarán la norma. Una vez la hayan descubierto dibujarán y pitarán las dos secuencias siguientes. Cuando hayan terminado, el profesor nombrará a un alumno que explicará cómo ha encontrado la norma y cuál es, así como los polígonos que la forman.

3. En esta actividad les explicaremos que las series horarias no se alejan de la vida cotidiana, pues las utilizan para horarios como el del colegio. Hablaremos con ellos para que participen en la actividad diciendo más ejemplo de series numéricas que vean en su vida cotidiana Les diremos que lo que vamos a calcular es la secuencia de salida de la estación, de los autobuses urbanos de su ciudad. Les daremos el comienzo de la serie horaria: 12:00h. - 12:30h. - 13:00h. - 13:30h. - 14:00h… En sus cuadernos buscarán la norma y tendrán que completar la serie sabiendo que el primer autobús sale a las 12:00 y el último a las 20:00h. y que todos los irán siempre llenos de pasajeros. En la segunda parte de la actividad les plantearemos los siguientes problemas: · Si el primer autobús urbano ha salido a las 12:00h. ¿a qué hora saldrá de la estación el séptimo autobús urbano?

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· El último autobús sale a las 20:00h. ¿Cuántos autobuses habrán salido en todo el día? · Si todos los días salen los mismo autobuses de la estación ¿cuántos autobuses saldrán en una semana? · En un viaje un autobús urbano puede llevar a 30 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros viajarán en los autobuses desde las 12:00 hasta las 17:30h? ¿Y en todo el día cuántos pasajeros viajarán en los autobuses?

Se puede realizar una variante de esta misma actividad cambiando las horas digitales por relojes que marquen horas analógicas. Los alumnos dibujarán los relojes en sus cuadernos y seguirán la serie tras encontrar la norma.

Esta actividad la llevaremos a cabo tanto en el tercero como en el cuarto curso, cuando en el tema trabajemos la medida del tiempo.

Objetivos · Comprender y leer correctamente las horas digitales y analógicas, así como realizar cambios de una a otra. · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego.

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Contenidos · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. · Unidades de medida del tiempo: lectura en el reloj analógico y digital. · Comparación y ordenación de unidades y cantidades de una misma magnitud. Metodología En esta actividad no se cambiará la composición de aula pues los alumnos trabajarán individualmente en sus cuadernos personales. El profesor escribirá el comienzo de la serie en la pizarra y utilizará un tema cotidiano para motivarles, como por ejemplo el de los autobuses urbanos de su ciudad. Cuando hayan acabado la primera parte de la actividad, el profesor dictará los cuatro problemas y los alumnos los copiarán en sus cuadernos. Tras solucionarlos se pondrán en común las soluciones. Cuatro alumnos escogidos por el profesor expondrán cómo han solucionado el problema que les haya tocado y cuál es su solución.

4. En esta actividad los alumnos van a trabajar con medidas. Como en la actividad anterior, buscaremos un tema de la vida cotidiana para relacionarlo con las medidas y así hacer el trabajo más cercano a los alumnos. Les daremos el comienzo de esta siguiente serie: 1, 3, 5, 7… les diremos que son los kilómetros que corre una chica. La primera semana corrió cada día un kilómetro, la segunda semana cada día 3 kilómetros y así sucesivamente. Ellos deberán encontrar la norma y continuar la serie para contestar a las siguientes preguntas: · ¿Cuántos kilómetros correrá cada día en la novena semana?

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· ¿Qué diferencia hay entre los kilómetros que corría cada día en la semana quinta con los que corría en la semana sexta? ¿Y entre los días de las semanas cuarta y octava qué diferencia de kilómetros hay? · ¿En qué semana llegará a correr 13 kilómetros a día? · Si corre todos los días. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en total en la sexta semana? ¿Y en la séptima? Esta actividad la llevaremos a cabo durante el tercer curso, cuando en el tema trabajemos la medida del espacio.

Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. · Aprender y utilizar las unidades del Sistema Métrico Decimal. Contenidos · Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos en relación con los números, sus relaciones y operaciones. · Confianza en las propias posibilidades y constancia para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y expresar informaciones, manifestando iniciativa personal en los procesos de resolución de problemas de la vida cotidiana. · Interés para la utilización de los números y el cálculo numérico para resolver problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Metodología El profesor escribirá el comienzo de la serie en la pizarra y utilizará el tema cotidiano para motivarles. En esta actividad no variaremos la

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disposición del aula pues los alumnos trabajarán de manera individual en sus cuadernos. Los alumnos solucionarán la serie y el profesor dictará los cuatro problemas. Estos los copiarán y solucionarán en sus cuadernos. Cuando todos los alumnos hayan acabado la actividad, se pondrán en común las soluciones. Cuatro alumnos, escogidos por el profesor, expondrán de manera oral al resto de la clase, cómo han solucionado el problema que les haya tocado y cuál es su solución.

5. Esta actividad es una variante del ejercicio anterior. Cambiaremos la unidad de medida por el litro. Les introduciremos en el tema hablándoles de cómo se llena una piscina infantil que tiene una capacidad total de 6300 litros. En la piscina entran 450 litros de agua cada hora. Les daremos el comienzo de la secuencia para que ellos la sigan en sus cuadernos: 450, 900, 1350, 1800, 2250… cuando hayan acabado la secuencia contestarán a las siguientes preguntas: · ¿Cuántos litros de agua entran en la piscina por cada hora? ¿Cuántos litros de agua habrá dentro de la piscina a las 6 horas? ¿Y a las 10 horas cuántos litros habrá? · ¿Cuántas horas tardará la piscina en llenarse de agua por completo? · Si empiezo a llenar de agua la piscina a 8:00 horas, ¿a qué hora se terminará de llenar? · Si empiezo a llenar de agua la piscina a las 10:30 horas, ¿a qué hora se terminará de llenar? · Si en vez de entrar 450 litros de agua por horas entraran 630 litros, ¿cuántas horas tardaría en llenarse la piscina? Esta actividad la llevaremos a cabo cuando en el tema trabajemos las medidas de capacidad, el Sistema Métrico Decimal y los números grandes, durante el tercer curso.

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Objetivos · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego. Contenidos · Interés para la utilización de los números y el cálculo numérico para resolver problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolución y los resultados obtenidos. · Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Metodología En esta actividad se mantendrá la disposición del aula pues los alumnos van a trabajar de manera individual en sus cuadernos personales. El profesor escribirá el comienzo de la serie en la pizarra y utilizará el tema cotidiano para motivarles, como por ejemplo el de una piscina. Cuando hayan acabado la serie de la primera parte de la actividad el profesor dictará los cinco problemas y los alumnos los copiarán y solucionarán en sus cuadernos. Cuando todos los alumnos hayan solucionado los problemas, se pondrán en común las soluciones. Cinco alumnos escogidos por el profesor expondrán de manera oral al resto de la clase cómo han solucionado el problema que les haya tocado y cuál es su solución.

6. En esta última actividad también vamos a trabajar con una serie numérica utilizando como medida los litros. Les daremos a los alumnos el comienzo de la serie escrita dentro de unas botellas.

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Los alumnos dibujarán dichas botellas y terminarán la serie en su cuaderno hasta completar una secuencia de ocho números (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15). Tras completar la serie contestarán a las siguientes preguntas: · ¿Cuántos litros hay de diferencia en las botellas? · ¿Cuántos litros tiene la quinta botella? ¿Y la octava botella cuántos litros tiene? · ¿Cuántos litros suman la primera botella y la octava botella? ¿Y la segunda botella y la séptima? ¿Y la sexta botella y la tercera? ¿Y la cuarta botella y la quinta? ¿Qué ocurre? Crea tú una serie en la que ocurra lo mismo. · ¿Cuántos litros suman todas las botellas juntas?

Este ejercicio lo trabajaremos durante el tema de las medidas de capacidad y el Sistema Métrico Decimal durante el tercer curso.

Objetivos · Aprender y utilizar las unidades del Sistema Métrico Decimal. · Utilizar y ejercitar el ingenio. · Utilizar las matemáticas en el juego.

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Contenidos ·

Comparación y ordenación de unidades y cantidades de una misma magnitud.

