TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín 30’ E, 40º N).

(116º

2.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera. Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) y Las Palmas (11º 44’ O, 28º 9’ N). 3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60º 00’31’’, b = 137º 20’40’’, c = 116º 00’32’’ b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50’, c = 67º38’, c. Tres ángulos: A = 70º 00’25’’, B = 131º 10’15’’, C = 94º 50’53’’ d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a = 64º 24’03’’, b = 42º 30’10’’, C = 58º 40’52’’ e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos c = 116º 12’05’’, A = 70º 51’15’’, B = 131º 20’26’’ f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos a = 58 º46’22’’, b = 137 º02’50’’, B = 131º 52’33’’ g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos a = 70º, B = 119º, A = 76º 4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54’54’’, a - b = 13º 40’50’’ 5.- Resolver, si es posible, los siguientes triángulos esféricos rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07’ 13”, C=59º 00’ 12”. b) b=167º 03’ 38”, B=157º 57’ 33”. c) a=112º 42’ 36”, b=76º 44’ 15”. 6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo. 7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C.

C b=54º10' B A=84º30'

c=104º22'

8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: 1) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. 2) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. 9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1. 10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 24’; longitud: Oeste 3º 41’ Tokio latitud: Norte 35º 40’; longitud: Este 139º 45’ y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) ¿Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) ¿A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30’. ¿Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico? 11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24’ latitud N, 3º 41’ longitud O Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45’ latitud N, 74º longitud O Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º52’ Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha.

NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo. 13.- Un barco que parte del punto A (latitud 36º50' N. y longitud 76º20' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50º 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida. 14.- Resolver el triángulo esférico tal que: A = 68º 39’ 07’’, B = 74º 07’ 12’’,

a = 51º 42’ 08’’

15.- Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geodésicas de ambos puntos son: ⎧ Longitud = 55º48'10'' E ⎧ Longitud = 20º30'40'' E A≡⎨ B≡⎨ ⎩ Latitud = 55º45'13'' N ⎩ Latitud = 48º50'02'' N Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo (ángulo CAB, siendo C el polo más próximo A). Nota: Radio de la tierra R ≈ 6371 km. 16.- Resolver el triángulo esférico de que se conocen los datos: a=76º00’00’’; A=70º00’00’’; B=119º00’00’’ 17.- Resolver el siguiente triángulo esférico rectángulo: A = 90º, b = 46º 46’ 04’’, B = 57º 28’ 03’’ 18.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (Â = 90º) sabiendo que: Bˆ = 157º 57’ 33’’ b = 167º 3’ 38’’ 19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitúan 3 puntos, A, B y C, vértices de un triángulo esférico. Los ángulos en A y B valen

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respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º. Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a. 20.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º42’, A=68º39’, B=74º07’. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas. 21. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48’, b = 53º 12’ y A = 110º 2’ 22.- a) Resolver el triángulo esférico rectilátero e isósceles tal que b=c=60º00’00’’ b) Determinar los ángulos de un triángulo esférico equilátero cuya área sea igual a la mitad del área encerrada por una circunferencia máxima 23.- Dadas las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 42º52’ N ; 8º33’ O Madrid : 40º24’ N ; 3º41’ O Girona: 41º59’ N ; 2º49’ E Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular: a) Distancias esféricas entre estas ciudades b) Superficie del triángulo esférico que tiene por vértices dichas ciudades. 24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20º 31’ N, longitud 70º 11’ E) y llegar al puerto B

(latitud 42º 22’ N, longitud 10º 45’

W). Calcular: a) La distancia AB (llamada distancia ortodrómica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial (ángulo PAB, donde P es el Polo Norte) c) El rumbo final (ángulo 180º- PBA donde P es el Polo Norte) 25.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (A = 90), sabiendo que: a = 143º 21’ 58’’ y b = 167º 03’ 38’’.

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26.- Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000 m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son Madrid: 3º 41' Oeste; 40º24' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Se pide: a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avión. 27.- Un avión parte de un lugar cercano a Nueva York (74º longitud Oeste; 40º45’ latitud Norte) con rumbo 30º10’ (dirección Norte y Oeste). Dar las coordenadas del punto de su recorrido más cercano al Polo Norte. 28.- Resolver el triángulo esférico rectilátero a=90º, A=36º 25’ 08”, c=102º 00’ 00”, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular: a) La superficie que ocupan él y su triángulo polar. b) Hallar la mediana esférica del triángulo dado que parte del vértice B. c) Hallar la distancia esférica desde el vértice A al vértice C, así como desde el vértice B al lado b. 29.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Si A=90º, entonces tgc cosa = senb cotgB. ⎛a + c⎞ ⎛a − c⎞ 2 b . b) Si A=90°, entonces: tg ⎜ ⎟ tg ⎜ ⎟ = tg 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ c) Si C=90º, entonces cos2A sen2c = sen (c+a) sen (c-a). 30.- Demostrar que la bisectriz esférica de un ángulo de un triángulo esférico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos. 31.- En un triángulo esférico se verifica que a+b=180°. Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c. 32.- En el triángulo esférico rectilátero en el que c=90°; obtener la altura esférica correspondiente al lado c en función de los otros dos

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lados. 33.- Expresar en función de los lados de un triángulo esférico el producto senA senB senC. 34.- Demostrar que en todo triángulo esférico se verifica que: ⎧< ⎫ ⎧< ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a + b ⎨ = ⎬ 180º ⇔ A + B ⎨ = ⎬ 180º . ⎪> ⎪ ⎪> ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 35.- Demostrar que si dos ángulos de un triángulo esférico son rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de un triángulo esférico son rectos, demuéstrese que la superficie esférica del

triángulo es un octante de la esfera. 36.- En un triángulo esférico rectángulo la suma de los catetos vale 100º, la hipotenusa mide 80º; calcular el valor del cateto más pequeño. 37.- Si ε es el exceso esférico del triángulo esférico en el que a=b y C=90º, calcular tgε en función de a 38.- Calcular la distancia mínima en km que hubiera tenido que recorrer las naves de Cristóbal colon en su primer viaje y descubrimiento de América. Datos: Considérese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas

39.- Calcular el valor del coseno del exceso esférico del triángulo cuyos π π y c= . lados miden a=b= 3 2 40.- Calcular el área del triángulo esférico y el volumen de la pirámide esférica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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equilátero cuyos diedros miden 100° y cuyo vértice es el centro de dicha esfera. 41.- De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71º 20´; B = 119º 25´; C = 60º 45´. Se pide: a) Resolver el triángulo. b) Hallar su área. c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su base el triángulo dado. 42.- Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87° 16’, 108° 34’, 126° 23’, 150° y 156° 48’ en una esfera de 16 dm de radio. 43.- En todo triángulo esférico isósceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes: a A a) sen = senb ⋅ sen 2 2 A a b) cos = senB ⋅ cos 2 2 44.- De un triángulo esférico se conocen: a = 74º 05’ 00’’, b = 63º 17’ 00’’, A = 113º 42’ 00’’ a) Analizar cuántos triángulos esféricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el ó los triángulos, según proceda. 45.- En un triángulo esférico se verifica 2p=a+b+c=180º. Demostrar que cosA+cosB+cosC=1. 46.- Calcular la distancia en km, entre Madrid y Málaga, siendo las coordenadas de Madrid longitud 3º 41’ Oeste y latitud 40°24’30” Norte, y las de Málaga 0°49’55” Oeste y 36°43’13” Norte. 47.- Resolver el triángulo esférico conociendo el lado a=120°10’0”, la altura h=42°15’0” y la mediana m=62°10’0” que parten del vértice A.

