Ecuaciones estoc´asticas y fluidos: Notas de clase Rafael Granero Belinch´on1 26 de abril de 2011

Resumen Notas de una serie de clases impartidas en el ’M´aster en Matem´ aticas y sus aplicaciones’ de la UAM. En ellas se estudia la relaci´on entre el movimiento browniano y las trayectorias de las part´ıculas de un fluido. Tratan de ser autocontenidas y de cubrir m´as del contenido dado en las lecciones. Tambi´en contienen numerosas referencias para el lector interesado. El origen de estas clases es una serie de trabajos de Peter Constantin y Gautam Iyer (ver [C, CI, Iy-06, Iy-09]).

Palabras clave: Ecuaciones de Euler, ecuaciones de Navier-Stokes, movimiento browniano, f´ormula de Itˆo.

´Indice 1. Derivaci´ on de las ecuaciones de los fluidos desde la f´ısica estad´ıstica 2. Bases de integraci´ on y ecuaciones 2.1. El movimiento browniano . . . . 2.2. La integral de Itˆo . . . . . . . . . 2.3. La f´ormula de Itˆo . . . . . . . . . 2.4. Existencia y unicidad para SDEs 2.5. La medida de Wiener . . . . . .

estoc´ asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

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3 3 9 11 13 18

3. La ecuaci´ on de Burgers

21

4. La ecuaci´ on de Navier-Stokes

27

1.

Una caricatura de la derivaci´ on de las ecuaciones de los fluidos desde la f´ısica estad´ıstica

T´ıpicamente en un problema con origen f´ısico hay varias escalas involucradas. Por ejemplo en los fluidos vistos a escala microsc´opica tenemos un movimiento de N part´ıculas que puede ser estudiado el enfoque Hamiltoniano. Supongamos que sobre las part´ıculas 1

Email: [email protected] Consejo Superior de Investigaciones Cient´ıficas Instituto de Ciencias Matem´ aticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) C/Nicol´ as Cabrera, 13-15, Campus de Cantoblanco, 28049 - Madrid

1

no act´ ua ninguna fuerza externa y que tienen masa 1 en nuestro sistema de unidades. Entonces las ecuaciones son d d Xi = Vi , Vi = 0, i = 1...N. dt dt Sabemos que la din´ amica para N part´ıculas emergente de las leyes de Newton es reversible. Sin embargo tambi´en sabemos que la ecuaci´ on de Navier-Stokes, que en u ´ltima instancia se corresponde con la Segunda Ley de Newton para el caso de un continuo, no es reversible. Vamos a ver brevemente de d´ onde surge la flecha del tiempo. El sistema de EDOs previo es equivalente a la EDP de Liouville ∂t P N + V · ∇x P N = 0, donde P N (t, x, v) es laR probabilidad de encontrar una part´ıcula en el punto (t, x, v) (o R N de otra manera, N = R3N R3N P (t, x, v)dx, dv). Al ser esta una EDP de transporte la reversibilidad de esta ecuaci´ on es obvia. Observamos tambi´en que el sistema de EDOs anterior nos da las curvas caracter´ısticas de la EDP de Liouville. T´ıpicamente el n´ umero N de part´ıculas es enorme, por lo tanto nos interesa el l´ımite N → ∞. Dicho l´ımite hay que tomarlo en un sentido preciso. As´ı, si suponemos que nuestras part´ıculas son esf´ericas con σ como di´ ametro tomamos el l´ımite 1 N → ∞, σ → 0, N σ 2 = , ǫ para cierto ǫ que se conoce como n´ umero de Knudsen. Dicho par´ ametro tiene que ver con la superficie de las bolas y su n´ umero y por lo tanto parece, intuitivamente al menos, relacionado con la cantidad de choques entre ellas. En efecto, ǫ tiene que ver con el tiempo medio entre choques. As´ı, en el l´ımite anterior tenemos que P k (t, x1 , ...xk , v1 , ...vk ) → f k (t, x, v), k ≤ N. Con este l´ımite estamos abandonando la escala microsc´opica para pasar a la mesosc´opica, que est´ a a medio camino entre la mec´ anica Hamiltoniana y las ecuaciones de Euler o Navier-Stokes. Desde la ecuaci´ on para f k Boltzmann obtendr´a tanto la ecuaci´ on a la que di´ o nombre como su famoso Teorema H. Comienza suponiendo que los choques de 3 o m´ as part´ıculas al tiempo son tan poco frecuentes que es realista suponer que no ocurren nunca. Es ahora cuando Boltzmann hace su hip´ otesis clave. Esta hip´ otesis se conoce como del caos molecular y matem´ aticamente permite descomponer la densidad f k (t, x1 , ..., xk , v1 , ...vk ) = Qk ´ otesis dice que las velocidades de las part´ıculas son independieni=1 f (t, xi , vi ). Esta hip´ tes de las posiciones y que dos part´ıculas a punto de chocar son independientes. Claro est´ a que si dos part´ıculas antes del choque son completamente independientes y se han de conservar momentos no pueden ser indepentiendes despu´es del choque. As´ı supongamos que s´ olo tenemos dos part´ıculas en una caja. Tras el primer choque las velocidades de ambas est´ an ligadas por haber conservado el momento lineal. Como se siguen moviendo antes o despu´es se volver´ an a encontrar. Entonces antes de este choque volvemos a suponer otesis introduce una direcci´ on privilegiada para el las part´ıculas independientes. Esta hip´ tiempo y por lo tanto es necesaria para el Teorema H.

2

“-Yo no quiero que ocurra, ni dentro de mil millones de a˜ nos. ¡AC UNIVERSAL! ¿C´omo puede evitarse que mueran las estrellas?. Dee Sub Wun coment´ o divertido: ´ as preguntando c´ -¿Est´ omo puede invertirse la direcci´ on de la entrop´ıa? Y AC UNIVERSAL contest´ o: -A´ un hay pocos datos para una respuesta espec´ıfica. ”

Isaac Asimov, La u ´ltima pregunta. La ecuaci´ on para f es la ecuaci´ on de Boltzmann ∂t f + V · ∇x f =

1 Q(f, f ), ǫ

donde Q es el operador no-local y no-lineal que nos refleja las colisiones. Desde la ecuaci´ on de Boltzmann y la escala mesosc´opica podemos tratar de obtener Navier-Stokes y la escala macrosc´opica. Si fu´esemos capaces de hacerlo entonces podr´ıamos preguntarnos qu´e ha ocurrido con las curvas caracter´ısticas correspondientes a las EDOs de Hamilton. Deben estar presentes en Navier-Stokes, si bien, estar´ an alteradas de alguna manera por la hip´ otesis del caos molecular. Es esto lo que estudiaremos en las notas que nos quedan, tratando primero la ecuaci´ on de Burgers y m´ as tarde la ecuaci´ on de NavierStokes.

2.

Bases de integraci´ on y ecuaciones estoc´ asticas

2.1.

El movimiento browniano

El concepto clave en todas estas notas ser´ a el movimiento browniano como paradigma de difusi´ on aleatoria. Matem´aticamente (pues el movimiento browniano ya lo observ´o Brown en [B]), la historia empieza con Albert Einstein en [E] estudia el movimiento de part´ıculas inmersas en un flu´ıdo incompresible. Estas part´ıculas, en primera aproximaci´on siguen un movimiento browniano, que, de manera rigurosa, es definido como es el proceso estoc´astico con incrementos independientes identicamente distribu´ıdos con distribuci´ on normal de media 0 y varianza el incremento temporal, i.e. Definici´ on 1 (Movimiento browniano). Dado un espacio de probabilidad (Ω, B, P ), se dice que un proceso W (ω, t), W : Ω × [0, T ] → R es un movimiento browniano si se cumple que 1. W (ω, 0) = 0 y t 7→ W (ω, t) es continua c.t.p. 2. W (ω, t) − W (ω, s) ∼ N (0, t − s) ∀t ≥ s > 0 3. Los incrementos son independientes. Se˜ nalamos que la condici´ on W (0) = 0 es para normalizar. M.Smoluchowski (ver [Sm]) en 1906 tambi´en trabaj´o en la descripci´on del movimiento browniano. ~ (t,ω) , la derivada (incremento) del movimiento browniano recibe el nomEl proceso dWdt bre de ruido blanco y es el t´ermino aleatorio perturbativo m´ as com´ un.1 Usaremos el ruido ~ (t, ω) Si bien hablamos coloquialmente de derivada del movimiento browniano, fijo ω, las trayectorias W no son derivables para casi todo ω. La m´ axima regularidad es que ser´ an H¨ older con α < 1/2. 1

