IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Alumno: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Fecha: ……………………………….

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II

Ecuaciones de Segundo Grado II

Naturaleza de Raíces

depende

Propiedades de las Raíces

Formación de la Ecuación

suma

se debe tener

2

 = b - 4ac

b a

x1  x2 

Discriminante si

producto

x1 . x2 

>0

=0

0

Raíces reales diferentes

Raíces iguales

Raíces complejas y conjugadas

Raíces reales

x1

 x2

x1

= x2

Suma = S b S a

c a donde

Diferencia x1  x2 

x1 = m + ni x2 = m – ni m; n  R además:

i  1

Profesor José María Villavicencio Taipe

Producto = P c P a

 |a|

2

x – Sx + P = 0

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Observaciones

Raíces Simétricas u

Raíces Recíprocas o

Ecuaciones Cuadráticas

Opuestas

Inversas

Equivalentes

si

si

si las ecuaciones

Una raíz es: x1 = m, la

Una raíz es: x1 = m, la

ax + bx + c = 0 ; a  0

otra es: x2 = -m

otra es: x2 

se cumple x1 + x 2 = 0

2

1 m

2

mx + nx + p = 0 ; m  0

se cumple

tienen

x 1x 2 = 1

Las mismas raíces o soluciones

se cumple

a b c   m n p

De donde: x1 

Ejercicios Resueltos 1.

Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5 = 0 Calculemos el DISCRIMINANTE:

6  4 6  4  1; x2   5 2 2

es decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y diferentes!. 2.

Ejemplo:

2

En la ecuación x – 14x + 49 = 0

Calculamos el DISCRIMINANTE:

2

 = b – 4ac

2

 = b – 4ac

2

 = (6) – 4(1)(5)

2

 = (-14) – 4(1)(49)

 = 16, es decir  > 0 Por la fórmula General: x 

x

b  2a  6  16 2(1)

 = 196 – 196  = 0, entonces las raíces son reales e iguales. Comprobemos: La ecuación dada también se escribe así: 2

(x - 7) = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0 Profesor José María Villavicencio Taipe

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Igualando cada factor a CERO: x–7=0



x1 = 7

x–7=0



x2 = 7

5.

Ejemplo:

Formar la ecuación de segundo grado si

se tienen las raíces x1 = 2; x2 = -3.

entonces: C.S. = {7; 7}

Solución: Sabemos:

3.

Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25 = 0

S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1 P = x1x2 = (2)(-3) = -6

Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25

entonces de la ecuación:

2

2

El DISCRIMINANTE es:  = b – 4ac

x – Sx + P = 0

2

2

 = (-6) – 4(1)(25) 

=

x – (-1)x + (-6) = 0

-64, es

2

x + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado

decir  < 0 Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS.

6.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación e indicar 2

4.

que tipo de raíces tiene: x – 100 = 0

Ejemplo:

Indicar la suma y producto de raíces

2

de: x + 5x + 3 = 0

Solución:

Solución:

Factorizando (x + 10) (x - 10) = 0

Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3 Entonces:

S

b  suma de raíces a

S

5  5 1

P

c  producto de raíces a

P

3 3 1

x = -10 x = 10 Son simétricos

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

Rpta.: _______________ b)

2

2

x +1=0

a) x + 2x + 1 = 0 2

Rpta.: _______________

b) x + x + 1 = 0 2

c) 5x + 2x + 3 = 0

c)

2

d) 7x + 2x – 1 = 0 2

e) 3x – 2x + 5 = 0

Rpta.: _______________

2

f) x + 8x + 9 = 0 2.

Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes: a)

2

x + 2x + 1 = 0

2

x + 5x + 2 = 0

d)

2

x –1=0 Rpta.: _______________

e)

2

x –x+1=0

Profesor José María Villavicencio Taipe

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 8.

Rpta.: _______________ f)

2

(b + 5)x + 3bx + b = 0 presenta raíces iguales. Hallar: “b”

2

5x + 3x + 1 = 0

a) 0 d) 8

Rpta.: _______________

g)

Si la ecuación:

2

7x + 4x – 2 = 0

9.

b) -2 e) 6

c) 4

Si la ecuación: 2

x + 3x + 6k – 1 = 0

Rpta.: _______________ h)

no tiene solución real, entonces se cumple:

2

2x + 3x – 3 = 0

5 24 13 d) k  24 a) k 

Rpta.: _______________ 3.

Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 2

x + 5x + 1 = 0

10.

2

E = (x1 + x2) – 2x1x2

4.

b) 21

d) 24

e) 25

13 24

11.

Indique los valores de k si en la ecuación:

b) -2 ; 1/2 e) -2 ; -1

2

5.

b) 25/9 e) N.A.

a)

c) 9/25

b)

2

con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”. k-4

Si: 3(x1x2) a) 9/2 d) 4 6.

2

c)

c) 5/2

2

d)

qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble)

7.

x2 = 1

x1 = 5

;

x2 = -2

x1 = -3

;

x2 = -4

Rpta.: _______________

En la ecuación 3x + 2ax + a – 6 = 0, ¿para

a) ±1 d) ±4

;

Rpta.: _______________

=1 b) 7/2 e) 9

x1 = 3

Rpta.: _______________

Dada la ecuación: 9x + 5x + 1 = 0

b) ±2 e) N.A.

x1 = -2

;

x2 = 2

Rpta.: _______________

c) ±3

e)

x1  3 ;

x2  2 3

Rpta.: _______________

Si una de las raíces de la ecuación: 2

x + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la

f)

otra raíz es: a) -2 d) -4

b) -1 e) N.A.

x1  2  3 ; x2  2  3 Rpta.: _______________

c) -3 12.

c) 2 ; -1

Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2.

(m - 2)x – (m + 5)x + 8 = 0

d) 1/4

25 4

e) N.A.

a) 1 ; 2 d) -1/2 ; 1

c) 23

Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.

a) 25

c) k 

x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces.

Indicar el valor de:

a) 20

b) k 

Sean las ecuaciones equivalentes:

Profesor José María Villavicencio Taipe

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 2

x + ax + 15 = 0 ……….. (I)

sea igual al producto de las mismas. (k < 0)

2

3x + 2x + b = 0 ……….. (II) Indicar: “a . b” a) 45/3 d) 2/3

13.

b) 30 e) 25/3

a) -3 d) -1

c) 35 15.

2

2ax – (8b - 3)x + 18 = 0 2

d)  14.

3 2 2 e)  9 b) 

9 2

Hallar el valor de “k” en la ecuación: 2

a) 1 d) 4

x + (b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes (tienen las mismas raíces).

1 6

c) 0

(k - 1)x – 5x + 3k – 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra.

Calcular “a/b”, si las ecuaciones:

a)

b) -2 e) N.A.

c) 

b) 2 e) 6

c) 3

1 2

Hallar el valor de “k” que hace la suma de las raíces de la ecuación: 2

2

x + kx + 2x – k + 4 = 0

1.

2

Hallar el valor de “a” de modo que las raíces

c) 2x – 2Mx + 1 = 0

de la ecuación: x2  ( a  3)x 

a2  1  0 se difieren en 5. 4

4.

Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de la ecuación de incógnita “x”: 2

2.

a) 5/3

b) 7/3

d) 5/6

e) 20/3

(k - a)(x – x) = -(k + a)

c) 10/3

Si: S < P; son números consecutivos. Hallar “k” en función de “a”.

Indicar la suma de las raíces que verifican la ecuación: 2

2

x  6x  9  4 x  6x  6 a) 12

b) 16

d) 18

e) 13

c) 15

5.

a) –a

b) 2a

d) 3a

e)

c) a

3a 2

Los límites hacia los que tienden las raíces de la ecuación: 2

(a - 2)x – (7a - 2)x + 6a = 0 3.

Formar la ecuación de segundo grado, si tiene

cuando “a” crece indefinidamente.

por raíces:

M  M2  1 2

d) 2x – 2Mx + 2 = 0

2

e) 2x – Mx + 1 = 0

a) 2x – Mx + 2 = 0 b) 2x – 4Mx + 2 = 0

a) 1 y 6

b) 2 y 3

d) 2 y 6

e) N.A.

2

2

Profesor José María Villavicencio Taipe

c) 1 y 3

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 6.

