อนุกรม!

คำนำ หนังสือออนไลน์เล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาที่สนุกและการเรียนรู้ในรูปแบบใหม่ นอกจากหนังสือในห้องเรียนแล้วนักเรียนสามารถเล่นสนุกๆกับหนังสือออนไลน์ใน รูปแบบใหม่ที่รวบรัดได้และใช้ประกอบการเรียนรู้ในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ขั้นพื้นฐานในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่5ทางเราหวังว่าหนังสือออนไลน์เล่มนี้จะเป็น ประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ในรูปแบบใหม่และเป็นส่วนสำคัญในการพัฒนา คุณภาพและมาตราฐานการศึกษาทางเราขอขอบคุณคุณครูและอาจารย์ที่ให้โอกาสใน การจัดทำหนังสือออนไลน์ไว้ ณ โอกาสนี้

nicha .

(นางสาวณิชา ตาเขียววงศ์) และคณะ

ผู้จัดทำหนังสือออนไลน์

สารบัญ..... ( อนุกรม ) 3.2.1 อนุกรมเลขคณิต 3.2.2 อนุกรมเรขาคณิต

สวัสดีคุณดอกไม้คุณช่วยผมอย่าง หนึ่งได้ไหมพอดีว่าที่โรงเรียนสอน เกี่ยวกับวิชาคณิตเรื่องอนุกรมพอดีว่า ผมไม่เข้าใจน่ะ

ได้สิตามฉันมาฉันจะค่อยๆอธิบาย ไม่แน่นะในระหว่างนั้นอาจเจอผู้ เชี่ยวชาญ

อนุกรม

ถ้า a1 , a2 , a 3, ... , a n เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะเรียกการ เขียนการแสดงกสนบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a +1 a +2 a +3 ... + a nว่า อนุกรมจำกัด (finite series) เรียก

a1

ว่า

พจน์ที่ 1 ของอนุกรม

เรียก

a2

ว่า

พจน์ที่ 2 ของอนุกรม

และเรียก

an

ว่า

พจน์ที่ n ของอนุกรม

ตัวอย่างของอนุกรมจำกัด 1) 1+1+1+1+1+1 เป็นอนุกรมที่ได้จากลำดับ 1 , 1 ,1, 1 , 1 , 1 2 3 4 5

2 3 4 56

2) 2+4+6+...+2n

3) 1+1+1+...+1 3 9 27

3

n

6

เป็นอนุกรมที่ได้จากลำดับ 2,4,6,...2n

เป็นอนุกรมที่ได้จากลำดับ 1 , 1 , 1 , ... , 1 3

9

27

ให้ s แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม นั้นคือ

S 1= a 1 S = a 1 + a2 S = a 1+ a 2+ a 3 S = a + a + a + ... + a 1

2

3

n

n 3

อนุกรมเลขคณิต อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า ( Arithmetic series ) พิจารณาอนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + ... + 100 ที่ได้จากลำดับเลขคณิต 1 , 2 , 3 , ... , 100 การหาผลบวก 100 พจน์แรกของอนุกรมนี้ ทำได้ดังนี้

{

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 + 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 1

101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101



100

101 + 101 + 101 + ... +101 = 100 x 101

{

เนื่องจาก

100 ตัว ดังนั้น 1 + 2 + 3 + ... + 100 =

100 x 101 2

= 5,050

จากวิธีการหาผลบวกข้างต้น สามารถหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตได้ดังนี้ ให้ a 1 , a , a3 , ... , a n เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี d เป็นผลต่างร่วม นั้นเองครับ 2

ดังนั้น S n = =

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a

n-1

+ a

a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2d ) + ... + ( a 1+ ( n - 1 ) d )

หรืออาจจะเขียน S ใหม่เป็น S = a+ a n

=

+ a

n-2

n

+ a

n-1

n-2

+

-----

(1)

.... + a 3 + a 2 + a 1

a n + ( a n - d ) + ( a n- 2d ) + ... + ( a n- ( n - 1 ) d )

-----

(2)

2S = (a + a ) + ( a + a ) + ( a+ a ) + ... + ( a + a ) n

1

n

n

1

1

n

1

n

{

จาก (1) และ (2) จะได้

n

2S = n ( a + a ) n

1

n วงเล็บ

n

2S = n ( a + a ) 2

1

n

ดังนั้น ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต a + a + a + ... + a คือ n ( a + a ) 1

2

3

2

นะจ๊ะ

1

n

ตัวอย่าง 1

จงหาผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต 7 , 15 , 23 , .... วิธีทำ