3

2

2

1.5

1.5

1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5

−0.5

−1

−1.5

0

200

400

600

800

1000

1200

−1 −1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Figura 1: a) Dos trayectorias de un movimiento browniano, b) un movimiento browniano en el plano. blanco para perturbar una ecuaci´ on diferencial ordinaria y obtener una ecuaci´ on diferencial estoc´astica (ordinaria). Para un tratamiento matem´ atico moderno del movimiento browniano se puede consultar [MP]. Un enfoque nuevo al movimiento browniano lo dio Norbert Wiener en 1923, con su art´ıculo [W]. En dicho texto Wiener observaba que al ser las trayectorias del movimiento browniano curvas continuas para casi todo ω, el movimiento browniano pod´ıa pensarse como una variable aleatoria que tome valores en el espacio de las funciones continuas dependientes del tiempo. El enfoque del movimiento browniano como un proceso estoc´astico ~ (t, ω) como unas variables aleatorias indexadas seg´ es tratar W un el par´ ametro t, mientras que el enfoque del movimiento browniano como una variable aleatoria con valor en un ~ (ω) = ω(t).2 Este segundo enfoque ser´ a clave en todo espacio de funciones es tratar W este ensayo, por inducirnos una medida en el espacio de funciones. Integrando con respecto a esta medida resolveremos varias ecuaciones en derivadas parciales. El lector que quiera abundar en este tema puede consultar los art´ıculos de Mark Kac [K-66],[K-50] y [K-47]. Los textos [K-66] y [K-47] contienen un resumen hist´ orico. Para un tratamiento m´ as moderno de la integraci´ on funcional puede consultarse [F]. Wiener desarroll´o esta teor´ıa mientras trabajaba en el problema de entender la turbulencia de un flu´ıdo. Encontr´ o que la turbulencia ten´ıa relaci´ on con el movimiento browniano. As´ı en su autobiograf´ıa escribe “The problem of turbulence, was too complicated for immediate attack, but there was a related problem which I found to be just right for the theoretical considerations of the field I had chosen for myself. This was the problem of the Brownian motion, and it was to provide the subject of my first major mathematical work.... Here I had a situation in which particles describe not only curves but statistical assemblages of curves. It was an ideal proving ground for my ideas concerning the Lebesgue integral in a space of curves, and it had the abundantly physical texture of the work of Gibbs. It was to this field that I had decided to apply the work that I had already done along the lines of integration theory....” Hemos mencionado ya que el movimiento browniano es el paradigma de proceso estoc´astico, por lo tanto ser´ a nuestro banco de pruebas. Consideremos ahora una malla en dos dimensiones (una asociada al espacio y otra al tiempo) {(ndx, mdt), m, n ∈ Z} con incrementos dx y dt. Consideremos una part´ıcula que est´ a en tiempo 0 en la posici´ on x = 0. Esta part´ıcula tiene una probabilidad 1/2 de moverse hacia la derecha o hacia la izquierda, a la vez que autom´ aticamente subir´a en la malla al 2 ~ (t) para el movimiento browniano. Sin embargo, cuando queUsualmente, utilizaremos la notaci´ on W ramos hacer hincapi´e en la idea del movimiento browniano como una variable aleatoria con valores en un espacio funcional, escribiremos W (ω) ∈ C([0, T ]) o ω(t).

4

ser el eje vertical el eje temporal. Tal y como hemos dicho anteriormente nuestro modelo quiere reflejar la situaci´ on de una part´ıcula que se mueve ’al azar’ por estar sometida a choques aleatorios. Sea p(n, m) la probabilidad de que esta part´ıcula est´e en la posici´ on ndx en tiempo mdt. Usando probabilidades condicionadas, se tiene que p(n, m + 1) =

1 (p(n − 1, m) + p(n + 1, m)) 2

y por lo tanto, 1 p(n, m + 1) − p(n, m) = (p(n − 1, m) − 2p(n, m) + p(n + 1, m)) 2 Si ahora suponemos que

dx2 =D>0 dt

(1)

podemos escribir D (p(n − 1, m) − 2p(n, m) + p(n + 1, m)) p(n, m + 1) − p(n, m) = dt 2 dx2 Formalmente, asumiendo que los l´ımites que tomamos a continuaci´ on existen, haciendo dx, dt → 0 pero guardando (1) y escribiendo ndx = x, mdt = t, resulta que nuestra probabilidad discreta converge a una densidad, p(n, m) → f (x, t) y obtenemos que la densidad verifica la ecuaci´ on del calor con par´ ametro D/2 ∂t f (x, t) =

D ∆f (x, t), f (x, 0) = δ0 (x) 2

(2)

on que obtenemos es la de difusi´ on, La hip´ otesis (1) es clave y nos garantiza que la ecuaci´ como por otra parte debe ser dado el modelo que hemos considerado. Nuestra constante D ser´ a igual a la unidad en el movimiento browniano est´ andar. Estos c´alculos son puramente formales, pues entre otras cosas, el paso al l´ımite anterior no es riguroso. Sin embargo se puede formalizar de manera precisa por medio del teorema del l´ımite central, el cual nos confirma que la probabilidad del proceso definido anteriormente viene dada por una distribuci´on normal N (0, Dt). Todos estos c´alculos se encuentran, convenientemente justificados, en [Ev]. Consideramos ahora unos tiempos t1 , t2 ..., tn y unos intervalos B1 , ...Bn . Podemos calcular las probabilidades de que nuestro movimiento browniano est´e en tiempo ti en el intervalo Bi utilizando las propiedades anteriores. Sea   −|x − y|2 1 exp p(t, x, y) = √ 2t 2πt P (a1 < W (t1 ) < b1 , ...an < W (tn ) < bn ) = Z

... B1

Z

Bn

p(t1 , 0, x1 )p(t2 − t1 , x1 , x2 )...p(tn − tn−1 , xn−1 , xn )dxn ...dx1

Este c´alculo ser´ a relevante a la hora de construir la medida de Wiener. 5

(3)

Por un argumento est´ andar de aproximaci´on, una vez establecida para funciones escalonadas, podemos generalizar esta f´ormula para funciones E[f (W (t1 ), ..., W (tn ))] = Z

Rn

f (x1 , ..., xn )p(t1 , 0, x1 )p(t2 − t1 , x1 , x2 )...p(tn − tn−1 , xn−1 , xn )dxn ...dx1

(4)

Comentario 1 Se tiene que (4) puede entenderse como una ’integral en funciones’ ya que, fijo T , podemos ver el movimiento browniano como una aplicaci´ on W (ω) : Ω 7→ C([0, T ]), y as´ı f ser´ a una funci´ on que recibe como argumento otra funci´on. Un c´alculo similar y un paso al l´ımite permiti´ o a Wiener definir su medida y a Feynman dar una nueva formulaci´ on de la mec´ anica cu´ antica. De la definici´on podemos concluir f´acilmente que E[W 2 (t)] = t

E[W (t)] = 0,

Podemos calcular la covarianza de forma parecida. Si s < t entonces E[W (t)W (s)] = E[(W (s) + W (t) − W (s))W (s)] = s + E[(W (t) − W (s))W (s)] = s Para sus aplicaciones en ecuaciones diferenciales, nos interesan las propiedades de sus trayectorias. Antes de poder demostrar nada, hemos de enunciar el teorema de regularidad de Kolmogorov cuya prueba puede encontrarse en [Ev]: Teorema 1 (Kolmogorov). Sea X un proceso estoc´ astico con trayectorias continuas c.t.p. tal que E[|X(t) − X(s)|β ] ≤ C(t − s)1+α , ∀t, s ≥ 0 entonces para todo 0 < γ <