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48.- Determinar los ángulos A y B de un triángulo esférico conocida su diferencia

B-A=32º14’

y

los

lados

opuestos

a=67º25’35’’

y

b=143º44’46’’. 49.- En un triángulo esférico rectángulo (A=90º) la suma de los catetos vale 100º y la hipotenusa 80º, calcular los catetos. 50.- Un avión parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40º N, 3º O. Su rumbo es 78º NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610 km/h. Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avión atraviesa el paralelo 30ºN y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km. 51.- En la Tierra, sea el círculo máximo que pasa por los puntos A (latitud 0º, longitud 60º O) y B (latitud 60º N, longitud 0º) Se pide: a) Distancia en kilómetros entre los puntos A y B. b) Puntos en que dicho círculo máximo corta el Ecuador c) Puntos en que dicho círculo máximo corta el paralelo 60º N Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km 52.- Sea el triángulo esférico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vértices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 120º Este, latitud: 40º Norte), C (longitud: 30º Oeste, latitud: 60º Norte) Se pide: a) Resolver el triángulo. b) Calcular la superficie del triángulo. 53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 42º ¿Cuál es la longitud del punto de llegada?, si: a) Parte de la longitud 125º O. b) Parte de la longitud 160º E. (Tomar como radio de la tierra 6370 km)

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54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia máxima desde la localidad de Dutch Harbor (latitud: 53º 53’ N, longitud: 166º 35’ O) hasta un punto M (latitud: 37º 50’ S, longitud: 144º 59’ O). Se pide: a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ángulo que forma la trayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo y dirección Este u Oeste). b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador. c) Hallar el área del triángulo esférico determinado por el Polo Norte y ambos lugares. 55.- Un avión parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el rumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Talavera la Real y Nueva York son: Talavera la Real: 6º 46’ 24'’ Oeste; 38º52'35’’ Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Determinar cual es la máxima latitud que alcanza dicho vuelo 56.- Un avión parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: Kopervik (longitud: 5º 18’ E, latitud: 59º 17’ N) Fortaleza (longitud: 38º 29’ O, latitud: 3º 41’ S) Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar: a) La distancia entre ambas ciudades. b) La distancia recorrida por el avión que vuela a 10 km de altura. c) Las coordenadas geográficas del punto H en que la trayectoria corta al ecuador. 57.- Dado el triángulo esférico de ángulos B = 34º49’11’’ y C = 118º58’36’’ y siendo c (el lado opuesto al ángulo C), de valor c = 100º. Se pide: a) Hallar la altura esférica sobre el lado a (opuesto al ángulo A) indicando si es interior o exterior al triángulo b) Resolver el triángulo

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58.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Mediana sobre el lado c. b) Bisectriz del ángulo C. 59.a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10º 29’ N, 68º 00’ O) y Cádiz (España) (36º 30’ N, 6º 20’ O). b) Hallar el rumbo inicial y el rumbo final de un barco que se dirija de Puerto Cabello a Cádiz. c) Calcular la latitud y longitud de la posición del barco cuando haya recorrido 3000 km. d) Si el barco no parase en Cádiz, sino que siguiera navegando por la circunferencia máxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido más próximo al polo norte (dar su latitud y longitud). Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km. 60.- Un barco realiza un viaje desde Bergen (Noruega) (60º 24’ 00”N, 5º 19’ 00”E) hasta St. John’s (Canadá) (47º 34’ 00”N, 52º 41’ 00”O). Se pide calcular: a) La distancia entre ambas ciudades. b) El rumbo inicial (ángulo entre el norte del meridiano y la trayectoria medido en sentido de las agujas del reloj). c) La distancia más corta del Polo Norte a la trayectoria. 61.- Un avión parte de una ciudad A(Cádiz) hacia otra ciudad B(Bristol). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: A (longitud: 6º 20’ O, latitud: 36º 30’ N); B (longitud: 2º 38’ O, latitud: 51º 27’ N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades d(A B). b) Sabiendo que las coordenadas geográficas de otra ciudad C(Oviedo) son (longitud: 5º 50’ O, latitud: 43º 22’ N) y conocidas las distancias: d(A, C) = 764.6003 km, d(B, C) = 930.1393 km, hallar la distancia aproximada a la que pasa el avión de la ciudad C. Nota: tomar, en ambos apartados, el radio de la esfera sobre la que realizar los cálculos R = 6370 km.

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62.- Un barco sale de un punto A (38º 3’ N, 40º 20’ O) con un rumbo N 23º 20’ E. Tras haber realizado una travesía por una circunferencia

máxima entra en un punto B con un ángulo de 43º 15’ (43º 15’ =ángulo ABN). Se pide, calcular: a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B 63.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (EEUU)

con

dirección

a

Monrovia

(Liberia).

Sabiendo

que

las

coordenadas geográficas de dichas ciudades son: Boston (longitud: 71º 03’ O, latitud: 43º 23’ N) Monrovia (longitud: 10º 49’ O, latitud: 6º 20’ N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades. b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador. 64.- Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud 45ºN parte un avión hacia otro punto P. Este punto P equidista del Polo Norte, del Punto M y de un punto Q de coordenadas (65º31’48.72”º E, 45º N). El avión se ve obligado a aterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos 2/3 de su camino, al Este de M. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avión es despreciable frente a esta magnitud. Hallar: a) Las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje b) El tiempo que tardó en efectuar éste si llevó una velocidad constante de 800 km/h c) El área del triángulo esférico definido por los puntos M, A y el Polo Norte 65.- Calcular la superficie del triángulo esférico que tiene por vértices las siguientes ciudades Rio de Janeiro (Brasil) (latitud: 22º54’0’’ S; longitud: 43º13’59’’ O) Atenas (Grecia) (latitud: 37º58’40’’ N; longitud: 23º43’40’’ E) Kingston (Jamaica) (latitud: 17º59’0’’ N; longitud: 76º48’0’’ O)

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 66.- Dadas las coordenadas de las siguientes ciudades: Tokio (Japón): (35º45’50’’N; 140º23’30’’E) Tahití (Polinesia Francesa): (17º40’00’’ S; 157º49’34’’O) Y conocidas las distancias esféricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,812 km y entre Tahití y Honolulu que es de 4.430,312 km. Siendo el radio de la Tierra es de 6.373 km. Se pide: a) Calcular la distancia esférica entre Tokio y Tahití, expresada en km. b) Calcular la superficie esférica del triángulo formado por Tokio, Tahití y Honolulu.

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los siguientes triángulos esféricos: 1) A=90º, b=38º 17’ 46”, c=37º 04’ 13”. 2) A=90º, B=52º 38’ 34”, C=50º 38’ 15”. 3) b=114º 31’ 18”, B=119º 42’ 34”, C=72º 03’ 16”. 4) A=112º 24’ 32”, B=61º 12’ 40”, a=72º 36’ 24”. 5) A=161º 16’ 32”, B=126º 57’ 15”, a=163º 17’ 55”.

