Econom´ıa del riesgo Jorge Ponce Maestr´ıa en Econom´ıa Internacional dECON - FCS

Montevideo, 2011

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

1 / 111

´ I. Introduccion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

2 / 111

´ Motivacion

Decisiones involucran tiempo (futuro), incertidumbre y riesgo I

´ salud, ahorro e inversion, ´ etc. Privado: educacion,

I

´ ´ publica, ´ Publico: energ´ıa, inversion estabilidad financiera, etc.

Importantes sectores especializados en manejo de riesgos I

´ etc. Banca, finanzas, seguros, fondos de pension,

Conceptos y modelos de la teor´ıa del riesgo y de la teor´ıa de la decisi´on son instrumentos para otras a´ reas I

´ finanzas, etc. Econom´ıa de la informacion,

´ en teor´ıa economica ´ Fortalecer la educacion con un enfoque intuitivo

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

3 / 111

¿Qu´e es riesgo? (Knight, 1921) Incertidumbre: decisiones implican un conjunto de posibles resultados (aleatorios) I

´ decision ´ o eleccion ´ de resultado En certidumbre, distinguir accion, no tiene sentido

´ de probabilidades sobre los posibles Riesgo: la distribucion resultados es conocida ´ de riesgo: Modelizacion I

Variable aleatoria

I

´ de probabilidades Distribucion

I

Loter´ıa

´ de incertidumbre: Modelizacion I

´ bayesiana (Bayes, 1750) Actualizacion

I

¨ ´ Ambiguedad o multiples distribuciones a priori

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

4 / 111

Principales objetivos del curso

Introducir los principales conceptos de la teor´ıa del riesgo Manipular las t´ecnicas b´asicas para el tratamiento del riesgo ´ en condiciones de riesgo Analizar la teor´ıa de la decision ´ ´ ´ Enfasis en principios economicos e intuicion Pero al mismo tiempo, proveer un an´alisis formal

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

5 / 111

Programa ´ I. Introduccion ´ del riesgo II. Modelizacion III. Preferencias y utilidad esperada ´ al riesgo IV. Aversion ´ estoc´astica V. Dominacion VI. Manejo de riesgos: decisiones sobre seguros VII. Reparto eficiente de riesgos ´ asim´etrica y la oferta de seguros VIII. Informacion ´ IX. Riesgo e informacion ´ optima ´ X. Prevencion ´ XI. Irreversibilidad y precaucion ´ XII. Topicos avanzados Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

6 / 111

Algunas excelentes referencias Dixit, Avinash K. y Pindyck, Robert S. (1994). Investment under uncertainty. Princeton University Press. Gollier, Christian (2001). The economics of risk and time. The MIT Press. * Eeckhoudt, Louis; Gollier, Christian y Schlesinger, Harris (2005). Economic and financial decisions under risk. Princeton University Press. Laffont, Jean-Jacques (1989). The economics of uncertainty and information. The MIT Press. * Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D. y Green, Jerry R. (1995). Microeconomic theory. Oxford University Press. Por m´as ver el programa

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

7 / 111

´ del riesgo II. Modelizacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

8 / 111

´ Teor´ıa economica y modelos ´ Mucho de la teor´ıa economica es acerca de I

Explicar y anticipar decisiones y elecciones de los agentes (positiva)

I

Sugerir decisiones, elecciones y comportamientos (normativa)

Modelos I

Representaciones “manejables” (matem´aticas) de la realidad

I

´ El supuesto es (generalmente) que los agentes economicos eligen la ´ m´as “deseada” o “preferida” opcion

I

´ los agentes se comportan (aunque no Interpretacion: ´ objetivo deliberadamente) “como si” optimizaran alguna funcion

I

Esto no es necesariamente cierto, pero es aceptado si ofrece una ´ a las regularidades observadas en la realidad buena aproximacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

9 / 111

Riesgo modelado como loter´ıas Supuesto (hasta nuevo aviso): los resultados posibles forman un conjunto finito, X = {xn } ,

n = 1, . . . , N

´ son sobre loter´ıas Las preferencias y la eleccion ´ de probabilidades Loter´ıa simple: una distribucion L = (x1 , p1 ; . . . ; xn , pN ), con pn ≥ 0 y ∑N n = 1 pn = 1 Dado el conjunto de resultados posibles X, una loter´ıa queda ´ de las probabilidades completamente defenida en funcion L = (p1 , . . . , pN ), con pn ≥ 0 y ∑N n=1 pn = 1 Ejemplo: dado X = {1, 2, 3} L

Ponce (dECON)

  = 1, 12 ; 2, 41 ; 3, 14   = 21 , 14 , 41

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

10 / 111

Loter´ıa compuesta Loter´ıa compuesta: una loter´ıa cuyos resultados posibles son loter´ıas L = (L1 , p1 ; . . . ; LK , pK ), con pk ≥ 0 y ∑K n=1 pk = 1 y donde Lk ,

k = 1, . . . , K son K loter´ıas simples definidas en X

Ejemplo: dado X = {1, 2, 3} 

1 1 , ,0 2 2





1 1 , 0, 2 2



L1 = L2 =  L=

1 1 L1 , ; L2 , 2 2



  La loter´ıa compuesta L puede ser reducida a L = 12 , 41 , 14 , ´ las probabilidades sobre los resultados finales son entonces solo relevantes! Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

11 / 111

´ gr´afica de loter´ıas Representacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

12 / 111

Pascal y Fermat (1600s): los primeros modelos El valor de una loter´ıa (riesgo) debe ser igual a su valor esperado 1 2

4000 e y

e x 1 2

12000

1 4

4000

1 2

8000

1 4

12000

(4000, 12 ; 12000, 12 )

(4000, 41 ; 8000, 12 ; 12000, 14 )

E(e x) = 8000

E(e y) = 8000

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

13 / 111

¿Por qu´e el valor esperado no es un buen modelo?

