Cap´ıtulo 5 Ecuaciones Diferenciales 1

Ecuaciones algebraicas Las ecuaciones que hemos encontrado hasta ahora, como por ejemplo x2 − 3x + 1 = 0 se llaman ecuaciones algebraicas. La inc´ognita x representa un n´ umero.

5.1.

Ecuaci´ on Diferencial

En una ecuaci´on diferencial la inc´ognita es una funci´ on y = y(x). En la ecuaci´on aparece la funci´on, sus derivadas, y la variable. Por ejemplo y 0 + 3y + sen x = 0. Las ecuaciones que estudiaremos tienen por inc´ognita una funci´on real con una variable real. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Cuando las inc´ognitas son funciones con varias variables (que no veremos) se llaman ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP). Ejemplo Una soluci´on de la ecuaci´on y 00 + y = 0 podr´ıa ser y = sen x.

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1 v8 2006–2009 Enrique Mac´ıas Virg´os. Hecho con TeXShop y Mathematica en un Macintosh. Los comentarios biogr´aficos est´an adaptados en su mayor parte de MacTutor History of Mathematics archive: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.

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Ejemplo Una soluci´on de la ecuaci´on y 0 = 3y podr´ıa ser y = 5e3x . Muchos fen´omenos (f´ısicos, qu´ımicos, biol´ogicos) y muchas situaciones de la vida real (una estrella, un puente, una mand´ıbula humana) pueden modelarse gracias a una ecuaci´on diferencial. Trataremos tres asuntos: existencia y unicidad de las soluciones de una EDO; m´etodos para resolver las ecuaciones; aplicaci´on a la elaboraci´on de modelos matem´aticos. Las EDO que estudiaremos son fundamentalmente : De primer orden, es decir aparece y 0 pero no las derivadas sucesivas y 00 , y 000 , . . . De primer grado, es decir aparece la funci´on y pero no sus potencias y2, y3, . . .

5.2.

Existencia y unicidad de soluciones

Al resolver una ecuaci´on diferencial como y 0 = 3y observaremos que todas las soluciones son de la forma y = Ce3x , donde la constante C puede ser cualquier n´ umero. Diremos que hemos obtenido la soluci´on general de la ecuaci´on. Si queremos que la soluci´on cumpla una determinada condici´on experimental o condici´ on inicial, deberemos ajustar la constante. En el ejemplo anterior, si necesitamos que y(0) = 5 entonces debemos poner C = 5 y tendremos la soluci´ on particular y = 5e3x . Un resultado fundamental es el siguiente . Si la ecuaci´on diferencial se expresa como y 0 = F (x, y) y la funci´ on F es derivable, entonces, para cada condici´ on inicial y(a) = b, la ecuaci´ on tiene soluci´on. Esta soluci´on es localmente u ´nica, lo que significa que dos soluciones s´olo pueden distinguirse en el tama˜ no de su dominio.

2

Ejemplo La soluci´on general de la ecuaci´on y 0 = 3 es la recta y(x) = 3x+C. La soluci´on que pasa por el punto (1, 2) es y(x) = 3x − 1, −∞ < x < +∞, soluci´on que es u ´nica salvo que tomemos un dominio m´as peque˜ no. Ejemplo En la figura 5.1 se ven las soluciones y(t) = Ce−0,5t de la ecuaci´on y 0 +0,5y = 0. Aparecen destacadas las soluciones particulares C = 3 y C = 0. 10 8 6 4 2 -2

-1

1

2

-2 -4

Figura 5.1: Soluciones de la ecuaci´on y 0 + 0,5y = 0.

5.3.

