Introducción

Sistemas Lineales

Conclusiones

Introducción

Sistemas Lineales

Conclusiones

Introducción

Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

Los sistemas que estudiaremos, tienen alguna entrada y alguna salida, 1. Suponemos que si aplicamos una entrada obtenemos una salida única. u(t)

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Contenidos

y(t)

0

t u(t)

u[k]

u[k]

Introducción Sistemas Lineales Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI) Conclusiones

0

Caja y(t) negra y[k]

k

0 y[k]

t

0

k

Figura: Sistema

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Introducción

I I I

I

Sistemas Lineales

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Conclusiones

Un sistema con una entrada y una salida se llama SISO. Un sistema con dos o más entradas y dos o más salidas se llama sistema multivariable (MIMO). Un sistema se dice a tiempo continuo si acepta señales continuas en la entrada y genera señales continua en la salida. Denotaremos u(t) para una entrada o u(t)para múltiples entradas. Si tenemos p entradas, u(t) es p  1, u(t) = [u1 u2


up ]T Un sistema se dice a tiempo discreto si acepta señades discretas en la entrada y genera señales discretas a la salida. Todas las señales discretas en un sistema se suponen con el mismo período de muestreo T . La entrada o salida serán denotados como u[k ] := u(kT ) e y [k ] := y (kT ).

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Sistemas Lineales

Conclusiones

Los sistemas estáticos suelen llamarse también sin memoria. Un sistema es causal o no anticipativo si la salida en un instante dado depende de los valores presentes y pasados de la entrada, y no de valores futuros. La salida actual de un sistema causal depende del pasado de la entrada. ¿Pero cuánto tiempo atrás tienen efecto valores pasados de la entrada? Estrictamente, habría que volver atrás en el tiempo hasta 1, lo que no es muy práctico. El concepto de estado salva este problema.

Definición El estado x(t0 ) de un sistema en el instante t0 es la información en t0 que junto con la entrada u(t) para t  t0 determina unívocamente la salida y (t) para todo t  t0 . Virginia Mazzone: Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

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Sistemas Lineales

Conclusiones

El estado x(t0 ) resume toda la historia del sistema desde 1 hasta t0 : conociendo el valor del estado en t0 , podemos conocer y (t) luego de t0 conociendo la entrada u(t) aplicada antes de t0 . Podemos pensar que la entrada para t  t0 y las condiciones iniciales x(t0 ) determinan la evolución del sistema para t  t0 x(t); t

 t0 W

(

x(t0 ) u(t); t

Introducción

I

Conclusiones

Sistemas Lineales Un sistema se llama lineal si cumple con el principio de superposición, es decir, dados dos pares de condiciones iniciales y entradas,

 t0

para i = 1; 2

tenemos que x1 (t) + x2 (t); t

 t0 W

xi (t); t  t0 W

( (

x1 (t0 ) + x2 (t0 ) u1 (t) + u2 (t); t

xi (t0 ) ui (t); t  t0

Consideremos el problema de regulación de la temperatura del aula por medio de acondicionadores de aire. La temperatura aparece como una distribución en todo el volumen del aula, y su caracterización completa requiere un número infinito de datos (la temperatura en todos los puntos del aula).

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Sistemas Lineales

xi (t0 ) xi (t); t  t0 W ui (t); t

 t0 2R

aditividad homogeneidad

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Sistemas Lineales

Conclusiones

La propiedad de aditividad permite considerar la respuesta del sistema como la superposición de la respuesta a condiciones iniciales y excitación aplicadas por separado.

x(t) = xl (t) + xf (t); t  t0 W

8 > > > > > > x(t0 ) = 0 > > > :xf (t); t  t0 W u(t); t  t 0

Repuesta = respuesta libre + respuesta forzada Los sistemas no lineales, no cumplen con el principio de superposición.

