Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Raíces cuadradas y cúbicas - Racionalización – Ecuaciones irracionales. Nivel: 3° Medio

Raíces 1. Raíces cuadradas y cúbicas Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta: Si el área de un cuadrado es 64 cm2, ¿cuál es la medida de su lado? Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé cómo resultado 64. Este número se denomina raíz cuadrada de 64 y es 8. Y si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado? Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729. Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: se cumple solo si x > 0, ya que si

Por otro lado, la igualdad:

, esto no es igual a -3, porque el resultado de la multiplicación tenemos de dos números negativos es un número positivo. Por lo tanto: Para cualquier valor real de x. ¿Existe, entonces, la raíz cuadrada de un número negativo? Y si existe, ¿cómo , a es negativo, entonces la raíz no es un número se calcula? Si en la raíz: real, y se debe determinar como un número imaginario. Por ejemplo: siendo

.

Las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en los números reales y aunque en algunas calculadoras científicas al tratar de calcularlas aparece ERROR, esto significa que no tiene valor en R (reales) porque es un número imaginario. Y si el volumen de un cubo es 64 cm3, ¿cuál es la medida de su arista? Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí mismo tres veces, sea 64. Este número se denomina raíz cúbica de 64 y es 4, puesto que 4 · 4 · 4 = 64.

Por lo tanto, si la raíz es cúbica, tenemos que: En este caso, si a es negativo, entonces b resulta ser también negativo, porque el resultado de la multiplicación de tres números negativos será otro negativo. Por otro lado, si a es positivo, b también será positivo, debido que al multiplicar tres números positivos, el resultado tendrá signo positivo. Por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real. Definiendo en forma general:

2. Raíces y potencias de exponente fraccionario La raíz de número se puede definir también mediante una potencia de exponente fraccionario:

Donde n es el índice de la raíz, y m el índice de la cantidad sub radical. Como vimos anteriormente, cuando no aparece n (índice de la raíz) se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada). Esta definición está sujeta a las siguientes restricciones: - Las raíces de índice par están definidas solo para números reales positivos. - Las raíces de índice impar están definidas para todo número real. Debido a que las raíces pueden convertirse en potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias.

3. Propiedades de las raíces 1. Multiplicación de raíces de igual índice ya que

2. División de raíces de igual índice ya que

3. Raíz de raíz n m

a=

nm

⎯→ a⎯

n m

⎛ a = ⎜⎜ a ⎝

1 m

1 n

1 ⎞ nm ⎟ = a = nm a ⎟ ⎠

4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice ya que

5. Propiedad de amplificación ya que

6. Ingreso de un factor dentro de una raíz ya que

Además :

ya que 0 n = 0 ;

y

ya que 1n = 1

Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales. (recuerda la restricción que si el índice es par entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual que 0)

4. Operatoria con raíces 1. Adición y sustracción de raíces semejantes Las raíces cuyo resultado no es un número entero representan números irracionales, (números decimales infinitos no periódicos), por lo que se calculan de manera aproximada. Su expresión en forma de raíz representa al número irracional completo considerando esta raíz como un símbolo. Es por eso que para sumar o restar expresiones con raíces, se deben trabajar como expresiones algebraicas, es decir, solo podemos reducir aquellas que son semejantes. Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; son términos con raíces semejantes y se pueden por ejemplo, sumar y/o restar. Recuerda que se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el literal, en este caso la raíz inexacta Î En el caso de sumar o restar raíces no semejantes, se deben descomponer las cantidades subradicales para convertirlas (si es posible) a raíces semejantes. Ejemplo:

Se descomponen las cantidades subradicales en forma conveniente, de modo que uno de los factores debe ser un número cuadrado perfecto: Observa que las raíces cuadradas exactas corresponden a los cuadrados perfectos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, …n2} 2. Multiplicación y división de raíces de igual índice En este caso aplicamos las propiedades (1) y (2) de las raíces, descomponiendo las cantidades subradicales: . Ejemplo: 1) Multiplicación: *

*

2)

División:

*

* 3. Multiplicación y división de raíces de distinto índice En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices y luego las propiedades (1) y (2). Ejemplo:

Observa que el mínimo común múltiplo entre los índices es seis, entonces podemos amplificar igualando los índices a 6:

4. Multiplicación de polinomios con raíces Como las raíces inexactas se consideran como símbolos literales, podemos ejemplificar productos notables Ejemplo:

* *

(

)

(

2 2 3 + 5 2 = ⎛⎜ 3 + 2 3 5 + 5 ⎞⎟ = 3 + 2 15 + 5 = 8 + 2 15 ⎝ ⎠ 2 2 2 8 − 2 = ⎛⎜ 8 − 2 8 2 + 2 ⎞⎟ = 8 − 2 16 + 2 = 10 − (2 × 4 ) = 2 ⎝ ⎠

)

* Observa que el producto de la suma por su diferencia, siempre que tengas raíces cuadradas, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término; por tanto, tenemos que el cuadrado de una raíz cuadrada siempre será un número racional (sin raíces).

5. Racionalización Se debe racionalizar una expresión fraccionaria si el denominador contiene alguna expresión radical. El método consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción mediante la amplificación de modo conveniente para que en el denominador se pueda extraer totalmente la raíz. Analicemos los casos más importantes: Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador: ¿Cómo racionalizar la fracción Si amplificamos la fracción por 2

? , entonces el denominador quedará igual a

Por lo tanto tenemos que: Caso 2: Raíces cuadradas en el denominador, con adiciones y sustracciones. Ejemplo: Racionalicemos la fracción

En este caso, amplificamos la fracción por denominador una suma por su diferencia:

para formar en el

Caso 3: Una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones ni sustracciones. Ejemplo: Racionalizar:

con el objetivo de En este caso, debemos amplificar la fracción por obtener una raíz cúbica exacta. (Recuerda que los cubos perfectos son: {1, 8, 27, 64, 125, 216, …, n3}

6. Orden de expresiones radicales Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador. Ejemplo: Ordenar de menor a mayor las fracciones x, y, z:

Racionalizamos cada una de las fracciones:

De lo anterior se deduce que: y < x < z, 1)

puesto que y = x – 1

z = 3(x +

7. Ecuaciones irracionales Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita en alguna cantidad subradical. Para resolverla se deben eliminar las raíces que aparezcan. Después de obtenido el valor de la incógnita, se debe comprobar reemplazando el valor obtenido en la ecuación original. Ejemplo 1:

Calcular el valor de la incógnita x en : Para resolver la ecuación, primero elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz exterior:

Comprobando en la ecuación original, tenemos:

Por lo tanto x = 5 es la solución de la ecuación.

Ejemplo 2:

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Comprobando en la ecuación original, se obtiene: es una igualdad verdadera puesto que 2 – 2 = 0. Lo que es correcto, por lo tanto x = 3 es la solución de la ecuación.