¿Qu´e riesgo prefiere usted, e xoe y? ´ ¿Apostar´ıa $1 a numero en el lanzamiento de una moneda? ¿Y $1.000.000? ´ Comunmente la gente compra seguros (transforma riesgo en su valor esperado) y todav´ıa paga una prima por ello Existe premio por riesgo en los mercados financieros ´ La esperanza de ganar en juegos de azar es comunmente negativa (en la ruleta es 35 ×

1 37

−1×

36 37

1 = − 37 ) y todav´ıa hay

gente que apuesta

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

14 / 111

La paradoja de San Petesburgo (Bernoulli, 1738)

Se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara Si la primera cara aparece en la tirada n, entonces se paga 2n ducados ¿Cu´anto est´a dispuesto a pagar usted para participar de este juego? ¿Cu´al es la ganancia esperada en este juego? ∞

 n 1 ∑ (2 ) × 2 = 1 + 1 + 1 + · · · = ∞ n=1

Ponce (dECON)

n

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

15 / 111

¿Y la varianza? ¿Por qu´e no adoptar un criterio de “media-varianza”? ´ en muchos casos Posiblemente una buena aproximacion I

˜ riesgos “pequenos”

¿Cu´al de estas loter´ıas prefiere? e x:

(−1,

e y:

(1,

1 999 ; 999, ) 1000 1000

999 1 ; −999, ) 1000 1000

Pero igual media e igual varianza! e x tienen asimetr´ıa positiva e e y negativa Momentos de tercer orden (y superior) deber´ıan ser contemplados por el modelo Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

16 / 111

´ de utilidad La idea de Bernoulli (1738): funcion Sempronius tiene bienes en casa por 4000 ducados y bienes en el ´ extranjero por 8000 ducados. La unica forma de traer los bienes del extranjero es por barco. La experiencia muestra que uno de cada dos barcos naufraga Sempronius enfrenta un riesgo en su riqueza final ´ ´ barco? ¿Como se representa este riesgo (loter´ıa) si utiliza un solo e x:

1 1 (4000, ; 12000, ) 2 2

´ ¿Como se representa este riesgo (loter´ıa) si utiliza dos barcos? e y:

Ponce (dECON)

1 1 1 (4000, ; 8000, ; 12000, ) 4 2 4

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

17 / 111

´ de utilidad de Bernoulli La funcion ´ indica que diversificar es una buena idea El sentido comun Pero el valor esperado de la riqueza final E (e x) = E (e y) = 8000 ´ o “utilidad” esperada Bernoulli: “satisfaccion” I

´ reportada por la riqueza Lo que importa ex post es la satisfaccion

I

´ riqueza-satisfaccion, ´ utilidad u(x), puede no ser lineal La relacion (La funci´on de utilidad de Bernoulli est´a definida sobre resultados ciertos)

I I

u(x) cumple propiedades de racionalidad, ej. u0 (x) > 0 ´ Si adem´as u(x) es concaca, u00 (x) < 0 (la utilidad marginal de la √ riqueza es decreciente), ej. u(x) ≡ x, u(x) ≡ ln x, entonces se preferir´a e yae x: Eu(e x) = Eu(e y) =

Ponce (dECON)

1√ 1√ 4000 + 12000 = 86,4 2 2

1√ 1√ 1√ 4000 + 8000 + 12000 = 87,9 4 2 4 Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

18 / 111

III. Preferencias y utilidad esperada

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

19 / 111

Preferencias sobre riesgos (loter´ıas)

´ de preferencias del agente sobre loter´ıas % representa la relacion Axiomas de las preferencias I

Completas: Para cada par de loter´ıas L1 y L2 sucede que L1  L2 , que L2  L1 , o ambas (L1 ∼ L2 )

I

Transitivas: Si L1 % L2 y L2 % L3 , entonces L1 % L3

I

Racionales: Si son completas y transitivas

I

Continuas: Para toda L1 % L2 % L3 existe α ∈ [0, 1] tal que

I

Estos axiomas tienen su correlato en la teor´ıa del consumidor en

(L1 , α; L3 , (1 − α)) ∼ L2 condiciones de certidumbre

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

20 / 111

Preferencias representadas por funciones de utilidad Debreu (1960)

´ de preferencias % es Si la relacion Racional (completa y transitiva), y continua Entonces ´ de utilidad, v(L), que representa las Existe una funcion preferencias % Esto es, dadas dos loter´ıas cualesquiera L1 = (p11 , . . . , p1N ) y L2 = (p21 , . . . , p2N ) sobre X = {xn } , L1 % L2

Ponce (dECON)

n = 1, . . . , N,

´ si v(L1 ) ≥ v(L2 ) si y solo

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

21 / 111

El (controversial) axioma de independencia

Sin paralelo en la teor´ıa del consumidor en certidumbre Crucial para la teor´ıa de la utilidad esperada Foco de las disputas ´ si Independientes: Para todo α ∈ (0, 1), L1 % L2 si y solo

(L1 , α; L3 , (1 − α)) % (L2 , α; L3 , (1 − α))

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

22 / 111

Teorema de la utilidad esperada Von Neumann y Morgenstern (1944)

´ de preferencias % es Si la relacion Racional (completa y transitiva), continua Cumple el axioma de independencia Entonces ´ de utilidad esperada % admite una representacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

23 / 111

´ de utilidad esperada La representacion ´ de preferencias % admite una representacion ´ a trav´es La relacion ´ de utilidad “atractiva” de una funcion N

v(L) =

∑ un pn ≡ U(L)

n=1

´ Es posible asignar numeros un ≡ u(xn ) tales que, para dos loter´ıas cualesquiera L1 = (p11 , . . . , p1N ) y L2 = (p21 , . . . , p2N ), L1 % L2

´ si si y solo

U (L1 ) =

N

N

n=1

n=1

∑ un p1n ≥ ∑ un p2n = U(L2 )

´ lineal en probabilidades Preferencias tienen una representacion ´ de utilidad de Bernoulli u(.) es la funcion ´ de utilidad esperada de Von Neumann y U (.) es la funcion Morgenstern Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

24 / 111

El teorema de utilidad esperada gr´aficamente

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

25 / 111

´ de la teor´ıa de la utilidad esperada Discusion Ventaja t´ecnica: muy conveniente anal´ıticamente ´ Atractivo normativo: gu´ıa de accion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

26 / 111

´ la paradoja de Allais (1953) Discusion: X = {2,500,000; 500,000; 0}   1 10 89 L1 = (0, 1, 0) % 100 , 100 , 100 = L2 89 1 10 100 u(25) + 100 u(5) + 100 u(0) = U (L2 ) 89 89 u(0) − 100 u(5) ≥ u(5) + 100 10 89 1 89 89 100 u(25) + 100 u(5) + 100 u(0) + 100 u(0) − 100 u(5) 11 89 10 90 100 u(5) + 100 u(0) ≥ 100 u(25) + 100 u(0)

U (L1 ) = u(5) ≥

    11 89 10 90 U (L3 = 0, 100 , 100 ) ≥ U (L4 = 100 , 0, 100 )     11 89 10 90 L3 = 0, 100 ) = L4 , 100 % 100 , 0, 100 ¿Qu´e dicen sus preferencias?

