Ecuaciones Diferenciales, Fracciones Parciales y F´ormulas de Heaviside Dr. Juli´an Gpe. Tapia Aguilar E S F M – Instituto Polit´ecnico Nacional [email protected] Agosto de 2008

´Indice 1. Introducci´ on

1

2. Ra´ıces Reales Distintas

2

3. Ra´ıces Reales Repetidas

5

4. Factores Cuadr´ aticos Irreducibles Distintos

8

1.

Introducci´ on Una fracci´on propia es por definici´on aquella en donde, P (x) , Q(x)

(1)

el grado del polinomio en el denominador Q(x) es mayor que el grado del polinomio en el numerador P (x). A veces se hace necesario escribir el cociente como una suma de fracciones en donde el denominador es lineal o cuadr´atico (en el caso de que no existan ra´ıces reales). Por ejemplo, como motivaci´on de esta idea, considere la integral, Z 3x2 − 6x + 7 dx. x3 − 6x2 + 11x − 6 A primera vista, parece una tarea bastante complicada; sin embargo, al tomar en cuenta la factorizaci´on del denominador, x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3),

1

le permite al m´etodo que estamos a punto de estudiar, escribir la fracci´on como una “suma de fracciones parciales”, 3x2 − 6x + 7 = x3 − 6x2 + 11x − 6 3x2 − 6x + 7 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) A B C = + + . x−1 x−2 x−3 donde hay que determinar las constantes num´ericas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes, de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la b´ usqueda de la integral como se indica a continuaci´on. Z 3x2 − 6x + 7 dx = x3 − 6x2 + 11x − 6 Z 3x2 − 6x + 7 = dx (x − 1)(x − 2)(x − 3) Z Z Z A B C = dx + dx + dx. x−1 x−2 x−3 = A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x − 3).

2.

Ra´ıces Reales Distintas En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracci´on se puede reescribir de la siguiente manera. P (x) . (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )

(2)

donde ai , i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las ra´ıces de Q(x). Para este caso, la descomposici´on en fracciones parciales que se propone es, P (x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak ) A1 A2 A3 Ak = + + + ··· + . x − a1 x − a2 x − a3 x − ak En este caso, Ai =

P (ai ) , Q0 (ai )

equivalentemente, Ai =

P (ai ) Qi (ai )

(3)

(4)

donde como siempre, Q0 (x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio Q(x), y el polinomio Qi (x) queda definido por, Qi (x) =

Q(x) , (x − ai )

esto es, Qi (x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor (x − ai ). 2

Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a, s2

s−1 . +s−6

Soluci´ on: En este caso la factorizaci´on es la siguiente, s2

s−1 s−1 A1 A2 = = + , +s−6 (s + 3)(s − 2) s+3 s−2

(5)

Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “n´ umeros amigos”; aquellos n´ umeros que anulan al polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuaci´on 3 se satisface, entonces, s − 1 = A1 (s − 2) + As (s + 3). Los n´ umeros amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera: s = 2: Implica que, 2 − 1 = A1 (2 − 2) + A2 (2 + 3) = 5A2 ,

∴

1 A2 = . 5

s = −3: Implica que, −3 − 1 = A1 (−3 − 2) + A2 (−3 + 3) = −5A1 ,

∴

4 A1 = . 5

Las f´ormulas de Heaviside en este caso, donde Q(s) = s2 + s − 6, ∴ Q0 (s) = 2s + 1,

P (s) = s − 1, proponen para los coeficientes,

4 s − 1 ¯¯ −3 − 1 = , = ¯ 2s + 1 s=−3 2(−3) + 1 5 s − 1 ¯¯ 1 2−1 = . = ¯ 2s + 1 s=2 2(2) + 1 5

A1 = A2 =

Las f´ormulas equivalentes requieren los polinomios, Q1 (s) = Q2 (s) =

s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2) = = s − 2, s+3 s+3 s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2) = = s + 3. s−2 s−2

Los coeficientes son, A1 = A2 =

−3 − 1 s − 1 ¯¯ 4 = = , ¯ Q1 (s) s=−3 −3 − 2 5 2−1 s − 1 ¯¯ 1 = = . ¯ Q2 (s) s=2 2 + 3 5

Los mismos resultados. 3

Ejemplo 2 Regresando al problema dado como motivaci´ on al inicio de este documento, vamos a encontrar la descomposici´ on en fracciones parciales del integrando: 3x2 − 6x + 7 x3 − 6x2 + 11x − 6

