Un analizador de redes de gran señal: ¿Por qué es necesario? Wendy Van Moer e Yves Rolain

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urante las últimas décadas, la teoría de sistemas lineales ha gobernado al mundo de las aplicaciones de ingeniería. Casi todos los ingenieros se educan en el entorno lineal y son muchas las técnicas disponibles para medir y modelar dispositivos lineales. Casi todo lo que no es lineal o no puede ser linealizado es considerado como una perturbación que tiene que eliminarse. No obstante, la constante presión que ejercen las aplicaciones de baja potencia y alto ancho de banda hace que un gran número de dispositivos superen los límites de su rango lineal y entren en zona de operación no lineal. Piense, por poner un ejemplo, en un exigente cliente que desee un teléfono móvil de funcionamiento óptimo, barato y con una amplia autonomía. Muchas de estas demandas se pueden satisfacer aumentando la eficiencia de los transistores. El problema, sin embargo, radica en que el incremento de eficiencia de un transistor implica empujar su punto de polarización hacia la región de compresión. Siendo que compresión es sinónimo de no linealidad, resulta esencial adquirir un mayor conocimiento sobre el comportamiento no lineal de un componente. Cuanto mejor nos adaptemos al mundo no lineal, más sencillo resulta modelar el comportamiento no lineal de los bloques que forman un sistema de telecomunicaciones tales como los RFICs.

¿Por qué considerar un Analizador de Redes de Gran Señal? La teoría de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI, por sus siglas en inglés) o la de las funciones de transferencia lineales conforman un marco de trabajo potente y bien conocido para el análisis, diseño y medición de un sistema LTI, tal y como prueba el gran número de aplicaciones exitosas. Una de las paradojas de este marco de trabajo es el hecho de que no existe un sistema tal que satisfaga los requerimientos necesarios para ser LTI, esto es, que la respuesta impulsional no dependa en absoluto de la potencia de entrada aplicada. En la práctica, el sistema LTI se utiliza por tanto como una aproximación a la operación característica del dispositivo en un rango de potencia determinado. Como consecuencia de esto, la teoría de los sistemas lineales invariantes en el tiempo es perfecta para modelar incluso sistemas altamente no lineales, tales como un transistor, siempre y cuando se imponga la condición de pequeña señal. De este modo, la no linealidad es linealizada y los fenómenos no lineales se consideran perturbaciones que han de ser eliminadas. Esta aproximación ha satisfecho las necesidades en el modelado de componentes no lineales por muchos años. En la actualidad, los dispositivos cada vez más son forzados más allá de sus fronteras de operación en pequeña señal y allí, el modelo lineal falla incluso a la hora de describir el

Wendy Van Moer e Yves Rolain pertenecen a la Vrije Universiteit Brussel (Dept. ELEC/TW); Pleinlaan 2; B-1050 Bruselas (Bélgica) Tel.:+32.3.629.28.68; Fax:+32.2.629.28.50; E-mail:[email protected]. Traductora: Pilar Molina Gaudó (E-mail: [email protected])

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sistema cualitativamente. Incluso en el caso de dispositivos moderadamente no lineales, la intuición lineal falla frecuentemente debido al rico comportamiento de la no linealidad. En los aspectos puramente no lineales del diseño, Figura 1. Espectro de entrada y de salida de un dispositivo LTI bajo test las cosas están incluso peor, ya que, el diseñador se ve solo ante partir de una combinación de señales de entrada se el peligro, dependiendo de resultados de simulación y obtiene la misma combinación lineal de señales de unos pocos parámetros tales como el punto de salida. intersección de tercer orden (TOI, por sus siglas en Dado que la transformada de Fourier [2] es una inglés) [1] y el punto de compresión a 1 dB. Claramente, operación lineal, la respuesta espectral de un sistema las pocas figuras de mérito medidas son insuficientes lineal Y(ω) sólo contiene aquellos componentes de para describir el comportamiento del dispositivo en frecuencia que estaban presentes en el espectro de general. Las figuras de mérito analógicas simplemente entrada U(ω). La salida a la frecuencia ωi sólo viene niegan cualquier efecto de fase y reducen cualquier determinada por la entrada en ωi. No se crean armónicos diagrama armónico completo a un solo número. nuevos tal y como se muestra en la Figura 1. Como Además de la aproximación de sistemas (teoría LTI), se consecuencia de esto, las mediciones de un solo tono han desarrollado modelos específicos de transistores describen perfectamente la respuesta del sistema. para describir el comportamiento lineal y no lineal de los mismos. Por otra parte, los modelos disponibles Sistemas Lineales Distribuidos: normalmente contienen un número elevado de Una Descripción basada en Ondas parámetros que tienen que ser establecidos de forma Al usar señales de excitación de alta frecuencia (f >> 100 muy precisa. Los resultados de simulación de estos MHz), la longitud de onda λ de las señales resulta ser modelos en condiciones prácticas suelen verse mucho más pequeña que el propio sistema. Como negativamente afectados por una pobre adecuación de resultado, aparecen retardos entre la aplicación de los parámetros. El principal inconveniente es que no se voltaje y la corriente en distintos puntos del espacio. Por llega a obtener una perspectiva general del intercambio lo tanto, ya no hay forma de caracterizar el dispositivo de potencias entre unas frecuencias y otras. mediante voltajes y corrientes independientes de la Ni las figuras de mérito analógicas, ni el modelado posición. Por ello, se debe introducir el concepto de por fuerza bruta permiten al diseñador alcanzar un ondas de potencia que describe el conocimiento preciso del comportamiento general del transporte de energía a través del dispositivo o sistema no lineal. En general, incluso sistema. resulta imposible determinar si el comportamiento de Considere, por ejemplo, un un modelo cumple las figuras de mérito debido a problemas de instrumentación. dispositivo LTI bajo prueba de dos puertos (DUT, por sus siglas en inglés) (Figura 2). Sistemas LTI ¿Cómo es un sistema LTI? ¿Cómo se comporta y cómo se puede determinar su comportamiento a partir de mediciones?