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

27 / 111

´ la paradoja de Machina (1987) Discusion:

X = {Venecia; Pel´ıcula; Casita} Venecia % Pel´ıcula % Casita     1 1 999 999 = L2 L1 = 1000 , 1000 , 0 % 1000 , 0, 1000 ¿Qu´e dicen sus preferencias?

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

28 / 111

Infinitos resultados posibles y utilidad esperada (Nuevo aviso) los resultados posibles forman un conjunto cuyo cardinal es infinito: dinero, riqueza, etc. ´ de distribucion ´ Una loter´ıa puede ser descripta por su funcion acumulada F : R → [0, 1]; F(x) =

Z x −∞

f (t)dt

Bajo los supuestos del teorema, es posible asignar niveles de utilidad, u(x), tal que toda loter´ıa, F(.), puede ser evaluada por su utilidad esperada U (F) =

Z

u(x)dF(x)

´ de utilidad de Bernoulli! No restricciones sobre, u(x), la funcion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

29 / 111

´ al riesgo IV. Aversion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

30 / 111

´ Un poco de notacion

Consideramos riesgo sobre la riqueza final de un agente w es el nivel de riqueza cierta (actual) del agente El riesgo est´a dado por una loter´ıa (una variable aleatoria) sobre su riqueza futura, e z La riqueza final del agente es e x = w +e z ´ de utilidad de Bernoulli del agente u(.) es la funcion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

31 / 111

´ al riesgo Aversion ´ 1 Definicion Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, el agente rechaza cualquier loter´ıa cuyo valor esperado es cero:

∀w,

∀ez con Eez = 0,

Eu(w + e z) ≤ u(w)

´ 2 Definicion Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, prefiere recibir con certeza el valor esperado de una loter´ıa a la loter´ıa misma:

∀w,

Ponce (dECON)

∀ez,

Eu(w + e z) ≤ u(w + Ee z)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

32 / 111

Sempronius es averso al riesgo w = 4000   e z = 0, 21 ; 8000, 12

Utilidad

z) Eu(w + e z) = 12 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ee b u (w + Ee z)

d

Eu (w + e z)

c

a

4000

Ponce (dECON)

8000

Econom´ıa del riesgo

12000 Riqueza Montevideo, 2011

33 / 111

´ al riesgo y diversificacion ´ Aversion z) Eu(w + e z) = 12 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ee Entonces, u(12000) − u(8000) ≤ u(8000) − u(4000) Diversifica porque la p´erdida por transferir probabilidades de 12000 a 8000 es menor que la ganancia de transferir

Utilidad

probabilidades de 4000 a 8000 u(12000) u(8000)

P´erdida Ganancia

u(4000)

4000

Ponce (dECON)

8000

Econom´ıa del riesgo

12000 Riqueza Montevideo, 2011

34 / 111

´ al riesgo y diversificacion ´ (cont.) Aversion Sempronius es averso al riesgo: Eu(w + e z) = 12 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ee z) Pruebe que Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza final e ´ uno y y = w + ze0 : (4000, 14 ; 8000, 12 ; 12000, 14 ) a usar solo 1 enfrentar una riqueza final e x = w +e z : (4000, 2 ; 12000, 21 ) Eu(e y) − Eu(e x) ≥ 0? Eu(e y) − Eu(e x) =

h i = 14 u(4000) + 12 u(8000) + 41 u(12000) − 12 u(4000) + 21 u(12000) h i = 12 u(8000) − 14 u(4000) + 41 u(12000) ≥ 0

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

35 / 111

´ al riesgo y desigualdad de Jensen (1906) Aversion

´ si Eu(w + e Un agente es averso al riesgo si y solo z) ≤ u(w + Ee z) ´ f (e ´ ´ si Ef (e Jensen (1906): la funcion x) es concava si y solo x) ≤ f (Ee x) Entonces, un agente es I

´ si u(.) es concava ´ averso al riesgo si y solo

I

´ si u(.) es convexa amante del riesgo si y solo

I

´ si u(.) es lineal neutral al riesgo si y solo

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

36 / 111

Premio por riesgo: π ¿Cu´anto de su riqueza est´a dispuesto a sacrificar un agente averso al riesgo para deshacerse del riesgo? El premio por riesgo, π, es tal que

Utilidad

Eu(w + e z) = u(w + Ee z − π) u (w + Ee z) Eu (w + e z)

π

4000

Ponce (dECON)

8000

Econom´ıa del riesgo

w = 4000 w + Ee z = 8000 w + Ee z−π

12000 Riqueza Montevideo, 2011

37 / 111

Equivalente cierto: e ¿Qu´e incremento en la riqueza cierta de un agente averso al riesgo es equivalente al riesgo asumido? El equivalente cierto, e, es tal que Eu(w + e z) = u(w + e )

Utilidad

Ee z = e+π u (w + Ee z) w = 4000 w+e

Eu (w + e z)

e 4000

Ponce (dECON)

8000

Econom´ıa del riesgo

12000 Riqueza Montevideo, 2011

38 / 111

´ absoluta al riesgo: A(w) Grado de aversion Arrow (1963) y Pratt (1964)

Sin p´erdida de generalidad asuma que Ee z=0 Premio por riesgo: Eu(w + e z) = u(w − π ) Expansiones de Taylor: I

u(w − π ) u u(w) − πu0 (w) Eu(w + e z) u E[u(w) + e zu0 (w) + 21 e z2 u00 (w)]

I

= u(w) + Eezu0 (w) + 21 Eez2 u00 (w) = u(w) + 21 σ2 u00 (w)

h 00 i u (w) Entonces, π u 12 σ2 − u0 (w)

A(w) ≡ −

Ponce (dECON)

u00 (w) u0 (w )