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1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30’ E, 40º N). Solución:

RP

O’

50º

⎧360º → 2 π R P 2 π R P 1º . ⇒L= ⎨ 360º ⎩1º → L

P

Hay que hallar el radio del paralelo de Pequín R P .

RT

Llamando R T al radio de la tierra (6371 km) y llamando O y O’ a los centros del ecuador y del paralelo de Pequín P, respectivamente, se tiene que:

O sen 50º =

O' P R P = ⇒ R P = R T sen 50º = 4880.4663 km. OP R T

Sustituyendo en L =

2 π R P 1º , se obtiene L= 85.1802 km. 360º

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

2.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera. Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) y Las Palmas (11º 44’ O, 28º 9’ N). Solución: Planteamiento: N Con las coordenadas geográficas de las tres ciudades podemos C calcular las distancias entre ellas, lo que nos proporciona el B valor de los lados del triángulo esférico PBN determinado por P las tres ciudades. Con los tres lados y aplicando el teorema del coseno podemos calcular los tres ángulos de dicho triángulo necesarios para la obtención del área pedida. En el triángulo esférico CBN (Coruña, Barcelona, Polo Norte): CN = colatitud de la Coruña = 90º - 43º 22’ = 46º 38’ BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 24’ = 48º 36’ Ángulo CNB= long. Coruña + long. Barcelona = 4º 43’ + 5º 50’ = 10º 33’ Por el teorema del coseno: cosCB = cosCN cosBN + senCN senBN cos(CNB) = 0,9901927456 ⇒ CB=8º 1’ 51.42”. Análogamente en el triángulo CNP (Coruña, Las Palmas, Polo Norte): CN = Colatitud de la Coruña = 90º - 43º 22’ = 46º 38’ PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 28º 9’ = 61º 51’ Ángulo PNC = long. Las Palmas - long. Coruña = 11º 44’ - 4º 43’ = 7º 1’ Por el teorema del coseno: cosCP = cosCN cosPN + senCN senPN cos(PNC) = 0.9601396347 ⇒ CP=16º13’53.79” Y para el triángulo PBN (Las Palmas, Barcelona, Polo Norte): PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 28º 9’ = 61º 51’ BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 24’ = 48º 36’ Ángulo PNB = long. Las Palmas + long. Barcelona = 11º 44’ + 5º 50’ = 17º 34’ Por el teorema del coseno: Cos PB = cos PN cos BN + sen PN sen BN cos(PNB) = 0.9425365278 ⇒ PB= 19º 31’ 4.83”. Ahora calculamos los ángulos del triángulo PBN. (Para facilitar la notación les vamos a designar por la letra de la ciudad, es decir: P= ángulo(CPB); B= ángulo (PBC); C = ángulo (BCP)) Por el teorema del coseno cos CB - cos CP cos PB cos P = = 0.912594357 ⇒ P = 24º 8' 1.06" senCP senPB cos CP - cos CB cos PB cos B = = 0.5751626179 ⇒ B = 54º 53' 20.32" senCB senPB

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

cos C =

cos PB - cos CP cos CB = −0.209641375 ⇒ C = 102º 6' 4.81" senCP senCB

Así, el exceso esférico es E = P + B + C – 180º = 1º 07’ 26.19”, al ser un valor muy pequeño nos indica que el triángulo tiene poca deformación con respecto al triángulo plano PBC. El área es S =

π 6370 2 180º

(1º 07' 26.19" ) = 795976,0562 km2

Nota: del triángulo PCB hemos calculado todos sus elementos y conviene comprobar que los cálculos son correctos: senCB senCP senPB Comprobación: = 0,3416961; = 0,3416961; = 0,3416961 senP senB senC

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos

un

triángulo esférico con los elementos dados. En caso

afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60º 00’31’’, b = 137º 20’40’’, c = 116º 00’32’’ b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50’, c = 67º38’, c. Tres ángulos: A = 70º 00’25’’, B = 131º 10’15’’, C = 94º 50’53’’ d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a = 64º 24’03’’, b = 42º 30’10’’, C = 58º 40’52’’ e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos c = 116º 12’05’’, A = 70º 51’15’’, B = 131º 20’26’’ f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos a = 58 º46’22’’, b = 137 º02’50’’, B = 131º 52’33’’ g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos a = 70º, B = 119º, A = 76º Solución: a) Aplicando el teorema del coseno:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ⇒ cos A =

cos a − cos b cos c = senb senc

0,2912659729⇒ A=73º03’58’’. Análogamente: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B ⇒ cos B =

cos b − cos a cos c = sena senc

0,6632204119⇒ B=131º32’45’’ cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C ⇒ cos C =

cos c − cos a cos b = sena senb

0,1207886561⇒ C=96º56’15’’ Comprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez o precisión de los resultados. sena senb senc = 0,905355; = 0,905353; = 0,905354 senA senB senC (5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo) b) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en Ap = 90º y los elementos conocidos de dicho polar son: Ap=180º- a = 90º; Bp =180º- b =131º 10’; Cp = 180º- c = 112º 22’ Aplicamos las reglas del pentágono de Neper al triángulo polar:

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Cp

ap ap Bp

bp

Ap

cp

cosap= cotgBp cotgCp =

Bp

Cp

Ap=90º

90º-bp

90º-cp

1 = 0,3598094492 ⇒ ap = 68º 54’ 41.42” tg B p tg C p

( ) ( )

cosBp=sen(90º-bp)senCp = cosbp senCp ⇒ cos b p =

cos B p sen(C p )

= -0,7118022192

⇒ bp= 135º 22’ 54.2” cosCp=sen(90º-cp)senBp = coscp senBp ⇒ cos c p =

cos C p sen( B p )

= -0,5054907662.

⇒ cp= 120º 21’ 50.1” Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos sena senb senc = 0,9330258; = 0,9330260; = 0,9330259 senA senB senC Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban: A = 180º - ap = 111º 5’ 18.58” (si queremos dar solo hasta los minutos A ≈ 111º 5’ ) B = 180º - bp = 44º 37’ 5.8” (si queremos dar solo hasta los minutos B ≈ 44º 37’ ) C = 180º - cp = 59º 38’ 9.9” (si queremos dar solo hasta los minutos C ≈ 59º 38’ ) c) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:

cos A = − cos Bcos C + senBsenC cos a ⇒ cos a =

cos A + cos Bcos C = 0,530015814 senBsenC

⇒ a=57º59’37’’. Análogamente, cos B + cos A cos C = −0, 733898576 cos B = − cos A cos C + senAsenC cos b ⇒ cos b = senAsenC ⇒ b=137º12’51’’ cos C + cos A cos B = −0, 437657969 cos C = − cos A cos B + senAsenBcos c ⇒ cos c = senAsenB c=115º57’16’’