3x2 − 6x + 7 (x − 1)(x − 2)(x − 3) A B C + + . x−1 x−2 x−3

= =

Soluci´ on: En este caso, P (x) = 3x2 − 6x + 7, y, Q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Entonces,

3x2 − 6x + 7 ¯¯ P (x) ¯¯ = 2 . Ai = 0 ¯ ¯ Q (x) x=ai 3x − 12x + 11 x=ai

3x2 − 6x + 7 ¯¯ ¯ 3x2 − 12x + 11 x=1 3−6+7 4 = = = 2, 3 − 12 + 11 2 2 3x − 6x + 7 ¯¯ A2 = ¯ 3x2 − 12x + 11 x=2 7 12 − 12 + 7 = = −7, = 12 − 24 + 11 −1 3x2 − 6x + 7 ¯¯ A3 = ¯ 3x2 − 12x + 11 x=3 16 27 − 18 + 7 = = 8. = 27 − 36 + 11 2 Si queremos usar los polinomios Qi (x), i = 1, 2, 3, tenemos que eliminar el factor lineal que corresponde a ai ; esto es, A1 =

Q1 (x) = (x − 2)(x − 3), Q2 (x) = (x − 1)(x − 3), Q3 (x) = (x − 1)(x − 2), entonces, A1 = A2 = A3 =

P (1) 3−6+7 4 = = 2, Q1 (1) (1 − 2)(1 − 3) 2 12 − 12 + 7 7 P (2) = = −7, Q2 (2) (2 − 1)(2 − 3) −1 P (3) 27 − 18 + 7 16 = = 8. Q3 (3) (3 − 1)(3 − 2) 2

Los mismos resultados! 4

3.

Ra´ıces Reales Repetidas P (x) P (x) = . Q(x) (x − a)r

(6)

En este caso el polinomio Q(x) tiene un factor de multiplicidad r. La descomposici´on en fracciones parciales que se propone es, P (x) = (x − a)r A3 Ar A1 A2 + + ··· + . = + 2 3 x − a (x − a) (x − a) (x − a)r

(7)

En este caso, Ar = ϕ(a), ϕ0 (a) , Ar−1 = 1! ϕ00 (a) Ar−2 = , 2! .. . A2 = A1 =

ϕ(r−2) (a) (r − 2)!

(8) ,

ϕ(r−1) (a) , (r − 1)!

donde la funci´on ϕ(x) est´a definida por, ϕ(x) = (x − a)r ·

P (x) ≡ P (x). Q(x)

(9)

Ejemplo 3 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´ on. 3x2 − 5 . x3 − 9x2 + 27x − 27 Soluci´ on: En este caso, P (x) = 3x2 − 5,

Q(x) = x3 − 9x2 + 27x − 27 = (x − 3)3 .

En este caso la descomposici´on en fracciones parciales que corresponde es, 3x2 − 5 A1 A2 A3 = + + . 3 2 (x − 3) x − 3 (x − 3) (x − 3)3 5

(10)

La funci´on ϕ(x) es, ϕ(x) = (x − 3)3 ·

3x2 − 5 = 3x2 − 5. (x − 3)3

(11)

Se sigue que ϕ(x) = 3x2 − 5,

ϕ0 (x) = 6x,

ϕ00 (x) = 6.

Entonces, con r = 3, A3 = ϕ(3) = 3(3)2 − 5 = 22, A2 = ϕ0 (3) = 6(3) = 18, ϕ00 (3) 6 A1 = = = 3. 2! 2 Entonces,

3x2 − 5 3 18 22 = + . + (x − 3)3 x − 3 (x − 3)2 (x − 3)3 Si el problema es integrar; entonces tenemos que Z 3x2 − 5 dx = (x − 3)3 Z Z Z 18 3 22 dx + = dx + dx x−3 (x − 3)2 (x − 3)3 11 18 − + C. = 3 ln(x − 3) − x − 3 (x − 3)2 Ejemplo 4 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´ on. 3x2 − 7x + 5 . (x + 2)4 Soluci´ on: En esta caso la descomposici´on es, 3x2 − 7x + 5 A2 A1 A3 A4 + = + + . 4 2 3 (x + 2) x + 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)4 La funci´on ϕ(x) es, ϕ(x) = 3x2 − 7x + 5, sus derivadas, ϕ0 (x) = 6x − 7, ϕ00 (x) = 6, ϕ000 (x) = 0. Entonces, A4 = ϕ(−2) = 3(−2)2 − 7(−2) + 5 = 12 + 14 + 5 = 31, A3 = ϕ0 (−2) = 6(−2) − 7 = −19, ϕ00 (−2) 6 A2 = = = 3, 2! 2 ϕ000 (−2) 0 A1 = = = 0. 3! 6 6

