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Universidad de Los Andes Programa Fray Juan Ramos de Lora Prof. Juan E. Rondón F Matemáticas
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ECUACIONES En el presente capitulo repasaremos y estudiaremos a profundidad los siguientes items: • • • • • • •
Ecuaciones de Primer Grado con una incógnita. Ecuaciones de Segundo Grado con una incógnita. Ecuaciones de Tercer Grado con una incógnita. Ecuaciones con Valor Absoluto con una incógnita. Ecuaciones Racionales e Irracionales con una incógnita. Matrices y Determinantes. Sistema de Ecuaciones Lineales con 2 y 3 incógnitas.
Las ecuaciones son un tema recurrente en los distintos niveles de la educación secundaria, en los primeros años se desarrollan las destrezas fundamentales para resolverlas y en los últimos años en áreas como física o química el estudiante tiene la posibilidad de aplicarlas de manera mucho mas especificas. Sin embargo, la experiencia docente nos ha demostrado que muchos estudiantes al llegar a la universidad presentan serias dificultades en este tema al momento de enfrentarse al desarrollo de los cursos de calculo y más aún en asignaturas como Ecuaciones Diferenciales. A continuación presento una serie de realidades que el estudiante debe entender para completar su visión general sobre las ecuaciones, aspectos que durante los cursos del bachillerato no son estudiados pero que, para estudiantes que se inician en las arduas tareas universitarias, se convierten en consideraciones necesarias para su éxito académico. I. ASPECTOS GENERALES Definición 1. Una Ecuación es una igualdad del tipo A x , y , z ,... , t=B x , y , z , ... , t Definición 2. Llamamos Solución de la Ecuación a cada conjunto de valores que satisfaga la ecuación, esto es, que sustituidos en lugar de las letras (incógnitas) transformen esta en identidad numérica. Si la ecuación tiene una sola incógnita la denotaremos como A x =B x y llamaremos a las soluciones de la ecuación raíces de la ecuación.
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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES Determinada Compatibles Indeterminada Ecuaciones Incompatibles Definición 3. Una Ecuación es compatible cuando tiene solución, en caso contrario es incompatible. Las ecuaciones compatibles son determinadas si sus soluciones son finitas e indeterminadas si sus soluciones son infinitas. Definición 4. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.. Ejemplos: (a)
3 2 x=4 por lo tanto es
2x=3 y 10x=15 son ecuaciones equivalentes pues ambas tienen solución
x=
3x−1=x7 o su equivalente 2x=8 tienen como solución única una Ecuación compatible determinada. 6−2x y= (c) 2x3y−6=0 o su equivalente tienen como solución general 3 6−2x x=x , y = . En este caso x toma infinitos valores para obtener y por lo tanto la 3 4 2 ecuación es compatible indeterminada. Algunas soluciones son 0,2;1, ; 2, . 3 3 (d) x2=x 5 es incompatible o absurda. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ACUERDO AL TIPO DE EXPRESIÓN (b)
Enteras Algebraicas Ecuaciones
Fraccionarias Irracionales
Trascendentales
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Ejemplos: (a) Ecuación algebraica
x 2−3xy y² =5x−3xy x − y
x xy−sin xy=x −log y 5 x−y 2z (c) Ecuación entera 3x²yx− y³8= 3 3 5xy 3 8 =x²− 3 y³− (d) Ecuación fraccionaria x²− yz z⁴ x² − y − 4xyz = 4 x− y (e) Ecuación irracional 3x 3 z z−x
(b) Ecuación trascendente
Resolver una ecuación consiste en calcular todas sus soluciones, y esto lo podemos hacer reduciendo la ecuación dada a una forma de ecuación conocida y fácil de resolver (ecuaciones equivalentes). En términos generales funcionan todas las reglas vista en bachillerato, pero debemos tener mucho cuidado cuando trabajamos con ecuaciones racionales o fraccionarias, por ello es necesario entender las siguientes propiedades en su contexto más profundo pues se constituyen en detalles que, matemáticamente son fatales. Veamos entonces los aspectos a considerar cuando transformamos o reducimos una ecuación para obtener sus resultados. II. TRANSFORMACIONES EN LAS ECUACIONES Como he dicho anteriormente, resolver una ecuación consiste en transformarla en una mas sencilla, para ello nos valemos de todos aquellos trucos y propiedades aprendidas en el bachillerato. Ahora, es necesario aclarar que, como el proceso de migración bachillerato – universidad debe darse en varios aspectos, uno de ellos es en la escritura y lenguaje matemático, razón por la cual expresiones como: “LO QUE ESTA SUMANDO PASA AL OTRO LADO RESTANDO” o “SI ESTA MULTIPLICANDO PASA A DIVIDIR” deben quedar en el pasado, pues no todas las cosas que los profesores nos enseñan en bachillerato son verdad absoluta, y esto se debe sobre todo al hecho que los temas de bachillerato están diseñados de acuerdo a las limitaciones propias de razonamiento del joven. Debemos tomar en cuanta que el proceso de migración del cual estamos hablando es en si,un proceso de abstracción donde nuestra forma de ver una realidad debe cambiar, lo abstracto debe privar por encima de lo coloquial. Presento a continuación una serie de propiedades ya vistas en el bachillerato, pero que de ahora en adelante deben entenderse y razonarse desde el lenguaje matemático universal y que aclaran ciertos aspectos de dichas propiedades donde no todo es cierto.