Definiendo un Sistema Lineal Un sistema lineal obedece los principios de superposición y homogeneidad. En otras palabras, si a

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a[1](k) y a[2](k) son las ondas incidentes en los puertos 1 y 2, respectivamente. b[1](k) y b[2](k) son las ondas reflejadas en los puertos 1 y 2, respectivamente. Las ondas son una función de k, que puede describir la dependencia en el tiempo o en la frecuencia. Como resultado de esto, el comportamiento de un DUT LTI puede ser completamente caracterizado por sus parámetros-S [3] los cuales describen la relación entre las ondas incidentes y reflejadas. Para un DUT de dos puertos esto resulta

 b[1]( k )  s[1, 1]( k ) s[1, 2]( k )   a[1]( k )  b[2 ]( k ) = s[2 , 1]( k ) s[2 , 2 ]( k )  a[2 ]( k )     

(1)

en el dominio temporal o en el de la frecuencia, según k. Sólo son necesarias mediciones relativas, ya que, según (1), los parámetros-S se definen gracias a las siguientes razones de ondas:

s[1, 1]( k ) =

b[1]( k ) a[1]( k ) a[2 ]( k )=0

(2)

b[1]( k ) s[1, 2 ]( k ) = a[2 ]( k ) a[1]( k )=0

(3)

s[2 , 1]( k ) =

b[2 ]( k ) a[1]( k ) a[2 ]( k )=0

(4)

s[2 , 2 ]( k ) =

b[2 ]( k ) a[2 ]( k ) a[1]( k )=0

(5)

De acuerdo con (2)-(5), queda claro que los parámetros-S son independientes de la potencia de entrada al DUT. Durante las mediciones, sólo es posible un grado de libertad, en concreto la frecuencia. El principio de superposición de los sistemas lineales permite la reconstrucción de la respuesta del sistema a una señal arbitraria usando la expansión de esta señal como la suma de sus sinusoides en el conjunto k de frecuencias.

Medida de Sistemas Lineales Basados en Ondas Un instrumento que permite medir una única respuesta del dispositivo a un seno y puede repetir esta medida en un conjunto arbitrario de frecuencias es capaz de caracterizar totalmente un sistema lineal. El instrumento de medida ideal para sistemas lineales es por tanto un medidor de onda relativo de una sola frecuencia, por ejemplo, un analizador vectorial de redes [4] (Figura 3).

De las Mediciones al Diseño: Entender el Funcionamiento de un Sistema Lineal Para poder interpretar las mediciones y hacer uso de ellas en el diseño de un sistema se usan diversas técnicas: • Aproximación no paramétrica: Además de la función de respuesta en frecuencia del sistema, se pueden obtener propiedades como el ancho de banda, ganancia o atenuación. • Aproximación paramétrica: La posición de los polos y ceros da una descripción completa del sistema. Permite verificación rápida del diseño y de la estabilidad.