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

39 / 111

Equivalencias

Sin p´erdida de generalidad considere un riesgo puro: Ee z = 0. Las siguientes sentencias son equivalentes: El agente es averso al riesgo ´ de utilidad, u(.), es concava ´ La funcion El premio por riesgo es positivo: π > 0 El equivalente cierto es negativo: e < 0 ´ de aversion ´ absoluta al riesgo es positiva: A(w) > 0 La funcion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

40 / 111

´ al riesgo: comparacion ´ entre Grados de aversion agentes ´ Definicion Suponga que dos agentes u1 y u2 tienen la misma riqueza cierta w. Entonces u1 es m´as averso al riesgo que u2 si, para cualquier nivel de riqueza w, u1 rechaza toda loter´ıa que es rechazada por u2 . Las siguientes sentencias son equivalentes: u1 es m´as averso al riesgo que u2 Au1 (w) ≥ Au2 (w) π u1 ≥ π u2 eu1 ≤ eu2 ´ creciente y concava, ´ Existe una funcion φ, tal que u1 (w) = φ[u2 (w)] Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

41 / 111

Ejemplo - Ejercicio

Considere el problema de Sempronius: w = 4000,

e z : (0, 12 ; 8000, 12 )

1

Muestre que u1 (w) ≡ ln(w) es m´as averso al riesgo que p u2 (w) ≡ (w)

2

Calcule y compare 1

Au1 con Au2

2

πu1 con πu2

3

eu1 con eu2

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

42 / 111

´ absoluta al riesgo Riqueza y aversion

Generalmente, gente m´as rica toma mayores riesgos (posiblemente porque los puede afrontar)

´ absoluta al riesgo decreciente (DARA) Aversion ´ absoluta al riesgo decreciente (la funcion ´ Un agente presenta aversion ´ A(w) es decreciente en la de utilidad u(.) es DARA) si la funcion riqueza w. Dado que π u 21 σ2 A(w), entonces A0 (w) < 0 implica π 0 (w) < 0 (el premio por riesgo es decreciente en la riqueza)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

43 / 111

Ejemplo - Ejercicio 1

Considere el problema de Sempronius: u(.) = e z : (0, 12 ; 8000, 12 ) 1

√

.,

´ absoluta al Calcule el premio por riesgo, π, y el grado de aversion riesgo, A, para w = 100 y para w = 1,000,000

2

Considere que una moneda se lanza t veces. El juego termina cuando aparece la primera cara o luego de lanzar la moneda T veces. El jugador paga 100 por participar de cada tirada y gana 200 si sale cara. 1

´ extensiva del juego (´arbol) para T = 1 y Escriba la descripcion T=2

2

Muestre que un jugador con una utilidad DARA que es indiferente a entrar en el juego cuando T = 1 no participar´a si T = 2

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

44 / 111

´ relativa al riesgo Grado de aversion

u00 (w)

´ absoluta al riesgo, A(w) ≡ − u0 (w) , mide la Grado de aversion tasa a la cual la utilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta en una unidad Entonces, est´a expresada en unidades de riqueza ´ relativa al riesgo mide la tasa a la cual la Grado de aversion utilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta 1 % Entonces, es una elasticidad R(w) ≡ −

Ponce (dECON)

du0 (w) w wu00 (w) =− 0 = wA(w) 0 u (w) dw u (w)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

45 / 111

Algunas funciones de utilidad Cuadr´atica

1 u(w) = aw − w2 , 2

con w ≤ a

¿Por qu´e w ≤ a? ´ absoluta al riesgo A(w) Calcule el grado de aversion Muestre que A(w) es creciente!

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

46 / 111

Algunas funciones de utilidad (cont.) CARA (m´as normal = muy conveniente)

u(w) = −

exp (−aw) a

´ absoluta al riesgo A(w) Calcule el grado de aversion Asuma que la riqueza final, e x, se distribuye normal con media µ y varianza σ2 y demuestre que 1 Eu(e x) = u(µ − aσ2 ) 2

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

47 / 111

Algunas funciones de utilidad (cont.) CRRA

u(w) =

w1 − γ , 1−γ

para w > 0

´ relativo al riesgo R(w) Calcule el grado de aversion ´ se impone a γ? Si un agente es averso al riesgo, ¿qu´e restriccion ´ encuentra? ¿Qu´e pasa si γ = 1? ¿Qu´e solucion ( 1− γ w 1−γ , para w > 0, γ ≥ 0, γ 6 = 1, u(w) = ln(w) para w > 0, γ = 1

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

48 / 111

´ estoc´astica V. Dominacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

49 / 111

De funciones de utilidad a distribuciones de probabilidades Hasta ahora: comparaciones sobre funciones de utilidad (mismo riesgo, diferentes agentes) ´ loter´ıa, Ahora: comparaciones sobre funciones de distribucion, (mismo agente, diferentes riesgos) ¨ ¿Bajo qu´e condiciones una loter´ıa genera, sin ambiguedad, mayor retorno que otra? ¨ ¿Bajo qu´e condiciones una loter´ıa es, sin ambiguedad, m´as riesgosa que otra? Restricciones sobre las preferencias (familias de funciones de utilidad)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

50 / 111

´ estoc´astica de primer orden Dominacion

´ Definicion ´ de riqueza final xe1 domina a xe2 en el sentido de La distribucion ´ estoc´astica de primer orden si todos los individuos con dominacion funciones de utilidad, u, no decrecientes prefieren xe1 a xe2 : E [u (xe2 )] ≤ E [u (xe1 )]

para todo

x1 , x2

Restricciones sobre preferencias: I

´ de utilidad esperada Soporten una representacion

I

´ de utilidad de Bernoulli sea no decreciente Que la funcion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

51 / 111

´ estoc´astica de primer orden (cont.) Dominacion Las siguientes condiciones son equivalentes: ´ estoc´astica de primer xe1 domina a xe2 en el sentido de dominacion orden xe2 se obtiene a partir de xe1 mediante la transferencia de masa de probabilidades de los estados altos de riqueza final a los estados bajos F2 (x) ≥ F1 (x) para todo x Ejercicio: ´ Muestre la segunda condicion ´ Pruebe la tercera condicion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

52 / 111

´ estoc´astica de primer orden (fin) Dominacion

Notas: ´ FOSD no implica que los posibles retornos de la distribucion dominante son mayores que los posibles retornos de la ´ dominada distribucion FOSD implica que E [xe2 ] ≤ E [xe1 ] E [xe2 ] ≤ E [xe1 ] no implica que xe1 domina a xe2 en el sentido de ´ estoc´astica de primer orden: toda la distribucion ´ de dominacion probabilidades es importante!

