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Unidad 3: Funciones exponenciales 10 Tema: Función exponencial Lección: Definición y gráfica

Función exponencial La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería. La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exponente(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

E ( x)  K a x Siendo a, K ∈ números reales, a≥0. Así pues, estas funciones exponenciales son similares y dependen de la base a que utilicen.

Ejemplos: 1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos. x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

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2 Para construir la gráfica de esta función se localiza estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Observa el comportamiento de la función:

2. La función exponencial de base 1/2 Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a + y cuando x tiene a  y=f(x)=(1/2)x x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

8

4

2

2

1/2

1/4

1/8

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3 3. La función exponencial para cualquier valor de b         

La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x. Toma valores positivos para cualquier valor de x. El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales. Todas las funciones pasan por el punto (0,1). Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta. Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. 5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. 6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:

a )(a x )(a y )  a x  y ax b) y  a x  y a

 

c) a x

y

 a xy

d )(ab) x  a x b x x

ax  a e)    x  b b

2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b

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5 Referencias:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/expow.htm

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