(12)

La representaci´on en fracciones parciales es, 3x2 − 7x + 5 3 19 31 = − + . 4 2 3 (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2)4 Nota 3.1 Si el factor lineal es de la forma ax + b con a 6= 1, entonces primero factorizamos a a y despu´es aplicamos la t´ecnica anterior como en el ejemplo siguiente. Ejemplo 5 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracci´ on. −3x3 + 2x2 − 7 . (2x − 5)5

(13)

Soluci´ on: Antes de iniciar a resolver, primero llevemos la expresi´on anterior, Ecuaci´on 13 a una fracci´on donde el coeficiente del t´ermino lineal es unitario. Esto es, −3x3 + 2x2 − 7 = (2x − 5)5 =

(14) "

#

−3x3 + 2x2 − 7 1 3x3 − 2x2 + 7 , h i5 = − 5 · 2 (x − 5/2)5 2(x − 5/2)

(tambi´en es conveniente factorizar signos negativos) y aplicamos la t´ecnica a la fracci´on sin el factor 2−5 ; esto es, descomponemos en fracciones parciales a, 3x3 − 2x2 + 7 = (x − 5/2)5 A1 A2 A3 = + + 2 (x − 5/2) (x − 5/2) (x − 5/2)3 A4 A5 + + . 4 (x − 5/2) (x − 5/2)5 Por supuesto, en este caso ϕ(x), ϕ(x) = 3x3 − 2x2 + 7, y sus derivadas, ϕ(1) (x) = 9x2 − 4x, ϕ(2) (x) = 18x − 4, ϕ(3) (x) = 18, ϕ(4) (x) = 0. Entonces, A5 = ϕ(5/2), A4 = A3 = A2 = A1 =

ϕ(1) (5/2) , 1! ϕ(2) (5/2) , 2! ϕ(3) (5/2) , 3! ϕ(4) (5/2) . 4! 7

(15)

Una vez evaluadas las constates Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, substituimos en la Ecuaci´on 15 y despu´es en la Ecuaci´on 14 para obtener la descomposici´on de la fracci´on original Ecuaci´on 13. Problema 1 Termine los detalles que se mencionan en el ejemplo anterior, Ejemplo 5, para escribir completamente la descomposici´ on en fracciones parciales.

4.

Factores Cuadr´ aticos Irreducibles Distintos

Por un factor cuadr´atico irreducible entenderemos un polinomio cuadr´atico que no tiene ra´ıces reales. Por ejemplo, x2 + 4x + 5, x2 + 7. En el primer caso, si buscamos las raices tedremos p √ √ −4 ± 42 − 4(1)(5) −4 ± 16 − 20 −4 ± −4 x= = = = −2 ± i. 2(1) 2 2 Esto permitir´ıa la siguiente factorizaci´on, x2 + 4x + 5 = (x + 2 − i)(x + 2 + i). Es equivalente a la siguiente completaci´on de cuadrados, x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1. Hecho 4.1 (Caso ax2 + bx + c Irreducible.) Por cada factor cuadr´ atico irreducible que aparezca en el denominador se propone la fracci´ on, Ax + B , ax2 + bx + c donde hay que determinar las constantes A y B. Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales la siguiente funci´ on racional, f (x) =

3x2 − 5x + 1 . (x − 2)(x2 + 4x + 5)

(16)

Soluci´ on: Los factores del denominador son (x − 2), por lo que habr´a una fracci´on A/(x − 2), y el factor cuadr´atico irreducible x2 + 4x + 5, por lo que habr´a la fracci´on mencionada en el Hecho 4.1. Esto es, 3x2 − 5x + 1 A Bx + C = + . (17) (x − 2)(x2 + 4x + 5) x − 2 x2 + 4x + 5 Si la igualdad en la Ecuaci´on 17 se satisface, significa que, A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2) 3x2 − 5x + 1 = . (x − 2)(x2 + 4x + 5) (x − 2)(x2 + 4x + 5) 8

(18)

lo cual se cumple si y s´olo si los numeradores coinciden; esto es, 3x2 − 5x + 1 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2).