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

53 / 111

´ estoc´astica de segundo orden Dominacion ´ Definicion Dadas dos distribuciones de riqueza final xe1 y xe2 con la misma media, ´ estoc´astica de segundo xe1 domina a xe2 en el sentido de dominacion orden si todos los individuos con funciones de utilidad, u, no decrecientes y c´oncavas prefieren xe1 a xe2 : E [u (xe2 )] ≤ E [u (xe1 )]

para todo

x1 , x2

Restricciones sobre preferencias: I

´ de utilidad esperada Soporten una representacion

I

´ de utilidad de Bernoulli sea no decreciente Que la funcion

I

´ de utilidad de Bernoulli sea concava ´ Que la funcion (el agente averso al riesgo)

Restricciones sobre las distribuciones: I

´ de primer orden Igual media para aislar efectos de dominacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

54 / 111

´ estoc´astica de segundo orden (cont.) Dominacion

Las siguientes condiciones son equivalentes: ´ estoc´astica de xe1 domina a xe2 en el sentido de dominacion segundo orden xe2 se obtiene agregando riesgo de media cero, e e con E[ e e | xe1 = x1 ] = 0 para todo x1 , a xe1 : xe2 ∼ xe1 + e e xe2 se obtiene como una secuencia de mean-preserving spreads de xe1 Rx S(x) ≡ [F2 (t) − F1 (t)] dt ≥ 0

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

55 / 111

´ estoc´astica de segundo orden (cont.) Dominacion Incremento en riesgo (Rothschild y Stiglitz, 1970, 1971)

Considere el problema de Sempronius: w = 4000, e z : (0, 21 ; 8000, 12 ), entonces xe1 : (4000, 12 ; 12000, 12 ) Asuma que los bienes del extranjero son 8000 unidades Se agrega riesgo: con igual probabilidad el precio es 0,5 o 1,5 e e | x1 = 4000 : (0, 1),

e e | x1 = 12000 : (−4000, 12 ; 4000, 12 )

Note que E[e e | xe1 = x1 ] = 0 xe2 ∼ xe1 + e e,

xe2 : (4000, 12 ; 8000, 14 ; 16000, 14 )

Note que E[xe1 ] = E[xe2 ] = 8000 √ √ E [u (x˜1 )] = 12 4000 + 12 12000 = 86,4 h √ i √ √ E [u (x˜2 )] = 12 4000 + 12 12 8000 + 12 16000 = 85,6 < 86,4

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

56 / 111

´ estoc´astica de segundo orden (cont.) Dominacion ´ en riesgo y diversificacion ´ Reduccion

Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza final e y = w + ze0 :

1 1 1 (4000, ; 8000, ; 12000, ) 4 2 4

´ uno y enfrentar una riqueza final a usar solo e x = w +e z:

1 1 (4000, ; 12000, ) 2 2

Ejercicios: Muestre que existe un incremento en riesgo e e tal que e x∼e y+e e Muestre que dados xe1 iid xe2 ,

Ponce (dECON)

xe1 +xe2 2

es menos riesgoso que xe1 o xe2

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

57 / 111

´ estoc´astica de segundo orden (fin) Dominacion ´ de la integral Mean-preserving spread y la condicion

Un mean-preserving spread es generado al transferir masa de ´ sin alterar la probabilidades hacia los extremos de la distribucion media El incremento en riesgo anterior es un mean-preserving spread

1 2

F1 , F2

f1 , f2

f1 f2

1 4

F1 , F2 1 3 4 1 2

4 8 12 16

B A

4 8 12 16

Ejercicio: pruebe que si xe1 SOSD xe2 entonces Rx S(x) ≡ [F2 (t) − F1 (t)] dt ≥ 0 Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

58 / 111

´ al riesgo en estados bajos Prudencia o aversion Considere el problema de Sempronius: w = 4000, e z : (0, 21 ; 8000, 12 ), entonces xe1 : (4000, 12 ; 12000, 12 ) Considere que la incertidumbre en precio se da cuando el barco llega a puerto (estado alto): I

xe2 : (4000, 21 ; 8000, 14 ; 16000, 14 )

I

Esto es un riesgo e e : (−4000, 21 ; 4000, 12 ) en el estado alto

I

O,

e, 12 ) xe2 : (4000, 12 ; 12000 + e

Considere el mismo riesgo en el estado bajo: I

xe3 : (4000 + e e, 12 ; 12000, 12 ), o xe3 : (0, 14 ; 8000, 14 ; 12000, 12 )

Ejercicio: muestre que xe2 y xe3 no se dominan mutuamente

Prudencia Un agente es prudente si, en los estados bajos de riqueza, rechaza cualquier incremento en riesgo que aceptar´ıa en los estados altos Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

59 / 111

´ si u0 (.) convexa: u000 (.) > 0 Prudencia si y solo

´ si u000 (.) > 0 Prudencia si y solo Un agente es prudente, equivalentemente averso al riesgo en estados ´ si su funcion ´ de utilidad de Bernoulli, u(.), es tal que bajos, si y solo u0 (.) es convexa: u000 (.) > 0

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

60 / 111

VI. Manejo de riesgos: decisiones sobre seguros

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

61 / 111

Decisiones sobre seguros

Seguros son importantes en la vida corriente I

Agentes se cubre y/o intercambian riesgos

I

´ y toma de riesgos Inversion

I

´ capital humano y riesgo Educacion,

Asegurador I

´ Diversifica riesgo por la Ley de los Grandes Numeros (siempre que los riesgos individuales no est´en muy correlacionados)

I

Puede ser considerado neutral al riesgo

I

Principio de Mutualidad: en esencia, los demandantes de seguros se aseguran unos a los otros

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

62 / 111

El problema

El riesgo a asegurar I

El agente tiene una riqueza cierta w

I

Enfrenta una p´erdida aleatoria e z≥0

I

Por tanto, su riqueza final es e x = w −e z

El contrato de seguro I

Una prima (precio del contrato) P

I

´ I (z) para todo z ∈ soporte de e Una indemnizacion z

I

Valor actuarial del contrato EI (e z)