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Comprobación:

sena = 0,902369; senA

senb = 0,902369; senB

senc = 0,902369 senC

d) Aplicando el teorema del coseno: cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0,6352607851 ⇒ c = 50º 33’ 38.42” Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para calcular A y B: cos a − cos b cos c cos A = = -0,06951367 ⇒ A = 93º 59’ 9.8” senb senc cos b − cos a cos c cos B = = 0,6644274671 ⇒ B = 48º 21’ 41.7” sena senc sena senb senc Comprobación: = 0,904025; = 0,904025; = 0,904024 senA senB senC e) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:

cos C = − cos A cos B + senAsenBcos c = −0, 0965239 ⇒ C = 95º 32'21'' Y ahora teorema del coseno para los ángulos de nuevo para calcular a y b: cos A + cos B cos C = 0,5242012028 ⇒ a = 58º 23’ 7.86” cos a = senB senC cos B + cos A cos C = -0,7361569118 ⇒ b = 137º 24’ 18.2” cos b = senA senC sena senb senc Comprobación: = 0,901456; = 0,901457; = 0,901456 senA senB senC f) Por el teorema del seno: ⎧A = 69º 08' 09' ' < B ⇔ a < b sen a sen b = ⇒ sen A = 0.934428211 ⇒ ⎨ sen A sen B ⎩A = 110º 51' 51' ' < B ⇔ a < b

Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: Uno para A1=69º 08’ 09’’ y otro para A2=110º 51’ 51’’ Datos conocidos del 1º triángulo: A1= 69º08’09’’, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A +B cos 1 c 2 tg a + b = 1,5370151 ⇒ c1 = 56º 57’ 5.92” ⇒ c = 113º 54’ 12” tg 1 = 1 A1 − B 2 2 2 cos 2 a−b cos C C 2 = 1,04520437 ⇒ 1 = 46º 15’ 58.25” ⇒ C1= 92º 31’ 57” tg 1 = a + b A1 + B 2 2 tg cos 2 2

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Comprobación:

sena senb = = 0,9151243; senA senB

senc1 = 0,9151244 senC1

Datos conocidos del 2º triángulo: A2=110º51’51’’ , a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A +B cos 2 c 2 tg a + b = 3,810561712 ⇒ c 2 =75º 17’ 13.2” ⇒ c = 150º 35’ 27.8” tg 2 = 2 A2 − B 2 2 2 cos 2 a−b cos C C 2 = 3,436280124 ⇒ 2 = 73º 46’ 27.66”⇒ C2= 147º32’55.3” tg 2 = a + b A2 + B 2 2 cos tg 2 2 senc 2 sena senb Comprobación: = = 0,9151243; = 0,91512439 senA senB senC2 g) Por el teorema del seno: senasenB sen70º sen119º = = 0,8470342211 ⇒ senb = senA sen76º ⎧b = 57 º53'26" .pero al ser B>A ha de verificarse que b > a =70º, b=⎨ 1 ⎩b2 = 180º −57 º53'26" = 122º 6'34"

luego, en este caso b = b2 = 122º 6’ 34” y solo hay una solución válida. Aplicando las analogías de Neper: A+ B cos c 2 tg a + b = 1,322596405 ⇒ c = 52º 54’ 27” ⇒ c= 105º 48’ 53.9” tg = A− B 2 2 2 cos 2 a −b cos C C 2 tg = = 1,121304997 ⇒ = 48º 16’ 22.24” ⇒ C= 96º 32’ 44.49” 2 2 a+b A + B tg cos 2 2 sena senb senc Comprobación: = = 0,968460; = 0,968459 senA senB senC

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54’54’’, a - b = 13º 40’50’’ Solución: Dividiendo miembro a miembro en las analogías de Neper: a+b A−B⎫ tg cos 2 ⎪ 2 = A + B ⎪⎪ c a+b A+B a+b cos tg tg tg tg tg 68º 57' 27' ' 2 ⎪ 2 2 2 2 = ⇒ ⎬⇒ a b = A B ⇒ − − a−b A−B⎪ tg 6º 50' 25' ' tg 21º 02' 33' ' tg tg tg sen 2 2 2 = 2 ⎪ ⎪ c A+B tg sen ⎪ 2 2 ⎭ a+b a+b tg = 0.810479989 ⇒ = 39º 1' 26' '.67 ⇒ a + b = 78º 2' 53' '.34 2 2 ⎧a + b = 78º 2' 53' '.34 , Por hipótesis, a − b = 13º 40' 50' ' . Resolviendo el sistema lineal ⎨ ⎩a − b = 13º 40' 50' ' ⎧a = 45º 51' 52' ' se obtiene: ⎨ . ⎩b = 32º 11' 2' '

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

5.- Resolver, si es posible, los rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07’ 13”, C=59º 00’ 12”. b) b=167º 03’ 38”, B=157º 57’ 33”. c) a=112º 42’ 36”, b=76º 44’ 15”. Solución:

siguientes

triángulos

esféricos

a) cos(90º-c) = senasenC = 0,743252702177866 ⎧⎪ c = 48º 00 '33 '' < a ⇔ C < A ⇒⎨ ⇒ c = 48º 00'33'' 131º 59 '27 '' ⎪⎩ 1 cosa =cotgBcotgC ⇒ tgB = = 1,205950365 cos atgC ⇒ B = 50º 20’ 1.49” cosC=cotga tgb ⇒ tgb = tga cos C = 0,8963258673 ⇒ b = 41º 52'14''

Comprobación:

sena = 0,86707311; senA

senb = 0,86707310; senB

senc = 0,86707312 senC

b) sena=senb/senB = 0,5966976997 ⎧ a1 = 36º 38'02'' < b ⇔ A < B ⎪ ⇒⎨ ⎪⎩ a 2 = 143º 21'58'' < b ⇔ A < B No podemos rechazar ninguno de los valores obtenidos luego: Existen dos soluciones de tal forma que b es obtuso:

sen c =

⎧c = 34º 34' 34' ' tg b = 0.5649939 ⇒ ⎨ 2 , ya que al ser a1 aguda, c1 y b han de tg B ⎩c1 = 145º 25' 26' '

ser ambos obtusos. ⎧ C2 = 72º 00'07'' cos B ⎪ senC = = 0,95106682 ⇒ ⎨ , ya que al ser a1 aguda, C1 y B cos b ⎪⎩ C1 = 107º 59'53'' han de ser ambos obtusos. Recuerda que a catetos obtusos corresponden ángulos obtusos e hipotenusa aguda. Comprobación: sena1 sena2 senc1 senc2 senb = = 0,59669770; = 0,59669769; = = 0,59669769 senA senA senB senC senC

c) Por el teorema del seno: sen b sen A sen 76º 44 '15''sen 90º sen B = = = 1, 0551 No existe un triángulo esférico sen a sen112º 42 '36 '' con los datos dados. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo. Solución: B c

h

a

b C

A h

Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces h, B y C han de ser todos agudos o todos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo ABC. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h, B y (180º- C) agudos u obtusos simultáneamente es decir, B y C han de tener distinto carácter.