Ejemplo de modelo matem´ atico

Desarrollamos este ejemplo con detalle. Decaimiento radioactivo Algunos ´atomos (como por ejemplo el is´otopo C 14 del carbono) tienen un n´ ucleo inestable y emiten espont´aneamente una part´ıcula beta (es decir, un neutr´on se descompone en un prot´on y un electr´on, y este u ´ltimo se emite), con lo que pasan a un estado estable (nitr´ogeno 14 N ). Este fen´omeno radioactivo es aleatorio, as´ı que la cantidad M = M (t) de ´atomos radioactivos cambia a un ritmo proporcional a la cantidad de ´atomos radioactivos que a´ un quedan, es decir dM/dt = −kM, donde k > 0 (constante de desintegraci´ on) es un indicador de la frecuencia con que el fen´omeno se produce en un momento dado. Experimento Podemos simular el fen´omeno con mil monedas (cara=radioactivo, cruz=no radioactivo) que lanzamos repetidamente (eliminando las que han dejado de ser radioactivas). Obtendremos una curva parecida a 1000×(0,61)t .

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Modelo Para resolver la ecuaci´on M 0 +kM = 0, como M > 0 la escribimos en la forma dM = −kdt M y calculamos primitivas ln M = −kt + cte. (la constante es arbitraria), es decir M = ecte. e−kt que escribimos M = Ce−kt (esta vez la constante C > 0 es estrictamente positiva). Haciendo t = 0 vemos que C = M (0), la cantidad de material que ten´ıamos inicialmente. Por tanto el modelo matem´atico es M (t) = M (0)e−kt . 1000 800 600 400 200

2

4

6

8

10

Figura 5.2: Decaimiento exponencial M = M0 e−kt .

Ejemplo Para determinar las constantes M (0) y k bastan dos observaciones experimentales M1 y M2 en dos momentos dados t1 y t2 . Por ejemplo (simulado con monedas) si para t1 = 3 y t2 = 5 tuvi´esemos M1 = 223 y M2 = 82 podemos escribir M1 = M0 e−3k y M2 = M0 e−5k que tomando logaritmos nos dan ln M1 = −3k + ln M0 4

y ln M2 = −5k + ln M0 . Al restar queda M1 = (−t1 + t2 )k M2 es decir k = ln 2,72/2 = 0,5. Ahora de la primera ecuaci´on sacamos M0 = 223e+3×0,5 = 999. M´as adelante estudiaremos t´ecnicas estad´ısticas para corregir los errores experimentales. ln

Semivida El modelo M = M0 e−kt del decaimiento exponencial tiene una peculiaridad. El tiempo necesario para pasar de una cantidad cualquiera M a la mitad es siempre el mismo, se llama la semivida de la substancia radioactiva. 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5000

10000 15000 20000 25000 30000

Figura 5.3: Semivida

En efecto, si en el momento t ten´ıamos M = M (t) = M0 e−kt , al pasar un tiempo s y tener la mitad ser´a M/2 = M (t + s) = M0 e−k(t+s) = M0 e−kt e−ks = M e−ks de donde deducimos que 1/2 = e−ks , es decir s=

ln 2 . k

No debe confundirse la semivida s (muchas veces denotada por t1/2 , en ingl´es half time) con la vida media (en ingl´es average life) que es 1/k, 5

el tiempo que por t´ermino medio tarda en descomponerse un ´atomo dado. La semivida sirve tambi´en para escribir la cantidad de masa en base 2, M = M0 2−t/s . Ejemplo El carbono C 14 tiene una semivida de 5730 a˜ nos. Por tanto su constante de desintegraci´on es k = ln 2/s = 0,000120968. PROBLEMA La semivida del Plutonio 238 es 87, 74 a˜ nos; al emitir una part´ıcula alfa (formada por dos protones y dos neutrones) se convierte en uranio U234 . En 1971, la misi´on Apolo XIV dej´o en la Luna un peque˜ no 238 reactor nuclear con 3,35 kg de Pu ¿Qu´e cantidad de plutonio contin´ ua siendo radioactiva en el a˜ no 2008? Semividas de algunos is´otopos radioactivos C14 Co60 I131 Cs137 Pu239 Ra226 U235

Carbono Cobalto Yodo Cesio Plutonio Radio Uranio

5.730 a˜ nos 5,26 a˜ nos 8,07 d´ıas 30,23 a˜ nos 24.400 a˜ nos 1.602 a˜ nos 710.000.000 a˜ nos