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A x =B x una misma expresión entera 1. Sumando a los dos miembros de una ecuación E x o en particular un número, se obtiene otra ecuación A x E x =B xE x equivalente. Esta propiedad es la equivalente a la usada en los cursos de bachillerato donde los términos de una ecuación pasan de un lado a otro cambiando su signo. 1.1. Si se suma a los dos miembros de una ecuación A x =B x una expresión fraccionaria F x obtendremos una ecuación A x F x =B x F x que no será equivalente a la primera, si F x carece de valor numérico para algunas raíces de la primera, en este caso diremos que se han perdido dichas raíces. a) Ejemplo: 3x³−4x²−4=2x³−2x²5x−10 tiene raices −2, 1 y 3 . Si sumamos a los 1 dos miembros de la ecuación la expresión fraccionaria F x= obtenemos x−1 1 1 3x³−4x²−4 =2x³−2x²5x−10 cuyas soluciones son únicamente x−1 x −1 −2, 3 es decir la raíz x=1 de la primera ecuación no lo es de la segunda, y esto se debe a que al anular el denominador de la expresión sumada a los dos miembros de la ecuación, hace que ambos miembros carezcan de significado numérico para x=1 y que por lo tanto, no sea raíz de esta segunda ecuación. Se ha perdido pues esta raíz. 1.2. La simplificación de una expresión no entera F x , que figure como sumando en los dos miembros de una ecuación A x F x=B x F x tampoco puede hacerse siempre, pues puede suceder que la ecuación simplificada A x =B x tenga entre sus raíces alguna x= para la cual carezca de significado numérico F x y qe, por lo tanto, esta raíz de la segunda ecuación no lo sea de la primera. En este caso a x= se le llama raíz extraña. 1 1 =2x²3x −3 tiene raíz x=1 , en a) Ejemplo: La ecuación 3x²−x x−3 x−3 cambio al simplificar la expresión fraccionaria, tenemos la ecuación 3x²−x ¿ 2x²3x±3 que tiene las raíces x=1 y x=3 ; esta segunda raíz es extraña introducida al simplificar en la ecuación la expresión fraccionaria. 2. Si se pasan con signo cambiado todos los términos de una ecuación A x =B x de un miembro a otro, se obtiene una nueva ecuación A x −B x=0 que tiene por lo menos todas las soluciones que la primera. 1 1 =9x −20 tiene raíz x=5 . Ahora bien, si a) Ejemplo: La ecuación x² x−4 x−4 trasponemos términos y simplificamos se tiene x²−9x20=0 cuyas raíces son x=5 y x=4 , esta última es pues, una raíz extraña. 3. Si se multiplican los dos miembros de una ecuación A x =B x por un mismo número h≠0 se obtiene una nueva ecuación h . A x=h. B x que es equivalente a la primera. 3.1. Si en una ecuación entera figuran denominadores, se pueden quitar éstos, multiplicando aquella por el m.c.m de los denominadores, sin que ello altere la equivalencia.
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4. Sise multiplican dos miembros de una ecuación A x =B x por una expresión entera E x , se obtiene una ecuación A x . E X =B x . E x que tiene por lo menos todas las raíces de la primera. 4.1. Si la expresión F x no es entera, puede suceder que alguna de las raíces de A x =B x , al ser llevadas a las expresiones A x . F x y B x . F x , haga que estas expresiones carezcan de sentido y por lo tanto habremos perdido las raíces. a) Ejemplo: La ecuación 2x²−5x=x² −4x6 tiene las raíces x=−2 y x=3 . Ahora bien, si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por la expresión no entera 5 x=−2 , la nueva ecuación , como esta carece de sentido para x 2 2x²−5x x²−4x6 5 =5 tiene solamente como solución la raíz x=3 . x2 x2 4.2. Como dividir por una expresión entera E x , equivale a multiplicar por la 1 expresión no entera , resulta:si se dividen los dos miembros de una ecuación por Ex una expresión entera E x , pueden perderse las raíces de la ecuación E x =0 . a) Ejemplo: La ecuación x²=x tiene las raíces x=0 y x=1 . Si dividimos los dos miembros por x se tiene x=1 , se perdió la raíz x=0 . b) Ejemplo: La ecuación x−2x −5=0 tiene las raíces x=2 y x=5 . Si dividimos por x−2 la ecuación obtenida es x−5=0 , que solo tiene raíz x=5 ; se perdió pues la raíz x=2 . 5. Si se elevan a un mismo exponente natural los dos miembros de una ecuación A x =B x , se obtiene otra que tiene todas las soluciones de la primera. a) Ejemplo: La ecuación x=3 admite como única solución el número 3 , en cambio x²=9 o su equivalente x²−9=0 , es decir x−3 x3=0 tiene como raíces ademas de 3 a −3 . b) Ejemplo: La ecuación x²3=4x tiene las raíces x=1, x=3 , ahora bien, i x⁴6x²9=16x² cuyas soluciones son elevamos al cuadrado tenemos x=1, x=3, x=−1, x=−3 . Las dos últimas son extrañas. III. REDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES A FORMA ENTERA Si partimos de una ecuación algebraica racional con una incógnita, comenzaremos por reducir a cero sus miembros, luego haremos las operaciones indicadas, simplificamos y ordenamos con respecto a las potencias decrecientes, obteniendo entonces alguno de estos dos casos: p x =0 o bien
P x Q x
para el segundo caso basta multiplicar por Q x para reducirlo.