I

Prima actuarialmente justa si P = EI (e z)

I

Competencia perfecta, entonces prima justa

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

63 / 111

La optimalidad del seguro total Seguro total: I (z) = z para todo z ∈ soporte de e z Sin seguro: Eu(w − e z)

= u(w − e ) = u(w − Eez − π )

Con seguro: Eu(w − P − e z + I (e z))

= u(w − P) = u(w − EI (ez)) = u(w − Eez)

Cuando las primas son actuarialmente justas, los individuos aversos ´ al riesgo encuentran optimo adquirir un seguro total

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

64 / 111

Prima m´axima de un seguro total

Eu(w − e z)

= u(w − Eez − π ) = u(w − Pmax )

Entonces Pmax =

Ee z |{z}

+

valor actuarial

π |{z}

premio por riesgo

Est´atica comparada Pmax > Ee z (valor actuarial) si el individuo es averso al riesgo Pmax crece en el valor actuarial del contrato Si u es DARA, Pmax decrece con el nivel de riqueza cierta w

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

65 / 111

Seguros parciales

´ En la pr´actica existen costos de transaccion ´ (loading factor) Costos de transaccion I

´ I (z) para todo z ∈ soporte de e Indemnizacion z

I

Valor actuarial del contrato EI (e z)

I

´ P = (1 + λ)EI (e Prima incluye costos de transaccion z), con λ ≥ 0

´ optima ´ La decision puede implicar seguros parciales I

Co-seguro: I (z) = βz, con 0 ≤ β ≤ 1

I

Deducible:

Ponce (dECON)

I (z) = 0

si

z≤d

I (z) = z − d

si

z>d

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

66 / 111

´ Co-seguro optimo Riqueza final con seguro: xeI = w − P − e z + I (e z) En el caso de co-seguro: xeI = w − (1 + λ) βEe z −e z + βe z El problema: m´ax Eu(xeI )

0≤ β ≤1

Ejercicio: I

Calcule las condiciones de primer

I

Calcule las condiciones de segundo orden

I

´ Pruebe que, en el optimo, cov[u0 (xeI ); e z] = λEez E[u0 (xeI )]

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

67 / 111

´ Co-seguro optimo Teorema de Mossin (1968) cov[u0 (xeI );e z] E[u0 (xeI )]

Si β = 0, cov[u0 (xeI ); e z] > 0 Si β = 1, cov[u0 (xeI ); e z] = 0 ∂cov[u0 (xeI );e z] ∂β

0 transaccion, Si λ es suficientemente grande, la demanda puede ser nula Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

68 / 111

´ Co-seguro optimo ´ al riesgo Est´atica comparada: mayor aversion

Considere dos individuos con funciones de utilidad u1 y u2 crecientes ´ y concavas. Si u1 es m´as averso al riesgo que u2 , entonces β∗1 ≥ β∗2

cov[u20 (xeI );e z] E[u20 (xeI )]

cov[u10 (xeI );e z] E[u10 (xeI )]

λEe z β∗2 β∗1

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

1 β

Montevideo, 2011

69 / 111

´ Co-seguro optimo Est´atica comparada: incremento en riqueza

´ al riesgo incrementa la demanda Un incremento en la aversion por seguros Entonces, si DARA, un incremento en la riqueza reduce la demanda por seguros Si DARA, seguros son bienes inferiores Un incremento en la riqueza inicial (cierta) ´ al riesgo absoluta decreciente Reduce β∗ si u exhibe aversion ´ al riesgo absoluta creciente Incrementa β∗ si u exhibe aversion ´ No tiene efectos en la demanda de co-seguro si u exhibe aversion al riesgo absoluta constante

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

70 / 111

Seguro con deducible

Deducible: O, I (z) =

I (z) = 0

si

z≤d

I (z) = z − d

si

z>d

[z − d] +

P = (1 + λ)EI (e z) ´ inversa entre deducible, d, y la Muestre que hay una relacion prima, P. En particular, muestre que ∂P = −(1 + λ)[1 − F(d)] ∂d donde e z ∼ F(z)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

71 / 111

´ Deducible optimo

Riqueza final con seguro: ( xe1 = w − P(d) − e z xeI = x2 = w − P(d) − d

si

z 0 es optimo un deducible positivo d∗ > 0

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

72 / 111

La optimalidad de un seguro con deducible

´ Seguro optimo: seguro total sobre un deducible Suponga que un agente averso al riesgo selecciona un contrato de seguro para cubrir un riesgo e z con una prima P = (1 + λ)EI (e z) y una ´ no decreciente I (z) ≥ 0 para todo z ∈ soporte de e indemnizacion z. ´ Entonces, el contrato de seguro optimo consiste en un seguro total sobre un deducible d: I (z) = [z − d]+

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

73 / 111

VII. Reparto eficiente de riesgos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

74 / 111

Algunas puntualizaciones previas

´ Hasta ahora se ha considerado un unico individuo Ahora se considera el reparto eficiente de riesgo entre agentes No consideraremos si este reparto puede ser alcanzada en una econom´ıa de mercado (ver Finanzas de Mercado)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

75 / 111

Reparto de riesgos: un ejemplo Recuerde que Sempronius prefiere diversificar su cargamento en ´ uno, dos barcos, yeS : (4000, 14 ; 8000, 21 ; 12000, 14 ), a utilizar solo xeS : (4000, 12 ; 12000, 21 ) Asuma que Jacobus es averso al riesgo y enfrenta el mismo problema que Sempronius pero en una ruta independiente ´ un barco cada uno y Muestre que ambos preferir´an utilizar solo xe +xe

repartir la mercader´ıa (riesgo) en partes iguales, S 2 J , a utilizar ´ un barco y no repartir el riesgo, xei para i = S, J solo ¿Qu´e pasa si los riesgos est´an correlacionados (las rutas no son independientes)? La regla de reparto, ¿es eficiente en el sentido de Pareto?