H

Por tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y C:

cos b − cos a cos c = 0.820952891⇒ B = 34º 49 ' 11'' sena senc cos c − cos a cos b = -0.484454398⇒ C = 118º 58 ' 36 '' cosC= sena senb cosB=

Luego al ser B = 34º 49’ 11’’< 90º y C = 118º 58’ 36’’> 90º, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H senh= senBsenc = 0.562321217⇒ h =

34º 12 ' 59 '' 145 º 47' 1'' > 90º

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C. Solución: a) Previamente obtenemos a: cosa = cosbcosc + senbsenc cosA= C h 0.06998607184 ⇒ a = 94º 00’ 47.47”. b=54º10' Se verifica que al ser b B ⇒ a > b. Luego, ambas soluciones son válidas. ⎧42º 43'34 '' = c1 tgb Sen c = cotg B cotg (90 – b) = , ya que al ser = 0.6784953626 ⇒ c = ⎨ tgB ⎩137º16 '26 '' = c 2 cos ( 90º − b ) = senb = sena senB ⇒ sena=

a1 < 90º y b < 90º , debe ser c1 < 90º . Cos b = sen C sen (90º -b) = sen C cos b ⇒ senC =

cos B = 0.7851265898 cos b

⎧51º 43'57 '' = C1 ⇒C=⎨ , pues c1 y C1 han de ser ambos agudos o ambos obtusos. ⎩128º16 '03'' = C2 Hay, entonces, dos soluciones:

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

18.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (Â = 90º) sabiendo que: Bˆ = 157º 57’ 33’’ b = 167º 3’ 38’’ Solución: Por el teorema del seno: ⎧ a = 36º 38'02 '' < b ⇔ A < B sen a sen b sen A sen B = ⇒ sen a = . ⇒⎨ sen A sen B sen b ⎩a = 143º 41'58'' < b ⇔ A < B Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: 1ª solución: a1=36º38’02’’ Aplicando las analogías de Neper: A+B cos c1 2 tg a1 + b ⇒ c=145º25’26’’ tg = A−B 2 2 cos 2 a −b cos 1 C 2 ⇒ C=107º59’53’’ tg 1 = a1 + b A + B 2 cos tg 2 2 2ª solución: a2=143º21’58’’; Aplicando las analogías de Neper: A+B cos c2 2 tg a 2 + b ⇒ c=34º34’34’’ tg = A−B 2 2 cos 2 a −b cos 2 C2 2 = ⇒ C=72º00’07’’ tg + a b A+B 2 2 cos tg 2 2 Soluciones: a=36º38’02’’; c=145º25’26’’; C=107º59’53’’ y a=143º21’58’’; c=34º34’34’’; C=72º00’07’’

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitúan 3 puntos, A, B y C, vértices de un triángulo esférico. Los ángulos en A y B valen respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º. Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a. Solución:

b

c

d

C

H a B Lo que se pide en el problema es calcular la altura d sobre el lado a Para calcular d se resuelve el triángulo rectángulo A’BH, del que se conocen H=90º y B=119º. Se necesita, por tanto, otro dato y éste puede ser el ángulo C. Para calcular el lado c, se resuelve el triángulo ABC Se tiene un triángulo en el que se conocen dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos. sen a . sen B Aplicando el teorema del seno sen b = = 0,903103573 sen a

⎧ b=64º34’9’’ solución no válida pues B > A ⇒ b > ( a = 76º ) b=⎨ ⎩ b=115º25’51’’ A+ B c 2 tg a + b = 0,861486188 ⇒ c = 81º 29’ 20’’ tg = − A B 2 cos 2 2 cos

por el teorema del coseno se obtiene C = 73º 17' 40'' (NOTA: se podía haber calculado directamente C sin calcular c/2, ya que en este caso no se utilizará c para calcular la altura esférica) Como C es agudo y B obtuso, el triángulo corresponde a la figura dibujada y la altura es exterior. Ahora hay que resolver el triángulo rectángulo A’HB conocidos H,B y c Por el teorema del seno sen d =

sen b . sen C = 0,864988471 sen 90º

d = 59º52’53’’ solución no válida puesto que C < H ⇒ d > (b = 115º 25’ 51’’) d = 120º7’7’’ Pasando el ángulo a radianes d = 1,045127397 rad ⇒ distancia= d . R = 6657,461 km

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

20.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º42’, A=68º39’, B=74º07’. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas. Solución:

Calcular el lado b en ambos triángulos. Se aplica el T. del seno:

sen a sen b sen a ⋅ sen B = ⇒ sen b = ⇒ sen A sen B sen A

⎧ b1 = 54º 08' sen b = 0,8104309 ⇒ ⎨ son las soluciones buscadas, puesto que tanto una como ⎩b 2 = 125º 52' otra verifican: b > a y a + b < 180º

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

21. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48’, b = 53º 12’ y A = 110º 2’ Solución:

sen a sen b sen A ⋅ sen b = ⇒ sen B = ⇒ sen A sen B sen a ⎧ B = 49º 51' 01'' b ⇔ A > B sen b sen A sen 49º15'sen 30º10 ' = = 0.3806893463 ⇒ a = ⎨ sen B sen 90º ⎪⎩ 157º 37'25'' No valido

Latitud φ2=90º-a = 90º - 22º22’35’’=67º37’25’’ cosb=cotgP cotgA 1 = 2.633364639 ⇒ P = 69º12 '22 '' tgP = cos btgA

Longitud P=λ2-λ1=69º12’22’’ λ2=P+λ1=69º12’22’’+74º=143º12’22’’ Coordenadas: ⎧ Longitud = 143º12'22'' O=λ 2 B≡⎨ ⎩ Latitud = 67º37'25'' N=ϕ 2

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 28.- Resolver el triángulo esférico rectilátero a=90º, A=36º 25’ 08”, c=102º 00’ 00”, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular: a) La superficie que ocupan él y su triángulo polar. b) Hallar la mediana esférica del triángulo dado que parte del vértice B. c) Hallar la distancia esférica desde el vértice A al vértice C, así como desde el vértice B al lado b. Solución: Resolveremos previamente el triángulo polar por ser rectángulo: Ap=180º-a=90º; ap=180º-A=143º34’52; Cp=180º-c=78º ap

Bp

Ap=90º

Cp

90º-bp 90º-cp cosap=cotgBpcotgCp 1 ⇒ tgBp = = −0, 2641439724 ⇒ Bp = 165º12 '13'' ⇒ b = 180º − Bp = 14º 47 ' 47 '' cos a p tgCp cos(90º-cp)=senap senCp ⇒ s encp = sena p senCp = 0.5807108495 ⎧35º 30 '02 '' < a p ⇔ Cp < A p ⇒ C = 180º −c p = 144º 29 '58 cp = ⎨ ⎩144º 29 '58'' No valido cosCp= cotg(90º-bp)cotgap ⇒ tgb p = cos Cp tga p = −0.1533936481

b p = 171º16 ' 45'' ⇒ B = 180º − b p = 8º 43'15'' a) Área del triángulo esférico: π r2 π 52 D S= A + B + C − 180 ) = ( 36º 25'8''+ 8º 43'14 ''+ 144º 29 '58''− 180º )  4, 2058km 2 ⇒ D ( 180º 180 Área del triángulo esférico polar: π r2 π 52 D S= A + B + C − 180 = ( 90º +165º12 '13''+ 78º −180º )  66,8476km 2 ⇒ ) p p D ( p 180º 180 2 en total será: 71,0535 km

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA b) Mediana esférica sobre b:

c=102º'

B

A=36º25'08’’

m

a=90º'

