Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas Juan José Isach Mayo 7/01/2007

Contents I

Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas

1

1 Ecuaciones trigonométricas 1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 10

2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas 21 2.1 Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . 21 2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 28

Part I

Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas 1

Ecuaciones trigonométricas

Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos especí…cos. A veces tendremos que: a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos. Veamos algunos ejemplos: b) Intentar que en la ecuación trigonométrica , tan solo aparezca una sola razón trigonométrica del mismo ángulo c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos este procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que no lo sea). d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad etc,etc,etc...

1

1.1

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 sin x cos x = sin x

8 > > > > > > > > <

> > > > 2 cos x > > > > :

2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x sin x = 0 sin x(2 cos x 1) = 0 8 < 2k sin x = 0 ! x = k2Z : + 2k 8 > > < 3 + 2k 1 1 = 0 ! cos x = ! x = > 2 > : 5 + 2k 3

k2Z

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación cos 3x + cos x = cos 2x Para resolver esta ecuación utilizaremos la fórmula: cos C + cos D = 2 cos

C +D 2

cos

C

D 2

para transformar cos 3x + cos x en forma de producto. Fíjate que: cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x Así pues ; resolver la ecuación cos 3x+cos x = cos 2x es lo mismo que resolver la ecuación: 2 cos 2x cos x = cos 2x 2 cos 2x cos x cos 2x = 0 cos 2x(2 cos x 1) = 0 8 8 > > > 4 +k > 2 + 2k < < cos 2x = 0 ! 2x = !x= k2Z > > > > : 3 +k : 3 + 2k 2 4 8 < + 2k 1 3 2 cos x 1 = 0 ! cos x = ! x = k2Z 5 : 2 + 2k 3

El conjunto solución de esta ecuación trigonométrica es : S=

3

+ 2k ;

5 3 + 2k ; + k ; + k con k 2 Z 3 4 4

2

Observación 3 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera. Para ello; vamos a escribir cos 3x en función sólo del cos x y cos 2x en función del cos x cos 3x = = = = = =

cos(2x + x) = cos 2x cos x sin 2x sin x = (cos2 x sin2 x) cos x 2 sin x cos x sin x = cos3 x sin2 x cos x 2 sin2 x cos x = cos3 x 3 sin2 x cos x = cos3 x 3(1 cos2 x) cos x = cos3 x 3 cos x + 3 cos3 x = 4 cos3 x 3 cos x

2 2 2 2 cos 2x = x = cos2 x (1 cos2 x) = 2 cos2 x 8 cos x sin x 3= cos x-sin 9 < cos 3x = 4 cos x 3 cos x = y entonces resolver la ecuación Como : ; cos 2x = 2 cos2 x 1

1

cos 3x + cos x = cos 2x

Es equivalente a resolver la ecuación cos 3x + cos x = cos 2x 4 cos x 3 cos x + cos x = 2 cos2 x 3 4 cos x 2 cos2 x 2 cos x + 1 = 0 3

1

Si llamamos a cos x = X: Tendremos que resolver la ecuación: 4X 3

2X 2

2X + 1 = 0

Para ello; factorizamos aplicando la regla de Ru…nni

X

1 2

4X 2

2 =0!

8 > > > > > <

1 1 =0!X= 2 8 2 p > 1 2 > < p = 2 2 p 2=0!X= > 2 > : 2 X

> > 4X 2 > > > :

Deshaciendo el cambio de variable, el problema ha quedado reducido a resolver las tres ecuaciones trigonométricas siguientes:

3

8 > > < 3 + 2k

1 k2Z !x= > 2 > : 5 + 2k 3 8 > p > < 4 + 2k 2 !x= 2. cos x = k2Z > 2 > : 7 + 2k 4 8 3 > p > < 4 + 2k 2 k2Z 3. cos x = !x= > 2 > : 5 + 2k 4 1. cos x =

Puedes comprobar que el conjunto

4

+ 2k ;

3 5 7 + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z 4 4 4

3 +k ; + k con k 2 Z 4 4 Con lo que; el conjunto solución de la ecuación trigonométrica es:

coincide con el conjunto siguiente

S=

3

+ 2k ;

5 3 + 2k ; + k ; + k con k 2 Z 3 4 4

Las soluciones en [0; 2 ) son : 3

;

5 5 3 7 ; ; ; ; 3 4 4 4 4

Ejemplo 4 Resuelve cos2 x + 2 sin x = 2 Tendremos que expresar el cos2 x en función del sin x: Para ello; utilizamos la fórmula fundamental de trigonometría (cos2 x = 1 sin2 x): Con lo que : cos2 x + 2 sin x 1 sin2 x + 2 sin x sin2 x + 2 sin x 1 sin2 x 2 sin x + 1

= 2 = 2 = 0 = 0

La ecuación obtenida, es una ecuación de segundo grado cuya incógnita a determinar es sin x: p 2 4 4 sin x = = 1 ! x = + 2k con k 2 Z 2 2 Ejemplo 5 Resolver la ecuación

1 x + cos2 x + cos2 = 0 2 2

4

A 1 + cos A x 1 + cos x = ! cos2 = 2 2 2 2 1 x Por lo tanto, resolver la ecuación + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que 2 2 resolver: Sabemos que cos2

1 1 + cos x + cos2 x + = 2 2 2 cos2 x + cos x =

0 0

Factorizando; tendremos: 8 8 > > > > > < 2 + 2k > > > > cos x = 0 ! x = con k 2 Z > > > > 3 > > : > + 2k > < 2 cos x (2 cos x + 1) = 0 ! 8 2 > > > > > > > < 3 + 2k > 1 > > > cos x = !x= con k 2 Z > > > 2 > > 4 > : : + 2k 3 La solución es el conjunto S=