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

76 / 111

El modelo: una econom´ıa de intercambio

´ n agentes aversos al riesgo: ui , i = 1, . . . , n crecientes y concavas Riesgo: I

Ex ante nadie conoce qu´e estado de la naturaleza prevalecer´a

I

El estado de la naturaleza es una v.a. discreta, es, con soporte finito

I

La riqueza futura de los agentes dependen del estado de la naturaleza: xi (s) 6= xi (s0 )

I

Para cada estado s la riqueza futura total de la econom´ıa es: X(s) = ∑ni=1 xi (s)

El reparto de riesgos determina la riqueza final de cada agente en cada estado: yi (s), i = 1, . . . , n, s en el soporte de es

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

77 / 111

Definiciones Reparto posible de riesgos Un reparto de riesgos es posible si ´ agente finaliza con una riqueza final negativa: yi (s) ≥ 0 ningun la riqueza final de todos los agentes es igual a la riqueza total en la econom´ıa: ∑ni=1 yi (s) = X(s) para todo s en el soporte de es

Reparto eficiente de riesgos Un reparto de riesgos es eficiente si es posible no existe otro reparto de riesgos que incremente la utilidad esperada de un agente sin reducir la de los restantes agentes

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

78 / 111

´ de un reparto eficiente de riesgos Caracterizacion

m´axy1 (.),...,yn (.) ∑ni=1 Eui [yi (es)] sujeto a ∑ni=1 yi (s) = X(s) para todo s en el soporte de es m´axy1 (.),...,yn (.) E [∑ni=1 ui [yi (es)]] sujeto a ∑ni=1 yi (s) = X(s) para todo s en el soporte de es ´ a este programa puede ser obtenida resolviendo la La solucion secuencia de soluciones para cada uno de los estados: n

m´ax

∑ ui [yi (s)] sujeto a

y1 (s),...,yn (s) i=1

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

n

∑ yi (s) = X(s)

i=1

Montevideo, 2011

79 / 111

´ de un reparto eficiente de riesgos Caracterizacion (cont.) m´axy1 (s),...,yn (s) ∑ni=1 ui [yi (s)] sujeto a ∑ni=1 yi (s) = X(s) Ł = u1 [y1 (s)] + · · · + un [yn (s)] − µ(s) [y1 (s) + · · · + yn (s) − X(s)] CPO ui0 [yi (s)] = µ(s) para todo i = 1, . . . , n y para todos los estados s

´ de Borch (1962) para un reparto eficiente La condicion ´ entre dos estados s y s0 Las tasas marginales de sustitucion cualesquiera tienen que ser iguales para dos agentes i y j cualesquiera:

Ponce (dECON)

uj0 [yj (s)] ui0 [yi (s)] = ui0 [yi (s0 )] uj0 [yj (s0 )] Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

80 / 111

El Principio de Mutualidad Note que Si X(s) = X(s0 ), entonces yi (s) = yi (s0 ) para todo i = 1, . . . , n yi (s) no depende de xi (s), pero si de X(s)

El Principio de Mutualidad Un reparto Pareto eficiente de riesgos tiene la particularidad de que en cada estado la riqueza final de cualquier agente, yi (s), solamente depende de la riqueza total en la econom´ıa, X(s), y no de la riqueza individual de cada agente Esto implica que un reparto eficiente puede ser implementado por un planificador social cuando todos los agentes, en todos los estados, aportan su riqueza xi (s) a un fondo mutuo X(s)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

81 / 111

Reparto eficiente de riesgo no diversificable CPO: ui0 [yi (s)] = µ(s) = uj0 [yj (s)] ´ Principio de Mutualidad (normalizacion): yi (s) = yi (X(s)) Entonces: ui0 [yi (X(s))] = uj0 [yj (X(s))] Diferenciando respecto a X(s): ui00 [yi (X(s))]yi0 (X(s)) = uj00 [yj (X(s))]yj0 (X(s)) Entonces:

ui00 [yi (X(s))] 0 y (X(s)) ui0 [yi (X(s))] i

=

uj00 [yj (X(s))]

y0 (X(s)) uj0 [yj (X(s))] j

´ al riesgo y reparto eficiente Aversion Un reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que los agentes relativamente m´as aversos al riesgo asuman relativamente ´ en su riqueza final) menos riesgo (menos variacion Ai yi0 (X(s)) = Aj yj0 (X(s)) Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

82 / 111

Reparto eficiente de riesgo no diversificable (cont.) Ai yi0 (X(s)) = Aj yj0 (X(s)) ∑ni=1 yi (X(s)) = X(s) Entonces: ∑ni=1 yi0 (X(s)) = 1 Y, por tanto: 1 =

Aj yj0 (X(s)) ∑i Ai

´ a la tolerancia El riesgo debe ser repartido en proporcion Un reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que el riesgo debe ser repartido en forma proporcional a la tolerancia la riesgo de los agentes yj0 (X(s)) =

Ponce (dECON)

Tj ∑ i Ti

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

83 / 111

´ VIII. Informacion asim´etrica y la oferta de seguros

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

84 / 111

´ adversa: elementos del modelo Seleccion La riqueza final de un agente es e x = w +e z e z tiene soporte en {−L, 0} Agentes id´enticos excepto en su probabilidad de p´erdida: 0 < pG < pB < 1 ´ privada de cada La probabilidad de p´erdida es informacion agente ´ de agentes malos es 0 < α < 1 La proporcion Las primas son actuarialmente justas, λ = 0 Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo El mercado est´a en un equilibrio de largo plazo, los beneficios son nulos Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

85 / 111

´ adversa: informacion ´ perfecta, seguro total Seleccion

´ perfecta + Informacion prima justa = seguro total (Mossin) Primas: PB = pB L y PG = pG L ´ imperfecta: Informacion todos pretender´an ser buenos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

86 / 111

Contratos de seguro en equilibrio

´ Rothschild y Stiglitz (1976) Definicion: Un conjunto de contratos de seguro est´a en equilibrio si todos los contratos (prima P, co-seguro β) ofrecen un beneficio esperado de cero para el asegurador no existe otro contrato que pueda ser agregado tal que ofrezca un beneficio esperado positivo

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

87 / 111

Contratos pooling no son de equilibrio

Un equilibrio de Rothschild ´ y Stiglitz bajo seleccion adversa no puede contener un contrato pooling Buenos asegurados prefieren un deducible mayor al contrato pooling

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

88 / 111

Contratos separadores

Cada contrato obtiene un beneficio esperado igual a cero Malos asegurados obtienen seguro total, β B = 1, a un precio justo, PB = pB L

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

89 / 111

Contratos separadores (cont.)