PROBLEMA El becquerel (Bq) es una unidad que mide la radioactividad en t´erminos de M 0 , el ritmo de decaimiento radiactivo (1 Bq= un ´atomo decae cada segundo). Tras el accidente de la central nuclear de Chernobil en 1986, el nivel de contaminaci´on del suelo por Cesio 137 en Bielorrusia era de 37 kBq/m2 ¿Cu´al ser´a en la actualidad? Dataci´ on por C 14 *. El C 14 se forma en las capas altas de la atm´osfera por la acci´on de los rayos c´osmicos. Para simplificar, podemos suponer que la proporci´on en el di´oxido de carbono del aire se mantiene constante, aproximadamente 1,3 × 10−12 . Esta es la proporci´on que hay en las plantas y otros muchos seres vivos. Pero cuando un organismo muere, la proporci´on de C 14 disminuye exponencialmente, pues no se renueva, y viendo la proporci´on actual del is´otopo es posible deducir la antig¨ uedad del f´osil. Por inventar este m´etodo, Willard F. Libby gan´o el Nobel de Qu´ımica en 1960. 6

5.4.

Ecuaciones con variables separables

Son las m´as f´aciles de solucionar. Escribi´endolas en notaci´on de Leibniz puede separarse la funci´on inc´ognita de la variable. Se resuelven tomando primitivas. Ejemplo Encontrar una funci´on y = y(x) que satisfaga y0 +

3y 2 =0 x+3

con la condici´on inicial y(0) = 1. La escribimos como dy −3dx = . 2 y x+3 Al tomar primitivas,

−1 = −3 ln(x + 3) + cte. y

Determinamos la constante gracias a la condici´on x = 0, y = 1; al sustituir queda cte. = − ln 27. Entonces −1 = − ln(x + 3)3 − ln 27. y Finalmente y=

1 . 3 ln 3(x + 3)

PROBLEMA Resolver y 0 = (3x + xy 2 )/(2y + x2 y).

5.5.

Ecuaciones lineales

Una ecuaci´on diferencial con inc´ognita y = y(x) es lineal si puede escribirse en la forma y 0 + p(x)y + q(x) = 0. Es decir, es una ecuaci´on de primer grado y de primer orden. Cuando falta el t´ermino independiente, o sea q = 0, la ecuaci´on se llama homog´enea.

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5.5.1.

Homog´ eneas con coeficientes constantes

Este caso ya lo hemos visto, es la ecuaci´on y 0 + ky = 0 del decaimiento radioactivo. La soluci´on era |y| = Ce−kt ,

C > 0.

Al eliminar el valor absoluto, e incluyendo la soluci´on evidente y = 0 queda como soluci´on general y = Ce−kt para una constante arbitraria C.

5.5.2.

Homog´ eneas con coeficientes no constantes

Una ecuaci´on lineal del tipo y 0 + p(x)y = 0 se resuelve, por ejemplo, separando variables. Ejemplo Resolver y 0 + x2 y = 0. La funci´on y = 0 es soluci´on. Supongamos ahora que y(x) 6= 0. Ponemos dy = −x2 dx y y al hacer primitivas ln |y| = −x3 /3 + cte., es decir y = Ce−x

3 /3

4 3 2 1 -2

-1

1

2

-1 -2

Figura 5.4: Soluciones de la ecuaci´on y 0 + x2 y = 0.

8

con C 6= 0.

5.5.3.

No homog´ enea, pero con coeficientes constantes

En y 0 + ky + q = 0 tambi´en pueden separarse variables, se obtendr´a como soluci´on una trasladada de la correspondiente homog´enea. En efecto, la escribimos como dy = −dx ky + q y tomamos primitivas 1 ln (ky + q) = −x + cte. k Entonces ky + q = cte.e−kx y queda

q y = Ce−kx − . k

Otro m´ etodo Tambi´en podemos resolverla de la siguiente manera. Primero trasladamos la inc´ognita y mediante una constante a determinar, para volver homog´enea la ecuaci´on. Es decir, sea z = y + b, entonces z 0 = y 0 y la ecuaci´on y 0 + ky + q = 0 se convierte en z 0 + kz + kb + q = 0. Haciendo kb + q = 0, es decir b = −q/k, nos quedar´a la ecuaci´on z 0 + kz = 0, cuya soluci´on sabemos que es z = Ce−kx . Entonces y = z − b = Ce−kx − q/k.