4 3 2 + 2k ; + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z 3 3 2 2

que coincide con éste: S=

2 4 + 2k ; + 2k ; + k ; con k 2 Z 3 3 2

Observación 6 También se puede resolver la ecuación x si expresamos el cos2 x en función del cos 2 x x Como cos x = cos 2 = cos2 2 2 entonces: cos2 x = 2 cos2 Resolver

x 2

sin2 2

x x = 2 cos2 2 2

= 4 cos4

1

x 1 +cos2 x+cos2 = 0 2 2

x 2

4 cos2

1 x +1 2

1 x + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que resolver: 2 2 1 x + 4 cos4 2 2 8 cos4

x x + 1 + cos2 =0 2 2 x 6 cos2 +1=0 2

4 cos2 x 2

5

Si llamamos a cos siguiente:

x 2

8T 4

= T tendremos que resolver la ecuación bicuadrada

6T 2 + 1 = 0 ! T =

8 > > < > > :

1 2 1 p2

1 2 2 p 1 2 2

Deshaciendo el cambio de variable; el problema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas elementales: 8 > > < 3 + 2k x x 1 1. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z 2 > > : 5 + 2k 3 Multiplicando por 2 8 2 > > < 3 + 4k x= con k 2 Z > > 10 : + 4k 3 8 2 > + 2k > x < 3 1 x 2. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z 2 > > 4 : + 2k 3 Multiplicando por 2 8 4 > > < 3 + 4k x= con k 2 Z > > : 8 + 4k 3 Las soluciones de las ecuaciones 1 y 2 se pueden expresar conjuntamente asÍ: 8 2 > > < 3 + 2k x= con k 2 Z > > 4 : + 2k 3 8 > + 2k > p x < 4 2 x con k 2 Z 3. cos 2 = 2 ! = 2 > > : 7 + 2k 4 Multiplicando por 2 8 > > < 2 + 4k x= > > : 7 + 4k 2 6

8 3 > > < 4 + 2k p x 2 x 4. cos 2 = con k 2 Z 2 ! 2 => > : 5 + 2k 4 Multiplicando por 2 8 3 > > < 2 + 4k x= > > : 5 + 4k 2 Las soluciones de las ecuaciones3 y 4se pueden agrupar así: n o + k con k 2 Z 2

Por lo tanto; la solución de la ecuación inicial es el conjuntoo: 4 2 + 2k ; + 2k ; + k + 2k con k 2 Z 3 3 2

S=

Ejemplo 7 Resolver la ecuación sin x + cos x = 1 Aislamos el sin x sin x = 1

cos x

Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado sin2 x = 1

2 cos x + cos2 x

Utilizamos la F.F.T para expresar el sin2 x en función del cos2 x:Como sin x = 1 cos2 x; entonces: 2

1 2 cos x 2

cos2 x = 2 cos x =

cos x(cos x

1)

=

1 0

2 cos x + cos2 x

0!

8 > > < > > :

8 <

+ 2k 2 con k 2 Z : 3 + 2k 2 cos x = 1 ! x = 2k con k 2 Z

cos x = 0 ! x =

3 ; ; 0 son soluciones de la ecuación 2 2 Para x = ! cos + sin = 0 + 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z si que 2 2 2 2 es solución 3 3 3 3 Para x = ! cos + sin =0 1= 1!x= + 2k con k 2 Z 2 2 2 2 no es solución Para x = 0 ! cos 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es solución El conjunto solución de la ecuación es : n o + 2k ; 2k con k 2 Z 2 Comprobemos ahora si los valores

7

Observación 8 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera Como cos x = sin(

x) entonces:

2

x) = 1 2 C +D C D Si utilizamos la fórmula sin C + sin D = 2 sin cos 2 2 La ecuación nos quedará así: 1 0 1 0 x x+ x x 2 2 A cos @ A = 1 2 sin @ 2 2 sin x + cos x = 1 , sin x + sin(

2 sin

Como sin

4

cos(x

=

p

2 ;entonces: 2 p

2 1 )= p = !x 4 2 2

Aislando x x=

4

8 > < > :

2

4

=

cos(x +

4

)

8 > > < 4 + 2k

> > : 7 + 2k 4

=

1

con k 2 Z

+ 2k

2 + 2k = 2 (k + 1) = 2 k 0

con k; k 0 2 Z

Observación 9 Resuelve tú la ecuación sin x + cos x = 1 considerando que C +D C D sin x = cos( x) y que cos C + cos D = 2 cos cos : 2 2 2 p Ejemplo 10 Resuelve la ecuación 3 sin x + cos x = 1 Aislamos el cos x

p

cos x = 1 Elevando al cuadrado: cos2 x = 1

3 sin x

p 2 3 sin x + 3 sin2 x

Utilizamos la F.F.T para expresar el cos2 x en función del sin2 x:Como cos x = 1 sin2 x; entonces: p 1 sin2 x = 1 2 3 sin x + 3 sin2 x p 4 sin2 x 2 3 sin x = 0 8 2k > > sin x = 0 ! x = con k 2 Z > > + 2k < p 8 p 2 sin x(2 sin x 3) = 0 ! < + 2k 3 > 3 > ! x = con k 2 Z sin x = > > : 2 + 2k : 2 3 2

8

2 Comprobemos ahora si los valores 0; ; ; ; son soluciones de la ecuación 3 3 p Para x = 0 ! 3 sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es solución p Para x = ! 3 sin + cos = 0 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z no es solución p 3 1 Para x = ! 3 sin + cos = + = 2 ! x = + 2k con k 2 Z no 3 3 3 2 2 3 es solución p 2 2 2 3 1 2 Para x = ! 3 sin + cos = =1!x= + 2k con k 2 Z 3 3 3 2 2 3 si que es solución El conjunto solución de la ecuación es : 2 + 2k ; 2k 3

con k 2 Z

p

3 sin x + cos x = 1 . p 1 1 3 sin x + cos x = Divido la ecuación por 2! 2 2 2 p 3 1 Como = cos y = sin entonces la ecuación queda así: 2 6 2 6 p 3 1 1 sin x + cos x = 2 2 2 1 sin x cos + cos x sin = 6 6 2 8 < + 2k 1 6 sin(x + ) = con k 2 Z !x+ = 5 : 6 2 6 + 2k 6