La combinación de ambas es la propiedad de superposición Virginia Mazzone: Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

1):

La salida es simplemente la entrada retrasada un segundo. Para determinar la salida desde el conocimiento de la entrada, necesitamos la información fu(t); t0  t < t0 g. Así el retardo unitario es un sistema infinito-dimensional I

(

Consideremos el sistema de retraso unitario dado por y (t) = u(t

Un sistema se dice que es finito-dimensional si el número de variables de estado es finita o su estado es un vector de dimensión finita. Un sistema se dice que es infinito-dimensional si su estado tiene infinitas variables de estado.

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Conclusiones

Ejemplo

 t0

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 t0

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Conclusiones

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Sistema lineales invariantes en el tiempo Un sistema es estacionario si para cada par condiciones iniciales y entrada x(t); t y cada T

 t0 W

(

x(t0 ) u(t); t

Un sistema que no cumple esta propiedad se dice inestacionario. (1)

 t0

2 R, tenemos que (

x(t

x(t0 + T ) T ); t  t0 + T W u(t T ) + u2 (t); t

Representación entrada-salida: Por superposición se deduce la representación de sistemas lineales mediante la integral de convolución Z1 y (t) = g(t ; )u( ) d  ; (3)

1

 t0 + T :

(2)

donde g(t ; ) es respuesta al impulso: la salida del sistema a un impulso unitario  (t) en el instante  .

Es decir, el sistema responde da la misma respuesta, corrida en tiempo, si se le aplica la misma entrada corrida con iguales condiciones iniciales. Virginia Mazzone: Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

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Conclusiones

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

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Conclusiones

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Así podemos redefinir g(t ; 0) simplemente como g(t  ). La representación entrada-salida del sistema se reduce a

La causalidad implica que causalidad , g(t ; ) = 0 para t

< ,

y como las condiciones iniciales se asumen nulas, (3) se reduce a Z t

y (t) = t0

g(t ; )u( ) d  :

Si el sistema tiene p entradas y q salidas, entonces hablamos de la matriz de respuesta al impulso G(t ; ) 2 Rq p . Si el sistema es estacionario entonces para cualquier T se cumple g(t ; ) = g(t + T ; + T ) = g(t ; 0) :

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Z

t

y (t) =

g(t 0

 )u( ) d  =

Z

t 0

g( )u(t

)d :

La condición de causalidad para un sistema lineal estacionario se reduce a g(t) = 0 para t < 0. Matriz Función de Transferencia La transformada de Laplace es una herramienta importante para estudiar sistemas LTI. Sea yˆ (s) = Lfy (t)g =

Z1

y (t)e

st

ˆ (s)u ˆ (s) dt = g

0

ˆ (s) es la función transferencia del sistema y es la donde g transformada de Laplace de la respuesta al impulso. Virginia Mazzone: Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

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Conclusiones

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3

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Conclusiones

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

ˆ yˆ (s) Para un sistema con p entradas y q salidas, yˆ (s) = G(s) puede extenderse

2

Introducción

2

32

Representación en Espacio de Estados: Todo sistema lineal finito-dimensional puede describirse mediante ecuaciones de estado (EE)

3

ˆ11 (s) g ˆ12 (s)


g ˆ1p (s) u ˆ1 (s) yˆ1 (s) g 6yˆ (s)7 6gˆ (s) gˆ (s)


gˆ (s)7 6uˆ (s)7 6 2 7 6 21 76 2 7 22 2p 6 . 7=6 . 6 7 .. .. 7 .. 6 . 7 6 . 76 . 7 . . . 5 4 .. 5 4 . 5 4 . ˆq1 (s) g ˆq2 (s)


g ˆqp (s) u ˆp (s) yˆq (s) g

˙ x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y (t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) :

ˆij (s) es la función transferencia desde la j-ésima donde g entrada a la i-ésima salida. ˆ I La matriz q  p, G(s) se llama matriz función de transferencia o simplemente matriz de transferencia. ˆ I G(s) se dice que es propia, si cada elemento es propio, o ˆ 1) es la matriz nula. si G( ˆ I Llamamos  un polo de G(s) si es polo de alguno de los ˆ elementos de G(s). ˆ I Existen varias formas de definir los ceros de G(s). Virginia Mazzone: Tema 2: Descripción de Sistemas - Parte I -