Puesto que, en el triángulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos el teorema del coseno: cosm=cosc cos(b/2)+senc sen(b/2) cosA= = - 0.1048273963 luego m=96º01’02’’

C b/2=7º23’53.5’’

c) La distancia del vértice A al vértice C es la longitud del lado b: πr π5 b= b = 14º 47’ 47’’ ⇒ L b = (14º 47 '47 '')  1,291 km D 180 180º La distancia del vértice B al lado b es la longitud de la altura sobre b: Considerando el triángulo ACH rectángulo en H

senh= senasenC= 0.5807069025⇒ h = b = 35º 30’ 01’’ ⇒ L b =

35º 30' 01'' < c ⇔ A < 90º 144 º 29' 59''

πr π5 b= ( 35º 30 '01'') ≈ 3,097 km D 180 180º

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 29.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Si A=90º, entonces tgc cosa = senb cotgB. ⎛a + c⎞ ⎛a − c⎞ 2 b . b) Si A=90°, entonces: tg ⎜ ⎟ tg ⎜ ⎟ = tg 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ c) Si C=90º, entonces cos2A sen2c = sen (c+a) sen (c-a). Solución:

a)

a B

A=90º

C

90º-c 90º-b Del pentágono de Neper obtenemos las fórmulas siguientes: cosa=sen(90º-b) sen(90º-c)=cosb cosc senc=cos(90º-c)=cotg(90º-b) cotgB=tgb cotgB Ahora sustituyendo: senc tgc cosa cosb cosc = senc N = tgc cosb cosc = N cosb = tgb cotgB cosb = senb cotgB cosc cosbcosc tgb cotgB b) Conocidas las analogías de Neper: A−C A−C cos s en b a c − ⎛a+c⎞ ⎛ ⎞ 2 tg ; tg 2 tg b tg ⎜ = ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ cos A + C 2 ⎝ 2 ⎠ s en A + C 2 2 2 y las fórmulas trigonométricas: ⎛ A+C⎞ ⎛A+C⎞ ⎛A+C⎞ sen(A + C) = sen ⎜ 2 ⎟ = 2sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ A−C⎞ ⎛ A−C⎞ ⎛ A−C⎞ sen(A − C) = sen ⎜ 2 ⎟ = 2sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ c) ⎛a +c⎞ ⎛a −c⎞ tg ⎜ ⎟ tg ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

A−C A−C A−C A−C s en c os s en b b 2 tg 2 tg = 2 2 tg 2 b = A+C 2 A+C 2 A+C A+C 2 cos s en cos s en 2 2 2 2 cos

1 sen ( A − C ) sen ( 90º −C ) 2 b cos C 2 b b b 2 tg 2 tg tg = = = tg 2 A 90º = 1 2 sen ( 90º +C ) 2 cos C 2 2 sen ( A + C ) 2 sen (c+a) sen (c-a) = (senc cosa + cosc sena) (senc cosa - cosc sena) = sen2c cos2a – cos2c sen2a = = sen2c cos2a – (1-sen2c) sen2a = sen2c cos2a – sen2a + sen2c sen2a = sen2c (cos2a + sen2a) – sen2a =

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA = sen2c - sen2a = (*) Del pentágono de Neper obtenemos la fórmula siguiente: sena = cos(90º-a) = senA senc c B

C=90º

A

90º-a 90º-b Ahora sustituyendo en (*): (*)=sen2c - sen2a = sen2c – sen2A sen2c = sen2c (1– sen2A) = sen2c cos2A

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 30.- Demostrar que la bisectriz esférica de un ángulo de un triángulo esférico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos. Solución:

A c A/2 A/2

D1 B

a1 D

b

C

D2 a2

Considerando dos triángulos esféricos y el teorema del seno, tenemos: ⎛A⎞ sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = sen D1 Sobre el triángulo ABD: sen a1 sen c ⎛A⎞ sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = sen D 2 Sobre el triángulo ADC: sen a 2 sen b sen D1 sen D 2 ⎛A⎞ = sen a 2 Despejando e igualando: sen ⎜ ⎟ = sen a1 sen c sen b ⎝2⎠ Como D1 + D 2 = 180º ⇒ senD1 = senD 2 sen a1 sen a 2 = Simplificando, queda sen c sen b

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 31.- En un triángulo esférico se verifica que a+b=180°. Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c. Solución: C b

a

m D1

B

D2 c/2 c/2 D

A

Considerando dos triángulos esféricos y el teorema del coseno, tenemos: c c Sobre el triángulo CBD: cos a = cos m cos + senm sen cos D1 2 2 c c Sobre el triángulo CDA: cos b = cos m cos + senm sen cos D 2 2 2 Como D1 + D 2 = 180º ⇒ cos D1 = −cosD 2 y por hipótesis a + b = 180º ⇒ cos a = − cos b , igualamos: c c c c cos a = cos m cos + senm sen cos D1 = − cos m cos − senm sen ( − cos D1 ) = cos b 2 2 2 2 c ⇒ 2 cos m cos = 0 2 ⎧cos m = 0 ⇒ m = 90º c ⎪ cos m cos = 0 ⇒ ⎨ c c 2 ⎪cos = 0 ⇒ = 90º ⇒ c = 180º no es factible, puesto que a-b ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Solución:

a−b a−b A+B 2 De la analogía de Neper: tg = podemos observar que: cos > 0 ya que a+b C 2 2 cos tg 2 2 a−b C C −90º < < 90º y además tg > 0 ya que 0º < < 90º . Por tanto, 2 2 2 A + B a + b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ signo ⎜ tg ⎟ = signo ⎜ cos ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ cos

Consideramos las tres posibilidades: a+b a+b A+B A+B Si a+b 0 ⇔ tg >0⇔ < 90º ⇔ A + B < 180º 2 2 2 2 Si a+b=180º ⇔

a+b a+b A+B A+B = 90º ⇔ cos = 0 ⇔ tg no existe ⇔ = 90º ⇔ A + B = 180º 2 2 2 2

Si a+b>180º a+b a+b A+B A+B ⇔ > 90º ⇔ cos < 0 ⇔ tg 90º ⇔ A + B > 180º 2 2 2 2

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 35.- Demostrar que si dos ángulos de un triángulo esférico son rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de un triángulo esférico son rectos, demuéstrese que la superficie esférica del triángulo es un octante de la esfera. Solución:

r3

C

b

a Π1

Π2 Π3 A=90º

c

B=90º r2

r1

A = 90º ⇒ π2 ⊥ π3 ⎫ ⎧r3 ⊥ r1 ⇒ b = 90º ⎬ ⇒ π2 ∩ π1 = r3 ⊥ π3 ⇒ ⎨ B = 90º ⇒ π1 ⊥ π3 ⎭ ⎩r3 ⊥ r2 ⇒ a = 90º ⎛ ∧ ⎞ y además ⇒ C = ⎜ r1 , r2 ⎟ = c ⎝ ⎠

Como el tercer ángulo es también recto el tercer lado (c=90º) también lo es, resultando un triángulo trirrectángulo y trirectilátero que es la octava parte de la esfera.