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De las operaciones efectuadas, las únicas que pueden alterar la equivalencia, introduciendo raíces extrañas (nunca perdiéndolas), son: a) La reducción de un miembro a cero. b) La supresión del denominador. Las introducidas como consecuencia de reducción de un miembro a cero son las que no dan significado numérico ni a A x ni a B x y esto se reconoce de inmediato por sustitución directa. Las introducidas por supresión del denominador son las que anulan a P x y Q x y que por lo P x tanto no dan significado numérico al cociente , cosa que no ocurrirá si se ha tomado la Q x precaución de hacer irreductible la fracción. Ejercicios: calcular las raíces de las ecuaciones 2x−13 2 x−6 7 25x−39 = 1) . Solución: x=12 . 2 x−8 x−8 8 3 x−8 x 1 x2 4 1 − =0 . Solución: x= . 2) x −1 x3 x²2x−3 2 Como las transformaciones a que se somete una ecuación faccionaria para reducirla a forma entera, solamente pueden introducir soluciones extrañas, nunca perderlas, será norma general en la resolución de este tipo de ecuaciones, comprobar las soluciones obtenidas, con el objeto de desechar aquellas que no verifiquen la ecuación propuesta pues estas se habrán introducido como extrañas, bien al pasar todos los términos de un miembro a otro o bien al quitar denominadores que dependen de la incógnita. BIBLIOGRAFÍA. 1. Matemáticas Generales. Alfonso Burgos. Selecciones Científicas. Madrid. 1975 2. El Mentor de matemáticas. Enciclopedia OCEANO. España. 2012
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EJERCICIOS Resolver las ecuaciones siguientes: 3x−2 2x−5 =3− . Solución: x=4 . 5 3 x −3 x 9 3x7 = 3 . Solución: x=51 . 2) 8 12 20 1 x− 3 x 2 1 2 x 3) . Solución: x= . − − − =0 5 6 3 3 5 3 x −1 1 x−5 14−2x x −9 7 − − = − . Solución: x=17 . 4) 4 8 4 5 2 8 7x8 x4 x − = 5) . Solución: x=4 . 21 8x−11 3 4 7 37 = 6) . Solución: x=1 . x 2 x3 x² 5x6 1 2 1 − =0 . Solución: incompatible. 7) x −1 x−2 x−3 8) Repartir 4.000 bolívares entre dos personas de manera que la primera reciba540 bolívares mas que la segunda. Solución: La primera debe recibir 2.270 y 1.730 la segunda. 9) Los dos factores de una multiplicación suma 91. Si se aumentan 5 unidades al multiplicando y se disminuye 2 al multiplicador el producto aumenta a 67. ¿Cuáles son los factores? Solución: Los factores son 54 y 37. 10) ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas 3 exceda en 2 a los del número de hojas que quedan?. Suponga que el año no es bisiesto. 8 Solución: 12 de abril. 11) Averigüe en que día y en que hora del mes de abril se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año. Suponga el año bisiesto. Solución: 9 de abril a las 3 horas. 12) Se tienen 3 aleaciones de cobre y oro, cuyas leyes son: 0,750, 0,840y 0,920. Se desea saber el peso que debe tomarse de cada una de ellas para obtener una aleación de 4,500 kg y ley 0,890, 2 entrando los pesos del primero y segundo lingotes en la relación . Solución: 0,30kg la 7 primera, 1,050kg la segunda y 3,150kg la tercera. 13) Un padre tiene 44 años y su hijo 20. ¿Cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre fue cuádruple de la del hijo?. Solución: 12 años.
1)
x−
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TABLA DE PROPIEDADES QUE PUEDEN SER ÚTILES PARA SOLUCIONAR ECUACIONES
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a n=a ... a n−veces
a⁰=1, a¹=a 1 a−n= n a a.bn=a n . bn
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a n an Para b≠0 se tiene = n b b m n m n a . a =a am =a m−n Para a≠0 se tiene n a m n mn a =a ab2=a22abb² a−b2=a²2abb² a²−b²= a−bab ab3=a3 3a2 b3ab²b³ a−b ³=a³−3a²b3 a b² −b³ a³−b³= a−ba² abb2
•
Para ax²bxc=0 se tiene que
•
Para ax⁴bx²c=0 se tiene que
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x=
−b∓ b²−4ac 2a
−b± b −4ac x=± 2a 2
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