Cada contrato obtiene un beneficio esperado igual a cero El contrato para los buenos asegurados no tiene que ser elegido por los malos (compatibilidad de ´ incentivos o auto-seleccion)

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

90 / 111

Contratos separadores pueden no existir

´ de malos Si la proporcion asegurados es baja, α es ˜ pequeno Un contrato pooling, C0 , domina al contrato separador

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

91 / 111

Contratos de seguro en equilibrio

´ de malos asegurados es suficientemente grande (α Si la proporcion suficientemente cercano a 1), entonces un equilibrio de Rothschild y Stiglitz consiste en contratos separadores donde los malos asegurados reciben seguro total a una prima justa (β B = 1, PB = pB L), y los buenos asegurados reciben un seguro parcial a una prima justa (β G < 1, PG = pG β G L).

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

92 / 111

Riesgo moral: elementos del modelo La riqueza final de un agente es e x = w +e z e z tiene soporte en {−L, 0} Agentes id´enticos La probabilidad de p´erdida depende del esfuerzo del asegurado: 0 < pE = pN − e < pN < 1 Esfuerzo cuesta c unidades de utilidad Las primas son actuarialmente justas, λ = 0 Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo El mercado est´a en un equilibrio de largo plazo, los beneficios son nulos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

93 / 111

´ Esfuerzo optimo y curvas de indiferencia

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

94 / 111

Riesgo moral y contratos de seguros

Cada contrato obtienen un beneficio esperado igual a cero Riesgo moral y prima no lineal: ( βpE L si β ≤ β D P( β ) = βpN L si β > β D En equilibrio, N o D son ofrecidos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

95 / 111

´ IX. Riesgo e informacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

96 / 111

´ privada El valor de la informacion

La riqueza final de Sempronius e x : (4000, 12 ; 12000, 12 ) Seguro total a 4400 (λ = 10 %) √ Con seguro: Eu(.) = 12000 − 4400 = 87178 ´ p0 es la creencia de e´ xito de Sempronius sin acceso a informacion Sin seguro: √ √ Eu(.) = p0 12000 + (1 − p0 ) 4000 = 46299p0 + 63246 V (p0 ) = m´ax{87178; 46299p0 + 63246} Si p0 < 0,517 Sempronius comprar´a seguro

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

97 / 111

´ privada (cont.) El valor de la informacion Asuma que p0 = 0,5, entonces compra seguro y V (p0 ) = 87178 ´ con probabilidad q = 0,5 recibe una buena senal, ˜ Informacion: e.g. no hay piratas (pG = 0,75), y con probabilidad 1 − q = 0,5 ˜ (pB = 0,25) recibe una mala senal ˜ V (pG ) = 46299 × 0,75 + 63246 = 97970 Buena senal: ˜ V (pB ) = 87178 Mala senal: Ex ante: VI = qV (pG ) + (1 − q)V (pB ) = 92574 > 87178 = V (p0 ) ´ privada es valioso porque permite un mejor Acceso a informacion manejo de riesgos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

98 / 111

El efecto Hirshleifer Asuma que existe un mercado de seguros tal que todo riesgo e z puede ser asegurado a una prima justa (λ = 0) ´ En el primer optimo todos los agentes adquieren un seguro total a la prima justa Asuma ahora que se introduce una tecnolog´ıa que hace publica ´ la ´ sobre qui´en sufrir´a una p´erdida y su tamano ˜ informacion Ya no habr´a nada que asegurar; los aseguradores no pueden asegurar riesgos realizados ´ ´ destruye la posibilidad de Ex ante, el acceso publico a informacion asegurarse a una prima justa y, por tanto, todos (asegurados y ´ aseguradores) estar´an peor que sin acceso a la informacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

99 / 111

´ optima ´ X. Prevencion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

100 / 111

´ o auto-proteccion ´ Prevencion

´ de riesgos En muchos casos es posible alterar la distribucion I

control de p´erdidas

I

´ prevencion

I

´ auto-proteccion

´ de los Un seguro altera el financiamiento de la materializacion riesgos

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

101 / 111

´ optima ´ Prevencion bajo neutralidad al riesgo Considere un agente neutral al riesgo Enfrenta una p´erdida L con probabilidad p ´ e para prevenir el riesgo: p es una Puede realizar una inversion 0 ´ de e, p(e), con p < 0 y p00 ≥ 0 funcion ´ optima, ´ El nivel de prevencion e∗ , es tal que e∗ ∈ arg m´ın e + p(e)L e≥0

´ de primer orden es necesaria y suficiente La condicion

−p0 (e∗ )L = 1

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

102 / 111

´ optima ´ ´ al riesgo Prevencion bajo aversion

A priori podr´ıa pensarse que un individuo averso al riesgo ´ superior a e∗ preferir´a un nivel de prevencion ´ hace los mejores estados m´as probables Mayor prevencion ´ reduce la riqueza final en todos los estados de Mayor prevencion la naturaleza Entonces, un agente averso al riesgo puede encontrar la ´ de la riqueza en los peores estados demasiado costosa reduccion ´ a la reduccion ´ en la (en t´erminos de utilidad) con relacion probabilidad de estos estados

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

103 / 111

XI. Irreversibilidad y ´ precaucion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

104 / 111

´ Irreversibilidad y precaucion

Algunas decisiones implican acciones irreversibles I

Por ejemplo, la obra civil para instalar una planta fabril

´ diferir la decision ´ a la espera de mejores condiciones Precaucion: ´ o nueva informacion I

´ de la planta Por ejemplo, diferir la instalacion

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

105 / 111

Ejemplo: ¿cu´ando invertir?

t=0

t=1

t=2 312,5

250 187,5

200 150

112,5 Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

106 / 111

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (cont.)

t=0

t=1

t=2 132,5

70 7,5

20 0

0 Figura: No siendo precavido

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

107 / 111

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (cont.)

t=0

t=1 78,6

46,5 4,3 Figura: Siendo precavido

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

108 / 111

Ejemplo: ¿cu´ando invertir? (fin)

t=0

t=1

t=2 Invertir

Esperar Esperar

Invertir Esperar No Invertir Figura: ¿Cu´ando Invertir?

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

109 / 111

Ejercicio: ¿cu´ando abandonar?

t=0

t=1

t=2 832

679 553

553 451 368

Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

110 / 111

´ XII. Topicos avanzados

Ponce (dECON)

Econom´ıa del riesgo

Montevideo, 2011

111 / 111