α β

y T > 0 existe K(ω) tal que |X(t) − X(s)| ≤ K|t − s|γ

Veamos que el movimiento browniano cumpla la hip´ otesis del teorema. Fijemos t > s, entonces se tiene Z 1 2m |x|2m exp(−|x|2 /2(t − s))dx E[|W (t) − W (s)| ] = p 2π(t − s) R Z (t − s)m √ = |y|2m exp(−|y|2 /2)dy 2π R = C|t − s|m donde hicimos el cambio natural, que ya intu´ıamos u ´til en los c´alculos formales anteriores (1), x (5) y=√ t−s

1 La hip´ otesis se cumple con β = 2m y α = m−1. Entonces se ha de tener que γ < αβ = 12 − 2m para todo m y conclu´ımos que γ < 12 . Hemos demostrado que el movimiento browniano tiene trayectorias H¨older continuas en [0, T ] con exponente γ < 1/2. Este resultado es ´optimo en el sentido de que ning´ un a. La prueba es la siguiente. Si tuvi´eramos una estimaci´ on H¨older otro γ ≥ 21 nos servir´ con γ = 1/2 entonces se cumplir´ıa

sup 0 (t) = l´ım < X, Y >P (t). |P |→0

Definici´ on 7 (Martingala local). Un proceso X(t) adaptado6 a una filtraci´ on dada, Ft , se dice una martingala local si existen tiempos de parada crecientes, τn , tal que el proceso X(m´ın{t, τn }) es una martingala. Definici´ on 8 (Semimartingala). Un proceso X(t) se dice semimartingala si se puede escribir como la suma de un proceso de variaci´ on acotada y una martingala local. Teorema 6 (F´ormula de Itˆo (generalizada)). Sea F~ (x, t) un proceso C 2 (en x) y una semimartingala C 1 (en t). Sea ~g (t) una semimartingala continua tal que x y ~g (t) tengan valores en un dominio D ⊂ Rd . Entonces F~ (~g (t), t) es una semimartingala continua y satisface F (~g (t), t) − F (~g (0), 0) = +

Z

d Z X

t

F (~g (s), ds) + 0

i=1

t 0

∂F (~g(s), s)dgi (s) ∂xi

d 1 X ∂2F (~g (s), s) < dgi (s), dgj (s) > 2 ∂xi ∂xj i,j=1

+

d Z X i=1

t

0

 ∂F i (~g (s), ds), g (t) ∂xi

Una idea de la demostraci´on es observar que, dada una partici´ on, se tiene X F (gt , t) − F (g0 , 0) = F (gtk+1 , tk+1 ) − F (gtk , tk ) = X

y

X

F (gtk+1 , tk+1 ) ± F (gtk , tk+1 ) − F (gtk , tk ) F (gtk , tk+1 ) − F (gtk , tk ) ≈

Z

t

F (gs , ds).

0

Para los dem´ as t´erminos se hace algo parecido y se toman l´ımites en el tama˜ no de la partici´ on. 6

Es decir, X(t) es Ft medible para cualquier t.

12

2.4.

Existencia y unicidad para SDEs

Una vez hemos presentado algunos modelos de ecuaciones estoc´asticas, es el momento ~ 0 una variable aleatoria n−dimensional y sea W ~ un de dar la definici´on general. Sea X 7 ~ proceso de Wiener m−dimensional e independiente de nuestra variable X0 . Como σ−´algebra consideramos la engendrada por la variable aleatoria inicial y el movimiento browniano, esto es8 ~ 0, W ~ (s) 0 ≤ s ≤ t}. F(t) = Σ{X Sean dos funciones

~b : Rd × [0, T ] → Rd

σ : Rd × [0, T ] → Md×m donde Md×m es el espacio de las matrices de dimensi´on d × m. Dado que las trayectorias del movimiento browniano no son suaves, no podemos esperar soluciones derivables para las ecuaciones estoc´asticas. Como hemos observado anteriormente, estas ecuaciones s´ olo tienen sentido en su formulaci´ on integral. Antes de ver la definici´on de soluci´ on de la ecuaci´ on estoc´astica necesitamos otras Definici´ on 9 (Procesos progresivamente medibles). Una funci´ on f (s, ω) es progresivamente medible si es medible en el conjunto [0, T ] × Ω con respecto a la σ−´ algebra B × F, la menor σ−´ algebra en [0, T ] × Ω que contiene a los conjuntos A × B con A en [0, T ] y B en Ω. Tambi´en se conoce como independiente del futuro. Definici´ on 10 (Espacios Lp para los procesos). Para los procesos f (s, ω) se definen los siguientes espacios  Z T 1 |f (s)|ds < ∞}. L ([0, T ]) = {f (s, ω), E 0

Para un p general se considera p

L ([0, T ]) = {f (s, ω), E

Z

0

T

p



|f (s)| ds < ∞}.

~ Definici´ on 11. Se dice que el proceso estoc´ astico X(t) es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial estoc´ astica ~ = ~b(X, ~ t)dt + σ(X, ~ t)dW ~ , X(0) ~ ~0 dX =X (13) si se cumplen ~ 1. X(t) es progresivamente medible. ~ 2. ~b(X(t), t) ∈ L1 [0, T ]. ~ 3. σ(X(t), t) ∈ L2 [0, T ]. 7

Movimiento browniano y proceso de Wiener son t´erminos que se emplean indistintamente a lo largo de todo el texto. 8 Notaremos como ΣX(s), 0 ≤ s ≤ t a la σ−´ algebra generada por el proceso X(s). Pedimos atenci´ on al lector para que no se confunda con la difusi´ on de la ecuaci´ on, la cual, tradicionalmente, tambi´en se denota por σ.

13

4. ~ ~0 + X(t) =X

Z

t

~b(X(s), ~ s)ds +

0

Z

t

0

~ ~ c.t.p. ∀ 0 ≤ t ≤ T σ(X(s), s)dW

(14)

Que consideremos s´ olo las ecuaciones de primer orden no es una restricci´on, pues una ecuaci´ on de grado n se puede escribir como n ecuaciones de grado uno. Para probar la existencia y la unicidad utilizaremos el m´etodo de aproximaciones sucesivas, exactamente igual que con las EDO. As´ı el teorema es Teorema 7 (Existencia y unicidad). Supongamos que tanto ~b como σ son funciones Lipschitz en la variable espacial y para todos los tiempos en el intervalo [0, T ] i.e. |~b(x, t) − ~b(x′ , t)| ≤ L1 |x − x′ |, ∀ 0 ≤ t ≤ T |σ(x, t) − σ(x′ , t)| ≤ L2 |x − x′ |, ∀ 0 ≤ t ≤ T

~ 0 una variable aleatoria en L2 [0, T ] independiente del movimiento browniano conSea X siderado. Entonces existe un u ´nico proceso en L2 [0, T ] tal que es soluci´ on de la ecuaci´ on 9 (13). Antes de demostrarlo damos varios resultados necesarios que dejamos sin demostraci´on (ver [O] y [Ev]). Lema 1 (Desigualdad de Gronwall). Sean φ un funci´ on no negativa definida en el intervalo 0 ≤ t ≤ T , y sean C0 , A unas constantes. Si se cumple Z t Aφ(s)ds ∀ 0 ≤ t ≤ T φ(t) ≤ C0 + 0

entonces se tiene φ(t) ≤ C0 exp(At). Teorema 8 (Desigualdad para martingalas). Sea X una martingala entonces se tiene, si 1 < p < ∞,    p p p E m´ ax |X(s)| ≤ E(|X(t)|p ). 0≤s≤t p−1 Lema 2 (Desigualdad de Chevichev). Sea X variable aleatoria, entonces para todo λ > 0 y p ∈ [1, ∞) se tiene E(|X|p ) P (|X| ≥ λ) ≤ λp Lema 3 (Borel-Cantelli). Denotamos por An i.o. al l´ımite superior de esta familia de an un n´ umero infinito de veces. Entonces conjuntos.10 Es decir, aquellos elementos que est´ si ∞ X P (An ) < ∞ n=1

entonces

P (An i.o.) = 0 9 10

En el sentido de que si hay dos entonces son iguales en casi todo punto. An i.o. es el conjunto de ω ∈ Ω tal que est´ an en infinitos An .