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 36.- En un triángulo esférico rectángulo la suma de los catetos vale 100º, la hipotenusa mide 80º; calcular el valor del cateto más pequeño. Solución:

Datos: A=90º, a=80º, b+c=100º Del pentágono de Neper: cosa=sen(90º-b)sen(90º-c)= cosbcosc=cos80º del coseno de la suma: cos(b+c)=cosbcosc-senbsenc=cos100º=cos80º-senbsenc => senbsenc=cos80º-cos100º Y del coseno de la diferencia: cos(b-c)=cosbcosc+senbsenc=cos80º+cos80º-cos100º = 3cos80º => b-c=58º36’16’’ Resolviendo el sistema: b + c = 100º ⎫ ⎧⎪b = 79º18'8'' ⎬⇒ ⎨ b − c = 58º 36 '16 ''⎭ ⎪⎩ c = 20º 41'52''

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 37.- Si ε es el exceso esférico del triángulo esférico en el que a=b y C=90º, calcular tgε en función de a Solución: tgε = tg ( A + B + C − 180º ) = tg ( A + B + 90º −180º ) = tg ( A + B − 90º ) = − tg ( 90º − ( A + B ) ) = = − cot g ( A + B ) =

1 − cot g ( A ) cot g ( B ) cot g ( A ) + cot g ( B )

= (*)

Si a=b, entonces A=B. Del pentágono de Neper obtenemos la fórmula siguiente: cos A= senBsen(90º-a)=senB cosa, de dónde, cosa = cotgA=cotgB c B

90º-a

C=90º

A

90º-b

Ahora sustituyendo en (*): 1 − cot g ( A ) cot g ( B ) 1 − cos a cos a 1 − cos 2 a sena = tgε = = = (*) = 2cos a cot g ( A ) + cot g ( B ) cos a + cos a 2 cos a

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 38.- Calcular la distancia mínima en km que hubiera tenido que recorrer las naves de Cristóbal colon en su primer viaje y descubrimiento de América. Datos: Considérese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas. Solución: Datos:

Coordenadas de Santa Cruz de Tenerife: Latitud. 28° 28’ N Longitud. 16° 15’ W Coordenadas de S. Salvador en las Bahamas: Latitud. 24° 00’ N Longitud 74° 35’ W Resolviendo el triángulo esférico: tp = 90 - 28º 28’ = 61º 32’ sp = 90 - 24º 00’ = 66º P = 74º 35’ – 16º 15’ = 58º 20’ Distancia entre Tenerife y S. Salvador: cos st = cos sp cos tp + sen sp sen tp cos P = = cos 66º cos 61º 32’ + sen 66º sen 61º 32’ cos 58º 20’ st = 52º 0’ 48.’’83 distancia = st(radianes).R = = (52º 0’ 48.’’83) (π/180) (6371) = 5779,2848 km.

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 39.- Calcular el valor del coseno del exceso esférico del triángulo cuyos lados π π miden a=b= y c= . 3 2 Solución: Primeramente resolvemos el triángulo esférico con el pentágono de Neper para triángulos rectiláteros, o bien, con el teorema del coseno. Además a=b ⇔ A=B. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A. ⎛π⎞ ⎛π⎞ ⎛π⎞ cos ⎜ ⎟ − cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ 1 − 1 ⋅ 0 cos a − cos b cos c ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝ 2 ⎠ = 2 2 = 1 = cos B Y despejando cos A = = senbsenc ⎛π⎞ ⎛π⎞ 3 3 sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⋅1 ⎝3⎠ ⎝2⎠ 2

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C. 2 ⎛π⎞ ⎛1⎞ 2 ⎛π⎞ − − cos cos 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cos c − cos 2 a 2⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = − 1 ⇒ senC = 1 − cos 2 C = 2 2 = = cos C = 2 2 3 3 sen a ⎛π⎞ ⎛ 3⎞ sen 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ahora cos ε = cos ( A + B + C − 180º ) = cos ( 2A + C − 180º ) = − cos ( 2A + C ) = − cos 2A cos C + sen2AsenC = 2 12 2 ⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 ⎞ = −(cos 2 A − sen 2 A) cos C + 2senA cos AsenC = − ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ + 2 = 3 3 3 ⎝ 3 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 7 = 9

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 40.- Calcular el área del triángulo esférico y el volumen de la pirámide esférica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro equilátero cuyos diedros miden 100° y cuyo vértice es el centro de dicha esfera. Solución: Si los ángulos diedros miden 100º, los vértices del triángulo esférico serán A=B=C=100º y el exceso esférico ε=A+B+C-180º=300º-180º=120º Área del triángulo esférico: S =

π r2 π 62 D + + − = A B C 180 120º = 75, 3982 cm 2 ( ) 180D 2

1 1 Volumen de la pirámide esférica: V = S ⋅ h = 75,3982 ⋅ 6 = 150, 7964 cm 3 3 3

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 41.- De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71º 20´; B = 119º 25´; C = 60º 45´. Se pide: a) Resolver el triángulo. b) Hallar su área. c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su base el triángulo dado. Solución:

a) Para resolver el triángulo esférico utilizamos el teorema del coseno para ángulos cos A + cos Bcos C = 0.035771 ⇒ a=87º57’ . cos A = − cos B cos C + senBsenC cos a ⇒ cos a = senBsenC Análogamente, cos B + cos A cos C = −0, 404994 ⇒ b=113º cos B = − cos A cos C + senAsenC cos b ⇒ cos b = senAsenC 53’ cos C + cos A cos B = 0.401681 ⇒ c=66º19’ cos C = − cos A cos B + senAsenBcos C ⇒ cos c = senAsenB b) Área del triángulo esférico: π r2 π 102 D + + − = S= A B C 180 71º 30 ' = 124,79 dm 2 ) D ( 180 2

c) Volumen de la pirámide esférica: 1 1 V = S ⋅ h = 124, 79 ⋅10 = 415,96 dm 3 3 3

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 42.- Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87° 16’, 108° 34’, 126° 23’, 150° y 156° 48’ en una esfera de 16 dm de radio. Solución: Área del pentágono esférico: π r2 Sn =5 = A + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 − (n − 2)180D ) = D ( 1 180 π 162 π 162 = (87º16'+108° 34'+126° 23'+150°+156° 48'-3 ⋅180º ) = ( 629º 01'− 540º ) = 2 2 = 397,7302 dm 2

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 43.- En todo triángulo esférico isósceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes: a A a) sen = senb ⋅ sen 2 2 A a b) cos = senB ⋅ cos 2 2 Solución:

a) De las razones trigonométricas del ángulo mitad: a sen ( p − b ) sen ( p − c ) sen 2 ( p − b ) sen ( p − b ) sen 2 a A A = = = ⇒ sen = senb ⋅ sen sen = 2 b =c 2 2 2 senbsenc senb senb sen b

b) Aplicando la fórmula de Bessel del coseno para ángulos: cosA=-cosBcosC+senBsenCcosa=-cos2B+sen2Bcosa y como b = c ⇔ B = C A 1 + cos A 1-cos 2 B+sen 2 Bcosa sen 2 B+sen 2 Bcosa sen 2 B(1+cosa) cos = = = = = 2 2 2 2 2 = senB