Observación 11

Aislando x

(

2k 2 con k 2 Z + 2k 3 Fíjate bien; que este procedimiento es más corto que el anterior p Ejemplo 12 Resuelve cos x + 3 sin x = 0 p 3 Sugerencia : Determina los ángulos tales que tan x = 3 x=

9

1.2

Ejercicios ecuaciones trigonométricas

Ejercicio 13 Resuelve 4 sin(x 4 sin(x

6

) cos(x

6

)=

2 sin(x

) cos(x

6 p 6

6

)=

3 ! 2 2 sin(x ) cos(x

6

)=

p

3

6 p

) cos(x

6

)=

p

3

3 2

Como 2 sin A cos A = sin 2A entonces la ecuación se reduce a: p 3 sin(2x ) = 3 2 8 < + 2k 3 = 2x con k 2 Z 2 : 3 + 2k 3 Aislando x; tendremos:

x=

Ejercicio 14 4 sin

8 < :

3 2

+k con k 2 Z

+k

x + 2 cos x = 3 2

Fíjate que cos x = cos2

x 2

sin2

x 2

=1

2 sin2

x 2

: Por lo tanto; la

ecuación quedará así: x x + 2 1 2 sin2 = 3 2 2 x x + 4 sin 1 = 0 4 sin2 2 2 x x 4 sin2 4 sin +1 = 0 2 2

4 sin

El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado x . con lo que: cuya incógnita es sin 2 p x 4 16 16 1 sin = = 2 8 2 8 < + 2k x 6 = con k 2 Z 5 : 2 + 2k 6 10

Aislando x

8 <

+ 4k 3 : 5 + 4k 3 Ejercicio 15 Resuelve sin 2x = cos 120o x=

Aislando x

con k 2 Z

1 sin 2x = cos 120o ! sin 2x = 2 8 > < 7 + 2k 6 2x = con k 2 Z > 11 + 2k : 6

8 > < 7 +k 12 con k 2 Z x= 11 > : +k 12 p sin x = Ejercicio 16 Resuelve cot x + 2 1 + cos x En primer lugar, vamos a transformar la expresión que queda a la derecha de la ecuación sin x cos x sin x cos x + cos2 x + sin2 x cot x + = + = 1 + cos x sin x 1 + cos x sin x(1 + cos x) Como cos2 x + sin2 x = 1, entonces: cos x + cos2 x + sin2 x 1 + cos x 1 sin x = = = cot x + 1 + cos x sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x Así pues; la ecuación inicial quedará como: p p 2 1 1 = 2 ! sin x = p = sin x 2 2 8 5 > < + 2k 4 x = con k 2 Z 7 > : + 2k 4 cos x Ejercicio 17 Resuelve tú la ecuación tan x + = 2 1 + sin x Ejercicio 18 Resuelve cos2 (x + Como cos2 A queda:

6

)

sin2 (x +

6

)=1

sin2 A = cos 2A; la ecuación cos2 (x +

cos 2x +

3

2x +

3

=

1

=

2k

x =

6 11

6

)

+ k con k 2 Z

sin2 (x +

6

)=1

Como

6

+k =

+

5 5 +k = + (k 6 6

Ejercicio 19 Resuelve tú la ecuación cos2 (x

1) =

6

)

5 + k 0 con k 0 2 Z 6

sin2 (x

6

)=

1 2

Ejercicio 20 Resuelve cos 2x cos 6x = sin 5x + sin 3x 8 9 C D > C +D > > > sin cos C cos D = 2 sin > > > > < = 2 2 y Como > > > > C +D C D > > > > cos : sin C + sin D = 2 sin ; 2 2 8 9 < cos 2x cos 6x = 2 sin(4x) sin( 2x) = 2 sin 4x sin 2x = y entonces : ; sin 5x + sin 3x = 2 sin 4x cos x Con lo que; la ecuación se transforma así: sin 4x sin 2x

2 sin 4x sin 2x = 2 sin 4x cos x sin 4x cos x = 0

Sacando factor comun sin 4x sin 4x(sin 2x

cos x)

=

a

1 sin 4x = 2a sin 2x

cos x =

0!

sin 4x = 0 sin 2x cos x = 0 2k + 2k

0 ! 4x = 0 *

8 > <

k 2 !x= k > : + 4 2

con k 2 Z

Resolvamos ahora la ecuación * sin 2x cos x = 0 Teniendo presente que sin 2A = 2 sin A cos A sin 2x 2 sin x cos x

cos x(2 sin x

cos x = 0 cos x = 0

1)

=

8 8 > > > > < > > > > cos x = 0 ! x = > > > < > : 0! 8 > > > < > 1 > > > sin x = ! x = > : : 2

Ejercicio 21 Resuelve cos2

x 2

sin2

12

x = sin x 2

2

+ 2k

3 + 2k 2 + 2k 6 5 + 2k 6

con k 2 Z

con k 2 Z

cos2 A Luego

sin2 A = cos 2A ! cos2 cos2

x 2

x 2 sin2

sin2

h x i x = cos 2 = cos x 2 2

x = 2 cos x =

sin x sin x

Dividiendo por cos x ,y teniendo presente que la función y = tan x es una función periódica de periodo tan x = 1 ! x =

