1−MÉTODO DE LA BISECCIÓN El método de la bisección nos permitirá resolver funciones no analíticas mediante aproximaciones. Para ello habrá que escoger un intervalo en el cual la función deberá cambiar de signo, cumpliendo lo siguiente: Intervalo [a,b] ! f(a)*f(b)<=0 ab Cogiendo el valor medio © de [a,b], tengo que comprobar: f(a)*f(c)<=0 ! entonces realizaremos la siguiente asignación b!c sino a!c Repetiremos recursivamente hasta que el resultado tenga un error menor al margen que nosotros deseamos, siendo la raíz el valor medio. Si quisiéramos calcular la bisección de la función: F(x)=−19 (X−0.5) (X−1) + e^(x) − e^(−2x) En primer lugar realizaremos un rastreo de la función para observar los cambios de signo, con lo cual sabremos en que intervalos debemos realizar la bisección. Realizaremos el rastreo mediante el siguiente programa: program intervalo; var i:integer; f:real; begin for i:=−10 to 10 do begin f:=−19*(i−0.5)*(i−1)+exp(i)−exp(−2*i); writeln ('X= ',i,' Y= ',f); end; end. X

Y 1

−10 ... 0 1 2 ... 6 7 ... 10

−4.8516738991E+08 ... −9.5000000000E+00 2.5829465452E+00 −2.1129259540E+01 ... −1.1907121265E+02 3.5563315759E+02 ... 2.0401965795E+04

Analizando los resultados obtenidos observamos que hay tres cambios de signo, por lo que deducimos que tendremos que realizar la bisección en tres zonas , las cuales son: 1ª bisección ! [0,1] 2ª bisección ! [1,2] 3ª bisección ! [6,7] Debemos tener en cuenta para que se cumpla la condición (f(c)*f(a)<=0) que deberá haber un número impar de raíces dentro del intervalo definido, si no podría haber irregularidades tales como: Discontinuidades o zonas de ruptura, que nos causarían problemas de cálculo. Una vez rastreada la zona, para realizar la bisección utilizaremos el siguiente programa: program biseccion; const tolerancia=0.0000001; var a,b,c:real; function f (x:real):real; begin f:=−19*(x−0.5)*(x−1)+exp(x)−exp(−2* x); end; begin writeln ('Introduce los valores del intervalo:'); readln (a,b); repeat c:=(a+b)/2; if f(c)*f(a)<=0 then b:=c

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else a:=c; until abs(b−a)
writeln ('Introduce el intervalo para realizar el rastreo:'); readln (a,b); for i:=a to b do begin f:=c1*pot(c2,i)+c3*pot(c4,i)+c5*exp(c6*i); writeln ('X= ',i,' Y= ',f); end; end; procedure raiz (c1,c2,c3,c4,c5,c6:integer); var c,a,b:real; begin writeln ('Introduce el intervalo a observar:'); readln (a,b); repeat c:=(a+b)/2; if (c1*pot(c2,c)+c3*pot(c4,c)+c5*exp(c6*c))*(c1*pot(c2,a)+ c3*pot(c4,a)+c5*exp(c6*a))<=0 then b:=c else a:=c; until abs(b−a)<0.0000001; writeln ('La solucion es: ',(b+a)/2); end; begin writeln ('Introduce las constantes:'); readln (c1,c2,c3,c4,c5,c6); rastreo (c1,c2,c3,c4,c5,c6); raiz(c1,c2,c3,c4,c5,c6); end. Si utilizamos un intervalo de rastreo de [−10,10] y definimos diferentes constantes, con los valores obtenidos rellenaremos la gráfica contigua: C1 C2 2 5

C3 3

C4 0

C5 1

C6 0

INTERVALO [−2,−1]

RAIZ −1.1486983597 E+00 4

−1 1

2 1

3 1

−4 0

5 1

−1 0

[1,2] [−3,−2]