(1+cosa) a = senB ⋅ cos 2 2

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 44.- De un triángulo esférico se conocen: a = 74º 05’ 00’’, b = 63º 17’ 00’’, A = 113º 42’ 00’’ a) Analizar cuántos triángulos esféricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el ó los triángulos, según proceda. Solución:

a) Por el teorema del seno: ⎧58º 16' 04' ' senA senb senB = = 0.8505144307 ⇒ B = ⎨ sena ⎩121º 43' 56' ' a > b ⇒ A > B ⇒ B = 58º 16' 04'' Solución única. b) Aplicando las analogías de Neper: A+B cos c 2 tg a + b = 0.2027464054 ⇒ c = 11º 27' 40'' ⇒ c = 22º 55' 20'' tg = A−B 2 2 2 cos 2 Mediante el teorema del coseno: cos c-cos a cos b cos C = = 0.9286917248 ⇒ C = 21º 46' 06'' sen a sen b

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 45.- En un triángulo esférico se verifica 2p=a+b+c=180º. Demostrar que cosA+cosB+cosC=1. Solución: Dato: a+b+c=180º ⇒ a=180º-(b+c) ⇒ cosa=cos(180º-(b+c))=-cos(b+c)=-cosbcosc+senbsenc ⇒

utilizamos el teorema del coseno cos a = cos b cos c + senbsenc cos A ⇒ cos a − cos b cos c -cosbcosc+senbsenc-cosbcosc senbsenc-2cosbcosc cos A = = = = 1 − 2 cot gb cot gc senbsenc senbsenc senbsenc Análogamente, cos B = 1 − 2 cot ga cot gc cos C = 1 − 2 cot ga cot gb cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cot gb cot gc + 1 − 2 cot ga cot gc + 1 − 2 cot ga cot gb = = 3 − 2 ( cot gb cot gc + cot ga cot gc + cot ga cot gb ) = 1 ⇒ cot gb cot gc + cot ga cot gc + cot ga cot gb = 1

Demostramos la última expresión: cot gb cot gc + cot ga cot gc + cot ga cot gb = tg (180 − (b + c) ) + tgb + tgc tg (180 − (b + c) ) tgbtgc

=

1 1 1 1 1 1 tga + tgb + tgc + + = = tgb tgc tga tgc tga tgb tgatgbtgc

− tg ( b + c ) + tgb + tgc − tg ( b + c ) tgbtgc

= (*)

Sabemos que: tgb + tgc tg ( b + c ) = 1 − tgbtgc ahora

tgb + tgc + tgb + tgc − tg ( b + c ) + tgb + tgc − ( tgb + tgc ) + (1 − tgbtgc )( tgb + tgc ) 1 − tgbtgc (*) = = = = tgb + tgc − tg ( b + c ) tgbtgc − ( tgb + tgc ) tgbtgc tgbtgc − 1 − tgbtgc −

=

( − tgbtgc )( tgb + tgc ) =1 − ( tgb + tgc ) tgbtgc

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 46.- Calcular la distancia en km, entre Madrid y Málaga, siendo las coordenadas de Madrid longitud 3º 41’ Oeste y latitud 40°24’30” Norte, y las de Málaga 0°49’55” Oeste y 36°43’13” Norte. (R=6371 km) Solución: A Datos: A=3º41’-0º49’55’’=2º51’5’’ b= 90º-40º24’30’’=49º35’30’’ c=90º-36º43’13’’=53º16’47’’ solución del triángulo: A(polo); C(Madrid); B(Málaga)

c

b a C

B

aplicando el teorema del coseno: cos a = cosb cosc + senb senc cos A obtenemos a=4º18’32’’ por lo que la distancia recorrida es d = a(radianes). R = a (π/180) (6371) = 479 km

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 47.- Resolver el triángulo esférico conociendo el lado a=120°10’0”, la altura h=42°15’0” y la mediana m=62°10’0” que parten del vértice A. Solución: A b

c

h a

m

H M

B

C

Consideramos el triángulo rectángulo HAM: m A

H=90º m=62º10’ h=42º15’

m

h

M

A

H=90º

a1 H

M

90º-a1 cosm=cosa1cosh ⇒ cos a1 =

90º-h

cos m = 0, 630761 ⇒ a1 = 50º 53'37'' cosh

En el triángulo rectángulo HAC: b H=90º m = a + a = 110º15'37 '' HC 1 2 h=42º15’

C

A’

H=90º

90º-HC

90º-h

m cosh = −0, 2649992 ⇒ b = 105º 21'59'' cos b = cos HC

senC =

senh ⎪⎧ 44º12'37'' = C < 90º ⇔ h < b = 0, 697295 ⇒ ⎨ senb ⎪⎩ 135º 47'13''

senA ' =

m ⎧⎪ 75º 32'38'' senHC = 0,968341 ⇒ ⎨ n>b senb ⎪⎩ 104º 27'22'' = A ' > 90º ⇔ HC

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA En el triángulo rectángulo HAB: A’’

H=90º m = a − HC m = 9º11'23'' BH 2 h=42º15’

h

c a2 B

H

c B

H=90º

90º-BH

A’’

90º-h

m cosh = 0, 730717 ⇒ c = 43º 03'12'' cos c = cos BH

⎧⎪ 8º 01'45'' = B < 90º ⇔ h < c ⎨ ⎪⎩ 171º 59'15'' m m C ⇔ b > c a < b ⇔ A < B tampoco nos sirve para decidir. Ha de ser A+B+C>180º, no nos dice nada. senB =

Comprobamos con el teorema del coseno para ángulos que nos dará el valor único: cosA=-CosBcosC+senBsenCcosa-0,359449 ⇒ A = 111º 04'00''

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

49.- En un triángulo esférico rectángulo (A=90º) la suma de los catetos vale 100º y la hipotenusa 80º, calcular los catetos. Solución: Como el dato es b+c=100º usamos las analogías de Gauss-Delambre: b+c B+C B+C cos cos cos 2 = 2 ⇒ cos 50º = 2 ⇒ cos B + C = 0,593333 ⇒ B + C = 53º 36 ' 22 '' a A cos 40º s en45º 2 2 cos s en 2 2 b+c B−C B−C cos cos s en50º 2 = 2 ⇒ 2 ⇒ cos B − C = 0,8426961 ⇒ B − C = 32º 34 ' 27 '' = a A s en40º s en45º 2 2 s en s en 2 2

s en

Resolviendo el sistema: B+C ⎫ = 53º 36 ' 22 '' ⎪ ⎪ ⎧B = 86º10 ' 49 '' 2 ⎬⇒⎨ B−C C = 21º 01'55'' = 32º 34 ' 27 ''⎪ ⎩ ⎪⎭ 2

Por último, del pentágono de Neper: cosC=cotga cotg(90º-b), entonces tgb=cosC tga= 0,3778146 ⇒ b = 20º 41'52''

⇒ c = 100º − b = 79º18'08''

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

50.- Un avión parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40º N , 3ºO. Su rumbo es 78º NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610 km/h. Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avión atraviesa el paralelo 30ºN y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km. Solución:

b=90º-40º=50º

c=90º-30º=60º

C=78º

Resolviendo el triángulo sen B = (senC senc) / senb senB = 0,86522234892638450965733190209936 B1=59º54’29.17” B2=180º-B1= 120º05’30.83 Como b