Sistemas No-lineales Definiendo un Sistema No-lineal

Figura 2. Definición de onda incidente y reflejada de un DUT

Figura 3. Medidas relativas de los parámetros-S

Figura 4. Espectro de entrada y de salida de un sistema NICE Diciembre 2006

En general, todos los sistemas que no se comportan como lineales se denominan sistemas no lineales. Sin embargo, a continuación sólo se estudia una pequeña subclase: los denominados sistemas NICE. Éstos engloban los sistemas que convergen, en sentido cuadrático medio, a una serie de Volterra [5]. Estos sistemas convierten una entrada periódica a una salida periódica con el mismo periodo. Las no linealidades duras, los sistemas caóticos o los sistemas con bifurcaciones tales como los que crean sub-armónicos, no están considerados. Cuando se aplica un tono único a la entrada de un sistema NICE, el espectro de salida no solo contiene una componente espectral en la misma frecuencia, sino que también aparecerán armónicos (Figura 4). Adicionalmente, puede perderse la relación lineal entre las componentes espectrales fundamentales a la entrada y a la salida. Consideremos, por ejemplo, IEEE microwave magazine

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un sistema NICE de dos puertos que permite una pequeña desviación de la linealidad por causa de un término de tercer orden

b[2 ](t ) = s[2 , 1](t ) * a[1](t ) + sNL(t ) * a[1]3 (t ) ,

(6)

donde a[1](t) es la onda incidente en el puerto 1 y b[2](t) es la onda reflejada en el puerto 2. El * representa la convolución. Cuando a[1](t) = Acos(ωit), la respuesta del sistema resulta

  3 A3 b[2 ](t ) =  As[2 , 1](t ) + sNL(t )  ∗ cos(ω 1t ) 4   3 A sNL(t ) ∗ cos(3ω 1t ) + 4

(7)

Está claro a partir de (7) que este sistema NICE influye al espectro medido de dos formas. La primera, crea nuevos componentes armónicos en el espectro. En este caso aparece una contribución en 3ωi . Segundo, polariza el 3 término a la frecuencia fundamental en un valor 3 A . 4 La segunda contribución es la más fastidiosa. Su presencia no puede interpretarse por medio de un dispositivo de medida lineal y se interpreta como una contribución lineal. En lugar de ser una constante, la cantidad relativa b[2](t)/ a[1](t) ahora depende de la potencia incidente

 b[2 ](t )  3 A3 =  s[2 , 1](t ) + sNL(t )  + ... a[1](t )  4 

(8)

de esta forma, los parámetros-S ahora dependen de la potencia. El confundir estas cantidades dependientes de la potencia con los parámetros-S de un sistema lineal puede llegar a producir, y de hecho lo hacen, errores importantes si el nivel de potencia incidente en el dispositivo cambia. Como consecuencia de esto, durante las mediciones, se debe escanear un espacio bidimensional; la potencia de entrada y la frecuencia han de variarse de manera independiente para poder cubrir toda la región de interés y, por lo tanto, obtener una excitación constante.

Midiendo un Sistema NICE

Incluso bajo una excitación de un tono único, la onda de salida del DUT contiene energía en diferentes frecuencias. Las líneas espectrales han de ser medidas en amplitud y en fase para poder caracterizar el sistema (Figura 5).

Casi todo lo que no es lineal o no puede ser linealizado es considerado como una perturbación que ha de ser eliminada La forma de las señales ondulatorias en el dominio del tiempo viene influenciada tanto por la amplitud como por la relación de fase entre las líneas espectrales. Cambiar esta relación crea una distorsión entre la entrada y la salida real del sistema y las correspondientes mediciones, y por lo tanto invalida la medición de la no linealidad. La importancia de la distorsión de fase se ilustra con el siguiente ejemplo. Dos señales que tienen idénticamente el mismo espectro de amplitud, tal y como se muestra en la Figura 6, se utilizan como excitación del sistema NICE empleado antes. Basándonos en una intuición lineal, se puede suponer que esta información, además de ser muy fácil de obtener usando un analizador de espectros, también es suficiente para poder tener un buen control del comportamiento de la no linealidad. Sin embargo, ambas señales de test se escogen de tal manera que sus espectros de fase son muy diferentes. Esto da como resultado en el dominio del tiempo, dos formas de onda muy diferentes aun siendo sus espectros de amplitud exactamente iguales (Figura 7). 3 La distorsión no lineal [SNL (t ) * a[1] (t )] que ha sido

creada por el sistema ejemplo de (6) se muestra en la Figura 8 para ambas señales de excitación. La Figura 8 también muestra un acercamietno de las características de amplitud alrededor del cero para ambas señales. Nótese que en esta figura, la contribución de la 3 distorsión lineal [SNL (t ) * a[1] (t )] creada por la señal 1 es mucho más grande que la generada por la señal 2, incluso siendo los espectros de amplitud de la excitación idénticos. Si la relación de fase entre los componentes armónicos de la señal que incide en el DUT no se mide