·

Interés para la utilización de los números

y el cálculo numérico para

resolver problemas en situaciones reales, explicando oralmente y por escrito los procesos de resolución y los resultados obtenidos. ·

Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos.

Metodología El profesor empezará hablando de los litros en la vida cotidiana. Les preguntaremos a los alumnos dónde los podemos encontrar o cómo los utilizamos. En esta actividad no se cambiará la disposición del aula pues los alumnos van a trabajar de manera individual en sus cuadernos. El profesor dibujará las botellas con el comienzo de la serie en la pizarra y los alumnos lo copiarán y completarán en sus cuadernos. Cuando hayan completado la serie, el profesor dictará los problemas y los alumnos los copiarán y solucionarán en sus cuadernos. Ya con los problemas terminados, se pondrán en común las soluciones. Algunos alumnos escogidos por el profesor expondrán de manera oral a sus compañeros cómo han solucionado el problema que les ha tocado exponer y cuál es la solución.

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EVALUACIÓN DE LAS ACTIVIDADES Para terminar voy a explicar cómo evaluaría las actividades que he propuesto para los juegos de ingenio. La evaluación se realizará en algunas actividades de manera visual, durante y al término de la actividad, y en otras evaluaremos los resultados según lo que los alumnos hayan escrito en sus cuadernos. En todas las actividades, comprobaremos si los alumnos utilizan estrategias de resolución de problemas. También veremos si se ven motivados hacia las matemáticas, por la utilización de contextos reales cercanos a ellos. Primero, de manera visual, se evaluará a los alumnos en el desarrollo de los ejercicios y se tomará nota de ello. Durante las actividades de manera visual evaluaremos la comprensión y utilización de los contenidos aprendidos y si han entendido la actividad. Veremos también cómo trabajan, tanto en equipo con sus compañeros como de manera individual. Además en muchas actividades hay una corrección oral y grupal al final de la actividad, por lo que la utilizaremos para realizar la evaluación. Evaluaremos también de manera escrita. Para ello utilizaremos el control o examen de los contenidos del tema. Como las actividades que he propuesto son de apoyo y refuerzo, veremos con los resultados del control si se afianzaron bien los contenidos. Por otro lado, muchas de las actividades tienen que realizarlas en sus cuadernos individuales, por lo que utilizaremos las respuestas para evaluar. Al igual que de manera visual, de manera escrita evaluaremos la comprensión de la actividad y de los contenidos y utilización de estos. También evaluaremos cómo trabajan los alumnos de manera individual o grupal, ya que muchas actividades, individuales o grupales, deben realizarlas en sus cuadernos. Para evaluar los contenidos utilizaremos los siguientes criterios de evaluación del segundo ciclo de Educación primaria [Decreto, 2011]: · Realizar mentalmente cálculos sencillos sobre las cuatro operaciones. · Resolver problemas de la vida cotidiana mediante una o dos operaciones aritméticas y comprobar que los resultados obtenidos son razonables.

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· Leer, escribir y representar fracciones cuyo denominador sea un número menor que diez, así como ordenar fracciones de igual denominador. · Realizar en contextos reales estimaciones y mediciones, escogiendo entre las unidades e instrumentos de medida usuales los que mejor se ajusten al tamaño y naturales del objeto a medir. · Identificar figuras planas y cuerpos geométricos, nombrando y reconociendo sus elementos básicos (lados, vértices, caras, aristas, ángulos, diagonales y ejes de simetría). · Construir tablas sencillas de recogida de datos, proporcionados desde distintos medios (prensa, libros informáticos). · Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias de resolución. · Entender los mensajes de los diferentes textos que describen situaciones con contenido matemático. · Utilizar el castellano correcto, con el vocabulario específico de las matemáticas, en la exposición de situaciones con contenido matemático y en la resolución de problemas.

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OTROS JUEGOS Durante el proceso de búsqueda de los juegos de ingenio que he presentado, me encontré con otros nuevos y muy interesantes, entre ellos, cuatro de los que no me resisto a hablar. Aunque su utilidad la veo más adecuada para ciclos y etapas superiores, me parecen muy interesantes, por eso me gustaría hacer referencia a ellos. Son cuatro pasatiempos matemáticos que han sido creados hace pocos años, el sudoku, el kenken, el sujito y el suko. Estos cuatro juegos son en sí una aplicación de las matemáticas a la realidad, ya que con ellos trabajamos la competencia matemática y la aplicamos para poder trabajar con ellos. También favorecen: la confianza de uno mismo en la utilización de números, la constancia y las propias posibilidades, así como a la curiosidad por resolver problemas.