4

+ k con k 2 Z

Ejercicio 22 Resuelve cos 2x + sin x = 4 sin2 x cos 2A = cos2 A

sin2 A = 1

2 sin2 A

cos 2x + sin x = 4 sin2 x 1 2 sin2 x + sin x = 4 sin2 x 6 sin2 x sin x 1 = 0 El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado (cuya incógnita es sin x). con lo que: 8 p > 1 25 < 2 1 sin x = = 1 > 12 : 3 El problema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas elementales: 8 > > < 6 + 2k 1. sin x = 21 ! x = con k 2 Z > 5 > : + 2k 6 8 arcsin 13 + 2k < 1 2. sin x = 3 ! x = con k 2 Z : 2 arcsin 13 + 2k Ejercicio 23 Resuelve tú sin 2x + 2 cos2 x

2=0

Sugerencia sin 2x = 2 sin x cos x y cos2 x = 1 p 3 sin x = 0 Ejercicio 24 Resuelve cos x

sin2 x;

Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =

13

p

3 3

Ejercicio 25 Resuelve cos x +

p

3 sin x = 0

Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x = Ejercicio 26 Resuelve 8 tan2 Como tan2

x 2

=

8 (1 cos x) 1 + cos x 8 (1 cos x) 1 + cos x 8 cos x 8 cos2 x 0 0

x 2

p

3 3

= 1 + sec x

1 cos x 1 y sec x= entonces, la ecuación queda así: 1 + cos x cos x

1 cos x 1 + cos x = cos x = 1 + 2 cos x + cos2 x = 9 cos2 x 6 cos x + 1 2 = (3 cos x 1) 8 1 > > arccos + 2k < 1 3 cos x = !x= 1 > 3 > arccos + 2k : 2 3 =

1+

Ejercicio 27 Resuelve tan 2x = Como tan 2x =

Factorizando:

con k 2 Z

tan x

2 tan x ; entonces, la ecuación queda así: 1 tan2 x 2 tan x = tan x 1 tan2 x 2 tan x = tan x + tan3 x 0 = tan3 x 3 tan x 8 > > <

tan x = 0 ! x = k con k 2 Z 8 p < tan x = 3 ! x = + k con k 2 Z tan x(tan2 x 3) = 0 ! 3 tan2 x = 3 ! > p 2 > : : tan x = 3!x= + k con k 2 Z 3 p 2 Ejercicio 28 Resuelve sin 3x + cos 3x = 2 Transformemos en primer lugar la suma sin 3x + cos 3x como producto Para ello; utilizaremos que: cos 3x =

sin C + sin D

=

sin( 2 y 2 sin

14

3x) C +D 2

cos

C

D 2

Con lo que sin 3x + cos 3x = sin 3x + sin( 2 0 3x + 2 sin 3x + sin( 3x) = 2 sin @ 2 2

3x) 1 0 3x 3x A cos @

Por lo tanto:

sin 3x + cos 3x = 2 sin

cos 3x

4

4

=

p

2 2

+ 3x

2 cos 3x

Después de todo esto, la ecuación inicial sin 3x + cos 3x = p

2 cos 3x

cos 3x

4

4

=

=

Si aislamos3x

8 > <

1 A

4 p

2 queda: 2

p

2 2

1 ! 3x 2

8 > < 2 + 2k 3 = 4 > 4 : + 2k 3

2 + 2k 3 con k 2 Z 3x = 4 > : + + 2k 4 3 Aislando x; tendremos la solución 8 2 2k > < + + 12 9 3 con k 2 Z x = 4 2k > : + + 9 3 8 12 2k > < 11 + 36 3 x = con k 2 Z 2k > : 19 + 36 3 4

+

Las soluciones de esta ecuación entre 0 y 2 son: 11 36

; 35 36

11 36

19 36

; 43 36

19 36

2 3 2 + 3 +

; 59 36

11 36

; 67 36

19 36

4 3 4 + 3 +

Observación 29 Fíjate en como la resolvemos ahora p 2 sin 3x + cos 3x = 2 Aislamos sin 3x 15

con k 2 Z

p

2 2

sin 3x =

cos 3x

Elevamos al cuadrado !2 p p 1 2 2 sin 3x = cos 3x ! sin2 3x = cos2 3x + 2 cos 3x + 2 2 Expresamos el sin2 3x en función del cos2 3x utilizando la F.F.T 1

cos2 3x = cos2 3x +

p

2 cos 3x +

1 2

Transponiendo términos;obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: 2 cos2 3x +

p

p 1 = 0 ! 4 cos2 3x + 2 2 cos 3x 2

2 cos 3x

1=0

Resolviéndola: cos 3x =

p p 2 2 24 = 8

p

1 6 4 p 1 4 6

p

1 2 4 p 1 4 2

p p Si determinas los ángulos tales que su coseno vale 14 6 14 2 verás que son p p 5 19 5 2 y analogamente los ángulos cuyo coseno vale 41 6 14 2 12 ; 12 12 13 1 son : 11 + 12 : 12 ; 12 Perdona; pero como no lo comprobarás. Te lo voy a calcular: p p 5 = cos + sin sin = 2 14 3 14 = cos cos cos 12 4 6 4 6 4p 6 p 5 5 cos 19 2 14 3 14 12 = cos(2 12 ) = cos 12 = cos

11 12

=

sin

5 = 12

sin

13 cos 12

4

+

=

6

= cos 11 12

=

sin

4

p

2

cos p 1

4

6

cos

3+

4

sin

6

=

p

1 4

Con lo que podemos a…rmar con todo rigor; que el ángulo 3x valdrá: 8 5 + 2k > > < 12 19 12 + 2k con k 2 Z 3x = 11 + 2k > > : 12 13 12 + 2k