14

Ahora s´ı que podemos pasar a la demostraci´on del teorema de existencia y unicidad para las ecuaciones estoc´ asticas. ~ yX ~ ′ . Rest´andolas obDemostraci´ on. (Unicidad) Supongamos que hay dos soluciones X tenemos Z t Z t ~b(X(t), ~ ~ ′ (t), t)dW ~ ~ ~ ′ (t), t)dt + ~ ~ ′ (t) = σ(X(t), t) − σ(X t) − ~b(X X(t) −X 0

0

Entonces se tiene que 2  Z t ′ 2 ′ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E(|X(t) − X (t)| ) ≤ 2E b(X(t), t) − b(X (t), t)ds 0 Z t 2  ′ ~ ~ ~ + σ(X(t), t) − σ(X (t), t)dW 0

Observamos que podemos utilizar Cauchy-Schwarz (vista la integral como multiplicada por 1) y la condici´ on de ser Lipschitz para acotar cada t´ermino. 2  2   Z t Z t ′ ′ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E b(X(t), t) − b(X (t), t)ds b( X(t), t) − b( X (t), t) ≤ TE 0 0 Z t ~ ~ ′ (t)|2 ) E(|X(t) −X ≤ L2 T 0

Para acotar el segundo sumando utilizamos las propiedades de la integral de Itˆo ([Ev],[Du]). 2  2   Z t Z t ′ ′ ~ ~ ~ ~ ~ σ(X(t), t) − σ(X (t), t)dW E = E σ(X(t), t) − σ(X (t), t) ds 0 0 Z t 2 ~ ~ ′ (t)|2 )ds ≤ L E(|X(t) −X 0

Y, considerando las dos desigualdades ~ ~ ′ (t)|2 ) ≤ C E(|X(t) −X

Z

t 0

~ ~ ′ (t)|2 )ds E(|X(t) −X

Ahora podemos utilizar la desigualdad de Gronwall con ~ ~ ′ (t)|2 ), φ(t) = E(|X(t) −X

C0 = 0

~ yX ~ ′ son iguales en casi todo punto para todo tiempo. y conclu´ımos que X (Existencia) Consideraremos las aproximaciones Z t Z t ~b(X n (s), s)ds + ~ n (s), s)dW ~ ~ n+1 (t) = X ~0 + σ(X X 0

0

Usaremos el siguiente resultado (cuya demostraci´on, basada en un m´etodo de inducci´on, puede consultarse en [Ev]): Sea la ’distancia’ ~ n+1 (t) − X ~ n (t)|2 ) dn (t) = E(|X Entonces se cumple dn (t) ≤

(M t)n+1 ∀ n = 1, ..., 0 ≤ t ≤ T (n + 1)! 15

~ 0 ). para alguna constante M = M (L, T, X Se tiene, por los c´ alculos anteriores, que Z n+1 n 2 2 ~ ~ m´ ax |X (t) − X (t)| ≤ L T 2 0≤t≤T

+

T 0

~ n (t) − X ~ n−1 (t)|2 dt |X

Z t 2 n n−1 ~ ~ ~ m´ ax 2 σ(X (s), s) − σ(X (s), s)dW

0≤t≤T

0

Ahora usamos el teorema 8 y el resultado anterior y conclu´ımos que se tiene Z T n+1 n 2 2 ~ ~ ~ n (t) − X ~ n−1 (t)|2 dt E[ m´ ax |X (t) − X (t)| ] ≤ L T 2 |X 0≤t≤T 0 Z T 2 ~ n (t) − X ~ n−1 (t)|2 dt + 8L |X 0

(M T )n ≤ C n!

Aplicando la desigualdad de Chevichev y el lema de Borel-Cantelli conclu´ımos que   1 n+1 n ~ ~ P m´ ax |X (t) − X (t)| > n i.o. = 0 0≤t≤T 2 ~ n converge uniformemente en [0, T ] a un proceso X. ~ Pasando Entonces para casi todo ω, X ~ n+1 y en las integrales conclu´ımos que el proceso l´ımite es al l´ımite en la definici´on de X a en L2 puede consultarse en soluci´ on de la ecuaci´ on (14). La prueba de que el proceso est´ [Ev] o en [O]. La prueba se basa en la definici´on recurrente del proceso X n+1 (t) y en la suma de la serie exponencial. Dado que una ecuaci´ on estoc´ astica es una generalizaci´ on de una ecuaci´ on ordinaria, pod´ıamos esperar que la demostraci´on fuese similar. Sin embargo, dado que el browniano no es derivable en casi ning´ un punto, en general no podremos esperar que una soluci´ on de una ecuaci´ on estoc´ astica vaya a ser diferenciable. La m´ axima regularidad que podemos esperar es la misma que para el browniano, que es H¨older-α con α < 1/2 en tiempo. En las condiciones del teorema tendremos H¨older-β con β < 1 en espacio. Para introducir la idea de flujo estoc´ astico, que no es m´ as que la versi´ on aleatoria de la idea de flujo de las EDO, usaremos un nuevo par´ ametro s, el tiempo inicial, y escribiremos ~ t (x) para la soluci´ on de X s ~ ~ ~ ~, dX(t) = ~b(X(t), t)dt + σ(X(t), t)dW

~ X(s) =x

(15)

As´ı se tiene la propiedad de flujo ~ ut (X ~ su (x)) = X ~ st (x) en c.t.p. ∀ 0 ≤ s ≤ u ≤ t ≤ T, ∀x ∈ Rd X

(16)

La demostraci´on de este hecho puede verse en las notas del curso impartido por M.Gubinelli en su p´ agina web o en [Ku-84]. Para hablar de la regularidad respecto de los par´ ametros necesitamos una desigualdad para poder aplicar el teorema de Kolmogorov. En [BF] puede encontrarse ~ st (x) − X ~ t′′ (x′ )|p ] ≤ C[|x − x′ |p + |s − s′ |p/2 + |t − t′ |p/2 ] E[|X s

(17)

Ahora, si consideramos x = x′ y queremos ver el exponente de H¨older en el tiempo tenemos que aplicar el teorema de Kolmogorov de manera id´entica a como lo hicimos 16

en la secci´ on anterior. Conclu´ımos que, vista la soluci´ on como una funci´on en s (o en t) el exponente de H¨older es γ < 1/2. Verlo para el espacio es similar. Consideremos ahora s = s′ , t = t′ . Entonces aplicamos el teorema de Kolmogorov y conclu´ımos que el exponente es γ < 1. Hemos demostrado as´ı el resultado siguiente Teorema 9 (Regularidad). Sea una ecuaci´ on estoc´ astica con coeficientes bajo las hip´ otesis ~ st (x) su soluci´ on. Entonces se tiene del teorema 7. Y sea X ~ st (x) es H¨ 1. s 7→ X older-γ si γ < 1/2. ~ st (x) es H¨ 2. t 7→ X older-γ si γ < 1/2. ~ st (x) es H¨ 3. x 7→ X older-γ si γ < 1.

Claro est´ a que si se tiene una mayor regularidad en las funciones ~b y σ entonces se tendr´a mayor regularidad en el espacio. En concreto se tiene Teorema 10. Sean los coeficientes de la ecuaci´ on estoc´ astica funciones C k,α en x, entonk,β t en x con β < α. ces la soluci´ on X0 (x) es C En el tiempo no ganaremos nada, porque el contraejemplo del movimiento browniano lo impide. Para las demostraciones rigurosas de estas afirmaciones puede consultarse [Ku-84]. Teorema 11. Sean los coeficientes de la ecuaci´ on estoc´ astica satisfaciendo las hip´ otesis del teorema 7, entonces existe c constante tal que dos soluciones de la misma ecuaci´ on con distintos valores iniciales cumplen ~ 1 (t) − X ~ 2 (t)|2 ] ≤ |x1 − x2 |2 ect . E[|X Demostraci´ on. La idea de la prueba es aplicar la f´ormula de Itˆo (ver ap´endices) a la funci´on norma, d X 2 ~ ~ (X1i (t) − X2i (t))2 ρ (X1 (t), X2 (t)) = i=1

Una vez que hemos hecho esto, aplicamos la desigualdad de Gronwall.