Sudokus Son pasatiempos numéricos que provienen de los antiguos cuadrados mágicos, los cuales a su vez descienden de los cuadrados latinos, de los que ya Euler hablaba en el siglo XVII. Los sudokus aparecieron por primera vez en la prensa de Nueva York en 1970 con otro nombre, “number place” [Blanco Ventosa]. Tras

esto

se

popularizaron

en

la

prensa

japonesa

con

el

nombre

“Süji wa dokushin nikagiru”. Ese nombre era demasiado largo por lo que lo abreviaron a “Su Doku” (Números solos). Los sudokus ya habían aparecido en periódicos, pero se popularizaron en la prensa internacional en el año 2005 [Blanco Ventosa]. El juego se compone de un tablero de 9x9 cuadrados, dividido en 9 casillas de 3x3. Dentro de cada cuadrado debemos colocar un número del 1 al 9. La regla fundamental es que no podemos colocar el mismo número repetido dentro de una columna, una fila o una caja de 3x3. A continuación dos imágenes de dos sudokus diferentes, uno de ellos resuelto.

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Kenken También es conocido como kenko o kendoku. Su primera aparición internacional en los medios de comunicación fue en 2004. El juego es un derivado del sudoku, por lo que las reglas de repetición de números son las mismas. Este pasatiempo estaría dedicado a ciclos o etapas superiores de Educación, pues fue creado con el propósito de practicar algebra [Bianconi, 2010]. El juego está compuesto por un tablero de 3x3 hasta 9x9 cuadrados según su dificultad. Esos cuadrados están limitados de forma que cada grupo forma una ecuación. El juego consiste en rellenar los cuadrados vacios con números de forma que al operar con el resto de cuadrados de la ecuación, nos dé un resultado que se encuentra en la parte superior de uno de los recuadros que forman cada ecuación.

Sujito y suko Otros dos pasatiempos también derivados del sudoku son: el sujito y el suko, el segundo a su vez es derivado del primero. Los dos tienen un componente aritmético, como el

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kenken. Están compuestos por un bloque de 3x3 cuadrados en su forma básica, aunque se pueden añadir bloques y cuadrados para incrementar la dificultad. Un círculo que contiene un número en su interior, une cuatro cuadrados por su vértice común. El número que se encuentra dentro del círculo es la suma de los cuatro cuadrados que une. El juego consiste en ir completando los cuadrados, sin repetir los números del 1 al 9 y haciendo que el resultado de los círculos coincida con las sumas. El suko es un juego derivado del sujito, por lo que se juega de igual manera y el tablero es el mismo, salvo porque sus cuadrados están coloreados. Debajo del tablero hay un círculo por cada color, con un número en su interior, ese número es el resultado de la suma de los cuadrados del mismo color del tablero de suko. El juego consiste en hacer que coincida la suma de los cuadrados unido por el círculo y la suma de los cuadrados del mismo color. A continuación muestro dos tableros resueltos de sujito (a la izquierda) y de suko (a la derecha).

Propuesta de actividad Para trabajar con estos cuatro juegos junto con la resolución de problemas se me ocurre la siguiente actividad: Los alumnos trabajarán con los juegos en grupos. A cada grupo le damos un juego y les proponemos que en su cuaderno, siguiendo las cuatro fases en la resolución de problemas de Polya, escriban todos los pasos que han seguido para resolverlo: a) que

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apunten lo que pensaban, b) los problemas que les surgieron, c) qué posibles soluciones encontraban y d) cómo llegaron a la solución definitiva.

Metodología El profesor colocará a los alumnos en grupos heterogéneos de no más de cuatro miembros -lo ideal sería en parejas para asegurarnos de que todos trabajan-. Escribirá en la pizarra las cuatro preguntas que los alumnos deberán ir contestando. Se le entregará a cada grupo un juego con el que realizarán la actividad. Cuando todos los grupos hayan terminado la actividad, con al menos uno de los juegos, de manera ordenada -de uno en uno-, expondrán oralmente cómo han realizado la actividad y leerán a sus compañeros las respuestas a las cuatro preguntas que habíamos propuesto. En la exposición oral participarán todos los miembros del equipo.

