UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Departamento de Ingeniería Eléctrica

EJERCICIOS DE DIAGRAMA DE BLOQUES Actualizado al 24 de abril de

2003

Oscar Páez Rivera Profesor Asociado Departamento de Ingeniería Eléctrica

Ejercicios Diagrama de bloques Profesor Oscar Páez Rivera

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CONTROL AUTOMÁTICO

EJERCICIOS DIAGRAMA DE BLOQUES 2

Abril 2003

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Ejercicio 1 Modelamiento de nivel y densidad de un estanque. Considere el estanque recto de la figura N°1. Se desea obtener un modelo de diagramas de bloques que relacione el nivel y la densidad en términos de los flujos volumétricos de entrada y salida. 1.1 DEFINICION DE VARIABLES Fv1 Fv2 Fv ρ1 ρ2 ρ N m V fmi Fm1 Fm2 Fm

flujo volumétrico de entrada flujo volumétrico de entrada flujo volumétrico de salida densidad de flujo Fv1 densidad de flujo Fv2 densidad de flujo Fv nivel masa del estanque volumen del estanque flujo másico (iésimo) flujo másico de entrada flujo másico de entrada flujo másico de salida

Fig. 1 estanque a modelar

V = A ⋅N m= ρ ⋅V dm = fm1 + fm2 − fm dt fmi = ρi ⋅ Fvi

1.2 ECUACIONES (A: Area)

fm1 = ρ 1 ⋅ Fv 1

1.3 PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES ORIENTADAS

dV = Fv1 + Fv 2 − Fv  →dt ec.1

fm 2 = ρ 2 ⋅ Fv 2  → ec.2 fm = ρ ⋅ Fv  → ec.3 t

V=

∫ (Fv

1

+Fv 2 − Fv)dt  → ec.4

m1

+Fm 2 − Fm )dt  → ec.5

−∞ t

m=

∫ (F

−∞

m  → ec.6 V V N=  → ec.7 A

ρ=

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1.4 CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA DE BLOQUES

EJERCICIO 2: Para el estanque del ejercicio 1 se pide modelar de modo de obtener la temperatura. 2.1 VARIABLES A las variables definidas en el problema anterior se agregan T1 T2 T Q* QE H1 H2 H

temperatura flujo Fv1 temperatura flujo Fv2 temperatura del estanque y Fv3 calor del estanque flujo de calor aportado por la combustión entalpía del flujo 1 entalpía del flujo 1 entalpía del flujo Fv3

2.2 ECUACIONES [entalpía] = [c] [flujo másico] [temperatura] la entalpía es un flujo de calor Balance de calor en el estanque

Calor del estanque

dQ * = H1 + H2 − H + Q E dt

Q* = c⋅m⋅ T

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2.3 ORIENTACION DE LAS ECUACIONES

H1 = c1 ⋅ Fm1 ⋅ T1  →ec.1 H2 = c2 ⋅ Fm2 ⋅ T2  →ec.2 H = c ⋅ Fm ⋅ T  →ec.3 *

t

Q = ∫(H1 + H2 − H+ QE )dt  →ec.4 T=

−∞ *

Q  →ec.5 c⋅m

2.4 DIAGRAMA DE BLOQUES

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EJERCICIO 3: Para el hervidor se pide modelar de modo de obtener la temperatura T1. Problema 1: Considérese una caldera que debe proveer vapor a otro proceso. La caldera logra su objetivo a través del traspaso de calor generado por un quemador de petróleo. Se debe mantener un nivel constante en la caldera. Definiendo : Fv1 al flujo volumétrico de entrada y Fv0 al flujo volumétrico de salida de la caldera, así como Fv3 y Fv4 a los flujos volumétricos del aire y el petróleo, al quemador respectivamente. T1, N1, P1, M1 y V1 son las variables temperatura, nivel, presión, masa y volumen para el líquido de la caldera, mientras que T1, Pv0 y Mv son la temperatura, presión y masa de la fase de vapor de la caldera. T1 es también la temperatura de Fv1 Lo que se requiere ahora es un listado de ecuaciones que asocien las variables involucradas con cada proceso de la caldera. Ecuaciones de Acumulación:

M1 ρ1 Pv0 = K g ⋅ T1 ⋅ ρ 0 V1 =

ρ0 =

Mv V0

de las ecuaciones presentadas ρ1 y ρ0 son las densidades de los flujos Fv1 y Fv0, respectivamente; WLG es el flujo másico que pasa de líquido a vapor, mientras que KC y Kg son constantes de proporcionalidad. Ecuaciones de Calor: t

Q *1 = T1 =

∫ (Cp ⋅ ρ 1⋅ Fv1⋅ T1+ Qp − Cp ⋅ Fv0 ⋅ (T1+ λ ))dt

−∞ *

Q 1 C P ⋅ M1

Q P = u ⋅ Fv 4 u = gP ⋅

Fv 4 Fv3

en estas ecuaciones Cp, λ , u y gP son constantes, QP es el calor aportado por el quemador, mientras que Q*1 es el calor de la fase líquida.

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t

Ecuaciones de Acumulación de vapor:

Mv =

∫ (W

LG

− ρ 0 ⋅ Fv0)dt

−∞

V 0 = VT − V1

V0 es el volumen de la fase líquida, mientras que VT es el volumen total. Considerese cada ecuación para construir el diagrama de bloques.

ρ1 Fv1

t

∫ ( ρ 1⋅ Fv1− W

M1 =

LG )dt

Ec1

Ec1 su diagrama de bloques es:

−∞

M1 WLG

P1 Pv0

WLG = fe (P1; Pv0)

Ec2 su diagrama de bloques es:

Ec2 WLG

P1 = fV ( T1)

Ec3 su diagrama de bloques es:

T1

Ec3 P1

M1 M1 ρ1

V1 =

Ec4 su diagrama de bloques es:

ρ1

Ec4 V1

−1

N1 = fV ( V1)

Ec5 su diagrama de bloques es:

V1

Ec5 N1

ρ0 Fv0 t

Mv =

∫

( WLG − ρ 0 ⋅ Fv0)dt Ec6 su diagrama de bloques es:

−∞

Ec6 Mv WLG

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M1

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V 0 = VT − V1

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Ec7 su diagrama de bloques es:

Ec7 V1

V0

ρ1

T1

Fv1

Ec8

t

Q *1 =

∫ (Cp ⋅ ρ 1⋅ Fv1⋅ T1+ Qp − Cp ⋅ Fv0 ⋅ ( T1+ λ ))dt

Ec8

Q

−∞

Qp

Fv0 Q*1

Q *1 Cp ⋅ M1

T1 =

Ec9 su diagrama de bloques es: M1

Ec9 T1 u

Qp = u ⋅ Fv 4

Fv4

Ec10 su diagrama de bloques es:

Ec10 Qp Fv4 u

Fv 4 ) u = Gp ⋅ ( Fv3

Ec11 su diagrama de bloques es: Fv3

ρ 1 = h( T1)

Ec12 su diagrama de bloques es:

Ec11

Ec12 ρ1

T1

T1 Pv0 Pv0 = K g ⋅ T1 ⋅ ρ 0

Ec13 su diagrama de bloques es: ρ0

Ec13

V0

ρ0 ρ0 =

Mv V0

Ec14 su diagrama de bloques es: Mv

Ec14

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DIAGRAMA DE BLOQUES

simbología variable independiente, de origen externo al proceso variable obtenida desde otro bloque

Ec5

N1

Fv1

ρ1

T1

Ec12

Ec1

ρ1

Ec7

Ec4

V0

V1

M1 WLG

ρ0 M1

Ec9

WLG

P1

T1

Ec3

Ec2

ρ0

Mv

Ec6 Pv0

Q*1

T1

Ec14

Ec13

Fv0

T1

Ec8

Ec10 u

Qp

Fv4

Fv0 Fv1

Ec11 Fv3 Fv4

ρ1

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Pv0

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EJERCICIO 4: Para el proceso se pide modelar de modo de obtener la temperatura T1, y los niveles N1, N2 Considérese el proceso de la figura.