5.5.4.

Caso general

Ahora p = p(x), q = q(x) son funciones arbitrarias. M´ etodo Para resolver la ecuaci´on y 0 + py + q = 0, 1. Escribiremos la inc´ognita y = y(x) como producto de dos funciones (con la misma variable x), es decir y(x) = u(x)v(x). Entonces y 0 = u0 v + uv 0 y sustituyendo en la ecuaci´on y agrupando los t´erminos con v queda (u0 + pu)v + uv 0 + q = 0.

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2. El segundo paso es encontrar alguna funci´on u = u(x) tal que u0 + p(x)u = 0. Esto sabemos hacerlo separando variables. La funci´on u se llama factor integrante. 3. De esta manera la ecuaci´on original queda reducida a uv 0 + q(x) = 0, que se resuelve tambi´en separando variables. Ejemplo Resolver y 0 + 3y + sen x = 0 (ver figura 5.5). Hagamos y = uv, luego 0 = u0 v + uv 0 + 3uv + sen x = (u0 + 3u)v + uv 0 + sen x. Podemos conseguir que u0 + 3u = 0 tomando por ejemplo u(x) = e−3x . Sustituyendo tenemos 0 = uv 0 + sen x = e−3x v 0 + sen x que se resuelve separando variables: dv = −e+3x sen x dx. La primitiva, que se hace por partes, nos da v = −(1/10)e3x (cos x − 3 sen x) + C. Entonces y = uv =

−1 (cos x − 3 sen x) + Ce−3x . 10

Nota N´otese que si la ecuaci´on es homog´enea, y 0 + p(x)y = 0, es m´as f´acil resolverla separando variables. Ejemplo La ecuaci´on y 0 + xy = 0 se resuelve escribi´endola como dy/y = 2 −xdx, cuya soluci´on general es y = Ce−x /2 . 10

2

2

2

1.5

1.5

1.5

1

1

1

0.5

0.5

0.5

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

2

-0.5

-0.5

-0.5

-1

-1

-1

4

6

8

10

Figura 5.5: Tres soluciones particulares de la ecuaci´on y 0 + 3y + sen x = 0.

5.6.

Ecuaciones de Bernouilli*

Un ecuaci´on de la forma y 0 + p(x)y = q(x)y n se llama ecuaci´on de Bernouilli. Se reduce a lineal dividi´endola por y n y haciendo el cambio de variable z = y 1−n . En efecto, como y −n y 0 + py 1−n = q y z 0 = (1 − n)y −n y 0 , queda 1 z 0 + pz = q. 1−n En este proceso podr´ıa perderse alguna soluci´on de la ecuaci´on original, pues al dividir suponemos que y(x) 6= 0. PROBLEMA Resolver la ecuaci´on y 0 − y = xy 2 .

Leonhard Euler (1707–1783) Este genial matem´atico suizo (y adem´as te´ologo y m´edico militar) trabaj´o en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, fundada por Catalina I y Pedro el Grande, y en la Academia de Ciencias de Berl´ın, invitado por Federico el Grande. Public´o unos 800 art´ıculos y libros en matem´atica aplicada (ac´ ustica, ´optica, elasticidad, dise˜ no de barcos, hidr´aulica, bal´ıstica), mec´anica, an´alisis matem´atico (ecuaciones diferenciales, c´alculo de variaciones) y teor´ıa de n´ umeros. 11

Euler, que era una persona de car´acter muy humilde, qued´o ciego a los 60 a˜ nos. Tuvo trece hijos, y dec´ıa que sus grandes descubrimientos matem´aticos los hizo con un ni˜ no en brazos y otro enred´ andome los pies. Al n´ umero e se le llama a veces n´ umero de Euler. Se define con una serie (=suma infinita) e=1+

1 1 1 + + + ··· 1! 2! 3!

y vale aproximadamente 2,71828 . . .

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Figura 5.6: L. Euler