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CONCLUSIONES Para terminar este trabajo me gustaría comentar que buscar y trabajar con la teoría de este proyecto me ha servido de mucho. En él he escrito mis ideas sobre lo que opino de la didáctica de las matemáticas y además he aprendido más sobre su historia, pero sobre todo he podido hablar de un tema que interesa mucho, como son los pasatiempos. Sé que los juegos de ingenio son un material muy útil como ya he dicho en el trabajo, pero no se utilizan lo suficiente, por ello me gustaría que los maestros y profesores de matemáticas los llevasen más al aula. Me gustan mucho los juegos de ingenio, así que poder hacer un trabajo sobre ellos me ha valido para aprender sobre su origen, sobre sus usos relacionados con las matemáticas y además para motivarme hacia el trabajo. En la práctica, algunas de las actividades que he propuesto en este trabajo son ideadas por mi y otras las he adaptado de libros, artículos o de internet, teniendo en cuenta mi experiencia como alumno y como maestro. Los mejores ejercicios, sin duda, son los que he adecuado de aquellos que recordaba haber trabajado en la universidad. En un futuro en el que esté impartiendo clase de matemáticas me gustaría innovar con los juegos de ingenio y seguir la visión de Freudenthal. En mi opinión, creo que no podemos aprender a hacer algo sin practicarlo, no se puede aprender a sumar sólo con la teoría, y considero que los pasatiempos, junto con otros recursos, son una buena forma de hacer que los alumnos practiquen jugando. Me gustaría citar, para concluir, una frase de Miguel de Guzmán que considero muy cierta, práctica y adecuada: “El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?” (Miguel de Guzmán, 1936-2004)

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bellot Rosado, F. (2003) Los diez mandamientos del profesor. Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas. Nº10. Organización de los Estados Iberoamericanos. Bianconi, B. (2010) ¿Te gusta el sudoku? conoce el kenken. Extraído el 12 de enero de 2014 de http://elclubdelamatematica.blogspot.com.es/2010/06/te-gusta-elsudoku-conoce-el-kenken.html Blanco Ventosa, A.L. Introducción al sudoku y técnicas para su resolución. Extraído el 12 de enero de 2014 de http://platea.pntic.mec.es/~ablanco/gi/sudoku.htm Decreto. (2011) Decreto 4/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja. Publicado el 4 de febrero de 2011. Anexo I. Consejería de Educación, Cultura y Deporte: Boletín Oficial de La Rioja. Fernández-Aliseda, A. Hans, J.A. Muñoz Santonja, J. (2004) Pasatiempos matemáticos en la prensa: Revista épsilon. Vol. 58, pp. 121 - 136. España: Sevilla. SAEM Thales. Ferrante, J.J.L. (2009) Análisis matemático I: sucesiones y series. Argentina: Universidad Tecnológica Nacional. Extraído el 10 de Enero de 2014, de http://www.edutecne.utn.edu.ar/geptecne/03-GEPTECNE.pdf Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Kluwer Academic Publishers. Garaizar, M. y Gómez, M.C. (2003) La magia del Tangram: Historia. Extraído el 14 de enero de 2014 de http://enebro.pntic.mec.es/~jhep0004/Paginas/MariaCar/historia.htm García Cruz, J.A. Didáctica de las Matemáticas: una visión general. Extraído el 27 de Diciembre de 2013, de www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm Gravemeijer, K. y J. Terwel. (2000) Hans Freudenthal: a mathematician on didactics and curriculum theory. Journal of Curriculum Studies (Saggesse, N. Gallego, F. y Bressan, A. trad.). Vol. 32, nº. 6, pp. 777 - 796. Canada: Ontario: The University of Western Ontario. Faculty of Education. Juegos de domino. Origen e historia del juego Dominó. Extraído el 12 de febrero de 2014 de http://www.juegosdedomino.net/origen-e-historia-del-juego-domino Ley. (2006) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Jefatura del Estado.

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