 2n  1 2n  3  Siendo:  ;  el conjunto solución n1   n 1

7.

2

ecuación: x – 5x + 1 = 0

de la ecuación cuadrática en “x”: 2

ax + 2bx + 4c = 0 Calcular el valor de: L 

Sabiendo que x1  x2 son las raíces de la

(a  0)

Reducir: N 

b2  4 ac

x12  x22 x14  x12  x22  x2 4

( a  b  c)2

TAREA DOMICILIARIA Nº 5 1.

Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones: 2

7.

2

a) x + 3x + 1 = 0

d) 2x + 5x + 1 = 0

b) x + 5x + 2 = 0

e) x + 7x + 6 = 0

2

2

2

a) 1 d) 9

c) 3x + 4x + 1 = 0 2.

Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes: 2

e) 5x + 2x + 1 = 0

b) x + x + 2 = 0

f) x – 25 = 0

c) x + 5x + 1 = 0

g) x + 3x = 0

d) x – 7x + 2 = 0

h) 3x – 7x + 1 = 0

2

2

2

2

9.

4.

b) -4/3 e) -3/4

1

10. c) 1/3

a) 4 d) 2 5.

11.

64 3 64 d) 19

67 9 19 e)  64 b)

b) -2/3 e) -1/2

c) -3

Hallar “m”, si la ecuación tiene por raíz a la unidad, m > 0. 2

b) 2 e) 6

c) 3

Dadas las ecuaciones: 2

2

2x + nx + 2 = 0 ………..(II) Equivalentes (tienen las mismas raíces) Indicar el valor de: E = m + n

c) 3

c)

19 64

Indicar el valor de “m” si el producto de raíces es igual a la suma de las mismas en la 2 ecuación: (m + 4)x – 2mx + 3m + 1 = 0 a) 1/2 d) 1/3

b) -2 e) -10

mx + 5x + 10 = 0 ………..(I)

Hallar “k”, si la suma de raíces de la ecuación es 20. 2 (k - 3)x – (k + 4)x + 30 = 0 a)

6.

b) -2 e) 1

2

2

2

(x1  x2 )2  2x1x2 3x1x2

c) -6

Hallar “m”, si el producto de raíces es 16.

a) 1 d) 4

x + 2ax + a = 0 Indicar:

b) -2 e) -12

4x – 4x + m – m – 2 = 0

Sea x1 y x2 raíces de la ecuación: 2

Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 8. 2 (m + 2)x – (7m + 6)x + 4m + 5 = 0

a) -1 d) -4

2

x + 4x + 1 = 0

a) 4/3 d) -1/3

c) 3

(m + 1)x – (m + 5)x + 10m + 4 = 0

Siendo x1 y x2 son las raíces de la ecuación:

 x  x2   Indicar el valor de: A   1   3x1x2 

b) 2 e) 10

a) -1 d) -10

2

2

3.

8.

2

a) x – ax + 1 = 0

Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. 2 x – (m + 1)x + 25 = 0

c) 2/3

a) 10 d) 11 12.

b) -10 e) 3

c) -11

Indicar el valor de “p” si una de las raíces es la inversa multiplicativa de la otra. 2

(p + 2)x – 3x + 2p + 1 = 0 a) -1 d) 3 13.

b) 1 e) 4

c) 2

Hallar “a” si la ecuación presenta raíces 2

2

simétricas: x + (a – 2)x + a + b = 0 Siendo: b > 5

Profesor José María Villavicencio Taipe

IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO a) 1 d) -1 14.

b) 3 e) 2

c) 4

2

Sea la ecuación: 5x – 2x + 3 = 0 Donde: “x1” y “x2” son sus raíces Calcular: M = (1 + x1) (1 + x2) a) 1 d) 4

15.

b) 2 e) 5

c) 3

Formar las ecuaciones de 2º Grado a partir de las raíces dadas x1 y x2. a) x1 = -2

x2 = -1

b) x1 = 3

x2 = 4

c) x1 = 5

x2 = 3

d) x1 =  2

x2 =

e) x1 =

x2 =  3

f) x1 = 6

3

3

x2 = -1

Profesor José María Villavicencio Taipe