Story Transcript
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES Continuamos con el estudio de la asignatura; ya hemos abordado cinco capítulos del programa de estudio: Los números reales, ecuaciones, desigualdades y algunas de las funciones más significativas. En la presente unidad se revisarán los Sistemas de Ecuaciones, tema que no es nuevo para usted, conocimientos al respecto adquirieron en la unidad 2: Ecuaciones y desigualdades, conviene empezar revisándola. Los sistemas de ecuaciones al igual que las ecuaciones permiten representar situaciones reales con una complejidad mayor al considerar más de una ecuación en forma simultánea, vinculadas por las mismas variables. En esta unidad se abordará la conceptualización, tipos de sistemas de ecuaciones, formas de solución y aplicación de estos sistemas. Pues bien empecemos el estudio de la unidad revisando el primer tema. 6.1 Nociones Básicas de los Sistemas de Ecuaciones Lea y analice en el capítulo 9: Sistemas de Ecuaciones y desigualdades, el tema 9.1, Sistemas de Ecuaciones del texto básico, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
Como se mencionó en la introducción a la unidad, un sistema de ecuaciones no es más que un conjunto de ecuaciones, vinculadas por las mismas variables; se utiliza el símbolo de llaves para mostrar la relación entre las ecuaciones del sistema. Así: y = x2 + 4 y = 2x – 1 Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, uno de ellos es el método de sustitución, el cual se referencia en este apartado; en su texto básico, capítulo 9 encontrará los pasos para la resolución de ecuaciones con dos variables por el método de sustitución. Es importante considerar que la solución consiste en encontrar el valor o valores de las variables que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema en forma simultánea, es Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
decir la solución común, que al reemplazarlo en cualquier ecuación del sistema, la igualdad se satisface. En la presente Guía Didáctica en el apartado 6.3, incluyen algunos métodos de solución de sistemas de ecuaciones; los mismos que abordaremos en su momento.
Actividad recomendada Analice los ejemplos resueltos en el apartado 9.1, de su texto básico. 6.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables Vaya al texto básico y revise en el capítulo 9, el tema 9.2: Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
En la unidad 2 usted ya conoció lo que es una ecuación lineal y en la apartado anterior, un sistema de ecuaciones; en el presente tema se abordará la combinación de éstos dos conceptos, llamado sistema de ecuaciones lineales, pero con dos variables; la forma para éstas ecuaciones es ax+ by = c donde a, b, c son constantes y x, y las variables, una ecuación puede tener n variables. La solución de éste tipo de sistemas de ecuaciones está fundamentado en el Teorema de sistemas equivalentes, que se enuncia y se resalta en el recuadro del apartado 9.2 de su texto básico; léalo y analícelo; esto es clave para la solución de sistemas de ecuaciones. Para comprenderlo mejor, en el mismo libro dispone de algunos ejemplos resueltos. A continuación le explicamos uno:
Ejemplo: x + 3y = 1 1 2x – y = 0 2 (1) x + 3y = 1
(2) 6x – 3y = 0
Comprobar que se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, por la forma de cada una. Multiplicar por 3 la ecuación (2), aplicando el Teorema de sistemas Equivalentes el sistema no alterará.
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
3 7x = 1
4 x = 1/7 5 1/7 + 3y = 1 6 3y = 1-1/7
y = 6/21 7 (1) (1/7) + 3(6/21) = 1 1/7 + 6/7 = 1 1=1
Sumar las ecuaciones, para obtener la eliminación de una variable y por ende una nueva ecuación. Obtener el valor de x. Reemplazar el valor encontrado en la ecuación (1). Despejar y obtener el valor de la segunda variable. Comprobar que los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones.
(2) 2(1/7) – 6/21=0 2/7 – 6/21 = 0 0=0 Es importante observar algunas particularidades de la solución de éste tipo de sistemas de ecuaciones, que se detallan en los ejemplos 2 y 3 de su texto, relacionadas con el número de soluciones infinitas o sin soluciones.
Actividad recomendada Analice los ejemplos correspondientes al contenido abordado que están resueltos en el texto básico.
6.3 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Sobre el presente tema no hay un contenido teórico específico en el texto básico, por esta razón nosotros en este apartado le ofrecemos una compilación breve de los principales métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, de los cuales usted tiene algunas nociones porque se los ha revisado en los subtemas anteriores (6.1 y 6.2). En el apartado 6.1 ya se mencionó el método de sustitución que proporcionó la guía para la resolución de ecuaciones con dos variables y en el 6.2 se utilizó el Teorema de sistemas equivalentes, para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. A continuación se sintetiza y ejemplifica algunos lineamientos de los métodos de solución mencionados. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
Método de Sustitución.- Es necesario recordar que este es aplicable a casi todos los tipos de sistemas de ecuaciones lineales, no lineales, de dos variables, de más de dos variables; en grandes rasgos consiste en: Despejar en una de las ecuaciones, una de las variables. Reemplazar la variable despejada en la otra de las ecuaciones. Se podría continuar realizando éste proceso hasta que quede una ecuación en función de una sola variable que nos permitirá obtener su valor. Una vez obtenido el valor de una de las variables, se puede reemplazar en las ecuaciones sobrantes para obtener los valores de las variables restantes, éste proceso se denomina sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
(1) 2x - y = 1 (2) - x + 4y = -2 - y = 1 – 2x y = 2x – 1 -x + 4(2x - 1) = -2 -x + 8x – 4 = -2 7x = 2 x = 2/7 (1) 2(2/7) - y = 1 4/7 - y = 1 -y = 1 - 4/7 y = -3/7 (1) 2(2/7) – (-3/7) = 1 4/7 + 3/7 = 1 1=1 (2) - 2/7 + 4(-3/7) = -2 - 2/7 - 12/7 = -2 -2 = -2
Sistema de dos ecuaciones con dos variables. Por conveniencia despejamos y en la ecuación (1). Reemplazo la variable despejada en la otra ecuación (2) operamos y obtenemos el valor de la otra variable en éste caso x. Reemplazo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de y.