Hay que mencionar que hay dos tipos de ecuaciones estoc´asticas, cada uno de ellos basado en una integraci´ on estoc´ astica diferente. Son las ecuaciones de Itˆo, que se basan en la integral de Itˆo y son las que trataremos aqu´ı, y las de Stratonovich, que se basan en la integral del mismo nombre. Para m´ as detalles se pueden consultar los ap´endices. Las ecuaciones estoc´ asticas podemos considerarlas como generalizaciones de la ecuaci´on de Langevin para una part´ıcula suspendida en un medio y sometida a bombardeos aleatorios que cambian su velocidad. Es entonces f´acil establecer que reflejan una difusi´ on11 . Pensando en las soluciones como difusiones es posible convencerse de que verificar´an la propiedad de Markov, esto es, que son procesos de Markov. La prueba rigurosa se puede consultar en [O]. En cualquier caso esto no es sorprendente, pues la aleatoriedad aparec´ıa por medio del movimiento browniano, y ´este es un proceso de Markov. No ha de preocuparnos que los coeficientes puedan depender de t, pues podemos suponerlos ~ independientes si a˜ nadimos t como otra coordenada de la inc´ ognita X(t) ∈ Rd+1 . Veremos que el hecho de ser un proceso markoviano nos da un semigrupo de operadores. Pero antes necesitamos definir la medida de Wiener. De hecho a la funci´ on ~b se le llama drift, a σ, t´ermino de difusi´ on y a las soluciones de ecuaciones como (13), difusiones de Itˆ o. 11

17

2.5.

La medida de Wiener

En esta secci´ on presentaremos la medida de Wiener para poder continuar con los resultados para las ecuaciones de los fluidos. Necesitamos esta medida para integrar en las funciones y construir as´ı soluciones de una EDP. La medida de Wiener es la inducida por el movimiento browniano, visto, no como una ~ (ω, t), sino como funci´on W ~ : Ω 7→ C([0, T ], Rd ) W Lo trataremos entonces como una variable aleatoria que toma valores en un espacio de funciones. En efecto, sea x un punto cualquiera, entonces podemos considerar los siguientes espacios de funciones Cx ([0, T ], Rd ) = {f ∈ C([0, T ], Rd ), f (0) = x}

(18)

Cxy ([0, T ], Rd ) = {f ∈ C([0, T ], Rd ), f (0) = x, f (T ) = y}

(19)

Podemos definir una medida en el espacio, (18) considerando un movimiento browniano ~ (t) = que no parta de 0 sino de x.12 O equivalentemente podemos considerar el proceso V ~ x + W (t). En el segundo caso, (19), la medida constru´ıda se dice condicionada ya que hemos impuesto el extremo final. La manera rigurosa de construir ambas es similar. Para simplificar, consideraremos el caso unidimensional (d = 1) y x = 0.13 Consideraremos los conjuntos (que llamaremos cilindros) siguientes14 . Dados tiempos t1 , ...tn y borelianos en R B1 , ..., Bn definimos el conjunto 1 ,...,Bn ΠB (20) t1 ,...,tn = {f ∈ C0 ([0, T ], R), f (ti ) ∈ Bi } Hemos de asignarles una probabilidad, y es ahora donde el c´alculo previo (3) nos ayuda. Pues les asignamos la probabilidad us´ andolo.

1 ,...,Bn W(ΠB t1 ,...,tn )

=

Z

... B1

Z

n−1 Y

Bn i=0

−|xn −xn−1 | −|x1 | −|x2 −x1 | 1 √ e 2t1 e 2(t2 −t1 ) ...e 2(tn −tn−1 ) dxn ...dx1 (21) ( 2πti+1 − ti )

Observamos que si para cierto tiempo nuestro boreliano es todo el espacio entonces ese tiempo no cuenta, i.e. si en ti se tiene Bi = R entonces B ,...B

,B

,...,B

n 1 i−1 i+1 1 ,...,Bn W(ΠB t1 ,...,tn ) = W(Πt1 ,...,ti−1 ,ti+1 ,...,tn )

Esto es una consecuencia de la ecuaci´ on de Chapman-Kolmogorov. Si p(t, x, y) = √

1 exp(−(x − y)2 /2t) 2πt

entonces la ecuaci´ on de Chapman-Kolmogorov se puede escribir Z p(s, x, z)p(t, z, y)dz p(s + t, x, y) =

(22)

R

12

Lo llamaremos espacio de caminos del ingl´es ’path space’ Cada una de las funciones ser´ a un camino (’path’ ) 13 Notaremos W0 = W. 14 Hay varias maneras de construir la medida de Wiener. Nosotros optaremos por considerar los cilindros y utilizar el teorema de extensi´ on de Kolmogorov. Otra demostraci´ on se puede consultar en [GJ].

18

0.6

0.4

B1

0.2

0 B2 B3

−0.2

−0.4

B4

−0.6

−0.8

0

50

100

150

200

250

300

350

t

Figura 3: Los cilindros. es decir, la probabilidad de ir en s + t de x a y es la misma que la de ir de x a z en s y de z a y en t siempre que contemos todos los z posibles. Para poder utilizar el teorema de extensi´on de Kolmogorov hemos de ver que a conjuntos iguales se les asigna la misma medida y que la medida asignada siempre es positiva. La u ´ltima aformaci´ on es trivial, as´ı que, hemos de ver que si A1 ,...,Am 1 ,...,Bn ΠB t1 ,...,tn = Πs1 ,...,sm

entonces

,...,Bn ,...,Am ) W(ΠtB11,...,t ) = W(ΠsA11,...,s m n

Esto se puede reducir al caso donde un conjunto de tiempos y boreles contiene al otro, pues si ambos conjuntos son iguales entonces podemos considerar la intersecci´ on de ambos y uno de ellos, i.e. tenemos el siguiente caso B1 ,...,Bn,A1 ,...,Am 1 ,...,Bn ΠB t1 ,...,tn = Πt1 ,...,tn ,s1 ,...,sm

Pero ahora podemos reducir la propiedad que queremos a la que hab´ıamos demostrado ya usando las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. En efecto, si se cumple la igualdad entonces en los tiempos ’nuevos’ sj del miembro de la derecha los boreles respectivos, Aj , han de ser todo el espacio. Si no fuese as´ı, existe una funci´ on continua que pasa por los borelianos correctos en todos los tiempos ti anteriores y posteriores y que en el tiempo sj pasase por Acj . Por lo que ambos conjuntos no ser´ıan iguales y obtenemos una contradicci´ on. Una vez que los boreles son todo el espacio entonces usando las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov podemos concluir que las medidas de ambos conjuntos son iguales. Por lo tanto tenemos una medida en la σ−´algebra generada por los cilindros antes mencionados. Sin embargo no est´ a nada claro a simple vista cu´ al es dicha σ−´algebra. Consideremos el conjunto A = {φ, f (s) < φ(s) < g(s)} para ciertas funciones continuas f, g. Sean si los racionales en el intervalo [0, T ]. Entonces podemos escribir el conjunto como ∞ \ [ {f (si ) + 1/n < φ(si ) < g(si ) − 1/n} A= n=1 si

19

Por lo que tenemos que es una uni´ on numerable de intersecciones de cilindros. Conjuntos como el anterior estar´ an en la σ−´ algebra, y por lo tanto estar´ an los boreles (de la convergencia uniforme), pues bastar´a fijar ψ y tomar f = ψ − ε y g = ψ + ε. Es m´ as, se puede demostrar que ambas σ−´ algebras en realidad coinciden. Introduciremos la notaci´ on, muy com´ un, ~ (ω, t) = ω(t) W Entonces la medida anterior nos define una esperanza Z f (ω)dW E0 [f ] =

(23)

C0 ([0,T ],R)

Observamos que el cero aparece como sub´ındice en el integrando porque consideramos un movimiento browniano con origen el cero. Si queremos considerar movimientos partiendo de un punto x escribiremos Z f (ω)dWx (24) Ex [f ] = Cx ([0,T ],R)