Dado que las mediciones tomadas por un analizador vectorial clásico son independientes de la potencia, se requieren nuevas técnicas de medida para caracterizar plenamente los sistemas NICE. En lugar de mediciones relativas, es necesario separar la adquisición de las ondas incidentes y reflejadas. Nótese también que todo el espectro de la onda ha de ser adquirido simultáneamente. Sólo entonces, la coherencia en fase entre las diferentes componentes espectrales Figura 5. Mediciones de red absolutas puede obtenerse automáticamente. Diciembre 2006

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Figura 6. Espectro de amplitud y fase de las señales excitadoras. medición posible con una analizador vectorial de redes que utiliza un sobretono, el proceso sería lento, ya que, se requeriría un barrido para cada armónico y además, impondría condiciones muy estrictas en los términos medios de sincronización de fase del dispositivo. La alternativa preferida es medir todos los armónicos juntos usando un Figura 7. Forma de onda en el dominio del tiempo de las señales excitadoras. mezclador de armónicos junto con un voltímetro vectorial digital de banda ancha y de frecuencia intermedia. Dado que todas de una forma precisa, resulta imposible predecir las las líneas espectrales están presentes en la salida del diferencias de comportamiento entre ambas respuestas y mezclador armónico, esto permite medir todo el esto hace que la caracterización no lineal completa sea, espectro con una sola medición. Todas las líneas cuando menos, muy cuestionable. espectrales, por lo tanto, comparten la misma referencia Una posibilidad para la medición multifrecuencia de de tiempo. La coherencia de fase se obtiene relaciones de magnitud y de fase es adquirir las líneas automáticamente en este caso. El instrumento ideal para espectrales en diferentes frecuencias separadamente. La un sistema no lineal es, en este caso, un medidor coherencia en fase debe entonces mantenerse entre las absoluto de ondas que permite capturar todo el espectro componentes fundamentales y los armónicos de las de la onda de golpe [6]. ondas de entrada y salida. Aun siendo este tipo de Diciembre 2006

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Figura 8. Contribución de la parte no lineal del sistema en ambas señales de excitación. De la Medición al Diseño: Entendiendo la operación de un sistema NICE Para hacer uso del conocimiento aportado por las mediciones en el diseño de un sistema NICE, se pueden usar varias técnicas. •

Aproximación no paramétrica: Se llega a comprender ampliamente un sistema NICE gracias a conocer los canales de transporte de energía principales. ¿Cómo puede explicarse la energía de salida del sistema según las contribuciones de la energía de entrada? Una que se conocen estos flujos energéticos, es fácil encontrar un modelo no paramétrico de un sistema NICE y la validación del modelo también es posible.

•

Aproximación paramétrica: A partir de una representación esquemática en SPICE del sistema NICE y usando cálculos numéricos abstractos, se pueden extraer núcleos Volterra para describir completamente el comportamiento del sistema [7].

resultados volvían a transformarse al dominio del tiempo. En 1989, se presentó uno de los primeros fundamentos del actual analizador de redes de gran señal (LSNA, por sus siglas en inglés) por Urs Lott [9]. Se diseñó un nuevo método para medir, simultáneamente la magnitud y la fase de los armónicos generados por sistemas de dos puertos de microondas. Las armónicos de salida de un DUT no lineal se medían en el dominio de la frecuencia con una estructura que incluía un analizador vectorial de redes. Por primera vez, se llevaba a cabo una calibración de potencia y de fase a las frecuencias armónicas usando un diodo Schottky de ondas milimétricas como dispositivo de referencia. En 1990, una ampliación significativa del sistema de medida no lineal basado en el osciloscopio digital [8] fue presentada por Gunter Kompa y Friedbert Van Raay [10]. Y en 1994, un sistema de alta potencia de medida en oblea basado en el analizador de transiciones de microondas (MTA, por sus siglas en inglés) fue desarrollado por Demmler, Tasker y Schlechtweg [11] para la carecterización completa del comportamiento en

¿Cómo funciona un Analizador Vectorial de Redes de Gran Señal? Un poco de historia En 1988, un primer prototipo de un sistema de medida no lineal fue publicado por M. Sibila, K. Lehtinen y V. Porra [8]. El objetivo era construir un sistema que fuera capaz de tomar medidas precisas de formas de onda de voltaje y corriente periódicas en el dominio del tiempo y de alta frecuencia obtenidas de dispositivos no lineales de microondas. Las mediciones se realizaban en el dominio del tiempo usando un osciloscopio de gran ancho de banda y, luego, realizando la transformada de Fourrier de las mismas para transformarlas al dominio de la frecuencia. Tras una corrección de error, los