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Para un sistema de orden n, el vector de estados es un vector n  1, es decir que tiene n variables de estado, x(t) 2 Rn para cada t. Si el sistema tiene p entradas y q salidas, entonces u(t) 2 Rp e y (t) 2 Rq . Las matrices A; B ; C ; D se suelen llamar A 2 Rnn : de evolución B 2 Rnp : de entrada C 2 Rq n : de salida

D 2 Rq p : de ganancia directa

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Conclusiones

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Cuando el sistema es además invariante en el tiempo, entonces la representación en EE se reduce a ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t)

(4)

y (t) = Cx(t) + Du(t) : Aplicando la transformada de Laplace a (4) obtenemos sxˆ (s)

ˆ (s) x(0) = Axˆ (s) + B u ˆ (s) ; yˆ (s) = C xˆ (s) + D u

Para estudiar sistemas variantes en el tiempo no se utiliza la transformada de Laplace. La transformada de g(t ; ) es una función de dos variables y L[A(t)x(t)] 6= L[A(t)]L[x(t)]; así la transformada de Laplace no ofrece ninguna ventaja para estudiar sistemas variantes en el tiempo.

de donde siguen xˆ (s) = (sI

A)

1

x(0) + (sI

yˆ (s) = (sI

A)

1

x(0) + [C(sI

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A)

1

ˆ (s) Bu

A)

1

ˆ (s) : B + D]u

Las ecuaciones algebraicas (5) permiten computar xˆ (s) y yˆ (s) ˆ (s). Las transformadas inversas dan x(t) e y (t). de x(0) y u Asignando x(0) = 0 vemos que la matriz transferencia del sistema es ˆ G(s) = C(sI A) 1 B + D

(5)

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Conclusiones

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Ejemplo Consideremos un cohete a reacción que asciende en forma vertical de la superficie de la tierra. La fuerza de propulsión es el producto ve u0 , donde ve < 0 es la velocidad relativa de escape de gases, y u0 < 0 la velocidad de variación de masa ˙ m(t), supuestas constantes.

m

v

m(t)g + ve u0 :

#

"

x˙ 1 (t) 0 1 = x˙ 2 (t) 0 0

h

y (t) = 1 0

#"

# "

x1 (t) + x2 (t)

" # i x (t) 1

0 u0 g + mv0e+u 0t

#

;

x(0) = 0

x2 (t)

El sistema es lineal, de dimensión 2, e inestacionario.

h

˙ Como m(t) = u0 , entonces m(t) = m0 + u0 t.

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Introducción

"

Asumiendo la aceleración de la gravedad g constante, ¨ = m(t)h(t)

Figura: Cohete

˙ Definiendo x1 (t) := h(t) y x2 (t) := h(t) y tomando como salida la altura, llegamos a la representación en EE

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Sistemas Lineales

Conclusiones

Conclusiones Tipo de sistema

Rep. interna

dim. infinita lineal dim. finita, lineal

Rep. externa y (t) =

x˙ = A(t)x + B(t)u

y (t) =

y = C(t)x + D(t)u dim. inf., lineal, est.

y (t) =

R1 t0

Rt

G(t ;  )u( )d 

t0 G(t ;  )u( )d 

R1 t0

G(t ;  )u( )d 

ˆ u ˆ (s) yˆ (s) = G(s) dim. fin., lineal, est.

R1

y(t) =

y = Cx + Du

ˆ u ˆ (s) yˆ (s) = G(s)

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La matriz transferencia es racional sii el sistema es lineal, estacionario y de dimensión finita.

I

Las representaciones externas asumen condiciones iniciales nulas.

I

Los sistemas de dimensión infinita no pueden describirse en EE.

G(t ;  )u( )d 

x˙ = Ax + Bu

t0

I

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