Aislando x

x=

8 > > > > > > > < > > > > > > > :

5 36 19 36 11 36 13 36

2k 3 2k + 3 2k + 3 2k + 3 +

16

con k 2 Z

2

1p 1 3+ 4 4

Como has elevado al cuadrado, algunas de las soluciones obtenidas no verifican la ecuación. 5 Comprueba tú que los valores 36 ; 13 no son solución 36 Conclusión : las soluciones de la ecuación son 8 > < 11 + 2k 36 3 x= con k 2 Z 2k > : 19 + 36 3

Ejercicio 30 Resuelve la ecuación sin 3x

2 sin x = 0

Fíjate en la siguiente transformación: sin 3x

sin x = sin x

sin Teniendo presente que sin(C) sin(D) = 2 cos C+D 2 3x x sin 3x sin x = 2 cos 3x+x sin = 2 cos 2x sin x 2 2 Con lo que la ecuación nos queda así: 2 cos 2x sin x = 2 cos 2x sin x sin x =

2k + 2k

2a cos 2x =

1 ! 2x = 2

3 5 3

+ 2k + 2k

tendremos

sin x 0

Sacando factor común sin x 8 > > < 1a sin x = 0 ! x = sin x(2 cos 2x 1) = 0 ! > > : 2a cos 2x = 21 ! 2x = 1a sin x = 0 ! x =

C D 2

2k con k 2 Z + 2k 3 + 2k con k 2 Z 5 3 + 2k

con k 2 Z 6 5 6

x=

+k +k

con k 2 Z

Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son: 0; ; 6 ; 56 ; 76

6

+

; 116

5 6

+

Observación 31 Vamos a resolver la misma ecuación; pero, expresando el sin 3x en función del sin x sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x Como

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = 1 2 sin2 x

entonces:

sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos2 x + (1

17

2 sin2 x) sin x

sin2 x) F.F.T

Sustiituyendo cos2 x por (1

sin2 x) + (1

sin 3x = 2 sin x(1

2 sin2 x) sin x

Operando y reduciendo términos semejantes 4 sin3 x

sin 3x = 3 sin x

(a)

Resolvamos ahora la ecuación sin 3x

2 sin x = 0

Usando la expresión (a), la ecuación se transforma en: 4 sin3 x

3 sin x

2 sin x = 0

Reduciendo términos semejantes sin x

4 sin3 x = 0

Factorizando la ecuación:

sin x(1

4 sin2 x) = 0 !

1a sin x = 0 2 4 sin2 x 1 = 0 a

2k 1a sin x = 0 ! x = + 2k 8 > > < sin x = 21 ! x = 1 2 a 2 sin x = ! > 4 > : sin x = 12 ! x =

con k 2 Z 6 + 2k 5 6 + 2k 7 6 + 2k 11 6 + 2k

con k 2 Z

Las soluciones de la 2a ecuación se pueden agrupar así x = k2Z Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son: 0; ; 6 ; 56 ; 76

; 116 56 + p p Ejercicio 32 Resuelve la ecuación cos x + 3 sin x = 2 6

+

Divido la ecuación por 2

2

p 1 3 cos x + sin x = 2 2

p

2 2

3 = cos 3 5 la ecuación queda: Como 4 p y 3 = sin 2 3 1 2

cos x cos

3

+ sin x sin 18

3

=

p

2 2

6 5 6

+k +k

con

Como cos A cos B + sin A sin B = cos(A B) p 2 cos(x )= !x = 3 2 3

3 4 5 4

+ 2k + 2k

k2Z

Aislando x 3

x=

3

+ +

3 4 5 4

+ 2k + 2k

k2Z!x=

13 12 19 12

+ 2k + 2k

Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2

son :

13 19 ; 12 12 Observación 33 Vamos a resolver la misma ecuación con otro procedimiento Aislamos de la ecuación cos x cos x =

p

2

p

3 sin x

Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado cos2 x = cos2 x =

p

2 p 2 3 sin x p 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x

sin2 x) F.F.T p sin2 x = 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x

Sustiituyendo cos2 x por (1 1

Transponiendo términos, obteneemos una ecuación de segundo grado (la incógnita es sin x) p 0 = 4 sin2 x + 2 6 sin x + 1 Resolviéndola sin x =

p p 2 6 2 2 = 8

p

1 2 4 p 1 4 2

p

1 6 4 p 1 4 6

(b)

p sin x = 41 p2 El problema se reduce a resolver las ecuaciones elementales sin x = 41 2 Nota: Para poder conseguirlo, lee detenidamente estas notas enumeradas que vienen a continuación (Si tienes problemas al trabajar en radianes ,considera su equivalente en grados) 13 1o Vamos a calcular el sin 13 + 12 = 12 considerando que sin 12 = sin sin 12 sin

12

= sin

4

6

p p 2 3 = sin cos cos sin = 4 6 4 6 2 2 19

p

21 1p 1p = 6 2 2 2 4 4

p

1 6 4 p 1 4 6

p p p p 1 1 1 1 Por lo tanto: sin 13 sin 12 = 12 = 4 6 4 2 = 4 2 4 6 2o Vamos a calcular el sin 23 12 Hemos de tener presente que sin 23 sin 12 puesto que 23 12 = 12 = 2 12 y sin 2 = sin 12 12 Así pues: 23 1p 1p sin = sin = 2 6 12 12 4 4 p p Conclusión 1a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 14 2 14 6 23 son 13 12 ; 12 17 o 3 Vamos a calcular el sin 17 + 512 = 12 considerando que sin 12 = sin 5 sin 12 sin