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Figura 9. Imagen del LSNA. IEEE microwave magazine

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gran señal de transistores. Ansiosos por explorar los misteriosos caminos de una no linealidad, el primer prototipo de LSNA fue desarrollado en 1993 a través de una cooperación entre

Incluso en dispositivos levemente no lineales, la intuición lineal suele fallar debido al complejo comportamiento de la no linealidad. el grupo de HP-NMDG y el departamento de Algemene Electiciteit en Istrumentatie (ELEC) de la Free University de Bruselas. El objetivo era construir un medidor de ondas absoluto que permitiera la captura de todo el espectro de la onda en una sola pasada. Era el primer instrumento capaz de medir la magnitud absoluta de las ondas, así como las relaciones de fase absolutas entre los armónicos medidos. En el siguiente apartado se explica el concepto del instrumento así como el funcionamiento de las diferentes partes. La Figura 9 muestra una fotografía del montaje real.

Concepto La intención del LSNA era construir un medidor absoluto de ondas que permitiera obtener todo el espectro de la onda en una sola captura. El instrumento debía ser capaz de medir la magnitud absoluta de las ondas así como las relaciones de fase absolutas entre los

armónicos. En otras palabras, el LSNA puede entenderse como un analizador absoluto de transformada rápida de Fourrier (FFT) para microondas. La Figura 10 representa un diagrama de bloques simplificado de un LSNA de dos puertos para llevar a cabo mediciones de onda continuas (CW, por sus siglas en inglés) a través de conectores. El DUT puede ser excitado en uno o ambos puertos por un generador de RF. Las ondas incidentes y reflejadas en ambos puertos del DUT son medidas por medio de acopladores con un ancho de banda entre aproximadamente 500 MHz – 50 GHz. El contenido en alta frecuencia de estas señales no permite digitalizarlas de manera inmediata. Para ello, el espectro de RF medido se convierte a un espectro de frecuencia intermedia IF inferior usando un mezclador armónico. Esta parte del montaje es conocida como el convertidor del LSNA y es, de hecho, el componente clave del instrumento. El convertidor se basa en dos MTAs modificados y dispone de cuatro canales de adquisición de datos de RF completamente sincronizados. El principio de mezclado armónico y la operación del convertidor se explican en el siguiente apartado. Antes de que las ondas sean convertidas a más baja frecuencia, se pueden usar atenuadores para llevar el nivel de la señal a la entrada del convertidor por debajo de -10 dBm. Esto es necesario para evitar que el convertidor sea llevado más allá de su frontera de operación lineal. Tras la conversión a menor frecuencia, los datos medidos pueden ser amplificados y digitalizados por las cuatro tarjetas de conversores

Figura 10. Diagrama de bloques simplificado de un LSNA de dos puertos. Diciembre 2006

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analógico digitales (ADC) del tipo HPE1437 sincronizadas entre sí. Las tarjetas de ADC muestrean los datos a razón de 20 MHz y tienen un ancho de banda utilizable de 8 MHz. Las cuatro tarjetas de ADC, el convertidor de frecuencia y los cuatro generadores de RF son temporizados por el mismo reloj de referencia a 10 MHz para, de esa forma, obtener un instrumento de medida completamente sincronizado y coherente en fase.

periódicas para asegurar una relación unívoca entre la señal original (RF) y la medida (estirada). En el dominio del tiempo esta operación puede verse como si las señales fueran ralentizadas. Considere una única sinusoide con frecuencia fRF. Los

Las ventajas del LSNA son las siguientes: • Ya que todo el espectro de las ondas incidentes y reflejadas se mide en una sola captura, los problemas en la sincronización de fase entre las componentes espectrales se evitan. • La relación de fase entre los armónicos medidos puede ser calibrada y, por lo tanto, conocida de manera absoluta (vaya al apartado de “¿Puedo fiarme de las mediciones de un Figura 11. Principio de muestreo armónico en el dominio del tiempo LSNA?”). Como resultado de ello, las formas de onda en el símbolos o de la Figura 11 son los puntos de muestreo tiempo puede reconstruirse perfectamente. Las desventajas del LSNA son: • La relación de señal a ruido (SNR) del LSNA (~ 60 dB) es mucho menor que la SNR de un analizador vectorial clásico como el HP8510 (~ 100 dB) • El LSNA consta de una compleja infraestructura de hardware que requiriere de un software potente y fácil de usar para resultar práctico.

que son tomados con una tasa de repetición de fs