1.9301833808 E+00 −2.0000000298 E+00

Con la función genérica definida, introduciéndoles valores diferentes a las constantes, podremos definir diferentes funciones, siendo siempre de la familia de las potencias y exponenciales. 2−MÉTODO DEL PUNTO FIJO Partiendo de una función f(x)=0, despejando x obtendremos otra función x=g(x). La solución de nuestro problema será donde se corten dicha función y la función y=x. Para llegar a la solución deberemos introducir una condición de partida (Xo). g(x) y=x ! solución Para obtener el resultado mediante el método del punto fijo, comprobaremos que g(x) es derivable en el intervalo [a,b]. Una vez realizada la derivada, para comprobar si la función converge o diverge, realizaremos la siguiente sustitución: g'(Xo) Si |g'(Xo)|<1 diremos que converge hacia , diferenciando dos casos: y=x y=x g(x) g(x) −11 diremos que diverge de , diferenciando los siguientes dos casos: y=x y=x g(x) g(x) g'(x)<−1 g'(x)>1 Las condiciones anteriormente citadas, son solo suficientes y no necesarias, ya que puede suceder que |g'(x)|>1 y sea convergente. A continuación resolveremos el siguiente ejercicio: F(x)=x−e^(1/x) Xo=1.5 Tolerancia=0.00005

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A la hora de despejar X, hemos analizado las siguientes opciones: 1/ X=g(x)=e^(1/x) ! g´(x)=−e^(1/x)/(x*x) ! |g'(x)|<1! CONVERGENTE 2/ X=g(x)=1/ln(x) ! g'(x)=x ! |g´(x)|>1 ! DIVERGENTE 3/ X=g(x)=x/2+e^(1/x)/2 ! g´(x)=1/2−e^(1/x)/2*(x*x) ! |g´(x)|<1 ! CONVERGENTE program punto_fijo; var x,tol,aux,x0:real; cont:integer; function calculo (x0:real):real; begin calculo:=exp(1/x);* end; begin writeln ('Introduce el valor inicial de X:'); readln (x0); writeln ('Introduce la tolerancia deseada:'); readln (tol); cont:=0; repeat x:=calculo (x0); cont:=cont+1; aux:=x0; x0:=x; until (abs(aux−x0)
C2 2 1 0

C3 −2 3 1

C4 0 −1 0

C5 1 2 1

C6 1 0 1

C7 3 4 1

Nº INT RESULTADO 5 −0.39027166481 12 1.6666665673 DIVERGENTE

3−MÉTODO DE NEWTON−RAPHSON El método de Newton se obtiene a partir del desarrollo de Taylor: Taylor ! f(X)=f(Xo)+f´(Xo)*(X−Xo)+(f´´(Xo)/2!)*(X−Xo)^2+... f(X)=f(Xo)+f´(Xo)*(X−Xo)+0*h^2 ! h=X−Xo Debemos seleccionar una cantidad de sumas dentro de una serie infinita, por lo tanto realizaremos un error de truncamiento. Con este método se toma un valor de partida Xo y se van calculando valores sucesivos hasta que Xn este dentro de la tolerancia requerida, la cual consideraremos que es el resultado correcto. Para ello la ecuación truncada de Taylor la igualamos con 0, llamandolo g(X). De esta despejaremos X obteniendo la ecuación que utilizaremos para el cálculo de la solución. f(X)=0 g(X)=f´(Xo)(X−Xo)+f(Xo) !! mb g(x)=m*x+b=0 ! Xn=X(n−1)−f(X(n−1))/f´(X(n−1)) La ventaja de este método con respecto a las anteriores es que con pocas interacciones obtendremos el resultado. Sin embargo, tiene la pega de necesitar la derivada de la función, para dicho cálculo, aveces nos será necesario emplear algun otro método númerico. A continuación realizaremos varios cálculos utilizando el método de Newton−Raphson: f(X)=X^3−155 ! f`(X)=3 X^2 Tolerancia=0.0000005 Realizaremos el cálculo para dos valores de Xo: Xo=5 Xo=10 9

program newton; var x0,tol,x,aux:real; cont:integer; function calculo (x0:real):real; var result:real; begin result:=((x0*x0*x0)−155)/(3*(x0*x0)); calculo:=x0−result; end; begin writeln ('Introduce el valor inicial:'); readln (x0); writeln ('Introduce el valor de la tolerancia:'); readln (tol); cont:=0; repeat x:=calculo(x0); cont:=cont+1; aux:=x0; x0:=x; until (abs(aux−x0)
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x:=calculo(x0); cont:=cont+1; aux:=x0; x0:=x; until (abs(aux−x0)
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until (abs(aux−x0)