5 = sin + 12 6 4

= sin

6

cos

4

+cos

6

p p p 1 2 3 2 1p 1p + = 6+ 2 4 2 2 2 2 4 4 p p p p 1 1 1 1 4 6+ 4 2 = 4 2 4 6

sin

=

sin 512 = Por lo tanto: sin 17 12 = 19 o 4 Vamos a calcular el sin 12 Hemos de tener presente que sin 19 sin 512 puesto que 12 = 5 5 sin 12 sin 2 12 = Así pues: 5 1p 19 1p = sin = sin 2 6 12 12 4 4

19 12

=2

5 12

y

p Conclusión 2a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 14 2 17 19 4 6 son 12 ; 12 Utilizando las dos conclusiones anteriores podemos determinar las soluciones de la ecuaciones trigonométricas eleementales: p 1

1. sin x = 2. sin x =

1 4

p 1 4

1 4

2

p

2

p 1 4

6!x=

p

6!x=

13 12 23 12

+ 2k + 2k

17 12 19 12

+ 2k + 2k

con k 2 Z (por la 1a concl. ) con k 2 Z (por la 2a concl. )

Observación importante: Al elevar al cuadrado la ecuación, puede ocurrir que no todas las soluciones sean válidas. Comprueba tú que los ángulos 23 12 y 17 no veri…can la solución inicial 12 Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2 son : 13 19 ; 12 12 Después de explicar todo este procedimiento, es evidente que este último procedimiento es muy complejo. Así que: querido alumno, evítalo en la medida de lo posible.

20

2

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

2.1

Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas

Ejemplo 34 Resuelve el sistema

8 > < sin(x

2 2p 2 2

> : cos(x + y) =

De la 1a ecuación deducimos que: 8 < + 2k 4 x y= 3 : + 2k 4 De la 2a ecuación deducimos que: 8 > < 3 + 2k 0 4 x+y = 5 > : + 2k 0 4

Combinándolas, el sistema ecuaciones lineales siguientes: 8 < Primer sistema : 8 < Segundo sistema : 8 > < Tercer sistema > : 8 > < Cuarto sistema > :

y) =

p

con k 2 Z

con k 0 2 Z

queda reducido a resolver los cuatro sistemas de

+ 2k 4 3 + 2k 0 x+y = 4 x

x

y=

y=

4 5 x+y = 4 3 x y= 4 3 x+y = 4 3 x y= 4 5 x+y = 4

+ 2k + 2k

0

+ 2k + 2k

0

+ 2k + 2k

0

con k y k 0

2 Z

con k y k 0

2 Z

con k y k 0

2 Z

con k y k 0

2 Z

Resolvámoslos: 8 < x y = + 2k 4 1. con k y k 0 2 Z : x + y = 3 + 2k 0 4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 2 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 2 21

+ 2(k + k 0 )

Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos 2y = + 2(k k 0 ) 2 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 4 0 Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000 4 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos n o del plano S = ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros 2 4 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 2 4 5 00 000 Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ; 2 4 2 4 3 ; Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; ) = 2 4 2 4 3 5 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc.... 2 4 2 4 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2 8 < x y = + 2k 4 2. con k y k 0 2 Z : x + y = 5 + 2k 0 4 3 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 ) 2 3 Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 4 3 Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = + k 00 4 Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos 2y = + 2(k k 0 ) Aislando y ! y = + (k k 0 ) 2 0 Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000 2 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 3 + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros S= ( 4 2 3 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 4 2 3 3 3 00 000 Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ; 4 2 4 2 3 7 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ; 4 2 4 2 3 7 3 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + )= ; etc, etc.... 4 2 4 2 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2

22

8 > < x

3 + 2k 4 3. 3 > : x+y = + 2k 0 4 y=

con k y k 0 2 Z

3 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 ) 2 3 + (k + k 0 ) Aislando x ! x = 4 3 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 4 Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos 2y = 0 + 2(k k 0 ) Aislando y ! y = (k k 0 ) 0 Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 3 + k 00 ; k 000 ) con k 00 y k 000 enteros S= ( 4 3 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; 0) 4 3 3 00 000 ; Si k = 0 y k = 1 ! ( ; ) = 4 4 3 7 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; 0) = ;0 4 4 3 7 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc.... 4 4 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2 8 > < x y = 3 + 2k 4 4. con k y k 0 2 Z > x + y = 5 + 2k 0 : 4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = 2 + 2(k + k 0 ) Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 2 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 2 Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos 2y = + 2(k k 0 ) 2 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 4 0 Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos n o del plano 00 000 00 000 S = ( + k ; + k ) con k y k enteros 2 4 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 2 4 5 00 000 Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ; 2 4 2 4 23

3 ; 2 4 3 5 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc.... 2 4 2 4 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2 p 8 3 > < sin x cos y = p4 Ejemplo 35 Resuelve el sistema > : cos x sin y = 3 4 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! (

2

+ ;

4

)=

Sumando ambas ecuaciones tendremos:

sin x cos y + cos x sin y = 0 Como sin(A + B)=sin A cos B + cos A sin B la ecuación anterior queda reducida a: sin(x + y) = 0 Lo que nos permite a…rmar que x+y =

2k + 2k

con k 2 Z

(1)

Restando ambas ecuaciones tendremos: sin x cos y Como sin(A ducida a:

cos x sin y =

p

3 2

B)=sin A cos B

cos A sin B la ecuación anterior queda rep 3 sin(x y) = 2 Lo que nos permite a…rmar que 8 > < 4 + 2k 0 3 x y= con k 0 2 Z (2) 5 > 0 : + 2k 3 De las relaciones (1) y (2) anteriores; podemos concluir que el sistema inicial