Compruebo las soluciones.
Método de Eliminación.- Constituye otro de los métodos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones; en grandes rasgos consiste en: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
Multiplicar o dividir una de las ecuaciones por un número que permita obtener una ecuación equivalente, que al sumarla con otra de las ecuaciones del sistema elimine una de las variables. Si únicamente se consideran dos variables, al eliminar una podremos despejar y obtener el valor de la otra. Volver a reemplazar el valor encontrado en una de las ecuaciones y encontrar el otro valor. Si son más de dos variables, se debe repetir el proceso hasta obtener una de ellas y luego sustituir.
Ejemplo: Ahora, el mismo ejemplo anterior resolviéndolo por el método de eliminación. (1) 2x - y = 1 (2) - x + 4y = -2 (3) - 2x + 8y = -4 (1) 2x - y = 1 (3) - 2x + 8y = -4 (4) 7y = -3 y = -3/7 (3) 2x - (-3/7) = 1 2x = 1 – 3/7 x = 4/7 x = 2/7
Sistema de ecuaciones con dos variables. Multiplico la ecuación (2) por 2. Sumo la ecuación obtenida (3) con la ecuación (1) obtenemos una nueva ecuación en términos de una sola variable. Reemplazo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de x.
Método de Gráfico.- Consiste en graficar las ecuaciones del sistema en un mismo plano cartesiano y ubicar los puntos comunes (donde se intersecan) utilizando las coordenadas (x, y) de éstos puntos serían soluciones de las ecuaciones planteadas; una aplicación de éste método se mostró en el ejemplo 1 y figuras 1 y 2 de la sección 9.1 del texto básico. Los pasos básicos para la aplicación de este método son: Graficar las ecuaciones que forman el sistema. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
Identificar el o los puntos donde se intersecan las gráficas, como soluciones del sistema de ecuaciones.
Ejemplo: (1) 2x - y = 1 (2) - x + 4y = -2
El mismo sistema de ecuaciones considerado para los métodos anteriores.
(1) 2x - y = 1 x y
Se obtiene la tabla de valores de la primera ecuación; que consiste en dar valores a x para obtener los valores de y.
-2
-5
-1
-3
0
-1
1
1
2
3
(2) -x + 4y = -2 x y -2
-1
-1
-3/4
0
-1/2
1
-1/4
2
0
Se obtiene la tabla de valores de la segunda ecuación; que consiste en dar valores a x para obtener los valores de y.
Y por ultimo se procede a trazar la gráfica; la intersección de las dos ecuaciones es la solución de nuestro sistema.
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
Actividad recomendada Resuelva los ejemplos planteados en el apartado 9.2 del texto básico, por los métodos de sustitución, eliminación y gráfico.
6.4 Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables
Para continuar es conveniente leer y familiarizarse con el contenido correspondiente en el texto básico, capítulo 9, apartado 9.5, Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables.
Como se mencionó anteriormente los sistemas de ecuaciones pueden tener más de dos ecuaciones y más de dos variables, la forma podría ser: a1x + b1y + c1z = d a2x + b2y + c2z = e a3x + b3y + c3z = f Para resolver éste tipo de sistemas se puede aplicar también los métodos que ya se mencionaron en el tema anterior (6.3). Además, en el apartado 9.5 del texto básico, en el ejemplo 1, se muestra la aplicación del método de sustitución a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables, revíselo con atención. El método gráfico no es recomendable para solucionar éste tipo de sistemas, dada la complejidad de graficar ecuaciones de más de dos variables y ubicar la solución. Otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables se dan usando matrices. En el texto básico proporcionan las definiciones y ejemplos de este método; concretamente en el apartado 9.5 en el ejemplo 2 se explica el uso de matrices equivalentes empleando el Teorema de transformación de renglones de matrices y el Ejemplo 3 utiliza el método de matrices escalonadas aplicando la Guía para hallar la forma escalonada de una matriz. El uso de matrices se estudiará al detalle en la unidad 7, de la presente Guía Didáctica; sin embargo, la definición y caracterización usted ya las revisó en el apartado 9.5 que estamos trabajando.
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio
Conviene rescatar que la importancia de estos métodos radica en que son sistemáticos; por lo tanto, susceptibles de programación aplicables a cualquier número de ecuaciones y con cualquier número de variables.
Actividad recomendada Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando los métodos de matrices equivalentes y escalonadas, compruebe las respuestas obtenidas. x + 3y - z = -3 3x - y + 2z = 1 2x - y + z = -1 Identifique y resuelva en su trabajo a distancia la parte objetiva o de ensayo que corresponda a los contenidos abordados.
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial-compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).