Esta probabilidad se concentrar´ a en las funciones continuas que pasan por x en tiempo 0. Si fijamos unos tiempos, entonces podemos cambiar la integral en el espacio de funciones por una integral en Rd .15 Esto es consecuencia de c´omo hemos definido la medida en los cilindros. Z Y n ~ ~ fj (xj )p(tj − tj−1 , xj , xj−1 )dx1 dx2 , ...dxn E[f1 (W (t1 )), ..., fn (W (tn ))] = Rn j=1

Esta f´ormula nos es bien conocida en un caso con un s´ olo tiempo, pues no es m´ as que la f´ormula del semigrupo de la ecuaci´ on del calor. As´ı si 1 H0 = − ∆ 2 −tH0

e

f (x) =

Z

~ (t))] = E0 [f (x + W ~ (t))] p(t, x, y)f (y)dy = Ex [f (W

(25)

R

Esta es la primera f´ormula de representaci´on que hemos conseguido. Observamos que entonces podemos escribir la medida en funci´on de estos operadores. ~ (t1 )), ..., fn (W ~ (tn ))] = [e−t1 H0 f1 e−(t2 −t1 )H0 f2 ...e−(tn −tn−1 )H0 fn ](0) E0 [f1 (W Hemos definido la medida de Wiener como la inducida por el movimiento browniano, pero podemos hacer lo mismo con otros procesos. Por ejemplo la medida necesaria en (19) ~ definido no est´ a inducida por el movimiento browniano, sino por el puente browniano X, como ~ (t)) ~ ~ (t) + t (y − W X(t) =W T Se puede definir tambi´en como la soluci´ on de la SDE ~ dX(t) = 15

~ t − X(t) ~ dt + dW T −t

La llamaremos integral de caminos del ingl´es ’path integral’.

20

con el mismo punto inicial que tenga el movimiento browniano que lo induce. As´ı podemos definir la medida (con medida del espacio total igual a p(T2 − T1 , x, y)) inducida por el puente browniano que en tiempo T1 est´ a en x y en T2 est´ a en y como unos ciertos operadores, exactamente igual que en el caso anterior, Z ~ 1 ), f2 (X(t ~ 2 ), ...fn (X(t ~ n )dW x,y f1 (X(t [T1 ,T2 ] = Cxy ([T1 ,T2 ],R)

= [e−(T1 −t1 )H0 f1 e−(t2 −t1 )H0 f2 ...e−(tn −tn−1 )H0 fn e−(T2 −tn )H0 (·, y)](x)

(26)

Comentario 2 Cualquier difusi´ on nos da una medida en el espacio de las funciones as continuas con respecto a la σ−´ algebra de los cilindros16 . Puede consultarse [F] para m´ detalles. Lo que ocurrir´a es que no ser´ a posible escribirla tan expl´ıcitamente salvo en unos pocos casos. 2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2

0

200

400

600

800

1000

1200

Figura 4: Trayectorias de un puente browniano.

3.

La ecuaci´ on de Burgers

En la primera parte del ensayo hemos puesto de manifiesto que a˜ nadir el ruido blanco a una ecuaci´ on ordinaria hac´ıa aparecer el laplaciano en la ecuaci´ on de transporte correspondiente. Y hemos mencionado que Norbert Wiener ya not´ o la relaci´ on del movimiento browniano con la turbulencia de un fluido. Parece entonces natural pensar que tras cambiar el sistema caracter´ıstico correspondiente a la ecuaci´ on de Euler podamos obtener en alg´ un sentido la ecuaci´ on de Navier-Stokes. Ese es precisamente nuestro objetivo en esta secci´ on, sin embargo, no avanzaremos directamente sobre ´el, sino que primero trataremos el ejemplo m´ as sencillo de la ecuaci´ on de Burgers. Los resultados de esta secci´ on son para el problema de Cauchy o condiciones de borde peri´ odicas, pues el cambio de las condiciones de borde ’f´ısicas’ de impermeabilidad a Dirichlet homog´eneas por la viscosidad es problem´atico. 16

En realidad cualquier proceso estoc´ astico con trayectorias continuas nos define una medida en la σ−´ algebra de los cilindros. Tambi´en podemos extender esta idea a las EDO que tengan unicidad, existencia y sus soluciones sean continuas. S´ olo que en este caso la medida es totalmente singular, con probabilidad 1 caer´ a en la u ´nica soluci´ on de la EDO.

21

El problema de entender el movimiento de los flu´ıdos y la turbulencia viene de hace tiempo. En realidad es uno de los problemas abiertos m´ as importantes. As´ı Richard Feynman deja escrito a sus alumnos en sus Feynman’s lectures “Finalmente, existe un problema f´ısico que es com´ un a muchos campos, que es muy viejo y que no ha sido resuelto. No es el problema de encontrar nuevas part´ıculas fundamentales, sino algo que se viene arrastrando desde hace mucho tiempo, durante un centenar de a˜ nos. Nadie en la f´ısica ha sido capaz de analizarlo de forma matem´ aticamente satisfactoria a pesar de su importancia para las ciencias hermanas. Es el an´ alisis de los flu´ıdos turbulentos. (...) Lo que realmente no podemos hacer es tratar el agua real y h´ umeda que fluye a trav´es de un tubo. Este es el problema central que deber´ıamos resolver un d´ıa, y que no hemos hecho.” La ecuaci´ on de Burgers 1-dimensional: Comenzaremos con el problema de Cauchy para la ecuaci´ on de Burgers no viscosa, pero la representaci´on probabilista es para la 17 viscosa. As´ı, dado un valor inicial f ∈ Cb2 , consideraremos las ecuaciones ∂t v + v∂x v = 0

(27)

ν 2 ∂ v. (28) 2 x La idea es usar la representaci´ on de la ecuaci´ on del calor y la transformaci´on de Hopf-Cole: ∂t v + v∂x v =

Lema 4 (Hopf-Cole). Sea u(t, x) una soluci´ on cl´ asica de la ecuaci´ on del calor con coeficiente de difusi´ on ν/2, entonces v = −ν∂x (log u)

(29)

es una soluci´ on de la ecuaci´ on de Burgers viscosa (28). Es bien sabido que el t´ermino de segundo orden previene la formaci´on de singularidades, que s´ı est´ an presentes en la ecuaci´ on no viscosa, por lo que no debemos preocuparnos de ello. De nuestra representaci´ on se obtendr´a la regularidad. Proposici´ on 1. Sea v(t, x) una soluci´ on de la ecuaci´ on de Burgers viscosa (28) con dato ormula de representaci´ on inicial f ∈ Cb2 . Entonces se tiene la siguiente f´ #!! " Z √ν(W t (x)) 0 −1 f (s)ds) . (30) v(t, x) = −ν∂x log Ex exp( ν −∞ Demostraci´ on. Se tiene que u(t, x) = exp



−1 ν

Z

x

−∞

v(t, s)ds



resuelve la ecuaci´ on del calor

ν 2 ∂ u 2 x   Z −1 x u0 (x) = exp f (s)ds . ν −∞ ∂t u =

con dato inicial

17

Ya mencionamos anteriormente que si no hay difusi´ on la medida en las funciones continuas es singular en el sentido de que est´ a soportada en una u ´nica funci´ on.

22

Sabemos que u(t, x) tiene la representaci´ on # " Z √ν(W t (x)) 0 √ −1 f (s)ds) . u(t, x) = Ex [u0 ( ν(W0t (x)))] = Ex exp( ν −∞

(31)

Utilizamos la f´ormula (29) para concluir 



v(t, x) = −ν∂x log Ex



−1 exp( ν

Z

√ ν(W0t (x))

−∞

 f (s)ds) .

