Profr. Efraín Soto Apolinar.

Ecuación general de la circunferencia Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso más ayá. Vamos a desarrollar los binomios y vamos a escribir la ecuación igualada a cero. Ecuación general de la circunferencia La ecuación general de la circunferencia es: Definición 1

x 2 + y2 + D x + E y + F = 0 donde los coeficientes D, E, F son números reales.

Conversión de forma ordinaria a forma general Siempre que calculabamos la ecuación de una circunferencia nos quedábamos con la forma ordinaria. Ahora vamos a empezar a convertir de la forma ordinaria a la forma general. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen en la forma general.

Ejemplo 1

• Ya sabemos que la forma ordinaria es:

( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 • Lo único que debemos hacer es desarrollar los binomios y simplificar:

( x − h )2 + ( y − k )2

= r2

x2 − 2 hx + h2 + y2 − 2 ky + k2 − r2

= 0

2

2

2

2

x + y − 2 hx − 2 ky + h + k − r

2

= 0

• Entonces, si conocemos el centro del la circunferencia C (h, k) y su radio r, podemos fácilmente convertir de la forma ordinaria a la forma general usando las siguiente definiciones: D = −2 h, E = −2 k, y F = h2 + k2 − r2 .

En primer semestre estudiamos el desarrollo del binomio al cuadrado. Si no recuerdas el procedimiento es una buena idea recordarlo estudiando extra-clase. Transforma la ecuación de la circunferencia ( x − 9)2 + (y − 1)2 = 25 a la forma general.

Ejemplo 2

• Desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos:

( x − 9)2 + ( y − 1)2 2

2

x − 18 x + 81 + y − 2 y + 1 − 25 2

2

x + y − 18 x − 2 y + 81 + 1 − 25 2

2

x + y − 18 x − 2 y + 57 www.aprendematematicas.org.mx

= 25 = 0 = 0 = 0 1/5

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• Ahora verifica que obtenemos el mismo resultado sustituyendo los valores de h, k y r en las fórmulas para transformar la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo 3

Calcula la ecuación en forma general de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (7, 2) y es tangente a la recta: 3 x − y + 5 = 0. • En este caso, no podemos conocer inmediatamente la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, porque no conocemos el valor de r. • Primero vamos a calcular r, después vamos a calcular la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y finalmente la vamos a transformar a la forma general. • La medida del radio es igual a la distancia del punto C (7, 2) a la recta: 3 x − y + 5 = 0.

|21 − 2 + 5| |24| |3 (7) − (2) + 5| = √ = √ r= p 2 2 9+1 10 (3) + (−1) • Ahora que conocemos el valor de r podemos calcular la ecuación en forma ordinaria:   576 24 2 2 ⇒ ( x − 7)2 + ( y − 2)2 = ( x − 7) + ( y − 2) = √ 10 10 • Y finalmente vamos a transformarla a la forma general:

( x − 7)2 + ( y − 2)2 576 10 2 2 x + y − 14 x − 4 y + 49 + 4 − 57.6 x2 − 14 x + 49 + y2 − 4 y + 4 −

=

576 10

= 0 = 0

• La ecuación que queríamos calcular es: x2 + y2 − 14 x − 4 y − 4.6 = 0

Ejemplo 4

En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo encontramos las mediatrices del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1, −2), B(3, 6) y C (−2, 1). El punto donde se cortan estas mediatrices es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Encuentra la ecuación de esa circunferencia en su forma general. • Las ecuaciones de las mediatrices de los lados de ese triángulo son las siguientes: x + 4 y − 10

= 0 = 0 y = x

x+y−4

• Para encontrar el punto donde se cortan sustituimos y = x en cualquiera de las dos primeras ecuaciones: x + 4 y − 10 x + 4 x − 10

= = 5x = x =

0 0 10 2

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• Y ya sabemos que: y = x = 2. • Entonces, el centro de la circunferencia está en el punto C (2, 2). • Ahora calculamos la longitud del radio con la fórmula de distancia entre dos puntos. • Sabemos que la circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo. q r = (2 − 1)2 + (2 − (−2))2 q = (1)2 + (4))2 √ √ = 1 + 16 = 17 • Ahora calculamos la ecuación en forma ordinaria y la transformamos a la forma general:

( x − 2)2 + ( y − 2)2

=

x 2 − 4 x + 4 + y2 − 4 y + 4 2

2

x +y −4x−4y−9

√

17

2

= 17 = 0

• Ahora grafica el triángulo, sus tres mediatrices y la circunferencia en un plano cartesiano en tu cuaderno.

Calcula la ecuación de la circunferencia en su forma general que pasa por el punto Q(0, 4) y que es tangente a la recta: 2 x − 3 y − 1 = 0 en el punto P(5, 3). • Vamos a dibujar la situación antes de iniciar con las ecuaciones.

7

y

C (h, k)

6 5

C| r=

r=

|Q

|C

4

P|

2

5

6

3

−1

2

2

1

3

4

x−

3y

−

7

1=

0

x

• Sabemos que r = |CP| = |CQ|.

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Ejemplo 5

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• Algebraicamente tenemos: q

|CQ| = |CP| q ( h − 0)2 + ( k − 4)2 = ( h − 5)2 + ( k − 3)2 ( h − 0)2 + ( k − 4)2 = ( h − 5)2 + ( k − 3)2 h2 + k2 − 8 k + 16 = h2 − 10 h + 25 + k2 − 6 k + 9 10 h − 2 k = 18

• Por otra parte, podemos conocer la pendiente de la recta tangente expresando su ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen: 2x−3y−1

= 0 2x−1 = 3y 2 1 x− = y 3 3

• Entonces, m` =

2 . 3

• Como el radio CP es perpendicular a esta recta, tenemos que: mCP = −

1 3 =− m` 2

• Pero también podemos calcular la pendiente a partir de la fórmula de dos puntos: k−3 h−5 2 ( k − 3)

mCP =

3 2 −3 ( h − 5)

= −

= 2 k − 6 = −3 h + 15 3 h + 2 k = 21

• Ahora podemos calcular las coordenadas del centro de la circunferencia resolviendo el siguiente S.E.L.: 

10 h − 2 k = 18 3 h + 2 k = 21

• Al sumar ambas ecuaciones obtenemos: 13 h = 39, que implica h = 3. • Para calcular el valor de k sustituimos el valor de h en cualquiera de las ecuaciones del S.E.L.: 10 h − 2 k

= 18 10 (3) − 18 = 2 k 30 − 18 12 = k= =6 2 2 • Entonces, las coordenadas del centro de la circunferencia son: h = 3, y k = 6. • Ahora calulamos la longitud del radio: q √ √ r = (3 − 0)2 + (6 − 4)2 = 9 + 4 = 13

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• Y la ecuación de la circunferencia es:

( x − 3)2 + ( y − 6)2 2

2

x − 6 x + 9 + y − 12 y + 36 2

2

x + y − 6 x − 12 y + 32

= 13 = 13 = 0

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 31 de julio de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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