ลำดับที่กำหนดให้มี a = 7 และ d = 8 แทน n ด้วย 7 ใน an = a 1 + ( n -1 ) d จะได้

a = 7 + ( 7-1 ) (8) =55 จาก Sn= n ( a 1+ an ) 2

จะได้ S = 7 ( 7 + 55 ) 7 2

= 217 ดังนั้นผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 217 7

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + ... + 157 วิธีทำ

อนุกรมที่กำหนดให้มี a = 7 , d = 3 และ a = 157 จาก a n = a +1 ( n - 1) d จะได้ 157 = 7 + ( n - 1 ) (3) 157 = 7 + ( n - 1 ) (3) 157 = 7 + 3n - 3 157 = 3n + 4 153 = 3n n = 51 จากโจทย์ แสดงว่าต้องการหาผลบวก 51 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 7+10+13+...+157 นั้นคือ ต้องการหา S จาก S = n ( a + a ) n 2

จะได้ S = 51 (7+157 ) 51 2

= 4,182 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 4,182

ไปถามพลั่ว กันเถอะว่าเรข าคณิตคือ อะไร

ได้ยินว่าเธฮกำลัง งง เกี่ยวกับ เรขาคณิตอยู่ใช่ไหมล่ะฉัน ช่วยได้นะ

กรม นุ อ า ว่ น อ ก่ อธิบาย อ ข น ฉั น อื่ ดับ ลำ ก่อน ก า จ ด้ ไ ที่ ม อนุกร อ คื ต ณิ ค า ข เร ยกว่า รี เ ต ณิ ค า ข ร เ ies) r e s c i r t e eom g ( ต ณิ ค า อนุกรมเรข

เอิ่ม.....ฉันก็งงอยู่ดีนั้นแหละ มันยังไงล่ะฉันไม่เข้าใจเลย สักนิด

เอางี้ฉันจะอธิบายอย่างละเอียด ให้ฟังก๋็แล้วกันนะ

1 6 5 6 , . . . , 7 2 ,9, 3 , 1 บ ดั ลำ า น พิจารณ ป็ เ 3 มี ที่ ต คณิ า ข ร เ บ ดั ลำ น ซึ่งเป็ ม ว ร่ น ว ส่ า ร ต อั

การหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตข้างต้นได้ดังนี้ ------- (1) ให้ S = 1+3+9+27+...+6,561

นั่นคือ 3S = 3+9+27+...+6,561+19,682 ------- (2) จาก (1) และ (2) จะได้ 2S = 19,683 - 1 = 19,682 S = 9,841 ดังนั้น 1+3+9+27+...+6,561 = 9,841

จากการวิธีการหาผลบวกข้างต้น สามารถหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ ดังนี้ ให้ a, a r , a r , ... เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมี r เป็นอัตราส่วนร่วม



2 3 n-1 ดังนั้น S n = a1+ a 1 r + a1 r + a r + ... + a r ---- (3) 1 1 3 2 และ rSn = a1 r + a 1r + a 1 r + ... + a 1 r + a 1 r + ---- (4)

จาก ( 3 ) และ (4 ) จะได้ n rSn - S n = a 1r - a Sn (rn- 1 ) = a (r - 1 ) n S n = a ( r - 1 ) เมื่อ r = 1 1 r - 1

n หรือ Sn = a ( 1 - r ) เมื่อ r = 1



1

1

1

1 - r

ให้ a

,a 1 เรข ,a าค ณิต 2 3 , .. ., ผ aเ เรข ลบว ซึ่งมี ป็น าค ก n n r ลำ ณิต ดับ พจ เป็น น์แ คือ อัต รก S ขอ ราส่ว = น งอ r= a นุก ร่วม ( 1 1 1 - n รม r) เมื่อ

ตัวอย่าง จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากการลำดับเรขาคณิต 1 , 2 , 4 , 8.....

ลำดับกำหนดให้มี a = 1 และ r = 2 วิธีทำ แทนด้วย n ด้วย 8 ใน S = a ( 1 - r ) จะได้ S=1(1-2) 1-2 = 2-1 2-1

= 255

ดังนั้น ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้คือ 255

และ แล้ วก็

รับ ะ/ค ะค

อบคุณสำหรับก ข ณ์ ารอ่ บูร ริ าน บ บ น จ

บรรณานุกรม

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน มัธยมศึกษาปีที่5 ตามมาตรฐานการเีรยนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551

จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทศโนโลยี กระทรวงการศึกษธิการ

พิมพ์ครั้งที่ 1 ISBN 978-616-362-995-1 จำนวน 260,000 เล่ม พ.ศ 2563

จัดจำหนายโดย องค์กรการค้าของ สกสค. พิมพ์ที่โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว 2244 ถนนราดพร้าว วังทอง กรุงเทพมหานคร มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ

E-Book อนุกรม

นางสาว สุนิสาวางมือ (นำเสนอ)

นางสาว ณิชา ตาเขียววงศ์ ม.5/2 เลขที่ 9 (จัดทำ)

นาย ธนกร สุขสิริ ม.5/2 เลขที่ 2 (จัดทำ)

นายไตรภพ คำดี ม.5/3 เลขที่ 4 (จัดทำ)

นาย กำพล คิอินธิ ม.5/2 เลขที่ 6 (จัดทำ)

นายณัฐนันธ์ วิเชียรพจน์ ม.5/3 เลขที่ 5 (จัดทำ)