Comentario 3 Podemos mejorar el resultado de dos maneras, considerando una fuerza ∂x c o aumentando la dimensi´on. En el caso de a˜ nadir una fuerza ∂x c a la ecuaci´ on, i.e. ∂t v + v∂x v =

ν 2 ∂ v + ∂x c. 2 x

Usando la transformaci´on de Hopf-Cole con la ecuaci´ on del calor con absorci´on ∂t u =

ν 2 ∂ u − cu, 2 x

y la f´ormula de Feynman-Kac obtenemos el resultado. Si d > 1 e imponemos que el fluido es irrotacional, o lo que es lo mismo, que existe H(t, x) tal que ~v (t, x) = ∇x H(t, x), entonces podemos volver a aplicar la transformaci´on de Hopf-Cole con los cambios pertinentes. La ecuaci´ on de Burgers d-dimensional: Bas´andonos en los resultados contenidos en [C], [CI], [IN], [Iy-06] y [Iy-09] daremos una f´ormula de representaci´on probabilista de la soluci´ on de la ecuaci´ on de Burgers d-dimensional sin hacer la hip´ otesis de irrotacionalidad. En las referencias anteriores tratan las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible, problema bastante m´ as dif´ıcil que trataremos brevemente en siguiente secci´ on. Sin embargo la idea es la misma: partiremos del sistema caracter´ıstico de la ecuaci´ on sin viscosidad para perturbarlo con un ru´ıdo blanco y tras tomar esperanzas en alg´ un sentido recuperar un laplaciano. Consideraremos ahora los problemas en el dominio Td , que es acotado y nos impone condiciones de borde peri´ odicas, por lo que no necesitamos tiempos de parada. ~vt + (~v · ∇)~v = 0

(32)

~vt + (~v · ∇)~v = ν∆~v ,

(33)

y su versi´ on viscosa con un dato inicial f~ ∈ C k+1,α(Td ). Como ya dijimos la idea es comenzar con la ecuaci´ on no viscosa (32) y considerar particulas que sigan trayectorias con ruido blanco, concretamente consideraremos el ruido √ ~, 2νdW cuyo generador es

√ ( 2ν)2 ∆ = ν∆. 2 Entonces tomando esperanzas con respecto a la medida de Wiener obtendremos nuestra soluci´ on de la ecuaci´ on viscosa (33). 23

Comenzamos con la ecuaci´ on de Burgers no viscosa (32). La ausencia de t´erminos de presi´on y de t´erminos disipativos permite a la velocidad ser transportada con el flujo. ~ a) es la aplicaci´ Entonces si X(t, on que nos da el flujo del fluido,18~v (t, X(t, a)) es constante en tiempo, y por lo tanto se tiene ~v (t, X(t, a)) = f (a).

Figura 5: Flujo. Es decir, ’retrocedemos por nuestro flujo y miramos la velocidad inicial’. No es m´ as que el m´etodo de las caracter´ısticas (ordinarias). Por lo tanto el sistema ~ ′ (t, a) = ~v (t, X(t, ~ a)), X

~v (t, X(t, a)) = f (a)

~ con dato inicial X(0, a) = a es equivalente a la ecuaci´ on de Burgers antes de la formaci´on de singularidades (t peque˜ no). Teniendo en cuenta que las variables a son puntos del volumen inicial U0 , mientras que las variables x son puntos del volumen imagen en tiempo t que llamamos Ut , denotaremos ~ x) = X(t, ~ a)−1 = a, de modo que ~v (t, x) = f (A(t, ~ x)). A(t, Ambos vol´ umenes U0 y Ut ser´ an, en este caso, el toro Td , pero es necesario hacer la distinci´on entre las variables. Las funciones que me llevan unas a otras son X(t, a) = x y A(t, x) = a. ~ a)−1 = A(t, ~ x) = a indica la inversa espacial, que se Comentario 4 Notamos que X(t, puede hacer puesto que  Z t ~ = ∇ · ~v det ∇X ~ ⇒ det ∇X ~ = exp ∇ · ~v ds > 0. ∂t det ∇X 0

La idea ahora es perturbar la ecuaci´ on diferencial ordinaria d ~ X = ~v dt incorporando un ruido blanco que nos lleva a la ecuaci´ on diferencial estoc´astica √ ~. ~ = ~v dt + 2νdW dX Sin p´erdida de generalidad consideraremos ν = 1/2. El enunciado principal es ahora ~ t (0) un movimiento Proposici´ on 2. Sea f~ ∈ C k+1,α(Td ), k ≥ 1, un campo de vectores y W 0 ~ a) soluci´ browniano d-dimensional. Sea el par ~v (t, x), X(t, on del sistema estoc´ astico ~ ~ dX = ~v dt + dW ~ x) = (X(t, ~ a))−1 A(t, ~ x))] ~v = Ex [f~(A(t,

(34)

~ ~ a) − I. con dato inicial X(0, a) = a y condiciones de borde peri´ odicas para ~v (t, x) y X(t, Entonces ~v (t, x) satisface la ecuaci´ on (33) en sentido cl´ asico (con ν = 1/2), con f~ como dato inicial. ~ a) es un homeomorfismo entre los vol´ Si fijamos t = s el flujo X(t, umenes ocupados en tiempo 0 y s, y si fijamos a, es la trayectoria de dicha part´ıcula (ver Figura 5). 18

24

Demostraci´ on. Definimos

~ t (0)), ~v ω (t, x) = ~v (t, x + W 0

~ω la velocidad de una part´ıcula browniana que en tiempo t = 0 estaba en el punto x, y Y como la soluci´ on de d ~ω ~ ω ), Y ~ ω (0, a) = a. Y (t, a) = ~v ω (t, Y dt Existe gracias al teorema de existencia local que sabemos que es verdad para la ecuaci´ on de Burgers. As´ı |~v ω (x) − ~v ω (y)| ≤ ||∇~v ω ||L∞ |x − y|. La notaci´ on con ω es para se˜ nalar que hay un par´ ametro aleatorio. Sea ~ ω (t, x) = (Y ω )−1 (t, a) B su inversa espacial. Definimos ~ t (0)) = f~(B ~ ω (t, x − W ~ t (0))) = f~(A(t, ~ x)). w(t, ~ x−W 0 0 Donde la u ´ltima igualdad es consecuencia de ~ B ~ ω (t, x − W ~ t (0))) = Y ~ ω (t, B ~ ω (t, x − W ~ t (0))) + W ~ t (0) = x X(t, 0 0 0 y as´ı

~ x) = B ~ ω (t, x − W ~ t (0)). A(t, 0

El punto clave del paso anterior es observar que X(t) = Y ω (t) + W0t (0). on Esto podemos verlo observando que ~v ω (t, x − W0t (0)) = ~v (t, x), y estudiando qu´e ecuaci´ ω t verifica β(t) = Y (t) + W0 (0):   d ~ω ~ ω dt+W t (0))+dW = ~v (t, β(t))dt+dW, Y (t, a) +dW = ~v ω (t, Y~ ω )dt+dW = ~v (t, Y dβ = dt 0 dt y β(0) = a, por lo tanto X(t, a) = β(t, a) = Y ω (t, a) + W0t (0). Aplicamos la f´ormula de Itˆo generalizada (ver [Ku-97]) a ~ 0t (0)) = f~(A(t, ~ x)) w ~ ω (t, x − W obteniendo ~ t (0)) − f~(x) w ~ ω (t, x − W 0

= − + +

Pd

j=1

Z

Z

t 0 t 0

~ s (0)) w ~ ω (ds, x − W 0 ~ 0s (0))dW ~ ∇w ~ ω (s, x − W

Z 1 t ~ 0s (0))ds ∆w ~ ω (s, x − W 2 0 Z t  j ω s j t ~ 0 (0)), x − W ~ 0 (0) . ∂j w ~ (ds, x − W 0

Tomando esperanzas con respecto a la medida de Wiener en la ecuaci´ on anterior el miembro de la izquierda queda ~v (t, x) − f~(x). 25

El miembro de la derecha es   Z t  Z t 1 ω s ω s ~ ~ Ex w ~ (ds, x − W0 (0)) + Ex ∆w ~ (s, x − W0 (0))ds 2 0 0 ya que el t´ermino de integraci´ on estoc´ astica se anula al tomar esperanzas y el t´ermino de variaci´ on cuadr´atica tambi´en es cero por tenerse w(t, ~ x) ∈ C 1 en tiempo, pues la derivada viene dada por la ecuaci´ on de transporte, y w(t, ~ x) ∈ C k+1,α (tanto como f~) en espacio, y por lo tanto tanto ella como sus derivadas hasta de orden k son de variaci´ on acotada. El punto crucial aqu´ı es que un proceso continuo con variaci´ on acotada tiene variaci´ on cuadr´atica id´enticamente nula. Tomando como candidato a este proceso las derivadas de w ~ ω y usando que √ < X, Y >≤ < X >< Y >, obtenemos el resultado. Se tiene que  Z t  Z 1 1 t ω s ~ Ex ∆w ~ (s, x − W0 (0))ds = ∆~v (s, x)ds. 2 0 2 0 Falta el t´ermino convectivo en la ecuaci´ on. Observamos que ~ ω (t, x)) w ~ ω (t, x) = f (B resuelve ∂t w ~ ω (t, x) + (~v ω (t, x) · ∇)w ~ ω (t, x) = 0.