(19)

Note que a´ un tenemos un “n´ umero amigo”, en este caso x = 2, que nos dar´a informaci´on de la constante A. Esto es, x = 2 ⇒ 3(2)2 − 5(2) + 1 = A(22 + 4(2) + 5) + (B(2) + C)(2 − 2) = A(17) ∴ A =

3 . 17

Sin embargo uno procede en general de la siguiente manera, De la Ecuaci´on 19, ´algebra nos da, 3x2 −5x+1 = Ax2 +4Ax+5A+Bx2 −2Bx+Cx−2C = (A+B)x2 +(4A−2B+C)x+(5A−2C), (20) que se satisface si y s´olo si, A + B = 3,

4A − 2B + C = −5 y

5A − 2C = 1.

Note que las constantes A, B y C satisfacen un sistema de tres ecuaciones y esto debe ser suficiente para determinarlas. Sin embargo, en este ejemplo, aprovecharemos la informaci´on obtenida por nuestro u ´nico n´ umero amigo que nos dio A = 3/17. De la primera y tercera ecuaci´on, 3 48 = 17 17 5A − 1 1 =− . 2 17

B = 3−A=3− C =

S´olo a manera de verificaci´on, observe que se satisface la segunda ecuaci´on, 4A − 2B + C = 4(

48 1 12 − 96 − 1 85 3 ) − 2( ) − = = − = −5, 17 17 17 17 17

como debe de ser. Si nuestro objetivo es integrar esta expresi´on, entonces tenemos, Z 3x2 − 5x + 1 dx = (x − 2)(x2 + 4x + 5) Z Z A Bx + C dx + dx = 2 x−2 x + 4x + 5 Z Z 3 48 1 17 17 x − 17 = dx + dx x−2 (x + 2)2 + 1 Z Z dx 1 48x − 1 3 + dx. = 17 x − 2 17 (x + 2)2 + 1

9

La primera integral es inmediata; es ln(x − 2). La segunda se resuelve con el cambio de variable x + 2 = t que implica dx = dt, para tener, Z 48x − 1 dx = (x + 2)2 + 1 Z Z 48(t − 2) − 1 48t − 97 = dt = dt t2 + 1 t2 + 1 Z Z 2tdt dt = 24 − 97 = 24 ln(t2 + 1) − 97 tan−1 (t) 2 2 t +1 t +1 = 24 ln((x + 2)2 + 1) − 97 tan−1 (x + 2) = 24 ln(x2 + 4x + 5) − 97 tan−1 (x + 2). Ahora s´olo “arme” la integral con las partes ya calculadas. Suerte! par Es, Z 3 24 97 3x2 − 5x + 1 dx = ln(x − 2) + ln(x2 + 4x + 5) − tan−1 (x + 2). 2 (x − 2)(x + 4x + 5) 17 17 17 Ejemplo 7 Utilizando fracciones parciales encuentre la siguiente integral Z 3z 2 + 2 dz. (z − 3)(z 2 + 9)

(21)

Soluci´ on: Un factor lineal y un factor cuadr´atico irreducible sugieren la siguiente proposici´on del integrando. A Bz + C 3z 2 + 2 = + 2 . (22) 2 (z − 3)(z + 9) z−3 z +9 La ecuaci´on anterior se satisface si y s´olo si, A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3) 3z 2 + 2 = . (z − 3)(z 2 + 9) (z − 3)(z 2 + 9) Si y s´olo si, 3z 2 + 2 = A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3) = Az 2 + 9A + Bz 2 − 3Bz + Cz − 3C = (A + B)z 2 + (−3B + C)z + (9A − 3C). Se sigue que, A + B = 3,

−3B + C = 0

Resolviendo tenemos que, A=

y

9A − 3C = 2.

29 25 25 , B= , C= . 18 18 6 10

(23)

Entonces,

29 25 25 3z 2 + 2 1 ³ 29 25z + 75 ´ 18 18 z + 6 = + = + . (z − 3)(z 2 + 9) z−3 z2 + 9 18 z − 3 z2 + 9

(24)

La integral, Z

Esto es,

3z 2 + 2 1³ dz = 29 (z − 3)(z 2 + 9) 18 Z

Z

dz + 25 z−3

Z

zdz + 75 z2 + 9

dz ´ . z2 + 9

3z 2 + 2 29 25 75 z dz = ln(z − 3) + ln(z 2 + 9) + tan−1 ( ). 2 (z − 3)(z + 9) 18 36 54 3

Hemos usado las siguientes integrales como directas... Z xdx 1 dx = ln(x2 + a2 ) + C. x2 + a2 2 y

Z

Z

dx x 1 dx = tan−1 ( ) + C. x2 + a2 a a

11

(25)

(26)