Descripción general: Este proceso consta de un primer estanque, el cual calienta un fluido a través de un calefactor eléctrico. En el mismo estanque se desea mantener constante su nivel, puesto que parte del líquido debe ir a un segundo estanque. El fluido que se transfiere del estanque 1 al estanque 2 se repone con el flujo (F10). El segundo estanque está encargado de suministrar la mezcla entre el flujo (F10) y el flujo F20 , la demanda arbitraria se representa con F30. Por cierto, la mezcla del segundo estanque también debe ser a nivel constante. Variables y ecuaciones: En primer lugar considérese la acumulación en el estanque 1. El nivel del estanque viene representado por: N1 ⋅ A 1 = V1

Siendo N1 la altura o nivel del estanque, A1 el área del estanque y V1 el volumen ocupado por el líquido. Por otra parte, la acumulación de volumen viene dada por: dV1 = F10 − F12 dt

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donde F10 es el flujo volumétrico de entrada y F12 es el flujo volumétrico de salida del estanque 1. De esta manera el nivel en el estanque 1 es: t

∫ (F

10

N1 =

− F12 )dt

−∞

A1

La acumulación en el segundo estanque se obtiene de igual manera, con la diferencia que en este caso los flujos de entrada son F12 y el reactivo para la mezcla F20. La salida es F30. Por lo tanto: t

∫ (F

12

N2 =

+ F20 − F30 )dt

−∞

A2

En cuanto a la temperatura del primer estanque, está representada por la siguiente ecuación: T1 =

Q 1* Cp ⋅ M1

T1 es la temperatura del líquido del estanque 1, Q*1 es la acumulación de calor o calor del líquido acumulado en el primer estanque. Cp es la constante de calor específico del líquido y M1 es la cantidad de masa acumulada en el estanque. La acumulación de calor es igual a la suma de entalpías y calores que entran y salen del estanque. dQ 1* = h10 − h12 + Q W dt

Considerando que la entalpía es h=Cp*ρ*F*T y que en este caso el calor aportado por el calentador eléctrico es proporcional a la potencia eléctrica, el calor acumulado es: t

Q 1* =

∫ (Cp ⋅ ρ

10

⋅ F10 ⋅ T10 − Cp ⋅ ρ 12 ⋅ F12 ⋅ T12 + λ ⋅ W)dt

−∞

Donde ρij es la densidad del flujo Fij y Tij su temperatura. La ecuación de balance de masa es: dM1 = Fm10 − Fm12 dt

con Fm10 y Fm121 flujos másicos de entrada y salida respectivamente. Teniendo en cuenta que Fm=ρ∗Fv (Fm flujo másico, ρ densidad y Fv flujo volumétrico), la masa acumulada es:

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t

M1 =

∫ (ρ

10

⋅ F10 − ρ 12 ⋅ F12 )dt

−∞

La dosificación o mezcla es una razón entre los flujos que se están considerando: F30 =R F12

con R razón de dosificación.

Ecuaciones orientadas y Diagramas de bloques: Se puede separar el proceso general en 4 procesos elementales: acumulación en el estanque 1, temperatura en el estanque 1, acumulación en el estanque 2 y mezcla en el estanque 2.

•

Acumulación en el estanque 1. F12

t

∫ (F

10

N1 =

− F12 )dt

−∞

F10

Ec1

Ec1

A1

N1

•

Acumulación en el estanque 2. F20 F12

t

N2 =

∫

(F12 + F20 − F30 )dt

−∞

A2

Ec2

Ec2

N2

F30

•

Mezcla en el estanque 2. F12

F30 =R F12

Ec3

F30

Ec3 R

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•

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Temperatura en el estanque 1. ρ10

ρ12

F10

t

∫

M1 = ( ρ10 ⋅ F10 − ρ12 ⋅ F12)dt

Ec4

Ec4

−∞

M1

F12

ρ10

h10 = Cp ⋅ ρ10 ⋅ F10 ⋅ T10

Ec5

F10

Ec5 h10 T10

ρ12 F12

h12 = Cp⋅ ρ12 ⋅ F12 ⋅ T12

Ec6

Ec6

h12 T12

W

QW = λ ⋅ W

Ec7

Ec7

QW QW h10

Ec8

t

Q 1*

=

∫ (h

10

− h12 + Q W )dt

Ec8

Q*

−∞

h12

M1 T1 =

Q1* Cp ⋅ M1

Ec9

Q*1

Ec9 T1

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así integrando los bloques individuales ; T10

ρ10

F10 W

ρ10

ρ12

EC 5

ρ12 EC 7

QW

h12 EC 8

EC 6

F12 Q* M1 EC 4

EC 9

T12 T1

F10

F12

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