24

es equivalente a resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales ( x + y = 2k 4 Primer sistema con k y k 0 2 x y= + 2k 0 3 ( x + y = 2k 5 Segundo sistema con k y k 0 2 x y= + 2k 0 3 ( x + y = + 2k 4 con k y k 0 2 Tercer sistema + 2k 0 x y= 3 ( x + y = + 2k 5 Cuarto sistema con k y k 0 2 x y= + 2k 0 3

siguientes: Z Z Z Z

Resolvámoslos: ( x + y = 2k 4 1. con k y k 0 2 Z x y= + 2k 0 3 4 + 2(k + k 0 ) Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = 3 2 Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 3 2 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 3 Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos 4 + 2(k k 0 ) 2y = 3 2 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 3 2 4 Como = 2 entonces: 3 3 4 4 y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2) 3 3 11 0 Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000 6 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 4 2 + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros S= ( 3 3 2 4 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 3 3 2 4 2 Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; 3 3 3 3 2 4 5 4 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ; 3 3 3 3 2 4 5 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc.... 3 3 3 3 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2 25

(

x + y = 2k 5 con k y k 0 2 Z x y= + 2k 0 3 5 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 ) 3 5 Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 6 5 + k 00 Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = 6 Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos 5 2y = + 2(k k 0 ) 3 5 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 6 7 5 = 2 entonces: Como 6 6 7 7 y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2) 6 6 7 0 Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000 6 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 7 5 + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros S= ( 6 6 5 7 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 6 6 5 7 5 Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; 6 6 6 6 11 7 7 5 + ; )= ; Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( 6 6 6 6 5 11 7 00 000 + ; )= ; etc, etc.... Si k = 1 y k = 1 ! ( 6 6 6 6 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2 ( x + y = + 2k 4 3. con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z x y= + 2k 0 3 7 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 ) 3 7 Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 6 7 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 6 Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos 2y = + 2(k k 0 ) 3 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 6 11 Como = 2 6 6

2.

26

entonces; y =

11 6

2 + (k

k0 ) =

11 + (k 6

k0

2)

11 0 Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000 6 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 7 11 S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros 6 6 7 11 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 6 6 7 11 7 5 Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )=( ; ) 6 6 6 6 7 11 11 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ; 6 6 6 6 7 11 5 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc.... 6 6 6 6 Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0y2 ( x + y = + 2k 5 4 con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z x y= + 2k 0 3 8 + 2(k + k 0 ) Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = 3 4 Aislando x ! x = + (k + k 0 ) 3 4 Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00 3 Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos 2 + 2(k k 0 ) 2y = 3 Aislando y ! y = + (k k 0 ) 3 5 = 2 Como 3 3 5 5 entonces; y = 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2) 3 3 0 Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = k 000 Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano 4 5 S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros 3 3 4 5 Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; ) 3 3 4 5 4 2 Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; 3 3 3 3 4 5 Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ; 3 3 3 6 5 2 4 Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc.... 3 3 3 3

27

Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre 0 y 2

2.2

Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas (

Ejercicio 36 Resuelve el sistema

sin x + sin y = x+y = 2

p

3+1 2

,

De la 2a ecuación aislamos x x=

y

2

Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación: p 3+1 y + sin y = sin 2 2

(3)

C +D C D cos ; entonces 2 2 podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad de la siguiente manera: 0 1 0 1 y+y y y A cos @ 2 A= sin y + sin y = 2 sin @ 2 2 2 2 Nota a) : Como sin C + sin D = 2 sin

=

2 sin

4

cos

4

y =

p

2 cos(

4

y)

Quedando la ecuación (3) así: p Aislando cos(

4

y) =

3+1 2

y)

4

cos(

2 cos(

p

y) =

4

p

p p p 3+1 2 6+ 2 p p = 4 2 2 2

p

3+1 p = 2 2

Nota b) Como cos A = cos ( A) la ecuación anterior se transforma en: p p 6+ 2 cos(y )= (4) 4 4 p p 6+ 2 Nota c) El ángulo agudo cuyo coseno vale es (15o )_ .1 4 12 1 cos

12

= cos

3

4

= cos

3

cos

4

+ sin

3

28

sin

4

=

p

2+ 4

p

6

Por la nota anterior; la solución de la ecuación (4) es: 8 8 < < + 2k + 2k 12 3 y con k 2 Z ! y = = 23 13 : : 4 + 2k + 2k 12 6

13 13 Como = +2 ! + 2k = + 2 + 2k = + 2 (k + 1) . 6 6 6 6 6 Entonces, las soluciones de la incógnita y se pueden expresar : 8 < + 2k 3 y= con k 2 Z : + 2(k + 1) 6

Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los correy) spondientes valores de la incógnita "x": (recuerda que x = 2 2 3 Si y = + 2k ! x = 2k = 2k con k 2 Z 3 2 3 6 4 5 Si y = + 2 (k + 1) ! x = 2 (k + 1) = 2 (k + 1) con k 2 Z 6 2 6 3

El conjunto solución del sistema es: n o n S= 2k ; + 2k con k 2 Z [ 2 (k + 1) 6 3 3 ( p sin x + cos y = 3 Ejercicio 37 Resuelve el sistema x y= 2

;

6

+ 2 (k + 1)

o con k 2 Z

De la 2a ecuación aislamos x x=

2

+y

Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación: p sin + y + cos y = 3 2

(5)

+ y = sin cos y + cos sin y = 2 cos y ; Nota a) : Como sin 2 2 2 entonces, podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad de la siguiente manera: sin

2

+ y + sin y = 2 cos y

Quedando la ecuación (5) así: 2 cos y = 2 sin

2

= 1 y cos

2

p

3 ! cos y =

=0

29

p

3 2

Los valores de y que se obtienen son y=

6 11 6

+ 2k + 2k

con k 2 Z

Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los correspondientes valores de la incógnita "x":(recuerda que x = + y) 2 2

3 2 Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k con k 2 Z 6 7 6 2 6 3 4 5 11 11 7 Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k = + 2 (k + 1) con k 2 Z 6 2 6 3 3 El conjunto solución del sistema es:

S=

2 + 2k ; + 2k 3 6

con k 2 Z [

3

+ 2 (k + 1)

Ejercicio 38 Resuelve el sistema

(

Ejercicio 39 Resuelve el sistema

(

2 sin x = sin y

Ejercicio 40 Resuelve el sistema

(

2 3 cos x + cos y =

Ejercicio 41 Resuelve el sistema

(

sin x + sin y =

x

;

11 + 2k 6

con k 2 Z

y=

3 p sin x + sin y = 3 x

y=

x

sin x

y=

sin y =

1 2

1 23 2

Sumando y restando ambas ecuaciones obtenemos: ( sin x = 1 2 sin x = 2 1 ! 2 sin y = 1 sin y = 2 Los ángulos que veri…can cada una de las ecuaciones anteriores son: 8 x = 2 + 2k < 5 con k 2 Z 6 + 2k : y= 11 6 + 2k La solución del sistema es el conjunto:

S=

2

+ 2k ;

5 + 2k 6

con k 2 Z [

Resuelve tú, los 2 sistemas siguientes 30

2

+ 2k ;

11 + 2k 6

con k 2 Z

cos x + 3 cos y = 1 3 cos x cos y = 3

Ejercicio 42 Resuelve los sistemas

4 sin x + 5 sin y = 2 sin x + sin y = 1

sin x = 2 sin y sin x sin y = 21

Ejercicio 43 Resuelve el sistema

Si realizamos el siguiente cambio de variable sin x = Z y cos x = T . , tendremos que resolver el sistema: Z = 2T ZT = 12 Multiplicamos la 1a ecuación por T y la 2a por

1

ZT = 2T 2 ZT = 21 Sumando ambas ecuaciones 1 2

0 = 2T 2

! T2 =

Si T = Si T =

1 2 1 2

1 4

!Z=1 !Z= 1

Deshaciendo el cambio de variable 2 Si sin x = Si sin x =

1 2 1 2

! sin y = 1 ! sin y = 1

1 2 1 2

!T =

6 5 6

6 Si x = !6 4 Si x =

+ 2k + 2k 7 6 11 6

!y=

3

+ k con k 2 Z 7 7 5 3 !y = 2 +k 2

+ 2k + 2k La solución del sistema es el conjunto de puntos del plano siguiente: S=

6

+ 2k ;

2

+k

[

5 6

+ 2k ; 2 + k donde k 2 Z

Ejercicio 44 Resuelve el sistema

[

7 6

+ 2k ; 32 + k

sin x + sin y = 1 cos x cos y = 1

Aislamos de la primera sin x y de la segunda cos x; obteniendo: sin x = 1 sin y cos x = 1 + cos y Elevando al cuadrado ambas ecuaciones: sin2 x = 1 2 sin y + sin2 y cos2 x = 1 + 2 cos y + cos2 y Sumando ambas ecuaciones sin2 x + cos2 x = 2

2 sin y + 2 cos y + sin2 y + cos2 y 31

[

11 6

+ 2k ; 32 + k

como sin2 A + cos2 A = 1;la ecuación anterior queda: 1 = 2 2 sin y + 2 cos y + 1 1 = cos y sin y Como cos( +y) = 2

sin y; tendremos que resolver la ecuación trigonométrica: cos y + cos(

2

+ y) =

1 C +D 2

Para ello, utilizamos que cos C +cos D = 2 cos

cos

C

D 2

; con

lo que la ecuación a resolver es ésta: 0

Operando:

2 cos @

y+

2 2

+y

1

A cos @

2 cos y + Como cos

4

= cos

4

=

0

4

y

2 2

cos

4

1

+y

=

A=

1

1

p

2 2

2 cos y +

p 4

2 = 2

1

La ecuación se reduce al …nal a resolver la ecuación trigonométrica elemental: 8 p > < 3 + 2k 1 2 4 cos y + !y+ = = p = con k 2 Z 5 > 4 2 4 2 : + 2k 4

Aislando la incógnita, tendremos que: ( + 2k y= 2 + 2k

con k 2 Z

Si y = + 2k sustituyendo en cualquiera de la dos ecuaciones iniciales 2 determinaremos el valor de la correspondiente incógnita x: Vamos a hacerlo en la 1a 0 + 2k sin x = 1 sin + 2k ! sin x = 0 ! x = con k 2 Z + 2k 2 Con lo que obtenemos los siguientes puntos del plano: (0 + 2k ;

2

+ 2k ) y ( + 2k ;

32

2

+ 2k ) con k 2 Z

Si y = + 2k sustituyendo en la 1a determinaremos el valor de la correspondiente incógnita x: sin x = 1 sin ( + 2k ) ! sin x = 1 ! x = + 2k con k 2 Z 2 Con lo que obtenemos los siguientes puntos del plano: (

2

+ 2k ; + 2k ) con k 2 Z

Recuerda que al elevar al cuadrado las ecuaciones, alguno de estos pares de puntos puede que no sean solución del sistema Comprobaciones: 8 < sin 0 + sin = 1 2 Si x = 0 e y = ! : cos 0 cos = 1 2 2

Los puntos del plano (0 + 2k ; + 2k ) con k 2 Z si que son solución del 2 sistema. 8 < sin + sin = 1 2 Si x = e y = ! : cos 2 cos = 1 2

Los puntos del plano ( + 2k ; + 2k ) con k 2 Z no son solución del 2 sistema. 8 < sin + sin = 1 2 Si x = e y = ! : cos 2 cos = 1 2 Los puntos del plano ( + 2k ; + 2k ) con k 2 Z si que son solución del 2 sistema. La solución del sistema es el conjunto siguiente: o n o n S = (0 + 2k ; + 2k ) con k 2 Z [ ( + 2k ; + 2k ) con k 2 Z 2 2

33