con el dato inicial f~. ~ t (0) y entonces ~ ω (t, B ~ ω (t, x − W ~ t (0))) = x − W Esto es gracias a Y 0 0 ~ 0s (0)) = w ~ ω (s, B ~ ω (s, x − W ~ 0s (0)))) w ~ ω (s, x − W ~ ω (s, Y cumple ~ ω (s, B ~ ω (s, x − W ~ s (0)))) ∂t w ~ ω (s, Y 0 ω ω ~ (s, B ~ ω (s, x − W ~ s (0)))) · ∇)w ~ ω (s, B ~ ω (s, x − W ~ s (0)))) = 0, + (~v (s, Y ~ ω (s, Y 0

0

y si lo reescribimos obtenemos ~ 0t (0)) + (~v ω (s, x − W ~ 0t (0)) · ∇)w ~ 0t (0)) = 0. ∂t w ~ ω (s, x − W ~ ω (s, x − W ~ t (0)) = ~v (s, x). As´ı el t´ermino que queda es Ahora usamos que ~v ω (s, x − W 0   Z t Z t ω s ω s ~ ~ Ex w ~ (ds, x − W0 (0)) = Ex ∂t w ~ (s, x − W0 (0)) 0 0 Z t ~ t (0)) · ∇) Ex [−(~v ω (s, x − W = 0 0 ω

~ 0t (0))] × w ~ (s, x − W Z t = − (~v (s, x) · ∇)~v (t, x)ds 0

Ahora basta poner todos los c´ alculos anteriores juntos y derivar en tiempo.

26

Hay que remarcar que se supone la existencia de soluci´ on del sistema estoc´astico, y entonces se demuestra la f´ormula de representaci´on. Rec´ıprocamente, si ~v (t, x) es una soluci´on de la ecuaci´ on de Burgers viscosa (33) el sistema estoc´astico tiene soluci´ on (consultar on cl´asica, [CI],[Iy-06] y [Iy-09]). La idea es que, si ~v es soluci´ ~ = ~v dt + dW ~ dX ~ Que adem´ tiene soluci´ on, y por lo tanto existe A. as se tiene ~ x))] ~v (t, x) = Ex [f~(A(t, se desprende de un resultado (de ecuaciones estoc´asticas parciales) contenido en [CI] y de la unicidad de soluciones cl´ asicas para la ecuaci´ on de Burgers viscosa. Si demostr´asemos la existencia de soluci´ on para el sistema estoc´astico, tendr´ıamos una soluci´ on local en el olo local viene impuesto por utilizar el m´etodo tiempo para la ecuaci´ on (33). El que sea s´ del punto fijo (ver [Iy-06]). ~ Comentario 5 Las condiciones de borde impuestas son las naturales, porque X(0, a+ ~ ~ L~ej ) = a + L~ej = X(0, a) + L~ej . Y esta es la condici´ on de periodicidad para X(t, a) − I. Comentario 6 Se ha conservado la notaci´ on de [CI] y se ha intentado dar una demostraci´ on lo m´ as parecida posible para hacer notar las similitudes entre esta secci´ on y dicho art´ıculo.

4.

La ecuaci´ on de Navier-Stokes

En esta secci´ on encontraremos una representaci´on de la soluci´ on cl´asica de NavierStokes como un sistema estoc´ astico y una integral en funciones. Entonces, si tenemos una soluci´ on cl´asica de ´esta verifica la f´ormula de representaci´on probabil´ıstica. Y rec´ıprocamente, si tenemos una soluci´ on de nuestro sistema estoc´astico entonces dicha ~u(t, x) es soluci´ on cl´asica de Navier-Stokes. En esto se basa la demostraci´on de la siguiente secci´ on. 19 Necesitaremos varios resultados previos. Todos los campos ~v ∈ (L2 )d suaves se descomponen de forma ortogonal como un campo con divergencia nula y un campo gradiente. As´ı podemos definir el operador siguiente: Definici´ on 12. Escribimos P para el proyector de Leray, i.e. el operador que, dado un campo, nos devuelve su parte de divergencia nula. P : (L2 )d 7→ S donde S denota el subespacio de los campos con divergencia nula (se dicen solenoidales). En la ecuaci´ on de Burgers ten´ıamos un transporte puro, para la ecuaci´ on de Euler sin embargo tenemos una complicaci´ on debida al t´ermino de la presi´on. As´ı nos aparecer´a el Proyector de Leray y necesitaremos la formulaci´ on Euleriana-Lagrangiana. Proposici´ on 3 (Formulaci´ on Euleriana-Lagrangiana). Sea k ≥ 0 y f~(x) ∈ C k+1,α tal que ∇ · f~(x) = 0. Entonces ~u(t, x) satisface las ecuaciones de Euler incompresibles con dato ~ a) satisfacen el sistema inicial f~(x) si y s´ olo si el par de funciones ~u(t, x), X(t, ~ ′ (t, a) = ~u(t, x) X ~ x) = X ~ −1 (t, a) A(t, ~ t (t, x)f~(A(t, ~ x))] ~u(t, x) = P[(∇A)

(35) (36) (37)

~ con dato inicial X(0, a) = a. 19

Escribiremos P para el proyector de Leray en los campos solenoidales. No hay que confudirse con P , la probabilidad.

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La demostraci´on de este resultado se puede consultar en [C]. Un punto clave de la demostraci´on para la ecuaci´ on de Burgers era obtener qu´e ecuaci´ on ω verificaba w . All´ı era f´acil observar que era una ecuaci´ on de transporte, aqu´ı necesitaremos un lema previo, pero cuya demostraci´on es sencilla. ~ a) y Lema 5. Dado un campo de velocidades solenoidal ~u(t, x) y Lipschitz, y dados X(t, ~ x) definidos por A(t, ~ ′ (t, a) = ~u(t, x) X ~ x) = X ~ −1 (t, a) A(t, ~ X(0, a) = a

Definimos ~v (t, x) como la soluci´ on de la ecuaci´ on de evoluci´ on (∂t + (~u · ∇))~v (t, x) = ~z(t, x) para cierto campo ~z, y con dato inicial ~v0 . Entonces si w(t, ~ x) se define como ~ t (t, x)~v (t, x)] w(t, ~ x) = P[(∇A) se tiene que w(t, ~ x) es la soluci´ on de ~ t )~z(t, x) (∂t + (~u(t, x) · ∇))w(t, ~ x) + (∇~u(t, x))t w(t, ~ x) + ∇q(t, x) = ((∇A) ∇ · w(t, ~ x) = 0

w(0, ~ x) = P~v0 (x)

La prueba puede consultarse en [CI]. En la prueba de la f´ormula de representaci´on ~ x)) y ~z = 0. utilizaremos el caso particular ~v (t, x) = f~(A(t, Con estos ingredientes ya se puede acometer la prueba del teorema para Navier-Stokes: Teorema 12 (Ecuaciones de Navier-Stokes). Sea f~ ∈ C k+1,α,k ≥ 1, un campo de di~ a) ~ t (0) un proceso de Wiener d-dimensional. Sea el par ~u(t, x), X(t, vergencia nula, y W 0 soluci´ on del sistema estoc´ astico ~ = ~udt + dW ~ dX ~ = X ~ −1 A ~ t f~(A)]] ~ ~u = Ex [P[(∇A)

(38) (39) (40)

~ ~ − I verifican condiciones de borde peri´ con dato inicial X(a, 0) = a y tal que ~u y X odicas. Entonces ~u satisface las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con f~ como dato inicial.

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